sequencia

Prévia do material em texto

. 1. 
Cálculo III Elvézio e Janina
 
 
 
 
Seqüências 
 
De um modo geral, podemos dizer que seqüência é uma função cujo domínio 
é o conjunto dos inteiros positivos. 
Os elementos das seqüências são os números na imagem da função. 
Seqüências podem ser finitas ou infinitas, conforme o número de termos que possuam 
sejam limitados ou ilimitados, respectivamente. 
1. Termos de uma Seqüência 
Algumas seqüências são dadas por regras ou leis matemáticas chamadas de 
leis de formação, que possibilitam explicitar todos os seus termos. 
• Exemplo 01: Determine o termo an , chamado termo geral, na seqüência dos 
números quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25, ...): 
Resolução: 
Podemos observar que a seqüência acima pode ser escrita como: 12, 22, 
32, 42, 52, .... Assim, a generalização da seqüência é an = n2, para todo n N∗∈ . 
 
• Exemplo 02: Calcule a soma (a2 + a5) para a seqüência cujo termo geral é dado 
por nn
n 2
a ( 1) .
n 1
+
= −
+
: 
Resolução: Cálculo de a2 : 22
2 2 4( 1) .
2 1 3
a
+
= − =
+
 
Cálculo de a5: 55
5 2 7( 1) .
5 1 6
a
+
= − = −
+
 
Logo, a2 + a5 = 
4 7 8 7 1
3 6 6 6
− 
+ − = = 
 
 
 
Universidade Católica Dom Bosco 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
ENGENHARIAS − Elvézio e Janina 
 
. 2. 
Cálculo III Elvézio e Janina
Exercícios Propostos: 
 
1. Determine o termo geral da seqüência: 
a) K,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
 
b) K,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
 
c) K,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
−− 
d) K,7,5,3,1 
 
2. Considere a seqüência cujo termo geral é ( ) ( )32 nn6n53
3
1
nf −+−= . Calcule 
os três primeiros termos e faça uma conjectura sobre o quarto termo. Verifique 
a sua conjectura calculando o quarto termo. Que mensagem isso traz? 
Obs. Se uma seqüência possui um padrão definido, é fácil gerar termos adicionais se 
admitirmos que esses termos seguem o mesmo padrão que os termos dispostos. No 
entanto, tais padrões podem ser ilusórios, assim sendo é melhor ter uma regra ou 
fórmula para gerar os termos. Uma fazer isso é procurar por uma função que relacione 
cada termo da seqüência ao número de sua posição 
2. Notações 
Seqüências podem ser denotadas de distintas formas. Algumas delas são: 
• Conjunto de termos separados por vírgula: ,...
9
4
,
7
3
,
5
2
,
3
1
 
• Na forma geral {f(n)}, em que f(n) constitui a expressão do termo geral 
da seqüência, como, por exemplo: 






+12n
n
. 
• Na forma an =n/(2n+1), em que an representa o termo geral da seqüência. 
 
3. Visualização geométrica de uma Seqüência 
 
A seqüência pode ser visualizada, geometricamente, de duas maneiras: 
• através de uma reta orientada e graduada onde se colocam os valores 
dos elementos da imagem somente: 
 1/3 2/5 3/7 4/9 f(n) 
 
 0 1/4 1/2 1 
 
. 3. 
Cálculo III Elvézio e Janina
• através de um par de eixos cartesianos, tal como uma função, 
representada por pares ordenados na forma {n, f(n)}: 
 
 f(n) 
 1/2 
 3/7 
 1/3 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 n 
 
 
4. Limite de uma Seqüência 
 
Observando o gráfico cartesiano acima, que representa a seqüência 
,...
9
4
,
7
3
,
5
2
,
3
1
. não é difícil perceber que os termos da seqüência vão chegando cada vez 
mais perto do valor ½ conforme o valor de n aumenta. Dizemos, então, que a seqüência 
converge para ½ ou que ela tem limite igual a ½ . 
Uma seqüência que não tem limite ou que tem o infinito como limite é dita 
divergente. Assim, uma seqüência não-convergente é, necessariamente, divergente. 
 
• Exemplo 03: nna 2= é uma seqüência divergente, pois os termos crescem 
indefinidamente com o aumento de n. Assim, temos: ∞=
∞→
n
n
2lim . Portanto, a 
seqüência é divergente. 
Algumas seqüências são oscilantes mas não convergem para um valor finito; 
neste caso, elas se classificam como divergentes. Outras são oscilantes mas tendem 
para um valor finito; essas são convergentes. 
 
• Propriedades de Limites 
 
Suponhamos que as seqüências { }na e { }nb convirjam respectivamente para 
1L e 2L e seja c uma constante. Então: 
- cclim
n
=
∞→
 
- 1nnnn
Lcalimcaclim ⋅=⋅=⋅
∞→∞→
 
 
. 4. 
Cálculo III Elvézio e Janina
- ( ) 21nnnnnnn LLblimalimbalim ±=±=± ∞→∞→∞→ 
- ( ) 21nnnnnnn LLblimalimbalim ⋅=⋅=⋅ ∞→∞→∞→ 
- 
2
1
nn
nn
n
n
n L
L
blim
alim
b
alim ==





∞→
∞→
∞→
, com 0L2 ≠ 
 
• Exemplo 04: ( ) ,...1,1,1,1,1,11a nn +−+−+−=−= é divergente, pois 
oscila sem convergir. 
• Exemplo 05: ( ) ,...
720
1
,
120
1
,
24
1
,
6
1
,
2
1
,
1
1
!
1
+−+−+−=
−
=
n
a
n
n
 Observemos os 
termos dessa seqüência: o denominador aumenta sem limite enquanto o 
numerador permanece limitado, conforme n cresce. Assim, embora oscilem 
entre valores positivos e negativos, os termos aproximam-se, cada vez mais, de 
zero. Podemos, portanto, escrever: ( ) 0
!
1lim =−
∞→ n
n
n
. 
 
Exercícios Propostos: 
 
3. Em cada caso, determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, 
ache o limite: 
a) ( )nn 13a −+= 
b) 
n23
n
an +
= 
c) 
n
n
n 21
32
a
−
+
= 
d) ( )
2n5
n31a nn
−
−= 
e) ( )
n
31a nn −= 
f) n35an −= 
g) KK ,
2
1
,,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1
n
 
h) KK ,2,,16,8,4,2,1 n 
 
 
. 5. 
Cálculo III Elvézio e Janina
Sem o conhecimento específico do termo de ordem n de uma seqüência, não é 
possível determinar a convergência ou divergência da mesma, o conhecimento dos 
primeiros termos não é suficiente. 
• Exemplo 06: KK ,
2
1
,,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
a
nn
= 
( )( ) KK ,6nn1n
6
,,
15
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
a 2n +−+
= 
KK ,
18n25n9
3n3n
,,
62
7
,
8
1
,
4
1
,
2
1
a 2
2
n
+−
+−
= 
( )( )
( ) KK ,2n3n6
4n1nn
,,0,
8
1
,
4
1
,
2
1
a 2n
−+
−+−
= 
Com base nos primeiros termos das seqüências acima, há muitos padrões possíveis 
para a fórmula do termo de ordem n. Em tal situação, lembre-se de que sua decisão quanto a 
convergência ou divergência da seqüência depende do conhecimento do termo de ordem n. 
 
Exercícios Propostos: 
 
4. Determine o termo de ordem n da seqüência K,
120
31
,
24
15
,
6
7
,
2
3
,
1
1
−−− 
 
5. Faz-se um depósito R$ 1.000,00 em uma aplicação que paga juros mensais 
de 0,5% ao mês. Determine uma seqüência que represente os saldos mensais. 
 
 
Observação: Não podemos aplicar diretamente a regra de l’Hôspital 





∞
∞ para funções 
que estão definidas somente nos inteiros positivos, pois não são funções diferenciáveis. 
Para contornar este problema, devemos substituir n por x e aí sim aplicar a regra de 
l’Hôspital. 
 
Exercícios Propostos: 
 
6. Determine o limite da seqüência 
nn e
n
a = . 
 
7. Mostre que 1nlim n
n
=
∞→
. (Dica: alnea = ) 
 
 
 
 
 
. 6. 
Cálculo III Elvézio e Janina
• Teorema 
 
Uma seqüência converge para um limite L se e somentese as 
subseqüências dos termos de posição par e ímpar convergem ambas para L. 
 
• Exemplo 07: K,
3
1
,
2
1
,
3
1
,
2
1
,
3
1
,
2
1
3322 é uma seqüência convergente, pois a 
subseqüência dos termos pares converge a zero e a subseqüência dos termos 
ímpares também converge a zero. 
 
• Exemplo 08: K,
5
1
,1,
4
1
,1,
3
1
,1,
2
1
,1 é uma seqüência divergente, pois a 
subseqüência dos termos pares converge a zero e a subseqüência dos termos 
ímpares converge a um. 
 
 
• Teorema do Confronto para Seqüências 
 
Sejam { }na , { }nb e { }nc seqüências, tais que nnn cba ≤≤ (para todos os 
valores de n acima de algum índice N). Se as seqüências { }na e { }nc tiverem um 
limite comum L quando ∞→n , então { }nb também terá o limite L quando ∞→n . 
 
 
• Exemplo 09: Use uma evidência numérica para fazer uma conjectura sobre o 
limite da seqüência 
nn n
!n
a = quando ∞→n . 
Resolução: 
A partir do termo geral { }na , podemos escrever os primeiros termos desta 
seqüência para fazer uma conjectura sobre o limite quando ∞→n . 
1a1 = ; 22
21
a2
⋅
⋅
= ; 
333
321
a3
⋅⋅
⋅⋅
= ; K ; 
nnnn
n321
an
L
L
⋅⋅
⋅⋅
= ; 
 O termo geral pode ser rescrito como 





⋅
⋅
⋅=
nnn
n32
n
1
an
L
L
, de onde podemos ver 
que 
n
1
a0 n ≤≤ . Como os dois extremos da inequação têm limite tendendo a zero 
quando ∞→n , então o Teorema do Confronto para Seqüências afirma que 0an → 
quando quando ∞→n . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 7. 
Cálculo III Elvézio e Janina
SEQUÊNCIAS MONOTÔNICAS 
4.5. Terminologia 
Uma seqüência, {an}, é chamada: 
• Estritamente Crescente se .......321 <<<<< naaaa 
• Crescente se ......321 ≤≤≤≤≤ naaaa 
• Estritamente Decrescente se ......321 >>>>> naaaa 
• Decrescente se ......321 ≥≥≥≥≥ naaaa 
Uma seqüência estritamente crescente ou estritamente decrescente é 
chamada de estritamente monotônica (ou estritamente monótona) e uma seqüência 
crescente ou decrescente é chamada de monotônica (ou monótona). 
4.6. Testes de Monotonicidade 
4.6.1. Teste da Diferença: Se todo par de termos sucessivos, an e an+1, 
satisfazem à desigualdade: 
• 011 >−⇔< ++ nnnn aaaa , então a seqüência {an} é 
estritamente crescente. 
• 011 ≥−⇔≤ ++ nnnn aaaa , então a seqüência {an} é 
crescente. 
• 011 <−⇔> ++ nnnn aaaa , então a seqüência {an} é 
estritamente decrescente. 
• 011 ≤−⇔≥ ++ nnnn aaaa , então a seqüência {an} é 
decrescente. 
 
. 8. 
Cálculo III Elvézio e Janina
Exemplo 10: Mostre que ,...
1n
n
...,,
4
3
,
3
2
,
2
1
+
é uma seqüência estritamente crescente. 
Resolução: Se 
1+
=
n
n
an , então 1)1(
1
1 ++
+
=+
n
n
an . Portanto, pelo Teste da Diferença, 
temos 
)2)(1(
212
12
1 22
1 ++
−−++
=
+
−
+
+
=−+
nn
nnnn
n
n
n
n
aa nn . 
Assim, 
0)1n)(2n(
1
aa n1n >++
=−+ 
para )1n( ≥ . 
Como essa diferença é sempre positiva, para n≥1, então a seqüência é 
estritamente crescente 
 
Exercícios Propostos: 
 
8. Use o teste da diferença para mostrar que a seqüência { }na dada é 
estritamente crescente ou estritamente decrescente. 
a) 
n
11an −= 
b) 
1n4
n
an
−
= 
c) 2n nna −= 
 
 
 
4.6.2. Teste da Razão: Se todo par de termos sucessivos, an e an+1, satisfazem à 
desigualdade: 
• 
111 >⇔< ++
n
n
nn
a
a
aa
, então a seqüência é estritamente crescente. 
• 
111 ≥⇔≤ ++
n
n
nn
a
a
aa
, então a seqüência é crescente. 
• 
111 <⇔> ++
n
n
nn
a
a
aa
, então a seqüência é estritamente decrescente. 
• 
111 ≤⇔≥ ++
n
n
nn
a
a
aa
, então a seqüência é decrescente. 
 
. 9. 
Cálculo III Elvézio e Janina
Exemplo 11: Resolva o exemplo anterior através do teste da razão. 
Resolução: Já sabemos, do exemplo anterior, que 
1+
=
n
n
an e 1)1(
1
1 ++
+
=+
n
n
an . 
Efetuando a razão entre o termo de maior e o de menor ordem, temos: 
( ) 1
2
12
)2(
1
1
2
1
2
22
1 >
+
++
=
+
+
=
+
+
+
=
+
nn
nn
nn
n
n
n
n
n
a
a
n
n
. 
Como o numerador da fração excede o seu denominador, então a fração será 
sempre maior do que 1 para n≥1 e a seqüência, portanto, é estritamente crescente. 
 
 
Exercícios Propostos: 
 
9. Use o teste da razão para mostrar que a seqüência { }na dada é estritamente 
crescente ou estritamente decrescente. 
a) 
n
n
n 21
2
a
+
= 
b) ( )!n2
10
a
n
n = 
c) ( )2n
n
n
2
5
a = 
 
 
 
4.6.3. Teste da Derivada: Seja ( )xf a função, com variável x contínua, 
correspondente à seqüência na . Derivando a função, para x≥1, temos: 
 
• ⇒> 0)(' xf seqüência estritamente crescente. 
• ⇒≥ 0)(' xf seqüência crescente. 
• ⇒< 0)(' xf seqüência estritamente decrescente. 
• ⇒≤ 0)(' xf seqüência decrescente. 
 
Exemplo 12: Use o teste da derivada para decidir se a seqüência 
1+
=
n
n
an é 
estritamente decrescente ou estritamente crescente:. 
 
. 10. 
Cálculo III Elvézio e Janina
Resolução: Devemos associar à seqüência uma função. Podemos fazer isso 
substituindo n por x: 
1
)(
+
=
x
x
xf . 
Derivando, temos: 
222 )1(
1
)1(
1
)1(
)1()1(1)('
+
=
+
−+
=
+
−+
=
xx
xx
x
xx
xf . 
Como x≥1, então esta razão será sempre positiva e a seqüência, portanto, se 
classifica como estritamente crescente, pois, f´(x)>0, já que tanto o numerador, quanto 
o denominador, são positivos. 
 
 
Exercícios Propostos: 
 
10. Use o teste da derivada para mostrar que a seqüência { }na dada é 
estritamente crescente ou estritamente decrescente. 
a) 
n
13an −= 
b) ntgan = 
c) n2n ena −⋅= 
 
 
4.6.4. Propriedades válidas a partir de um certo termo: Se for descartado um 
número finito de termos do começo de uma seqüência e se a seqüência 
assim produzida tiver uma certa propriedade, então dizemos que a 
seqüência original tem essa propriedade a partir de um certo termo. 
 
Exemplo 13: Mostre que a seqüência ( )!n
10
a
n
n = é estritamente decrescente a 
partir de um certo termo. 
 
Resolução: Temos ( )!n
10
a
n
n = e ( )!1n
10
a
1n
1n +
=
+
+ , assim, 
( ) ( )!n
10
!1n
10
a
a n1n
n
1n
÷
+
=
+
+
 ⇒ ( )
( )
n
1n
n
1n
10
!n
!1n
10
a
a
×
+
=
+
+
 ⇒ 
( )
( ) !n1n10
!n1010
a
a
n
n
n
1n
⋅+⋅
⋅⋅
=
+
 
( )1n
10
a
a
n
1n
+
=
+
 
para ser estritamente decrescente, a razão entre 1na + e na deve ser menor que 1, logo 
( ) 11n
10
<
+
 ⇒ 1n10 +< ⇒ n9 < 
o que nos leva a concluir que a seqüência é estritamente decrescente para 10n ≥ . 
 
. 11. 
Cálculo III Elvézio e Janina
Exercícios Propostos: 
 
11. Use qualquer teste para mostrar que a seqüência { }na dada é, a partir de 
certo termo, estritamente crescente ou estritamente decrescente. 
a) 23n n4na −= 
b) 
n
17
nan += 
c) n5n ena −⋅= 
 
 
 
4.6.5. Uma visão intuitiva da convergência: De modo informal, a 
convergência ou divergência de uma seqüência não depende do 
comportamento de seus termos iniciais, mas em vez disso de como os 
termos irão se comportar a partir de um certo. 
Por exemplo, a seqüência K,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1,17,13,9,3 −− a partir de um certo termo 
comporta-se como a seqüência KK ,
n
1
,,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 e logo tem um limite zero. 
 
 
 
4.6.6. Convergência de seqüências monótonas:• Teorema para decisão de convergência para funções crescentes 
 
Se uma seqüência { }na for crescente a partir de um certo termo, então 
existem duas possibilidades: 
(a) Existe uma constante M, chamada de cota superior para a seqüência, 
tal que Man ≤ para todo n a partir de um certo termo, e, neste caso, a 
seqüência converge a um limite L satisfazendo ML ≤ . 
(b) Não existe cota superior, e neste caso, +∞=
+∞→
n
n
alim . 
 
• Teorema para decisão de convergência para funções decrescentes 
 
Se uma seqüência { }na for decrescente a partir de um certo termo, então 
existem duas possibilidades: 
(c) Existe uma constante M, chamada de cota inferior para a seqüência, 
tal que Man ≥ para todo n a partir de um certo termo, e, neste caso, a 
seqüência converge a um limite L satisfazendo ML ≥ . 
(d) Não existe cota inferior, e neste caso, −∞=
+∞→
n
n
alim . 
 
Obs. Esses teoremas não fornecem o método para a obtenção dos limites, eles 
somente afirmam se o limite existe ou não. 
 
. 12. 
Cálculo III Elvézio e Janina
Exemplo 14: Mostre que a seqüência ( )!n
10
a
n
n = converge e encontre o limite. 
 
Resolução: No exemplo anterior, pelo teste da razão, nós chegamos na seguinte 
igualdade ( )1n
10
a
a
n
1n
+
=
+
, isto é, ( ) n1n a1n
10
a ×
+
=+ , onde ( )!n
10
a
n
n = . Portanto, 
=+
+∞→
1n
n
alim ( ) =




×
++∞→ nn
a
1n
10lim ( ) nnn alim1n
10lim
+∞→+∞→
×





+
 
entretanto, 
( ) 01n
10lim
n
=





++∞→
 
logo, 
=+
+∞→
1n
n
alim ( ) =×




+ +∞→+∞→ nnn
alim
1n
10lim =×
+∞→
n
n
alim0 
portanto, 
0alim 1n
n
=+
+∞→
 
e conseqüentemente, 
0alim n
n
=
+∞→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 13. 
Cálculo III Elvézio e Janina
Problemas para a seção ______________________________ 
 
1. Determine o termo geral da seqüência: 
a) K,
27
1
,
9
1
,
3
1
,1 
b) K,
27
1
,
9
1
,
3
1
,1 −− 
c) K,
8
7
,
6
5
,
4
3
,
2
1
 
d) ,...16,9,4,1
5432 pipipipi
 
 
 
2. (a) Escreva os quatro primeiros termos da seqüência ( ){ }n11 −+ , começando 
com n=0. 
(b) Escreva os quatro primeiros termos da seqüência ( ){ }pincos , começando 
com n=0. 
(c) Use os resultados nas partes (a) e (b) para expressar o termo geral da 
seqüência 4, 0, 4, 0, ... de duas formas diferentes, começando com n=0. 
 
 
3. Determine se a seqüência converge ou diverge; se convergir, calcule seu 
limite: 
a) 
2n
n
an +
=
 b) 2an = c) n
nln
an = 
d) ( )nn 11a −+= e) ( ) 1n
n21a 3
3
n
n
+
−= f) ( )( )2n n2
2n1n
a
++
=
 
g) 
n
3
cosan = h) n2n ena −= 
 
 
4. Para cada um dos itens abaixo, (a) ache o termo geral da seqüência, 
começando com n=1; (b) determine se a seqüência converge; (c) se isso 
acontecer, ache o limite. 
 
a) ,...
8
7
,
7
5
,
4
3
,
2
1
 b) ,...
81
1
,
27
1
,
9
1
,
3
1
 
c) 
,...
5
1
4
1
,
4
1
3
1
,
3
1
2
1
,
2
11 





−





−





−





−
 d) ( ) ( )( ) ( ),...54,43,32 −−− 
 
 
5. Na função f dada por 




+
=+
=
4
1)n(f.4)1n(f
1)0(f
, em que n é um número natural, 
f(44) vale: 
 
. 14. 
Cálculo III Elvézio e Janina
a) 
5
43
 b) 13 c) 
4
45
 d) 12 e) 15 
 
 
6. Dada a seqüência finita (n2 – n), n∈ N e 1 ≤ n ≤ 5 a soma de seus termos é: 
a) 40 b) 20 c) 70 d) 35 e) 30 
 
 
7. Seja a seqüência ai, cujo termo geral é ai é tal que a0 = -3, a1 = 0 e 
an+1 = 2.an – an-1, para todo n ∈ N e 1n ≥ . A soma dos 4 primeiros termos dessa 
seqüência é: 
a) 0 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12 
 
 
8. Considere a seqüência cujo termo geral é an = 2n – 1. Qual é o termo que 
tem seu valor entre 30 e 40? 
 
9. Escreva a seqüência definida por 





=
=
−
3
a
a
1a
1n
n
1
, com n ∈ N* e n < 4: 
 
10. Na sucessão (4, 2, 1, 
2
1
, 
4
1
, 
8
1
, ...): 
a) calcule (a4 + a6) – a2; 
b) use um argumento lógico para decidir se a seqüência converge ou diverge. 
 
 
11. Escreva a seqüência definida por an = (1 + n)n, e n ∈ N* e, usando um 
argumento lógico, decida se ela converge ou diverge. 
 
 
12. Classifique a seqüência segundo sua monotonicidade usando o teste 
indicado: 
a) 
n
1
an = (teste da diferença) b) nn 2na −= (teste da diferença) 
c) 
1n2
n
an
+
= (teste da razão) d) 
!n
n
a
n
n = (teste da razão) 
e) 
1n5
n3
an
+
=
 (teste da derivada) f) ( )
2n
2nln
an
+
+
=
 (teste da derivada) 
 
 
13. Use qualquer método para mostrar que a seqüência dada é, a partir de um 
certo termo, estritamente crescente ou estritamente decrescente. 
a) n7n2a 2n −= b) 10n
n
a 2n +
=
 
c) 
nn 3
!n
a = 
 
. 15. 
Cálculo III Elvézio e Janina
Respostas para os problemas da seção __________________ 
 
1. a) 1n3
1
−
 b) ( )1n
1n
3
1
−
−
−
 c) 
n2
1n2 −
 d) ( )1n1
2n
+pi
 
 
2. a) 0,2,0,2 b) 1,1,1,1 −− c) ( )( ) pi+−+ ncos22;112 n 
 
3. a) converge para 1 b) converge para 2 
c) converge para 0 d) diverge 
e) diverge f) converge para 
2
1
 
g) converge para 1 h) converge para 0 
 
4. a) 
n2
1n2
an
−
= ; converge para 1 b) 
nn 3
1
a = ; converge para 0 
c) 
1n
1
n
1
an +
−= ; converge para 0 d) 2n1nan +−+= ; converge para 0 
 
5. d) 
 
12. a) estritamente decrescente b) estritamente decrescente 
c) estritamente crescente d) estritamente crescente 
e) estritamente crescente f) estritamente decrescente 
 
13. a) estritamente crescente (determinar a partir de que termo) 
b) estritamente decrescente (determinar a partir de que termo) 
c) estritamente crescente (determinar a partir de que termo)