Aula1 Vetores no plano (1)

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AULA 1
Vetores no plano
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O que é um vetor?
Quais as principais características de um vetor?
Onde se aplica vetores?
Qual sua representação geométrica?
Podemos fazer operações com vetores?
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Um vetor é, uma entidade criada para descrever “coisas” no mundo que têm direção e sentido.
Um vetor é a representação matemática feita através de uma seta, com o objetivo de indicar a medida que ele representa e é composto por módulo, direção e sentido.
Que coisas são essas? 
o vento;
o fluxo de água de um rio;
a emissão puntiforme de luz;
um campo elétrico;
a velocidade de um trem bala;
o movimento dos planetas,
etc.
Vetores
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Vetores
Elemento geométrico – segmento de reta 
intensidade (“valor”) 
Direção 
Sentido (“para lá ou para cá”)
Em um dado espaço, significa ser o necessário para “carregar” o ponto A até B.
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Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se (A, B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A, B) como representante será indicado por AB. 
Segmentos orientados são equipolentes se têm mesma direção, comprimento e sentido.
Uma classe de equipolência é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A,B).
Vetores
A
B
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Vetores 
Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificadas, precisam da intensidade, da direção e do sentido. 
Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.   
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Representação Geométrica dos vetores
Os vetores são representados por segmentos de retas orientados no plano ou no espaço. 
A direção e o sentido do segmento orientado identifica a direção e o sentido do vetor. 
O comprimento do segmento orientado representa a magnitude do vetor. 
Vetores
A
B
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10
A
B
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Vetores
Vetor Nulo = Vetor sem intensidade
Vetor Oposto = vetor de igual intensidade e direção, mas sentido diferente
Colineares/Coplanares = vetores na mesma reta/plano
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Vetores
 
 Direção e sentido
 Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes:
Só se pode comparar os sentidos 
de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. 
Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 
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 Figura 2.1: Segmentos orientados representando o mesmo vetor 
Na Figura 2.1 temos 4 segmentos orientados, 
com origem em pontos diferentes, 
que representam o mesmo vetor.
São considerados como vetores iguais, pois possuem a 
mesma direção
mesmo sentido 
mesmo comprimento 
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Sistema de Coordenadas
 Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas
	Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.
		
.
P(x,y)
Vetores
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Representação gráfica
A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para algum lugar. 
 Grandezas vetoriais:
 Aceleração, Velocidade, Deslocamento, Força, etc.
Grandezas escalares: 
Massa, Tempo, Temperatura, Densidade, etc. 
Vetores
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Representação simbólica
A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. 
Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. Dada as coordenadas de A = (x1, y1) e de B = (x2, y2), então
O comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 – x1 , y2 – y1)
Vetores
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Exemplo 1 : Sejam A = (1,2) e B = (3,4) 
Obs. Podemos associar o vetor u ao segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4). 
Vetores
u = B – A = (3-1, 4-2) = (2,2)
 – u =A – B = (1- 3, 2- 4) = (-2,-2) 
u
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Exercícios
1) Represente geometricamente os vetores 
 u = (1, 3), v = (-2, 2) e w = (0, - 1)
2) Dados os pontos A = (2,-3) e B = (5,1), determine as coordenadas do vetor v = AB. Marque os pontos A e B no sistema cartesiano e represente o vetor v.
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Vetores
Tipo de vetores
A) O VETOR OPOSTO
Dado o vetor u , existe o vetor - u , que possui o
mesmo módulo e mesma direção do vetor u , porém , 
de sentido oposto. 
B) O VETOR UNITÁRIO
É o vetor cujo módulo ou comprimento é igual à unidade, ou seja || u || = 1. 
C) O VETOR NULO
Vetor de módulo igual a zero.
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Adição
Considere 2 vetores: e .
A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”.
Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.
Operações com vetores
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Lei do paralelogramo
A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.
Vetores
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Variações
Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo. 
Vetores
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Somando mais que dois vetores
Vetores
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Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente:
Definição: Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor .
 Exemplo 2:
Sejam e então, 
1.ª coordenada
2.ª coordenada
Vetores
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Interpretação geométrica
Vetores
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Diferença de vetores
 Representamos o vetor + (-1) por .
 Esse vetor é a diferença de e .
Vetores
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Produto de um vetor por um escalar
Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua comprimento aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta.
Vetores
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Exemplo 2.
Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então:
e 
Vetores
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Vetores
Exercício
 Sendo u = (1, 3) e v = (-2, 2 ), determine e represente geometricamente os vetores 
a) w1 = 2u + 2v;
b) w2 = u - 2v;
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Vetores
Interpretação geométrica item (a)
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Norma ou comprimento: Sendo então a norma ou comprimento de é dado por 
Exemplo 3. Dado = (1,3) , então 
y1
Vetores
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Vetores
Produto interno ou escalar
Definição: Dados dois vetores e no plano, define-se o produto interno desses vetores por:
 . = || |.|| ||.cos 
 
  o ângulo formado entre os vetores e
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Vetores
Observações importantes:
Da definição tem-se que 
a) Se dois vetores são paralelos, ( = 0º  cos 0º = 1) então o produto interno deles, coincidirá com o produto dos seus módulos, isto é
b) O produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu comprimento, pois neste caso,  = 0º e 
 cos 0º = 1
 
c) Se dois vetores são perpendiculares, ( = 90º  cos 90º = 0) então o produto interno deles será nulo, isto é u.v = 0
d) O resultado do produto interno de dois vetores será sempre um número real.
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Produto escalar em termos das coordenadas do vetor
O produto escalar dos vetores de dimensão n: 
 = (a1,a2,...an) e = (b1,b2,...,bn), é definido por: 
u.v = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn = 
 Exemplo 3
Calcule o produto escalar entre 
u = (1,-2) e v = (2,3)
b) w1 = (1, 2) e w2 = (-2,1)
 
Vetores
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Vetores
Os vetores i e j
Sabendo que um vetor v pode ser escrito como combinação linear dos vetores i e j, temos que, 
 v = ai + bj. Observe que i = (1,0) e j = (0,1)
Geometricamente, os vetores i e j são unitários, 
 e perpendiculares entre si, ou seja
 i.j = j.i = 0
Ex. v = (3,-2) = 3i – 2j
x
y
i
j
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Interpretação Geométrica
 do produto escalar
Produto escalar entre vetores. Observe que ||A||•cos(θ) é a projeção de A em B
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O produto escalar de dois vetores A e B, que se representa por A.B  é o resultado do produto do comprimentode B pela projeção escalar de A em B
A.B = ||A||.||B||.cos(θ) 
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Exercício
Dados os pontos P = (-3,2), Q = (1,3) e 
R = (2,-2):
a) Determine as coordenadas dos vetores
 , e
b) O produto interno entre 
c) Determine e escreva em termos dos vetores i e j.
d) Representar geometricamente o vetor 
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O produto interno ou escalar entre dois vetores resulta num número
e é definido por: 
onde  é o ângulo formado por e . Logo, o ângulo  pode ser calculado por: 
Ângulo entre dois vetores
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Obs.
Exemplo 4: Os vetores = (2,-4) e = (4,2) 
são ortogonais, já que:
Vetores
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Propriedades:
1) 
Mas, , logo 
=>
.
Temos então que: 
Vetores
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2) Desigualdade triangular
A norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das normas de cada um dos vetores:
3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Obs: Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em homenagem aos matemáticos Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz.
Vetores
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Distância entre dois pontos
Pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2):
x1
Vetores
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Aplicação
 
Demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o
conceito de produto interno de vetores.
Considere o triângulo retângulo da figura abaixo:
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Vetores
Demonstração:
É óbvio que: w = u + v
Elevando ao quadrado a igualdade, isto é 
w2 = (u + v)2, obtemos
w2 = u2 + 2.u.v + v2
Como u e v são perpendiculares, então u.v = 0 
Assim, substituindo, vem: w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2 = u2 + v2
 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos).
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Vetor unitário
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor:
é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que . 
Vetores
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Exemplo 5
Seja v = (-3,4), encontre um vetor unitário na direção do vetor v. 
Temos que
É um vetor unitário, pois:
Vetores
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Exercícios
1) Dado os vetores 
 u = 2i – 3j e v = - i + 5j
Determine
a) W = 3u – 2v;
b) ||-w||;
c) ||w||2 ;
d) (3u).(2v)
2) Encontre o ângulo entre os vetores
 u = (2,4) e v = (-1,2)
3) Dados os pontos A = (-2,3) e B = (1,- 2), determine um vetor unitário na direção do vetor v = AB.
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Solução do exercício 2
 
 u.v = 2.(-1) + 4.2 = 6
Portanto,
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º. 
Vetores
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 Johann Carl Friedrich Gauss
 
 Considerado o príncipe da matemática ou o mais notável
 dos matemáticos.  foi um matemático, astrônomo e 
 físico alemão que contribuiu muito 
em diversas áreas da ciência, dentre
 elas a teoria dos números, 
Álgebra Linear, Análise Matemática, 
Geometria Diferencial, etc.
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