NA_04 - Lajes 2011- parte 2

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ECA – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
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8. CONSIDERAÇÕES COMPLEMENTARES SOBRE LAJES DE EDIFÍCIOS 
 
 
8.1. Cargas Parcialmente Distribuídas em Lajes Armadas e uma Direção 
 
a) Distribuição de Cargas 
 
Supõe-se que as cargas concentradas ou parcialmente distribuídas se espraiem a 45o 
até o plano médio da laje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Largura Útil - bw 
 
O cálculo dos esforços decorrentes é calculado como se fosse uma viga de largura bw, 
adotando-se os valores: 
 
• Quando b ≥ lx bw = b (item a) 
• Quando b < lx bw = b + Δb, sendo Δb fornecido abaixo: 
 
B1) Para momentos fletores positivos ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
lx
b1
lx
)a(lx2a
∆b 11 
B2) Para momentos fletores negativos ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
lx
b1
lx
)a(2lxa
∆b 11 
B3) Para forças cortantes ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
lx
b1a∆b 1 
B4) Para momentos fletores de lajes em balanço ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
lx
b11,5a∆b 1 
B5) Para forças cortantes em balanço ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
lx
b10,5a∆b 1 
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Sendo a1 a distância do centro da carga ao apoio cujo lado está a seção que se estudo 
e a2 a distância do centro da carga à borda mais próxima. 
 
 
 
 
Caso a carga se estenda por toda a extensão (lx) da laje, as expressões acima ficam 
resumidas a: 
 
b1) 
Para momentos fletores positivos ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
2
b-l
∆b 
B2) Para momentos fletores negativos ( )b-l
4
3
∆b = 
B3) Para forças cortantes ( )b-l
2
1
∆b = 
B4) Para momentos fletores de lajes em balanço ( )b-l4
3
∆b = 
B5) Para forças cortantes em balanço ( )b-l
4
1
∆b = 
 
 
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EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8.2. Lados com 2 Tipos de Apoio 
(Consideração de apoio / engastamento quando houver apoios diferentes no mesmo lado) 
 
8.2.1. Para a Determinação da Espessura da Laje 
 
a) Quando o comprimento do trecho engastado for igual ou superior a 2/3 do 
comprimento total, o cálculo de d é feito como se o lado fosse engastado. 
 
b) Quando o comprimento do trecho engastado for inferior a 2/3 do comprimento total, o 
cálculo de d é feito como se o lado fosse apoiado. 
 
 
 
8.2.2. Para o Cálculo dos Momentos Fletores Positivos 
 
a) Quando o comprimento do trecho engastado for inferior a 2/3 do comprimento total, o 
cálculo dos Momentos Positivos é feito como se o lado fosse apoiado. 
 
 
 
b) Quando o comprimento do trecho engastado for igual ou superior a 2/3 do 
comprimento total, o cálculo dos Momentos Positivos é feito como se o lado fosse 
engastado, a não ser quando o comprimento do trecho apoiado for significativo – por 
exemplo, 2 metros. 
Em casos como esse, pode ser feita a simplificação ilustrada abaixo: 
 
 
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8.2.3. Para o Cálculo dos Momentos Fletores Negativos 
 
a) Quando o comprimento do trecho engastado for igual ou superior a 1/3 do 
comprimento total, o cálculo dos Momentos Negativos é feito como se o lado fosse 
engastado. O Momento Negativo final no trecho contínuo será obtido após a 
compatibilização deste momento com o obtido para a laje adjacente. 
Exemplo: 
 
 
b) Quando o comprimento do trecho engastado for inferior a 1/3 do comprimento total, 
consideraremos esse lado como simplesmente apoiado. O Momento Negativo final no 
trecho contínuo será então 80% do momento de borda da laje adjacente. 
 
 
8.3. Cisalhamento em Lajes 
 
Dispensa-se a colocação de armadura transversal para resistir aos esforços de 
cisalhamento em uma laje quando tivermos Vsd ≤ VRd1. 
 
A resitência de projeto ao cisalhamento é dada pela expressão abaixo: 
 
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Na grande maioria dos casos essa armadura não é necessária, pois o valor de Vsd é 
inferior a VRd1. 
 
Quando, porém, Vsd for superior a VRd1, deve-se dispor uma armadura transversal para 
combater o cisalhamento, podendo esta ser composta por estribos ou barras dobradas. 
O cálculo dessa armadura é idêntico ao de uma armadura transversal de vigas. 
 
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8.4. Aberturas em Lajes 
 
8.4.1. Lajes Armadas em 1 Direção 
 
 
 
 
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8.4.2. Lajes Armadas em Cruz 
 
 
 
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8.5. Critério para Cálculo e Detalhamento de Lajes em L 
(sem o auxílio de métodos computacionais) 
 
8.5.1. Cálculo das armaduras de flexão 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
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8.5.2. Determinação da espessura da laje 
 
 
8.5.3. Utilização da tabelas de lajes com bordo livre 
 
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8.6. Armaduras nos Cantos das Lajes com Apoios Simples 
 
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Esquema Típico de Armação dos Cantos 
 
 
8.7. Cargas Concentradas em Lajes em Balanço 
 
 
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8.8. Cantos de Marquises 
 
 
 
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9. EXERCÍCIO 
 
Dada a planta de formas de um pavimento tipo, detalhar as armaduras das lajes. 
Dados: 
Concreto fck = 20MPa 
Aço CA-50A 
Cobrimento das armaduras- para lajes = 1 cm*; para vigas = 1,5 cm 
Carga acidental = 2 kN/m2 
Revestimento de piso = 1 kN/m2 
 
Paredes de 18 cm de espessura e 2,60 m de altura sobre todas as vigas, com peso específico = 13kN/m3. 
Gradil de 1 m de altura e peso de 120 kgf/m na extremidade dobalanço 
 
 
 
 
* O VALOR DO COBRIMENTO NÃO ESTÁ RESPEITANDO O MÍNIMO RECOMENDADO 
PELA NBR-6118/2003, mas vale toda a seqüência de cálculo e dimensionamento. 
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L1 -
h = 8 =
lx
ly =
ly = = > 2 → laje armada em 1 direçã
lx
g laje = x = kN/m²
g revest = kN/m²
q = kN/m²
p = + + = kN/m²
Mx = p x lx² = x = kNm/m
Mbx = p x lx² = x = kNm/m
L2 -
h = 9 =
ly
tabela 6
lx =
ly = = → laje armada em cruz
lx
g laje = x = kN/m²
g revest = kN/m²
q = kN/m²
p = + + = kN/m²
Mx = p x lx² = x = kNm/m
My = p x lx² = x = kNm/m
Mbx = p x lx² = x = kNm/m
Mby = p x lx² = x = kNm/m
6,64
2,84
2,34
2,00 1,00
14,2 14,2
28
4
2,00 5,00
664
0,08 25 2,00
1,00
2,00
8,075,00 2,84
5,00 8,07 5,04
8 8
42
4
340
4,24 1,25
3,40
0,09 25 2,25
1,00
2,00
2,25 1,00 2,00 5,25
5,25 11,6 2,44
αx 24,9
5,25 11,6 1,76
αy 34,4
5,25 11,6 5,47
βx 11,1
5,25 11,6 4,70
βy 12,9
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L3 -
h = 9 =
ly
tabela 6
lx =
ly = = → laje armada em cruz
lx
g laje = x = kN/m²
g revest = kN/m²
q = kN/m²
p = + + = kN/m²
Mx = p x lx² = x = kNm/m
My = p x lx² = x = kNm/m
Mbx = p x lx² = x = kNm/m
Mby = p x lx² = x = kNm/m
L4 -
h = 8 =
lx
laje em balanço → laje armada em 1 direção
g laje = x = kN/m²
g revest = kN/m²
q = kN/m²
p = + + = kN/m²
4,31
βy 12,8
βx 10,7
5,25 10,5
1,57
αy 35
5,25 10,5 5,15
αx 23,8
5,25 10,5
5,25
5,25 10,5 2,32
2,00
2,25 1,00 2,00
0,09 25 2,25
1,00
324
4,24 1,31
3,24
42
4
2,00
16
7
2,00
2,00 1,00
0,08 25
1,00
2,00 5,00
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NUNCA SE FAZ EQUILÍBRIO QUANDO SE TRATA DE LAJE EM BALANÇO: O MOMENTO A SER 
CONSIDERADO É O DO BALANÇO 
 
 
carga vertical (V) na extremidade do balanço:
carga acidental vertical = kN/m
g gradil = kgf/m = kN/m
V = + = kN/m
carga horizontal (H) na extremidade do balanço:
carga acidental horizontal = kN/m
H = kN/m
Mbx = p x lx² + V x lx + H x h =
Mbx = x + x + x =
Mbx = kNm/m
Compatibilização dos momentos negativos:
+ = kNm/m
M1-2 = maior
x = kNm/m
+ = kNm/m
M1-3 = maior
x = kNm/m
+ = kNm/m
M2-3 = maior
x = kNm/m
M3-4 = não há equilíbrio = Mbalanço = kNm/m
5,04 4,31 4,67
0,80
0,8 5,04 4,03
2
4,87
1,00
2
13,12
4,705,04
3,20 1,67 0,80
0,80
2
5,00 2,79
2,00
120,00 1,20
2,00 1,20 3,20
2
0,8 5,04 4,03
5,47 5,15 5,31
2
0,8 5,47 4,37
13,12
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Cá l cu lo das Armaduras de F lexão 
 
Concreto: fck = 20MPa = 200 kgf/cm2 = 0,20 tf/cm2 = 2,0 kN/cm2 
 fc= 0,85 fcd = 0,85 x 2,0 / 1,4 = 1,21 kN/cm2 
 
 
 
Esquema - Momentos finais nas lajes (kNm/m)
Momentos Positivos
Laje L1
h = cm
adotando d = h - 2 cm = 6 cm
Mx = kNm/m = kNcm/m
k6 = b x d² x fc = x x =
na tabela = → k3 =
Asnec = x Mk = x = cm²/m
d
Asmin = x h = x 8 = cm²/m
Adotamos φ C/
1,60
10
0,338
0,15 0,15 1,20
284
6
15,32 0,338
k3
10
36 1,21
284
15,39
8
2,84 284
Mk
100
5,0 12
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Laje L 2
h = cm
adotando d = h - 2 cm = 7 cm
Mx = kNm/m = kNcm/m
k6 = b x d² x fc = x x =
na tabela = → k3 =
Asnec = x Mk = x = cm²/m
d
Asmin = x h = x 9 = cm²/m
Adotamos φ C/
My = kNm/m = kNcm/m
k6 = b x d² x fc = x x =
na tabela = → k3 =
Asnec = x Mk = x = cm²/m
d
Asmin = x h = x 9 = cm²/m
Adotamos φ C/
Laje L 3
h = cm
adotando d = h - 2 cm = 7 cm
Mx = kNm/m = kNcm/m
k6 = b x d² x fc = x x =
na tabela = → k3 =
Asnec = x Mk = x = cm²/m
d
Asmin = x h = x 9 = cm²/m
Adotamos φ C/
My = kNm/m = kNcm/m
k6 = b x d² x fc = x x =
na tabela = → k3 =
Asnec = x Mk = x = cm²/m
d
Asmin = x h = x 9 = cm²/m
Adotamos φ C/
9
2,44 244
100 49 1,21 24,41
Mk 244
22,60 0,333
k3 0,333 244 1,16
10 10 7
0,10 0,10 0,90
1,76 176
100 49 1,21 33,73
0,83
Mk 176
29,88 0,330
0,10 0,90
k3 0,330 176
5,0 17
10 10 7
0,10
5,0 20
22,60 0,333
0,333
232
49 1,21 25,69
Mk
9
2,32 232
100
1,10
10 10
0,10 0,10 0,90
7
k3 232
5,0 18
1,57 157
100 49 1,21 37,79
Mk 157
29,88 0,330
k3 0,330 157 0,74
10 10 7
0,10 0,10 0,90
5,0 20
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Momentos Negativos
Lajes 1 e 2
h = cm
adotando d = h - 2 cm = 6 cm
Mx = kNm/m = kNcm/m
k6 = b x d² x fc = x x =
na tabela = → k3 =
Asnec = x Mk = x = cm²/m
d
Asmin = x h = x 8 = cm²/m
Adotamos φ C/
Lajes 1 e 3
h = cm
adotando d = h - 2 cm = 6 cm
Mx = kNm/m = kNcm/m
k6 = b x d² x fc = x x =
na tabela = → k3 =
Asnec = x Mk = x = cm²/m
d
Asmin = x h = x 8 = cm²/m
Adotamos φ C/
Lajes 2 e 3
h = cm
adotando d = h - 2 cm = 7 cm
Mx = kNm/m = kNcm/m
k6 = b x d² x fc = x x =
na tabela = → k3 =
Asnec = x Mk = x = cm²/m
d
Asmin = x h = x 9 = cm²/m
Adotamos φ C/
0,10 0,10 0,80
10 10 6
k3 0,353 487 2,87
Mk 487
8,72 0,353
100 36 1,21 8,97
8
4,87 487
8,0 17
8
4,67 467
100 36 1,21 9,35
Mk 467
8,72 0,353
k3 0,353 467 2,75
10 10 6
0,10 0,10 0,80
8,0 17
9
5,31 531
100 49 1,21 11,21
Mk 531
10,48 0,347
k3 0,347 531 2,63
10 10 7
0,10 0,10 0,90
8,0 19
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Lajes 24 e 3 (balanço)
h = cm
adotando d = h - 2 cm = 6 cm
Mx = kNm/m = kNcm/m
k6 = b x d² x fc = x x =
k6 =muito baixo; vamos aumentar 1 cm a altura da L4;
(k6 limite para aço CA-50A: pela tabela, para εyd = 2,07 por mil, k6=3,75)
alterando para 9 cm, teremos:
h = cm
adotando d = h - 2 cm = 7 cm
k6 = b x d² x fc = x x =
na tabela = → k3 =
Asnec = x Mk = x = cm²/m
d
Asmin = x h = x 9 = cm²/m
Adotamos φ C/
(embora não esteja dentro do espaçamento recomendável, vamos adotá-lo)
Observação: Caso refizéssemos o cálculo do momento fletor, vejam no que daria:
g laje = x = kN/m²
g revest = kN/m²
q = kN/m²
p = + + = kN/m²
carga vertical (V) na extremidade do balanço:
carga acidental vertical = kN/m
g gradil = kgf/m = kN/m
V = + = kN/m
carga horizontal (H) na extremidade do balanço:
carga acidental horizontal = kN/m
H = kN/m
Mbx = p x lx² + V x lx + H x h =
Mbx = x + x + x =
Mbx = kNm/m
Armadura de distribuição: Laje L1 
1/5 Asprinc = 1/5 x 1,60 = + cm²/cm
Asdistr = 
cm²/cm
Adotamos φ C/
8
13,12 1312
100 36 1,21 3,33
2,00
120,00 1,20
2,00 1,20
Mk 1312
4,51 0,399
k3 0,399 1312 7,48
2,00
10 10 7
0,15 0,15 1,35
5,25
1,00
2,00
2,25 1,00
8,0 6
0,09 25 2,25
2
13,46
5,25 2,79
9
100
0,80 1,003,20 1,67
3,20
0,80
0,80
2
49 1,21 4,54
Mk 1312
0,32
0,9
5,0 30
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DESENHOS DE ARMAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
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 44L1 / L2: a = ¼ 340 = 85 cm 
L1 / L3: a = ¼ 324 = 81 cm = adotaremos por igualdade 85 cm 
L2 / L3: a = ¼ 340 = 85 cm 
L4 / L3: a = ¼ 324 = 81 cm apenas para o lado da L3; do lado da L4 deve ser estendido até a 
extremidade do balanço. 
As distrib L3: 1/5 7,48 = 1,5 cm2/m : adotado φ 6,3 c/21 
 
Armadura de borda: Adotada φ 5 c/25; 
comprimentos: considerados a = 1/5 284 ≈ 60 cm para a L1, e a= 1/5 340≈ 70 cm para as demais. 
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 45 
 
 
 
 
TABELAS DE FERROS E RESUMOS DAS ARMAÇÕES 
 
 
 
 
 
DIAMETRO PESO LINEAR COMPRIMENTO PESO
UNIT. TOTAL (mm) (kg/m) (m) (kg)
1 9 5 6,87 61,83 5 0,16 540,28 86,4
2 55 5 3,01 165,55 6,3 0,25
3 25 5 3,58 89,5 8 0,40
4 17 5 4,42 75,14 10 0,63
5 23 5 3,42 78,66 12,5 1,00
6 16 5 4,35 69,6 86,4TOTAL (SEM PERDAS)
TABELA DE FERROS
ARMADURA POSITIVA
RESUMO
COMPRIMENTO (m)POSIÇÃO QUANT DIAM
DIAMETRO PESO LINEAR COMPRIMENTO PESO
UNIT. TOTAL (mm) (kg/m) (m) (kg)
1 37 8 1,83 67,71 5 0,16 87,81 14,0
2 22 8 1,84 40,48 6,3 0,25 26,88 6,7
3 55 8 2,91 160,05 8 0,40 268,24 107,3
4 8 6,3 3,36 26,88 10 0,63
5 48 5 0,96 46,08 12,5 1,00
6 39 5 1,07 41,73 128,1TOTAL (SEM PERDAS)
ARMADURA NEGATIVA
TABELA DE FERROS RESUMO
POSIÇÃO QUANT DIAM COMPRIMENTO (m)