lista de integrais

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Universidade Federal do Piau´ı
Departamento de Matema´tica
Prof.: I´talo Lira
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral II- E
Data:
Aluno(a):
3◦ Lista de exerc´ıcios
1.
∫ 1
0
(x+ 3)dx
2.
∫ 1
−1
(2x+ 1)dx
3.
∫ 4
0
1
2
dx
4.
∫ 1
−2
(x2 − 1)dx
5.
∫ 3
1
dx
6.
∫ 2
−1
4dx
7.
∫ 3
1
1
x3
dx
8.
∫ 1
−1
5dx
9.
∫ 2
0
(x3 + 3x− 3)dx
10.
∫ 1
0
(
5x3 − 1
2
)
dx
11.
∫ 1
−1
(2x+ 3)dx
12.
∫ 0
1
(2x+ 3)dx
13.
∫ −1
−2
( 1
x2
+ x
)
dx
14.
∫ 4
0
√
xdx
15.
∫ 4
1
1√
x
dx
1
16.
∫ 8
0
3
√
xdx
17.
∫ 0
−1
(x3 − 2x+ 3)dx
18.
∫ 1
0
8
√
xdx
19.
∫ 2
1
(
x3 + x+
1
x3
)
dx
20.
∫ 1
0
(x+ 4
√
xdx)
21.
∫ 3
1
(
5 +
1
x2
)
dx
22.
∫ 3
−3
x3dx
23.
∫ 1
−1
(x7 + x3 + x)dx
24.
∫ 1
1
2
(x+ 3)dx
25.
∫ 4
1
(5x+
√
x)dx
26.
∫ 0
1
(x7 − x+ 3)dx
27.
∫ 2
1
1 + x
x3
dx
28.
∫ 1
0
(x+ 1)2dx
29.
∫ 4
1
1 + x√
x
dx
30.
∫ 1
0
(x− 3)2dx
31.
∫ 2
0
(t2 + 3t− 1)dt
32.
∫ 2
1
1 + t2
t4
dt
33.
∫ 1
1
2
(s+ 2)ds
2
34.
∫ 3
0
(u2 − 2u+ 3)du
35.
∫ 2
1
(s2 + 3s+ 1)ds
36.
∫ 1
−1
3
√
tdt
37.
∫ 3
1
(
1 +
1
x
)
dx
38.
∫ 2
1
1 + 3x2
x
dx
39.
∫ pi
2
−pi3
cos 2xdx
40.
∫ 0
−pi
sin 3xdx
41.
∫ 1
−1
e2xdx
42.
∫ 1
0
1
1 + t2
dt
43.
∫ pi
4
0
sinxdx
44.
∫ 0
−1
e−2xdx
45.
∫ pi
3
0
(3 + cos 3x)dx
46.
∫ 1
0
sin 5xdx
47.
∫ 1
2
0
1√
1− x2 dx
48.
∫ 2
0
2xdx
49.
∫ 1
0
2xex
2
dx
50.
∫ 1
0
2x
1 + x2
dx
51.
∫ 1
0
1
1 + x
dx
3
52.
∫ 1
−1
x3ex
4
dx
53.
∫ pi
3
0
(sinx+ sin 2x)
54.
∫ pi
2
0
(1
2
+
1
2
cos 2x
)
dx
55.
∫ pi
2
0
cos2 xdx
56.
∫ pi
2
0
sin2 xdx
57.
∫ pi
4
0
sec2 xdx
58.
∫ 1
0
3xdx
59.
∫ 1
0
3xexdx
60.
∫ pi
4
0
tan2 xdx
61.
∫ 4
1
√
5
x
dx
62.
∫ 0
−pi
3
cos θ
sin2 θ
dx(
Sugesta˜o para questa˜o 55: Verifique que cos2 x = 12 +
1
2 cos 2x
)
63. Desenhe o conjunto A dado e calcule a a´rea.
a) A e´ conjunto limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo gra´fico
de y = x3.
b) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 4, y = 0 e pelo
gra´fico de y =
√
x.
c) A e´ conjunto de todos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ 0.
d) A e´ o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ 4− x2.
e) A e´ o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ | sinx|, com 0 ≤ x ≤ 2pi.
f) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = −1, x = 2, y = 0 e pelo
gra´fico de y = x2 + 2x+ 5.
i) A e´ o conjunto do plano limitado pela retas x = 0, x = pi2 e pelos gra´ficos
de y = cosx e y = 1− cosx.
4
j) A e´ o conjunto do plano limitado pelos gra´ficos de y = x3 − x, y = sinpix,
com −1 ≤ x ≤ 1.
k) A e´ o conjunto de todos (x, y) tais que x > 0 e 1x2 ≤ y ≤ 5− 4x2.
64. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2t−3, t ≥ 0.
a) Calcule o deslocamento entre o instantes t = 1, t = 3.
b) Qual o espac¸o percorrido entre os instantes t = 1, t = 3?
c) Descreva o movimento realizado pela part´ıcula entre os instantes t = 1 e
t = 3.
65. A func¸a˜o velocidade (em metros por segundo) e´ dada por uma part´ıcula
movendo-se ao longo de uma reta. Ache o deslocamento e a distaˆncia
percorrida pela part´ıcula durante o intervalo de tempo dado em cada um
dos casos abaixo:
a) v(t) = 3t− 5, 0 ≤ t ≤ 3
b) v(t) = t2 − 2t− 8, 1 ≤ t ≤ 3.
66. A func¸a˜o acelerac¸a˜o (em m/s2) e a velocidade inicial sa˜o dadas por uma
part´ıcula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no
instante t e a distaˆncia percorrida durante o intervalo de tempo dado.
a) a(t) = t+ 4, v(0) = 5, 0 ≤ t ≤ 10;
b) a(t) = 2t+ 3, v(0) = −4, 0 ≤ t ≤ 3.
67. A densidade de uma barra linear de comprimento 4m e´ dada por ρ(x) =
9 + 2
√
x medida em quilogramas por metro, onde x e´ medida em metros
a partir de um extremo da barra. Ache a massa total da barra.
68. A a´gua flui do fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de
r(t) = 200 − 4t litros por minutos, onde 0 ≤ t ≤ 50. Encontre a quanti-
dade de a´gua que flui do tanque durante os dez primeiros minutos.
Calcule a integral definida.
69.
∫ 4
1
2x(x2 + 3)4dx
70.
∫ 5
−2
x2(x3 + 5)2dx
71.
∫ 2
0
(3x− 2)20dx
72.
∫ 2
−1
(2− x)9dx
73.
∫ 3
1
1 + 4x√
1 + x+ 2x2
dx
5
74.
∫ 0
−1
x
(x2 + 1)2
dx
75.
∫ 2
0
√
dx
5− 3xdx
76.
∫ 3
1
x
x2 + 1
dx
77.
∫ 2
0
3
(2y + 1)5
dx
78.
∫ 3
2
1
(5t+ 4)2,7
dt
79.
∫ 0
−2
√
4− tdt
80.
∫ 5
1
y3
√
2y4 − 1dy
81.
∫ 1
0
sinpitdt
82.
∫ pi
−pi
sec 2θ tan 2θdθ
83.
∫ 3
1
(lnx)2
x
dx
84.
∫ 0
−pi
2
arctanx
1 + x2
dx
85.
∫ pi
2
0
cos
√
t√
t
dt
86.
∫ 4
1
√
x sin(1 + x
3
2 )dx
87.
∫ 1
0
cos θ sin θdθ
88.
∫ 2
0
(1 + tan θ)5 sec2 θdθ
89.
∫ 2
−1
z2
3
√
1 + z3
dz
90.
∫ 1
0
ax+ b√
ax2 + 2bx+ c
dx
91.
∫ 2
0
dx
x log x
6
92.
∫ 4
2
ex
ex + 1
dx
93.
∫ 2
−1
√
cotx csc2 xdx
94.
∫ 3
1
cotxdx
95.
∫ 1
0
sinx
1 + cos2x
dx
96.
∫ pi
6
0
sinx
1 + cos2 x
dx
97.
∫ 3pi
2
pi
2
sec3 x tanxdx
98.
∫ 8
1
3
√
x3 + 1x5dx
99.
∫ pi
0
sin t sec2(cos t)dt
100.
∫ 1
−1
x
1 + x2
dx
101. Responda:
a) Use a substituic¸a˜o u = pi − x para mostrar que∫ pi
0
xf(sinx)dx =
∫ pi
0
pi
2
f(sinx)dx.
b) Calcule a integral ∫ pi
0
x sinx
1 + cos2 x
dx.
7
Calcule a integral indefinida.
102.
∫
xe3xdx
103.
∫
x sec c tanxdx
104.
∫
x cos 2xdx
105.
∫
x3xdx
106.
∫
lnxdx
107.
∫
cscwdw
108.
∫
(lnx)2dx
109.
∫
x sec2 xdx
110.
∫
x arctanxdx
111.
∫
x2 lnxdx
112.
∫
x2 sin 3xdx
113.
∫
sinx log(cosx)dx
114.
∫
sin(log x)dx
115.
∫
ex cosxdx
116.
∫
x5ex
2
dx
117.
∫
x3√
1− x2 dx
118.
∫
sin 2x
ex
dx
Calcule a integral definida.
119.
∫ 2
0
x23xdx
8
120.
∫ 2
−1
ln(x+ 2)dx
121.
∫ pi2
2
0
cos
√
2xdx
122.
∫ 2
0
xe2xdx
123.
∫ pi
−pi
z2 cos 2zdz
124.
∫ pi
4
0
e3x sin 4xdx
125.
∫ 1
0
x arcsinxdx
126.
∫ 4
2
sec−1
√
tdt
127.
∫ 3pi
4
pi
4
x cotx cscxdx
Calcule.
(a)
∫ √
1− 4x2dx
(b)
∫
1√
4− x2 dx
(c)
∫
1
4 + x2
dx
(d)
∫
x2
√
1− x2dx
(e)
∫ √
9− (x− 1)2dx
(f)
∫
1
x
√
1 + x2
dx
(g)
∫ √
−x2 + 2x+ 3dx
(h)
∫
x2(x+ 1)10dx
(i)
∫
x2
√
x− 1dx
(j)
∫
1
1 +
√
x
dx
(k)
∫
2
(1 +
√
x)3
dx
9
(l)
∫
x2 + 1√
2x− x2 dx
(m)
∫ √
1 +
√
xdx
(n)
∫
1
x2 + 2x+ 5
dx
(o)
∫
x arcsinxdx
(p)
∫
x(arctanx)2dx
(q)
∫
arctan
√
xdx
(r)
∫
arctan ex
ex
dx
128. Sejam m e n constantes na˜o nulas. Verifique que∫
mu+ n
1 + u2
du =
m
2
log(1 + u2) + n arctanu+K.
Use a questa˜o anterior para calcular as questo˜es abaixo.
(a)
∫
x+ 1
4 + x2
dx
(b)
∫
2x− 1
9 + 4x2
dx
(c)
∫
2x+ 1
x24x+ 5
dx
(d)
∫
x− 1
9 + x2
dx
Bom trabalho
10