Capitulo_3_Conducao_Unidimensional

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Fenômenos de Transporte II
Transferência de Calor
Prof. Dr. Marcelo José Pirani (DEM)
Prof. MSc. Marcos Fábio de Jesus (DEQ)
Prof. MSc. Yuri Guerrieri (DEQ)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime 
estacionário, com  constante.
2
2
d T 0
dx

2T
0 L
x
●
●Condições de contorno
1
2
para x 0 T T
para x L T T
  
  
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime 
estacionário, com  constante.
Integrando a 1a vez
1
d dT dTdx 0dx C 0
dx dx dx
        
Integrando a 2a vez
1 1 2
dT dx C dx 0 T C x C 0
dx
      
1 2T C x C  
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime 
estacionário, com  constante.
Aplicando as condições de contorno
1
2
para x 0 T T
para x L T T
  
  
1 1 2 2 1
1 2
2 1 1 1
para x 0 T C .0 C C T
T Tpara x L T C .L T C
L
       
      
Logo  2 1 1T T xT TL
 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime 
estacionário, com  constante.
Aplicando a distribuição de temperatura encontrada na 
Lei de Fourier, resulta:
 2 1
x 1
T T xdT dq A A T
dx dx L
       
ou
 2 1
x
T TdTq A A
dx L
   
 1 2
x
T T
q A
L
 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício:
Seja considerada a parede de um ambiente condicionado
com 0,20m de espessura. Admitindo-se que as
temperaturas nas superfícies externa e interna são
respectivamente 36oC e 20oC determine:
(a) A equação da distribuição de temperatura
(b) O fluxo de calor através da parede
(c) A temperatura no centro da parede.
Considerar k=0,72W/mK
3.1.1. Analogia com Circuito Elétrico
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Circuito 
Elétrico
Circuito 
Térmico
T∞1
T∞2
T1 T2
q
L
h1
h2
el
Vi
R

T
Tq
R

R1 R2 R3
i
Condução
Convecção
Radiação
3.1.1. Analogia com Circuito Elétrico
Tq A
L
 
q hA T 
rq h A T 
cond
LR
A
 
conv
1R
hA

rad
r
1R
h A

el
Ui
R

T
Tq
R
Elétrico Térmico
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.1. Analogia com Circuito Elétrico
Para parede plana com convecção em ambos os lados, 
tem-se:
1 2
T
(T T )q
R
 
T∞1
T∞2
T1 T2
q
L
h1
h2
1 2
1 2
(T T )q 1 L 1
h A A h A
 
 
1 2
conv1 cond conv2
(T T )q
R R R
   
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.2. Paredes Compostas em Série
1 2
31 2
1 1 2 3 2
(T T )q L1 L L 1
h A A A A h A
 
     
T∞1
T∞2
T1
T4
q
L2
h1
h2L3L1
T2 T3
●
●
●
● 21 3
Rconv1 Rconv2Rcond3Rcond2Rcond1
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.3. Paredes Compostas em Série-paralelo
T∞1
T∞2
T1 T2
q
L2
h1
h2
L3L1
●
21 4
Rconv1 Rconv2Rcond4
Rcond2
Rcond1
3
●
Rcond3
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.3. Paredes Compostas em Série-paralelo
 
2conv4cond3,2cond1cond1conv
21
RRRRR
TTq 
 
11
1conv Ah
1R 
22
2conv Ah
1R 
11
1
1cond A
LR 
44
4
4cond A
LR 
33
2
22
23,2cond
A
L
1
A
L
1
R
1


onde
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercícios:
1. (3.5 do Incropera) As paredes de uma geladeira são
tipicamente construídas com uma camada de isolante
entre dois painéis de folhas de metal. Considere uma
parede feita com isolante de fibra de vidro, com
condutividade térmica ki=0,046 W/(mK) e espessura
Li=50mm, e painéis de aço, cada um com condutividade
térmica kp=60W/(mK) e espessura Lp=3mm. Com a
parede separando ar refrigerado a T,i=4oC do ar
ambiente a T,e=25oC determine o ganho de calor por
unidade de área superficial. Os coeficientes associados
à convecção natural nas superfícies interna e externa
podem ser aproximados por hi=he=5W/(m2K).
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercícios:
3. (3.9 do Incropera) A parede composta de um forno
possui três materiais, dois dos quais com condutividade
térmica, kA=20W/(mK) e kc=50W/(mK), e espessura
LA=0,30m e LC=0,15m conhecidas. O terceiro material, B
que se encontra entre os materiais A e C possui
espessura LB=0,15m conhecida, mas sua condutividade
térmica kB é desconhecida. Sob condições de operação
em regime estacionário, medidas revelam uma
temperatura na superfície externa do forno de Ts,e=20oC,
uma temperatura na superfície interna de Ts,i=600oC e
uma temperatura do ar no interior do forno de T=800oC.
O coeficiente convectivo interno h é conhecido, sendo
igual a 25W/(m2K). Qual é o valor de kB?
3.1.4. Resistência Térmica de Contato
T
x
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.4. Resistência Térmica de Contato
 Ocorre principalmente devido a efeitos de rugosidade
 Para sólidos com  maior que o do fluido interfacial
- Rc diminui com o aumento da pressão de contato
- Rc diminui com a redução da rugosidade das superfícies 
- Em paredes compostas representa uma resistência adicional
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração 
de calor, em regime estacionário, com  constante
3.2. Sistemas Radiais
r1
r2
Fluido frio
T2, h2
Ts1
Fluido quente
T1, h1
L
Ts2
d dTr 0
dr dr
    
1 s1
2 s2
para r r T T
para r r T T
  
  
Condição de contorno
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Integrando a 1a vez
1
d dT dTr dr 0dr r C 0
dr dr dr
        
Dividindo por r e integrando a 2a vez
1
1 2
dT Cdr dr 0 T C lnr C 0
dr r
      
1 2T C lnr C  
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem 
geração de calor, em regime estacionário 
(3.1)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Aplicando as condições de contorno em
1 s1 1 1 2
2 s2 1 2 2
para r r T C lnr C
para r r T C lnr C
    
    
1 2T C lnr C  
(3.2)
(3.3)
de (3.2) 2 1 1 s1C C lnr T  
(3.5)
(3.4) em (3.3) s2 1 2 1 1 s1T C lnr C lnr T   
1
s2 1 s1
2
rT C ln T
r
       
s2 s1
1
1 2
T TC
ln r / r

(3.4)
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem 
geração de calor, em regime estacionário 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Substituindo as expressões de C1 e C2 em
 s2 s12 1 s11 2
T TC lnr T
ln r / r
   (3.6)
(3.5) em (3.4)
   s2 s1 s2 s1 1 s11 2 1 2
T T T TT lnr lnr T
ln r / r ln r / r
    
1 2T C lnr C  
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem 
geração de calor, em regime estacionário 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Rearranjando a equação
   s2 s1 s2 s1 1 s11 2 1 2
T T T TT lnr lnr T
ln r / r ln r / r
    
   s1 s2 s1 s2 1 s11 2 1 2
T T T TT lnr lnr T
ln r / r ln r / r
      s1 s2 1 s11 2
T TT lnr lnr T
ln r / r
  
   s1 s2 1 s11 2
T TT ln r / r T
ln r / r
 
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem 
geração de calor, em regime estacionário 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Aplicando a distribuição de temperatura encontrada na 
Lei de Fourier, resulta:
   s1 s2 1 s11 2
T TdT dq A A ln r / r T
dr dr ln r / r
       
ou
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem 
geração de calor, em regime estacionário 
 s1 s21 2
T T2 rLq
r ln r / r
  
 s1 s22 1
T Tq 2 L
ln r / r
  
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Fazendo analogia com circuito elétrico
logo
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem 
geração de calor, em regime estacionário 
 s1 s22 1
T Tq 2 L
ln r / r
  
el
Vi
R

T
Tq
R
Elétrico Térmico
 2 1
T
ln r / r
R
2 L
  
Para o cilindro
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Para uma parede cilíndrica composta
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem 
geração de calor, em regime estacionário 
   1 2 3 22 1
1 1 1 2 3 2
(T T )q
ln r / rln r / r1 1
2 r Lh 2 L 2 L 2 r Lh
 
       
r1 r2
r3T1, h1
T2, h2
21
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercícios:
2. Um tubo de aço com 5cm de diâmetro interno e 7,6 cm
de diâmetro externo, tendo k=15W/(moC), está recoberto
por uma camada isolante de espessura t=1cm e
k=0,2W/(moC). Um gás, aquecido a Ta=330oC,
ha=400W/(m2oC), flui no interior do tubo. A superfície
externa do isolante está exposta ao ar mais frio a
Tb=30oC com hb=60W/(m2oC).
Calcule a perda de calor do tubo para o ar ao longo de
H=10m do tubo.
Calcule as quedas de temperatura resultantes das
resistências térmicas do fluxo de gás quente, do tubo de
aço, da camada isolante e do ar externo.
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercícios:
4- O sistema de aquecimento a ser utilizado em um submarino está sendo
projetado para oferecer uma temperatura confortável mínima de 20oC no interior
do equipamento. O submarino pode ser modelado como um tubo de seção
circular, com 9m de diâmetro interno e 60 metros de comprimento. O coeficiente
combinado (radiação e convecção) de transferência de calor na parte interna vale
aproximadamente 14W/(m2K), enquanto na parte externa o valor varia entre
6W/(m2K) e 850W/(m2K) (correspondente ao submarino parado e em velocidade
máxima). A temperatura da água do mar varia de 1oC a 13oC. As paredes do
submarino são constituídas de (de dentro para fora): uma camada de alumínio de
6,3mm de espessura, uma camada de isolamento em fibra de vidro com 25mm de
espessura e uma camada de aço inoxidável com 19mm de espessura. Para o aço,
=8055kg/m3, cp=480J/(kgK), k=15,1W/(moC). Para a fibra de vidro =200kg/m3,
cp=670J/(kgK), k=0,035W/(moC). Para o alumínio =2702kg/m3, cp=903J/(kgK),
k=237W/(moC).
(a) Mostrar esquematicamente o circuito térmico equivalente, indicando como é
determinada cada resistência;
(b) Determinar a capacidade mínima da unidade de aquecimento para atender a
temperatura de conforto;
(c) Determinar o coeficiente global de transferência de calor, baseado na
superfície interna do submarino, na situação mais crítica de operação.
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
Cilindro
1 ,2
cond conv
T T
q
R R
 
2 1
cond
ln(r / r )R
2 L
  conv 2 2
1R
2 r Lh
 
1 ,2
2 1
2 2
T T
q ln(r / r ) 1
2 L 2 r Lh

  
r1
r2
T1 T2, h2

CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
O ponto de máximo é encontrado derivando-se q em relação 
a r2 e igualando a zero, ou seja:
 
 
1 ,2
2 22 2 2 22 1 2 2
2 L T Tdq 1 k 0
dr r h rln(r / r ) /(h r )
            
2c
2
kr
h
 Ponto de Inflexão, que pode ser Ponto 
de Máximo ou Ponto de Mínimo
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
Para saber se o ponto de inflexão é de MÁXIMO ou de MÍNIMO é 
necessário fazer a segunda derivada da expressão em relação ao 
raio.
Uma alternativa é fazer a análise utilizando derivada da Resistência.
0
0
2
2
2
2
2
2


dr
qd
dr
qd
MÍNIMA Taxa de Calor
MÁXIMA Taxa de Calor
0
0
2
2
2
2
2
2


dr
Rd
dr
Rd
total
total MÍNIMA Resistência 
Térmica
MÁXIMA Resistência 
Térmica
MÁXIMA Taxa 
de Calor
MÍNIMA Taxa 
de Calor
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
Assim,
 
2
322
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
10
2
1
2
ln
hrkrdr
Rd
hrrkdr
dR
rhk
rrR
total
total
i
total






2c
2
kr
h

Logo,
0
2
1
2
2
32
2
2
2

 hkdr
Rd
hkr
total

• MÍNIMA Resistência
Térmica (MÁXIMA Taxa de
Calor
• “Não existe” um isolante
com espessura ÓTIMA que
dê ma mínima perda de
calor
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
Comportamento das resistências de condução e convecção
0
2
4
6
8
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
R
e
s
i
s
t
.
 
T
é
r
m
i
c
a
 
[
m
*
k
/
W
]
r2 – r1 [mm]
Rcond
Rconv
Rtotal
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de 
calor e em regime estacionário
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de 
calor e em regime estacionário
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Método Alternativo
Pela lei de Fourier
r
dTq A
dr
    2r dTq 4 r dr  
Como q é constante e independente de r
r T2 s2
r r
2 2
r T1 s1
q q drdr dT dT
44 r r
       
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de 
calor e em regime estacionário
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Considerando  constante e integrando
r T r2 s2 2 Tr r s2
T2 s1rr T 11 s1
q dr q 1dT T
4 4 rr
        
 r s2 s1
2 1
q 1 1 T T
4 r r
        
 r s1 s2
1 2
q 1 1 T T
4 r r
       
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de 
calor e em regime estacionário
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Logo
 s1 s2
r
1 2
T T
q
1 1 1
4 r r
     
então t,cond
1 2
1 1 1R
4 r r
     
3.3. Condução de calor com geração de energia térmica
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Equação da condução de calor
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
2
2
d T q 0
dx
 

Integrando a 1a vez
1
d dT q dT qdx dx 0 x C 0
dx dx dx
              
Ts1 Ts2
+L
q
-L
x
T(x)

0
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
Integrando a 2a vez
1
dT qdx xdx C dx 0
dx
    
2
1 2
qxT C x C 0
2
    
 2
1 2
qxT C x C
2
   

(3.7)
CAPÍTULO3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
Aplicando as condições de contorno
2
s1 1 2
q( L)T C ( L) C
2
    

Ts1 Ts2
+L
q
-L
x
T(x)

0
 em x = -L, T =Ts1
2
2 1 s1
qLC C L T
2
   

2
s2 1 2
qLT C L C
2
   

 em x = +L, T =Ts2
(3.8)
(3.9)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
(3.8) em (3.9)
2 2
s2 1 1 s1
qL qLT C L C L T
2 2
      
 
s2 1 s1T 2C L T  
s1 s2
1
T TC
2L
 (3.10)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
(3.10) em (3.8)
(3.11)
2
s1 s2
2 s1
T TqLC T
2 2
   

2
2 1 s1
qLC C L T
2
   

2
s1 s2
2
T TqLC
2 2
  

CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
(3.10) e (3.11) em (3.7)
2
1 2
qxT C x C
2
   

(3.12)
2 2
s1 s2 s1 s2T T T Tqx qLT x
2 2L 2 2
      
 
 2 2 s2 s1 s1 s2
2
T T T TqL x xT 1
2 2 L 2L
          

CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
Substituindo (3.12) na lei de Fourier
(3.13)
2
s2 s1 s2 s1
2
T T T TqL 2x qxq A A
2L 2L2 L
                 
 
dTq A
dx
 
 2 2 s2 s1 s1 s2
2
T T T Td qL x xq A 1
dx 2 2 L 2L
              

 s2 s1T Tq Axq A
2L
  
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
Condições de 
Contorno 
Assimétricas
Condições de 
Contorno 
Simétricas
Superfície 
adiabática
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.2. Parede cilíndrica, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
Fazendo um desenvolvimento análogo, resulta:
 Distribuição de temperatura
 Taxa de transferência de calor
2 2 22
2 2 1 2
s2 s2 s12 2 2 12 2
qr r qr r ln(r / r)T(r) T 1 1 (T T )
4 4 ln(r / r )r r
                      
 
2 2
2 2 1
s2 s122 1 2
2 Lk qr rq(r) q Lr 1 (T T )
ln(r / r ) 4 r
              

CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.3. Parede esférica, sistema unidimensional, estacionário, 
com geração de calor uniforme e  constante
Fazendo um desenvolvimento análogo, resulta:
 Distribuição de temperatura
 Taxa de transferência de calor
2 2 22
2 2 1 2
s2 s2 s12 2 1 22 2
qr r qr r 1/ r 1/ rT(r) T 1 1 (T T )
6 6 1/ r 1/ rr r
                       
 
2 2
2 1
s2 s123 2
1 2
qr r4 1 (T T )
6 rq4 rq(r)
3 (1/ r ) (1 / r )
              


CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
 Aplicação principal:
Aumentar a taxa de transferência de calor entre um sólido e
um fluido adjacente através do aumento da área da superfície
onde ocorre a convecção.
 Exemplos de aplicação
- Cabeçotes de motocicletas
- Condensadores e evaporadores
- Radiador de carro
- Dissipador de calor de processador de computador
- ...........
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
Uso de aletas para melhorar a transferência de calor em uma parede plana
(a) Superfície sem aletas (b) Superfície aletada
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
(a) Aleta plana com seção transversal uniforme
(b) Aleta plana com seção transversal não-uniforme
(c) Aleta anular
(d) Aleta piniforme
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
Aplicando a lei da conservação de energia
Atr(x)
**
,
****
WQEEEE CGSEA 
**
,
****
WQEEEE CGSEA 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
mas
0
Atr
dAs
dqconv
qx
qx+dx
dx
x dx x x
dq q (q )dx
dx  
x x x conv
dq q (q )dx dq
dx
  
x conv
d (q )dx dq 0
dx
 
000 0
saient qq 0
convconddxxcondx dqqq  
(Expansão em Série de Taylor)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
x conv
d (q )dx dq 0
dx
 
mas ex tr
dTq A
dx
 
logo
tr s
d dT( A )dx hdA (T T ) 0
dx dx    
conv sdq hdA (T T ) 
s
tr
dAd dT( A ) h (T T ) 0
dx dx dx    
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
para  constante
s
tr
dAd dT( A ) h (T T ) 0
dx dx dx    
s
tr
dAd dT h(A ) (T T ) 0
dx dx dx   
ou ainda (usando regra de derivada do produto)
2
tr s
tr 2
dA dAdT d T hA (T T ) 0
dx dx dxdx
   
2
tr s
2 tr tr
dA dAd T 1 dT h (T T ) 0
A dx dx A dxdx
   
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme
2
tr s
2 tr tr
dA dAd T 1 dT h (T T ) 0
A dx dx A dxdx
   
Considerando a área de seção transversal uniforme, resulta:
2
s
2 tr
dAd T h (T T ) 0
A dxdx
  
mas As = P.x onde P é o perímetro, logo
2
2 tr
d T hP (T T ) 0
Adx
  
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme
2
2 tr
d T hP (T T ) 0
Adx
  
Simplificando a equação pela definição de 
T(x) T  
Substituindo
2
2 tr
d hP 0
Adx
    ou
2
2
2
d m 0
dx
   
onde 2
tr
hPm
A
 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme
A solução da equação tem a forma:
mx mx
1 2(x) C e C e
  
Para se determinar as constantes C1 e C2 é necessário 
especificar as condições de contorno
 Condução de contorno na base da aleta
- Temperatura especificada
 Condição de contorno no topo da aleta
- Perda de calor por convecção
- Perda desprezível de calor
- Temperatura especificada
- Aleta longa T T e L  0
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.1. Temperatura especificada na base da aleta e 
perda de calor por convecção no topo
● Distribuição de Temperatura
b
coshm(L x) (h /m )senhm(L x)
coshmL (h /m )senhmL
      
onde
tr
hPm
A
 
• A queda da temperatura
também é favorecida pela
convecção ao longo da
aleta
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIMEESTACIONÁRIO
3.4.2.1. Temperatura especificada na base da aleta e 
perda de calor por convecção no topo
● Calor Transferido
a tr b
senhmL (h /m )coshmLq hP A
coshmL (h /m )senhmL
     
onde
tr
hPm
A
 
Aplicando a equação de Fourier na base da aleta (ou 
opcionalmente num outro ponto qualquer):
00 

x
tr
x
trfb dx
dkA
dx
dTkAqq 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.2. Temperatura especificada na base da aleta e 
perda de calor desprezível no topo
b
coshm(L x)
coshmL
 
a tr bq hP A tanhmL  
● Distribuição de Temperatura
● Calor Transferido
onde
tr
hPm
A
 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.3. Temperatura especificada na base da aleta e 
temperatura especificada no topo
L b
b
( / )senhmx senhm(L x)
senhmL
    
L b
a tr b
coshmL /q hP A
senhmL
    
● Distribuição de Temperatura
● Calor Transferido
onde
tr
hPm
A
 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.4. Temperatura especificada na base da aleta e 
aleta muito longa
mx
b
e 
a tr bq hP A  
● Distribuição de Temperatura
● Calor Transferido
onde
tr
hPm
A
 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exemplo
Um bastão circular com 5 mm de diâmetro tem sua
extremidade mantida a 100oC. A superfície do bastão está
exposta ao ar ambiente a 25oC com um coeficiente de
transferência de calor por convecção de 100W/(m2K).
Determinar :
1) As distribuições de temperatura ao longo das barras
construídas em cobre puro, liga de alumínio 2024 e aço
inoxidável AISI 316.
2) Quais são as perdas de calor pelas barras?
3) Estimar o comprimento que deve ter o bastão,
considerando aleta com perda de calor desprezível na
ponta.
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício
Um bastão de cobre puro, com 0,01m de diâmetro, tem
uma de suas extremidades mantida a 120oC. A
superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a
25oC com um coeficiente de transferência de calor por
convecção de 110W/(m2K). Determinar :
1) A temperatura em x=0,05m, admitindo comprimento 
infinito da aleta e a respectiva perda de calor no 
bastão.
2) Estimar o comprimento que deve ter o bastão para 
que o calor transferido, considerando aleta com perda 
de calor desprezível na ponta, corresponda a 99% do 
calor transferido pela aleta de comprimento infinito.
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício
Uma barra de aço com diâmetro D=2cm, comprimento
L=25cm e condutividade térmica k=50W/(moC) está exposta
ao ar ambiente a T∞=20oC com um coeficiente de
transferência de calor h=64W/(m2oC). Se uma de suas
extremidades for mantida a uma temperatura de 120oC,
Determine:
a) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra
considerando transferência de calor no topo.
b) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra
considerando transferência de calor desprezível no topo.
c) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra
considerando aleta muito longa
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
a
ˆTaxa de transferencia de calor da aleta
ˆTaxa de transferencia de calor sem a presença da aleta 
 
a a
a
b tr,b b
q q
q hA
   
● Efetividade da aleta
● Calor Transferido
onde é a área da seção transversal da aleta na basetr,bA
Obs.: Quando a  2 justifica-se o uso de aletas.
(3.14)
(3.15)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
tr b tr
a 2 2tr,b b tr,b
hP A hP A
hA h A
    
Considerando o caso de aleta infinita, resulta:
a
tr,b
P
hA
  (3.16)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
Considerando o caso de aleta infinita, resulta:
a
tr,b
P
hA
 
Observações:
 a aumenta com o uso de materiais com  elevado;
 a aumenta com o aumento da relação P/A;
 Aletas devem ser usadas onde h é pequeno;
 Para a  2 
 Não é necessário o uso de aletas muito longas pois para 
L=2,65/m obtém-se 99% da transferência de calor de uma 
aleta infinita (ver exercício proposto).
 tr,bP / hA 4 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
 a pode ser quantificado em termos de resistência térmica
b
a
t,a
q
R
- Na a aleta
- Na base exposta bb
t,b
q
R

Logo t,ba
t,a
R
R
 
b
t,aa
a
bb
t,b
Rq
q
R

   (3.17)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
● Eficiência da aleta
onde Aa é a área superficial da aleta
a
ˆTaxa real de transferencia de calor atraves da aleta
ˆTaxa ideal de transferencia de calor atraves da aleta
para toda a superficie da aleta a temperatura da base 
 
a
a
a b
q
hA
  
(3.18)
(3.19)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
 Para aleta plana, seção uniforme e extremidade adiabática
tr b tr
a 2 2b
hP A hP A tanhmLtanhmL
hPL Lh P
    
a 2 2
trtr
1 tanhmL 1 tanhmL
L LhPh P
AhP A
  

a
tanhmL
mL
 logo (3.20)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
Um artifício utilizado para se trabalhar com a equação da
aleta com convecção desprezível no topo, que é mais
simples, consiste em se trabalhar com um comprimento
adicional da aleta de forma a compensar a convecção
desprezada no topo, ou seja:
c
c
L L t / 2
L L D/ 4
 
 
para aleta retangular
para aleta piniforme
Assim: e ca
c
tanhmL
mL
 
Erros associados a essa aproximação são desprezíveis se
   ht / ou hD/ 2 0,0625  
(3.21)a tr b cq hP A tanhmL  
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
Para uma aleta retangular com a largura w muito maior que 
a altura t o perímetro pode ser aproximado por P=2w e:
multiplicando o numerador e o denominador por Lc1/2 e
introduzindo uma área corrigida do perfil da aleta Ap=Lc.t,
resulta (ver figuras a seguir):
c c c c
tr
hP h2w 2hmL L L L
A wt t
    
1/ 2
3 / 2c
c c c1/ 2 cc
L2h 2hmL L L
t tLL
   
3 / 2
c
p
2h L
A
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
Eficiência de aleta plana de perfis retangular, triangular e
parabólico
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.3. Desempenho de Aletas
Eficiência de aleta anular de perfil retangular
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.4. Eficiência Global de Superfície
Caracteriza um conjunto de aletas e a superfície base 
na qual está fixado.
(a) Aletas retangulares (b) Aletas anulares
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.4. Eficiência Global de Superfície
Onde:
At→ Área total, área das aletas somada a fração 
exposta da base (chamada de superfície primária)
qt→ Taxa total de transferência de calor na área At
Considerando N aletas de área Aa e a área da
superfície primária Ab, a área superficial resulta:
(3.22)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.4. Eficiência Global de Superfície
Taxa totalde transferência de calor por convecção 
das aletas e da superfície primária
a a a bq hA  mas ou eaa
a b
q
hA
  
logo
onde: h → considerado equivalente em toda a superfície
a→ eficiência de uma aleta isolada
(3.23)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.4. Eficiência Global de Superfície
Colocando h e b em evidência
(3.24)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.4. Eficiência Global de Superfície
Substituindo (3.24) em (3.22), resulta:
(3.25)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.4. Eficiência Global de Superfície
Da definição de eficiência global de superfície, considerando 
aleta como parte integrante da parede, tem-se:
Isolando qt, resulta
Na forma de resistência térmica, tem-se:
onde
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.4. Eficiência Global de Superfície
Para aleta integrante a parede
e
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.4. Eficiência Global de Superfície
Para aleta não integrante a parede
onde
é a resistência térmica de contato
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.4. Eficiência Global de Superfície
Para aleta não integrante a parede
e
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício
Para resfriar a superfície de uma parede que se encontra a 100oC são
usadas aletas de alumínio (=2702kg/m3 , cp=903J/kgK e = 237W/mK) de
3cm de comprimento e diâmetro de 0,25cm. A distância entre centros
mede 0,6cm, o que resulta numa quantidade de 27777 aletas por
unidade de área da superfície. Um desenho esquemático da parede
aletada é apresentado na figura 1.
(a) Mostrar esquematicamente em um desenho a distribuição da
temperatura ao longo de uma aleta justificando a escolha do tipo de
aleta.
(b) Independentemente da resposta dada no item anterior, admitir que a
dissipação de calor na extremidade das aletas é desprezível, que a
temperatura média da vizinhança é de 30oC e que o coeficiente de
transferência de calor na superfície é de 35W/m2oC e determinar: a taxa
de calor dissipada através das aletas em uma área de 1m1m; a taxa de
transferência de calor da superfície primária em uma área de 1m1m; a
eficiência global da superfície; a efetividade de se utilizar as aletas.
Exercícios de fixação 1
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE 
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício
Figura1: Desenho esquemático da parede aletada