Fundamentos de Matemática: Função Afim

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FUNÇÃO AFIM Profª Liamara Vargas Bidinha 
1 
 FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU Considere uma máquina que fabrica 2m de corda por minuto. 
2 
A tabela abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo. Marcando estes pontos em um gráfico, obtemos: 
3 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
Pr
od
uç
ão
 (m
) 
Tempo (min) 
 Medindo a produção a cada meio minuto, temos a seguinte tabela: 
4 
Tempo (min) Produção (m) 
0,5 1 
1 2 
1,5 3 
2 4 
2,5 5 
3 6 
3,5 7 
4 8 
4,5 9 
5 10 
 O gráfico correspondente a estas medições será: 
5 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
Pr
od
uç
ão
 (m
) 
Tempo (min) 
Se diminuirmos mais e mais o intervalo entre as medições, ou seja, a cada 10 segundos, 5 segundos, etc., obteremos mais e mais pontos, e todos numa mesma reta. Podemos dizer que o gráfico abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo. 
6 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
Pr
od
uç
ão
 (m
) 
Tempo (min) 
FUNÇÃO AFIM Lei de Formação: 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 
𝑎 ≠ 0 Representação Gráfica: RETA 7 
FUNÇÃO CRESCENTE: À medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam. 
8 
FUNÇÃO DECRESCENTE: À medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem. 
9 
Exemplos: (a) y = 3x + 1 (b) y = x – 5 (c) y = 4x (d) y=𝑥
3
+ 1
2
 (e) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Podemos descrever o valor da corrida (y) em função da quantidade de quilômetros rodados (x): y=3,50+0,70x. 10 
 
A função do 1o grau y = ax + b na qual b = 0 recebe o 
nome particular de função LINEAR. 
 
Exemplos. 
(a) y = 4x 
(b) 𝑦 = 𝑥
5
 
11 
 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM 
O gráfico de uma função de primeiro grau é uma reta. 
Para construirmos o gráfico de uma reta precisamos 
representar dois pontos distintos da função no plano 
cartesiano e traçar a reta que passa por eles. 
Basta que escolhamos dois valores para x e determine 
os valores de y correspondentes. 
12 
Raiz de uma função afim 
Para determinarmos o ponto de interseção do gráfico 
da função com o eixo Ox, precisamos determinar a 
abscissa desse ponto. Basta substituirmos 𝒚 = 𝟎 na 
expressão da reta. 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 0 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑎𝑥 = −𝑏 
𝑥 = −𝑏
𝑎
 13 
Assim, o ponto de interseção da reta associada à 
função afim com o eixo 0𝑥 é (-b/a , 0). 
Este ponto é chamado de raiz ou zero da função 
afim. 
Exemplo 
Determine a raiz da função f (x) = 3x + 5. 3𝑥 + 5 = 0 3𝑥 = −5 
𝑥 = −53 
14 
INTERSECÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM COM O EIXO Oy 
A ordenada do ponto de interseção do gráfico da 
função afim com o eixo Oy é obtida substituindo x=0 
na expressão da reta: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 𝑎(0) + 𝑏 
𝑦 = 𝑏 
Assim, o ponto de interseção da reta associada à função 
afim com o eixo Oy é (0,b). 
 15 
 Exemplo: 
Determine a ordenada do ponto de intersecção 
da reta 𝑦 = −5𝑥 + 15 com o eixo 0𝑦. 
𝑦 = −5 0 + 15 ⇒ 𝑦 = 15. 
A reta corta o eixo 0𝑦 no ponto (0,15). 
 16 
COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DE UMA FUNÇÃO AFIM: 
Observe o gráfico da função afim 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
 
 
17 
Geometricamente, o parâmetro 𝑎 é chamado de 
coeficiente angular 
𝑎 = ∆𝑦
∆𝑥
= 𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
O parâmetro 𝑏 é chamado de coeficiente 
linear. (interseção com o eixo Oy) 
 
 
18 
 
Exemplo. 
Determine o coeficiente angular da reta que 
passa pelos pontos (-1,3) e (-2,4). 
Calculando o coeficiente angular: 
𝑎 = (4 − 3)
−2 − (−1) = 1−1 = −1 
 
 
19 
Exercícios 
1. A função real de variável real, definida por 𝑓 𝑥 =3 − 2𝑎 𝑥 + 2 é crescente quando: 
a) a > 0 
b) a < 3/2 
c) a = 3/2 
d) a >3/2 
e) a < 3 
 
 20 
 
2. A função f é definida por f(x) = ax + b. 
Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f(3) é: 
a) 0 
b) 2 
c) - 5 
d) - 3 
e) - 1 
 
21 
 
3. Na produção de peças, uma indústria tem um custo 
fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por 
unidade produzida. Sendo x o número de unidades 
produzidas: 
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de 
x peças. 
b) calcule o custo para 100 peças 
22 
4. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b 
tem o gráfico esboçado. O coeficiente linear e o zero 
da função são, respectivamente: 
 
a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 
d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5 23 
5. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no 
ponto de ordenada 3. Determine o valor de m. 
 
6. Medições realizadas mostram que a temperatura no 
interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 
100m de profundidade. Num certo local, a 100m de 
profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, 
podemos afirmar que a temperatura a 1500m de 
profundidade e: 
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC 
d) 60ºC e) 67ºC 24 
 
7. Uma empresa de telefonia celular possui somente 
dois planos para seus clientes optarem entre um deles. 
No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 
e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No 
plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e 
mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É 
correto afirmar que, para o cliente: 
 
25 
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que 
o plano A. 
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais 
vantajoso que o plano A. 
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual 
ao custo pelo plano B. 
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, 
independente de quantos minutos sejam cobrados. 
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, 
independente de quantos minutos sejam cobrados. 
26 
8. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período. Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período. Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período preestabelecido. Vamos determinar: a) A função correspondente a cada plano. b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equivalem. 
27 
 9. Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine: a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças; b) Calcule o custo de produção de 400 peças. 
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 10. Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida. a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de unidades vendidas. b) Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 700,00?. 
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 11. Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é consumido, por dia, 0,5 kg de gás: a) Expresse a massa (m) de gás no botijão, em função do número (t) de dias de consumo. b) Esboce o gráfico desta função. c) Depois de quantos dias o botijão estará vazio?. 
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 12. Construir o gráfico das funções: a) 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 b) 𝑓: ℝ → ℝ, definida por𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 c) 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1 
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Sugestões: 
 
KHAN : FUNÇÃO AFIM 
http://www.youtube.com/watch?v=YDuTlN5LPFk 
 
KHAN : CONSTRUÇÃO DE GRAFICO 
http://www.youtube.com/watch?v=beaUIB3PeY4 
 
Sugestão de software online: Gráficos 
http://www.somatematica.com.br/softOnline/ComportamentoFuncoes
/funcoes.html 
 
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