1aProva_0730_GAAL (1)

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PRIMEIRA PROVA DE GAAL - 2/2001
7:30h - 29/01/02
SOLUC¸A˜O DA PROVA A PARTIR DE QUARTA EM
www.mat.ufmg.br/˜rodney/gaal.html
1. Mostre que a matriz A e´ invert´ıvel independentemente do valor de a:
A =
1 0 02 3 a+ 2
2 3 a− 1

2. Seja A =
 2 0 1−3 −1 −1
0 0 −1
. Para quais valores de λ ∈ R o sistema (A − λI)X = 0
tem soluc¸a˜o na˜o trivial? Para cada um destes valores, determine o conjunto soluc¸a˜o
do sistema correpondente.
3. Dada a matriz A abaixo,
(a) Determine todos os valores de a ∈ R para que det(A) = 0.
(b) Escolha um destes valores, substitua em A e deˆ exemplos de matrizes 4x1 (colunas)
B1 e B2 de modo que AX = B1 tenha soluc¸a˜o e AX = B2 na˜o tenha.
A =

−3 0 a2 − 1 0
0 2 0 0
5 3 −1 2
a+ 2 −1 0 0

4. Demonstre as seguintes propriedades:
(a) Se P e PAP−1 sa˜o matrizes invert´ıveis, enta˜o A tambe´m e´.
(b) Se duas matrizes comutam, enta˜o suas inversas tambe´m comutam.