P2 cálculo 3 UFRRJ aline

Prévia do material em texto

UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC243 - Ca´lculo III Turma: T01
Prof.a: Aline Data: 16/02/2017
2a Prova de Ca´lculo III
1a Questa˜o: Determine o trabalho realizado pelo campo de forc¸a
−→
F (x, y) = (x sen y, y)
para movimentar um objeto sobre a para´bola y = x2 do ponto (−1, 1) ate´ o ponto (2, 4),
nesse sentido. (2,0 pt)
2a Questa˜o: Considere C a fronteira da regia˜o plana delimitada pelas para´bolas y = x2
e x = y2. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha do campo vetorial
−→
F (x, y) =
(
y + e
√
x, 2x + cos(y2)
)
ao longo dessa curva C, percorrida uma u´nica vez no sentido anti-hora´rio. (2,0 pt)
3a Questa˜o: Considere o campo vetorial
−→
F (x, y, z) =
(
ey+2z, x ey+2z, 2x ey+2z
)
.
(a) Encontre uma func¸a˜o potencial f(x, y, z) do campo
−→
F . (2,0 pt)
(b) Calcule o trabalho realizado por
−→
F para mover um objeto do ponto P = (1, 0, 0)
ao ponto Q = (0, 0, 1), neste sentido, ao longo de um arco qualquer ligando esses dois
pontos. (1,0 pt)
4a Questa˜o: Considere o campo vetorial
−→
F (x, y, z) = (4x, 4y, 2).
Calcule a integral de superf´ıcie ∫ ∫
S
−→
F · d~S,
onde S e´ a parte do paraboloide z = x2 + y2 localizada abaixo do plano z = 1, com
orientac¸a˜o para baixo (ou seja, com normal apontando para longe do eixo z).
(3,0 pt)
Boa Prova!