2aListaIBMGabarito_2010

Prévia do material em texto

Gabarito da 2a
¯
Lista de Ca´lculo Diferencial e Integral I
IBM/ 2010
Exerc´ıcio 01. Im(f) = {−11,−5,−2}
Exerc´ıcio 02. i) f(4) = 3
ii) x = 2 ou x = 3
Exerc´ıcio 03. i) f(3) =
10
3
ii) f(x+ 1) =
x2 + 2x+ 2
x+ 1
, com x 6= −1
iii) f(1/2) =
5
2
iv) f(a− 1) = a
2 − 2a+ 2
a− 1 , com a 6= 1
Exerc´ıcio 04. a = 1
Exerc´ıcio 05. f(x) = x2 − 5x+ 6, f(2) = 0
Exerc´ıcio 06. Im(f) = [−1,∞)
Exerc´ıcio 07. Im(f) = {−1, 0, 3}, logo 3 elementos.
Exerc´ıcio 08. f(3) + f(
1
3
) =
20
3
Exerc´ıcio 09. 1) Df = R, 2) Df = (−∞, 2), 3) Df = R, 4) Df = R,
5) Df = R− {2, 12}, 6)Df = R, 7) Df = R− {5,−1}
8) Df = [0, 1) ∪ (1,∞), 9) Df = (−∞,−2) ∪ [3,∞), 10)Df = [3/2,∞),
11)Df = [−3, 3], 12)Df = (−∞,−3] ∪ [3,∞), 13)D(f) = R\(1, 5)
14) D(f) = {x ∈ R : x 6 3} 15) D(f) = R\{−5,−2, 2}
16 D(f) = {x ∈ R : x > 5} 17) D(f) = {x ∈ R : x > 1
2
}
18) D(f) = {x ∈ R : x > 4 e x 6= 6}
Exerc´ıcio 10. i) 0, ii) 6x+ 3h, iii) 3x2 + 3xh+ h2
iv) cosx senh
h
+ senx (cosh−1)
h
v)
1√
x+ h+
√
x
vi)
−1
(x+ h+ 2)(x+ 2)
vii) 4x3 + 6x2h+ 4xh2 + h3
Exerc´ıcio 11. a) par, b) ı´mpar, c) na˜o e´ par nem ı´mpar, d) par, e) ı´mpar, f)na˜o
e´ par nem ı´mpar, g) ı´mpar, h) nem par nem ı´mpar,i)par
1
Exerc´ıcio 12. a) limitada superiormente.
b) sobrejetora, crescente.
c) estritamente crescente, bijetora.
d) limitada inferiormente,sobrejetora.
e) sobrejetora, limitada.
f) limitada.
Exerc´ıcio 13. a) f ◦ g(x) = 2√x+ 1 + x − 1 e @ g ◦ f , somente se restringir
o domı´nio de f ao conjunto (−∞,−1−√2] ∪ [−1 +√2,∞)
b) f ◦ g(x) = x
2
x2 + 1
e g ◦ f(x) = 1 + x2.
Exerc´ıcio 14. i) x(y) =
5y − 1
2y + 3
, com y 6= −3
2
ii) y = 3
√
5− x
4
iii) x(y) =
y2 − 2
5
, com y ∈ R+
iv) log10 [log2y], y > 1
v) x(y) = ey − 3, com y ∈ R
vi) x = ln
[
y − 1
y + 1
]
, y > 1 ou y < −1
vii) x(y) =
1− y
1 + y
, com y 6= −1
Exerc´ıcio 15.D(f) = (0,∞) e D(g) = R. Somente sa˜o poss´ıveis as seguintes
func¸o˜es compostas: g ◦f e g ◦g. De fato, restringindo o domı´nio de f e de g, tem-se:
f ◦ g = ln(x2 − 9), com x ∈ R \ [−3, 3]
g ◦ f = (lnx)2 − 9, com x > 0
f ◦ f = ln(lnx), com x > 1
g ◦ g = (x2 − 9)2 − 9, com x ∈ R
Exerc´ıcio 16. g(x) =
x+ 1
3
Exerc´ıcio 17. D
Exerc´ıcio 18. a) f(x) > 0, se x ∈ (1, 3) ∪ (5,∞) e f(x) < 0 se x ∈ (−∞, 1) ∪
(3, 5)
b) f(x) > 0, se x ∈ (−2, 1) ∪ (2,∞) e f(x) < 0 se x ∈ (−∞,−2) ∪ (1, 2)
c)f(x) > 0, se x ∈ (0, 2) ∪ (3,∞) e f(x) < 0 se x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, 3)
d) f(x) > 0, se x ∈ (−5, 0) ∪ (2,∞) e f(x) < 0 se x ∈ (−∞,−5) ∪ (0, 2)
2
Exerc´ıcio 19.a)
Out[2]=
-4 -2 2 4
1
2
3
4
5
6
7
b)
Out[3]=
-3 -2 -1 1 2 3
-15
-10
-5
5
10
15
c)
Out[5]=
-3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
3
d)
Out[4]=
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Exerc´ıcio 20. d =
√
x2 + (1/x)2
Exerc´ıcio 21. d= distaˆncia, y= comprimento, y = 2
3
d.
Exerc´ıcio 22. p= profundidade, V= volume, V = pi(27−p
3
)3
Exerc´ıcio 23.a)
1 2 3 4
1
2
3
4
b) altura ma´xima = 4 km, instante = 2s.
Exerc´ıcio 24. A = x
√
16−x2
4
Exerc´ıcio 25. AT = x
2 + (L−4x)
2
4pi
, DAT = (0, L/4).
Exerc´ıcio 26.
10000 20000 30000 40000 50000 60000
2000
4000
6000
8000
Exerc´ıcio 27. Se o nu´mero de kilometros rodados for menor que 500, a melhor
opc¸a˜o e´ A. Se for maior que 500, a melhor opc¸a˜o e´ B.
Exerc´ıcio 28. V = x(20− 2x)2, DV = (0, 10).
4