Cap3.4 rev BASE E DIMENSÃO Copia

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Professora Luciana Marinho
Capítulo 3.4 
Base e Dimensão
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Professora Luciana Marinho
Veremos como gerar espaços vetoriais a partir do 
menor número possível de seus componentes.
Veremos como determinar a dimensão de um 
espaço vetorial. Para isso, estudaremos o conceito 
de dependência e independência linear.
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
3
Professora Luciana Marinho
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
Det
 
= 0 , logo não geram 
os espaço vetorial dado.
Motivo: sabemos que o determinante de uma 
matriz é
 
zero quando uma das linhas pode ser 
expressa como uma combinação linear de outras 
duas. Nesse caso podemos escrever
Vamos começar verificando se os vetores 
Gráfico: os vetores estão sobre uma mesma 
reta.
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Professora Luciana Marinho
Dizemos que dois vetores de um espaço vetorial são 
linearmente dependentes se pudermos escrever um 
como sendo uma combinação linear do outro.
No caso anterior, isto significa que
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
Onde u1
 
, u2
 
ϵ
 
V
 
e α ϵ K.
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Professora Luciana Marinho
Vamos, agora determinar se os vetores
Não geram.
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
Devem satisfazer a equação (x,y,z) = a1
 
u1
 
+ a2
 
u2
 
+ a3
 
u3
 
onde (x,y,z) 
é
 
um vetor arbitrário do espaço para alguns coeficientes a1
 
, a2
 
, a3
 
ϵ
 
. 
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Professora Luciana Marinho
Motivo: novamente, o fato do determinante ser 
zero indica que uma de suas linhas ou colunas 
pode ser expressa como uma combinação linear 
de outras duas. 
O vetor u2
 
é
 
uma combinação linear u2 = u1 – 2u3 .
Gráfico: o vetor u2
 
encontra-se no mesmo plano 
que os vetores u1
 
e u3
 
. 
Podemos escrever também os vetores u1
 
e u3
 
em 
função dos demais.
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
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Professora Luciana Marinho
Dizemos que n vetores são linearmente dependentes
Se pudermos escrever ao menos um deles em termos 
dos demais:
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
Para β1
 
, β2
 
,... ,βn
 
ϵ
 
K. 
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Professora Luciana Marinho
Para que possamos isolar um vetor vi
 
em termos dos 
outros, devemos ter, pelo menos, βi
 
≠
 
0, pois para isso 
temos que dividir os outros membros do espaço vetorial 
por esse valor.
Portanto, para que tenhamos uma dependência linear 
entre os vetores, os coeficientes β1
 
, β2
 
,... ,βn
 
não
 
podem 
ser nulos
 
(se não, nunca poderemos escrever pelo 
menos um dos vetores em termos dos outros).
Definimos, a seguir, o que são vetores linearmente 
independentes e vetores linearmente dependentes. 
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
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Professora Luciana Marinho
Linearmente independentes (LI).
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
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Professora Luciana Marinho
Portanto, a combinação só
 
existe se 
a = b = c = 0. Então, os vetores são 
linearmente independentes (LI).
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
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Professora Luciana Marinho
Para provar que certos vetores são linearmente independentes 
temos que resolver um sistema de equações lineares que, em 
forma matricial, fica AX = 0, onde A é
 
a matriz dos coeficientes, X
 são as incógnitas (α1
 
, α2
 
,...αn
 
), que são os coeficientes da 
combinação linear α1
 
v1
 
+ α2
 
v2
 
,... αn
 
vn
 
= 0, e 0 é
 
um vetor nulo com 
o número adequado de linhas.
Caso A
 
tenha inversa, resolveremos esse sistema escrevendo
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
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Professora Luciana Marinho
Como A-1
 
0 = 0
 
para qualquer matriz, a única solução possível para A
 invertível
 
é
 
X = 0, o que mostra que os vetores são linearmente 
independentes.
Portanto, para mostrar a independência linear de vetores, basta calcular 
o determinante da matriz dos coeficientes do sistema de equações 
resultante da definição de independência linear e mostrar que esse 
determinante não é
 
nulo. (Obs: A-1
 
= (1 / det
 
A) * Adj
 
A)
Caso det
 
= 0, então será
 
necessário resolver o sistema de equações 
para verificar se existe alguma solução.
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
Portanto, se há
 
solução única (det
 
A0), A é
 
invertível
 
e X
 
será
 
nula.
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Professora Luciana Marinho
LI
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
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Professora Luciana Marinho
LI
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
O três vetores não estão no mesmo plano.
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Professora Luciana Marinho
LD
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
Não é
 
possível definir determinante para 
esta matriz, pois ela é
 
do tipo 2 x 3.
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Professora Luciana Marinho
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
Os três vetores estão no mesmo plano
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Professora Luciana Marinho
Como vimos, no primeiro caso (do exemplo 3), os três vetores 
não estão no mesmo plano; no segundo caso, eles ocupam o 
mesmo plano.
Isso indica que três vetores que podem ser representados em 
um plano não podem ser linearmente independentes.
Isso nos leva a uma indagação: qual será
 
o número mínimo de 
vetores necessários para gerar o plano ? E qual o número 
mínimo de vetores necessários para gerar o espaço ? 
Veremos a seguir. 
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
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Professora Luciana Marinho
Vimos que alguns vetores podem gerar o espaço vetorial 
do qual são elementos, mas outros, não.
Vimos que vetores são linearmente independentes se 
nenhum deles puder ser escrito como uma combinação 
linear dos outros.
Queremos determinar o número mínimo de vetores 
necessários para gerar um determinado espaço vetorial. 
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
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Professora Luciana Marinho
Para que esse número seja mínimo, é
 
necessário que nenhum 
deles seja linearmente dependente dos outros, pois, assim, ele 
poderia ser gerado pelos demais e o conjunto de geradores do 
espaço vetorial não seria mínimo.
Portanto, para que um determinado número de vetores seja o 
conjunto mínimo que gera um determinado espaço vetorial, é
 necessário que eles gerem o espaço vetorial e que sejam 
linearmente independentes.
Tal conjunto mínimo de geradores de um espaço é
 
chamado 
BASE
 
do espaço vetorial do qual faz parte.
3.4.1 –
 
Dependência linear e independência linear
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3.4.2 –
 
Base
Geradores de um espaço vetorial
LI LD
Conjunto mínimo de geradores 
do espaço vetorial.
BASE
Não será
 
um conjunto mínimo.
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
Para que B seja uma base do espaço R3, os vetores e1
 
, e2
 
, e3
 
têm que gerar 
o espaço R3
 
e devem ser linearmente independentes.
Escrevendo um vetor v = (x,y,z) de R3, podemos escrever
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
Agora, a1
 
e1
 
+ a2
 
e2
 
+ a3
 
e3
 
= 0, implica
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
Para que B seja uma base do espaço R3, os vetores u1
 
, u2
 
, u3
 
têm que gerar 
o espaço R3
 
e devem ser linearmente independentes.
Para provar que esses vetores geram o espaço R3, temos que provar que o 
determinante da matriz dos coeficientes obtida a partir do sistema de 
equações resultante da expressão édiferente de zero.
Escrevendo o sistema de equações resultante, temos 
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
Se quisermos provar que esses vetores são LI (linearmente 
independentes), devemos mostrar que
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
Como visto, se provarmos que esse sistema de equações tem 
solução única, então mostramos que essa solução deve ser tal que 
todos os coeficientes a serem determinados sejam nulos. Portanto, 
basta provar que o determinante é
 
diferente de zero.
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
Como pudemos ver no exemplo 2, para 
mostrar que um conjunto de vetores é
 uma base de um espaço vetorial, basta 
mostrar que o determinante da matriz 
dos coeficientes formada por esses 
vetores é
 
diferente de zero.
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
Devemos mostrar que existem a1
 
, a2
 
, a3
 
ϵ
 
R
 
tais que
para quaisquer x, y, z ϵ
 
R
 
e que
se e somente se a1
 
= a2
 
= a3
 
= 0.
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
B é
 
uma base do espaço vetorial 
considerado. 
Podemos fazer ambas as coisas calculando o determinante
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
Algumas bases oferecem representações mais simples de elementos 
de seus respectivos espaços vetoriais em termos dos elementos 
dessas bases.
Por exemplo, a base torna simples escrever 
qualquer elemento de R2
 
em termos dos elementos da base, a base
faz o mesmo para o R3
 
e a base 
torna mais fácil representar elementos do
espaço v3
 
.
Essas bases são chamadas BASES CANÔNICAS e são as mais 
comumente usadas na decomposição de um vetor de algum espaço 
vetorial em vetores componentes.
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Professora Luciana Marinho
3.4.2 –
 
Base
Base canônica
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Professora Luciana Marinho
3.4.3 –
 
Dimensão
Todo espaço vetorial é
 
formado por elementos, que são 
os seus geradores.
O número mínimo de elementos que geram um 
espaço vetorial é
 
aquele em que todos os elementos 
são linearmente independentes.
O conjunto dos geradores de um espaço vetorial que 
são linearmente independentes entre si constitui uma 
base
 
do espaço vetorial.
Toda base de um espaço vetorial tem o mesmo número 
de elementos.
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Professora Luciana Marinho
3.4.3 –
 
Dimensão
O número de elementos de uma das bases de 
um espaço vetorial é
 
chamado dimensão
 
desse 
espaço vetorial.
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3.4.3 –
 
Dimensão
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Resumo
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