3 Funções do 1° Grau

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3) Funções do 1º Grau 
 
 
3.1) Estudando Função Afim 
 
 
 
Professora Laura Aguiar 
 
Um casal resolve utilizar uma viagem ao litoral. Para isso, separa os valores referentes 
ao combustível e ao pedágio, o que representa R$75,00. A hospedagem, com diária 
completa (café da manhã, almoço e jantar), sai por R$130,00 o casal. Quanto custará a 
viagem? 
 
Nessa situação,temos o gasto fixo correspondente ao combustível e ao pedágio, que 
independente da quantidade de dias que o casal ficará hospedado. E temos um valor 
variável, correspondente ao número de diárias. Assim,o gasto do casal será composto 
dessas duas parcelas: 
 
Valor gasto = (valor do combustível + valor do pedágio) + valor referente às diárias 
 
 gasto fixo 
 
O valor a ser pago se, por exemplo, o casal se hospedar apenas um final de semana é 
calculado da seguinte maneira: 
 
 75+ 2.130 = 75 + 260 = 335 
 
Portanto, o casal gastará R$335,00 em um final de semana. 
Percebemos que o valor g(x) gasto na viagem é função da quantidade x de dias 
hospedados. Assim: 
 
 g(x) = 75 + 130.x 
 
Essa sentença é um exemplo de uma lei de formação de uma função afim. 
 
 
 
3.1.1) Função Constante 
 
É toda função da forma 
:f R R
 tal que 
( )f x c
 e 
c R
 
 
Propriedades: 
 
 
( , )x c f
 
 
( )fD R
 
 
( )Im { }f c
 
 O Gráfico é uma reta paralela ao eixo 
x
. 
 
 
 
3.1.2) Função Polinomial do 1º Grau 
Uma função f:R->R, que a todo número x pertencente a R associa o número ax 
+ b, com a e b reais, é chamada função afim. 
 
 f(x)=ax + b ou y=ax + b 
 
Dizemos que a e b são coeficientes da função. 
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È toda função da forma 
: ; ( )f R R f x ax b  
, com 
,a b R
e a não nulo. 
 
EXEMPLO: 
 
 a) 
3 6y x 
 b) 
4
( ) 7
3
x
f x   
 c) 
( ) 5f x x
 
 
3.2) Propriedades: 
 
 
( )fD R
 
 
( )Im f R
 
 Função Algébrica Racional Inteira 
 
 Função Bijetora (logo admite inversa) 
 
 Raiz: 
0
b
ax b ax b x
a
       
 
 
 
a
é chamado o coeficiente angular da reta 
 
 
b
 é chamado o coeficiente linear da reta (ponto onde a reta intercepta o eixo 
y
) 
 
 Gráfico: reta inclinada em relação aos eixos coordenados 
 
 Se 
0a 
então 
f
 é uma função crescente, ou seja, para todo 
x y
temos 
( ) ( )f x f y
 
Se 
0a 
então 
f
 é uma função decrescente, ou seja, para todo 
x y
temos 
( ) ( )f x f y
 
 
EXEMPLO: 
 
 Determine os coeficientes linear, angular das retas abaixo, além de suas raízes 
e o seu gráfico. 
 
a)
( ) 3 4f x x 
 b) 
( ) 4f x x  
 
 
Observação: 
 
 Se 
0b 
 então 
( )f x ax
. Daí a raiz de 
f
, 
0ax 
, será 
0x 
, e ainda o 
gráfico é uma reta que passa pela origem. Este tipo de função recebe o nome 
particular de função linear. 
 
 A função 
( )f x x
é a bissetriz do 1° e 3° quadrantes (função identidade), 
enquanto 
( )f x x 
é a bissetriz do 2° e 4° quadrantes. 
 
 
3.3)Estudo da Variação do Sinal de y = ax + b 
 
A variação do sinal da função afim é útil na resolução, de inequações produto, 
inequações quocientes e em cálculo de domínio de funções. Veja os casos: 
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a) Se 
0a 
 b) Se 
0a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que à esquerda da raiz o sinal da função é sempre o contrário de a, enquanto que 
para valores a direita da raiz o sinal da função é o mesmo de a 
 
 
 
 
 
3.4) Inequações do 1° Grau 
 
a. Inequações inteiras do 1° Grau 
 
a) 
2 1 4 3 4 2
3 2 3 4
x x x  
  
 b) 
1 2 2 11x x x    
 
 
 
b. Inequações Produto e Inequações Quociente 
 
a) 
(3 6).( 4).( 1) 0x x x     
 b) 
120 131(2 4) ( 4) 0x x   
 
 
 c) 
2 3
0
3 6
x
x



 d) 
( 2)
2
1
x
x



 
 
 e) Calcule o domínio da função 
3
( )
6
x
f x
x


 
 
 
 
3.5) Fixação 
 
1) Ao usar lupas (ou lentes de aumento) podemos ver detalhes de objetos pequenos. Por 
exemplo, utilizamos algumas lupas para enxergar melhor uma formiga. O interessante é 
que o comprimento virtual (ou aparente) da formiga aumenta numa proporção peculiar, 
de acordo com os dados da tabela: 
Aumento da lente 10 x 25 x 50 x 
Comprimento virtual 12 mm 30 mm 60 mm 
 
 Se o aumento da lente for de 70 x, qual será o comprimento virtual da formiga? 
 
2) Willian Thompson (1824-1907), também conhecido como Lorde Kelvin, verificou ao 
estudar os gases que, quando se mantém a pressão constante, todos eles (na faixa em 
que podemos considerá-los ideais) se dilatam numa mesma proporção, em relação ao 
seu volume inicial. Para realizar esse experimento basta colocar um gás num tubo longo 
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de vidro de 1mm² de seção (área), confinado por uma gota de mercúrio (a gota serve pro 
gás não escapar e para marcar seu volume a partir da altura). Pode-se perceber a gota 
de mercúrio subir ou descer quando o tubo é aquecido ou resfriado. 
Esquema do experimento: 
Altura da gota de 
mercúrio (mm) 
73 173 273 373 
Temperatura do 
gás (° C) 
-200 -100 0 100 
 
 Para qual temperatura o volume do gás será zero? 
 
3) (Mackenzie-SP) Uma escola paga pelo aluguel anual do ginásio de esportes de um clube A, 
uma taxa fixa de R$1000,00 e mais R$50,00 por aluno. Um clube B cobraria pelo aluguel anual 
do ginásio equivalente uma taxa fixa de R$ 1900,00, mais R$45,00 por aluno. Para que o clube 
B seja mais vantajoso economicamente para a escola, o menor número N de alunos que a 
escola deve ter é tal que: 
a)100≤N<150 b)75≤N<100 c)190≤N<220 d)150≤N<190 e)220≤N<250 
 
4) (Fuvest-SP) Um estacionamento cobra R$6,00 pela primeira hora de uso, R$3,00 por hora 
adicional e tem uma despesa diária de R$320,00. Considere-se um dia em que sejam cobrados, 
no total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que o 
estacionamento obtenha lucro nesse dia é: 
a) 25 b) 26 c)27 d)28 e)29 
 
5)(FGV-SP) O maior número inteiro que satisfaz a inequação é: 
a) Um múltiplo de 2. 
b) Um múltiplo de 5. 
c) Um número primo. 
d) Divisível por 3. 
e) Divisível por 7. 
 
6)(Fuvest-SP) Seja f a função que associa a cada número real x o menor dos números x+3 e –
x+5. Assim, o valor máximo de f(x) é: 
a) 1 b)2 c)4 d)6 e)7 
 
7)(Vunesp) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os mantida 
sempre essa relação entre tempo(t) e a altura(h),a planta terá, no trigésimo dia, uma altura igual 
a: 
H(cm) 0 1 2 
T(dias) 0 5 10 
 
a) 5 cm b) 6 cm c)3 cm d)15 cm e)30 cm 
 
8)(Mackenzie-SP) A função f é definida por f(x) = ax +b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1)=1. O valor 
de f(3) é: 
a) 0 b) 2 c)-5 d)-3 e)-1 
 
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9)(Unicamp-SP) O gráfico da função y=mx +n passa pelos pontos A(1,3) e B(2,8). Pode-se 
afirmar que: 
a) A única raiz da função é 4. 
b) f(3)= 10 
c) f(4)=12 
d) f(x)<0 x<3 
e) f(x)>0 x>2/5 
 
 
10)(UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o auxilio de uma régua: 
Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, sobraram 15 cm de régua; 
por outro lado, estendendo 11 vezes, faltaram 5 centímetros para atingir o 
comprimento total. O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a: 
a) 240b) 235 c)225 d)220 
 
11) [UERJ] O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida e a 
quantidade excretada na urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o crescimento e a 
gravidez e negativo na menopausa,quando pode ocorrer a osteoporose, uma doença 
caracterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo organismo.A baixa concentração de 
íon cálcio (Ca ++) no sangue estimula as glândulas paratireóides a produzirem hormônio para 
tireóideo (HP). Nesta situação, o hormônio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, 
aumentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua excreção pelos rins.(Adaptado de ALBERTS, 
B. et al., "Urologia Molecular da Célula." Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.)Admita que, a partir 
dos cinqüenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear . 
 
(Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente,90% e 70% da massa óssea que 
tinham aos 30 anos.O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, 
em relação à massa aos 30 anos,é igual a : 
a) 14 c) 22 b) 18 d) 26 
 
12)(Puccamp 2005) Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom condicionamento 
aeróbico, o coração do atleta dilata, pois precisa trabalhar com grande volume de sangue. 
 
Em um esforço rápido e súbito, como um saque no tênis, uma pessoa normal pode ter o pulso 
elevado de 70 a 100 batimentos por minuto; para um atleta, pode se elevar de 60 a 120 bpm, 
como mostra o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
 
Com base nesses dados, é correto afirmar que, ao final de 
a) 1 segundo, o bpm de um atleta é 80. 
b) 1 segundo, o bpm de uma pessoa normal é 80. 
c) 2 segundos, o bpm de uma pessoa normal é 90. 
d) 3 segundos, o bpm de um atleta é 108. 
e) 3 segundos, o bpm de uma pessoa normal é 95 
 
13)(Faap 97) Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da terra aumenta, 
aproximadamente, 3°C a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, 
a temperatura é de 25°C. Nessas condições, podemos afirmar que: 
 
1. A temperatura a 1.500m de profundidade é: 
a) 70°C b) 45°C c) 42°C d) 60°C e) 67°C 
 
2. Encontrando-se uma fonte de água mineral a 46°C, a profundidade dela será igual a: 
a) 700 m b) 600 m c) 800 m d) 900 m e) 500 m 
 
 
14) (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor 
x de uma mercadoria é: 
a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x 
 
15) (Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em fita de vídeo e prevê uma venda de 
20.000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$150.000,00 e o custo por unidade foi de 
R$20,00 (fita virgem, processo de copiar e embalagem). 
Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por fita, para não haver prejuízo? 
a) R$ 20,00 b) R$ 22,50 c) R$ 25,00 d) R$ 27,50 e) R$ 35,00 
 
16) (Ufpe ) A planta a seguir ilustra as dependências de um apartamento colocado à venda, onde 
cada quadrícula mede 0,5cm×0,5cm. Se o preço do m£ de área construída deste apartamento é 
R$650,00, calcule o preço do mesmo. 
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a) R$ 41.600,00 b) R$ 52.650,00 c) R$ 46.800,00 d) R$ 47.125,00 e) R$ 40.950,00 
 
17) (Unirio) 
 
 
 
Considere a figura anterior, onde um dos lados do trapézio retângulo se encontra apoiado sobre 
o gráfico de uma função f. Sabendo-se que a área da região sombreada é 9cm², a lei que define 
f é: 
a) y= (7x/6) – 2 b) y= (3x/4) – 1 c) y= (2x/5) + 1 d) y= (5x/2) – 1 e) y= (4x/3) + 1 
 
18)(UERJ) Observe o gráfico: Crepúsculo da garrafa azul 
 
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("Veja") 
 
Os brasileiros estão trocando o vinho branco alemão por produto de melhor qualidade (em 
milhões de litros). 
Se o consumo de vinho branco alemão, entre 1994 e 1998, sofreu um decréscimo linear, o 
volume total desse consumo em 1995, em milhões de litros, corresponde a: 
a) 6,585 b) 6,955 c) 7,575 d) 7,875 
 
19) (UFPR) No mês de maio de 2001, os jornais do Brasil divulgaram o plano do governo federal 
para diminuir o consumo de energia elétrica nas regiões Sudeste, Nordeste e Centro-Oeste. 
Conforme um dos jornais, além de várias regras que estabeleciam multas, bônus e corte de luz, 
haviam sido criadas faixas de preços relativas ao consumo mensal: para os primeiros 200 kWh 
consumidos, o preço de cada kWh é R$ 0,24; para os 300 kWh seguintes consumidos, o preço 
de cada kWh é R$ 0,36; o preço de cada kWh consumido acima de 500 kWh é R$ 0,72. 
 
Sendo p(x) o preço em reais referente ao consumo mensal de x kWh, calculado somente com 
base nessas informações sobre as faixas de preços, é correto afirmar: 
 
(01) p(300) = 96. 
(02) p(2x) é sempre o dobro de p(x). 
(04) Para x maior que 500, uma fórmula para calcular o preço é p(x) = 0,72 (x - 500) + 156. 
(08) Se x está entre 0 e 200, então uma fórmula para calcular o preço é p(x) = 0,24x. 
(16) Na faixa de 201 a 500 kWh, o preço de 1 kWh é 50% maior que o de 1 kWh na faixa de zero 
a 200kWh. 
 
Soma ( ) 
 
20) (UERJ) Sabedoria egípcia 
 
Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela 
incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. 
Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, 
aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da 
vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias 
quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001) 
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Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OA de 
2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, 
encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas 
cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, 
respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela 
determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que 
contém o segmento AB: 
a) y = 8 - 4x b) x = 6 - 3y c) x = 8 - 4y d) y = 6 - 3x 
 
 
21) (PUCSP) Um grupo de amigos "criou" uma nova unidade de medida para temperaturas: o 
grau Patota. Estabeleceram, então, uma correspondência entre as medidas de temperaturas em 
graus Celsius (°C), já conhecida, e em graus Patota (°P), mostrada na tabela 
abaixo. 
 
Lembrando que a água ferve a 100°C, então, na unidade Patota ela ferverá a 
a) 96° b) 88° c) 78° d) 64° e) 56° 
 
 
 
22) (UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. 
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Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua 
absorção pelo organismo, também em mg/dia. 
A única afirmativa FALSA relativa ao gráfico é: 
a) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. 
b) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante. 
c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida 
do composto ingerido. 
d) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da 
ingestão de 20mg/dia. 
 
23) (UFMG) Em 2000, a porcentagem de indivíduos brancos na população dos Estados Unidos 
era de 70% e outras etnias - latinos, negros, asiáticos e outros - constituíam os 30% restantes. 
Projeções do órgão do Governo norte-americano encarregado do censo indicam que, em 2020, a 
porcentagem de brancosdeverá ser de 62%. 
 
 FONTE: "Newsweek International", 29 abr. 2004. 
 
Admite-se que essas porcentagens variam linearmente com o tempo. 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que os brancos serão minoria na 
população norte-americana a partir de 
a) 2050. b) 2060. c) 2070. d) 2040. 
 
24) (Uel 2006) O gerente de uma agência de turismo promove passeios de bote para descer 
cachoeiras. Ele percebeu que quando o preço pedido para esse passeio era R$ 25,00, o número 
médio de passageiros por semana era de 500. Quando o preço era reduzido para R$ 20,00, o 
número médio de fregueses por semana sofria um acréscimo de 100 passageiros. Considerando 
que essa demanda seja linear, se o preço for reduzido para R$ 18,00, o número médio de 
passageiros esperado por semana será: 
a) 360 b) 540 c) 640 d) 700 e) 1360 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1) 84 mm 2) -273 ° C 3) d 4) c 5) a 6) c 7) b 
8) e 9) c 10) b 11) d 12) d 13) e/c 14) b 
15) d 16) d 17) e 18) d 19) 28 20) c 21) e 
22) b 23) a 24) c 
 
56 
 
3.6) Pintou no ENEM 
 
 
1) (ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e 
constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da 
marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas 
respondem por cerca de 60% dos carros roubados. 
O número esperado de carros roubados da marca Y é: 
a) 20 b) 30 c)40 d)50 e) 60 
 
Resposta: b 
 
2)(ENEM) José Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de 
Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial 
da rodovia, aonde chegarão, de modo independente, ente meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, 
como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que 
chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meio hora; após esse tempo, seguirá 
viagem sozinho. 
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e 
representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir 
indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y): 
 
 
 
 
Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento "José e Antônio chegam ao 
marco inicial exatamente no mesmo horário" corresponde 
a) à diagonal OQ b) à diagonal PR c) ao lado PQ d) ao lado QR e) ao lado OR 
 
Resposta: a 
 
57 
 
3) (ENEM) O jornal de uma pequena cidade publicou a seguinte notícia: 
 
CORREIO DA CIDADE 
ABASTECIMENTO COMPROMETIDO 
O novo pólo agroindustrial em nossa cidade tem atraído um enorme e constante fluxo migratório, 
resultando em um aumento da população em torno de 2000 habitantes por ano, conforme dados 
do nosso censo: 
 
 
 
Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de água, pois os mananciais que 
abastecem a cidade têm capacidade para fornecer até 6 milhões de litros de água por dia. A 
prefeitura, preocupada com essa situação, vai iniciar uma campanha visando estabelecer um 
consumo médio de 150 litros por dia, por habitante. 
 
A análise da notícia permite concluir que a medida é oportuna. Mantido esse fluxo migratório e 
bem sucedida a campanha, os mananciais serão suficientes para abastecer a cidade até o final 
de 
a) 2005. b) 2006. c) 2007. d) 2008. e) 2009. 
 
Resposta: d 
 
4) (ENEM) O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em 
corridas de longa distância como a maratona (42,2km), a meia-maratona (21,1km) ou uma prova 
de 10km. Para saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar 
uma corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela 
e no gráfico: 
 
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Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63kg e com altura igual a 
1,59m, que tenha corrido uma meia-maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, 
teria melhorado seu tempo na prova em 
A) 0,32 minutos. D) 2,68 minutos. 
B) 0,67 minutos. E) 3,35 minutos. 
C) 1,60 minutos. 
 
Resposta: E 
 
 
3.7) Sessão Leitura 
 
No ritmo certo 
Fórmula de controle dos batimentos cardíacos usada como padrão no esporte está superada 
 
Gabriela Carelli 
Não há esportista ou frequentador de academia que desconheça uma das regras da boa forma 
mais difundidas na última década: exercício só não basta. Para atingir algum resultado, seja 
perder peso, melhorar o sistema cardiovascular ou virar atleta de elite, é necessário estar atento 
aos chamados do coração. Contar quantas vezes o órgão bate por minuto e relacionar o 
resultado com a idade não só evita infartos fulminantes como é uma das poucas maneiras fáceis 
e eficientes de diferenciar uma caminhada vigorosa de um passeio no bosque. Até aí, nada de 
novo para quem faz da atividade física uma rotina. Todos os templos de malhação têm imprimido 
em aparelhos ergométricos a fórmula para calcular a frequência cardíaca máxima, índice que 
permite achar as zonas ideais de treinamento. Basta subtrair a idade de 220. Depois, é só 
adequar o número final aos seguintes padrões: quem quer ativar o sistema cardiovascular deve 
manter a frequência cardíaca entre 70% e 85% da máxima; quem quer perder peso deve ficar 
entre 55% e 70%. A novidade: o cálculo acima, há mais de três décadas tido como padrão de 
boa conduta esportiva em centros de fitness de todo o mundo, está superado. 
Num estudo publicado recentemente, pesquisadores da Universidade do Colorado afirmam que 
o cálculo não deve ser usado para estabelecer a faixa de segurança da frequência cardíaca. 
Quem segue a fórmula clássica pode errar de duas maneiras. Os mais jovens acabam se 
exercitando além de seus limites, colocando em risco músculos, articulações e coração. Já as 
pessoas acima dos 50 anos se exercitam abaixo de seu potencial. Ou seja, gastam sola de tênis 
em horas de esteira sem nenhum benefício coronário, exatamente o que os que estão nessa 
faixa etária mais procuram. O cálculo para achar a frequência cardíaca máxima da população 
média foi rascunhado nos anos 50 pelo cientista americano M.J. Kavornnen e refeito pelos 
fisiologistas Samuel Fox e William Haskell em 1967. É a primeira vez que ele é questionado de 
forma tão aberta. Para chegar às novas conclusões, os fisiologistas do Colorado fizeram nada 
59 
 
menos que 351 estudos com 492 grupos. Ao todo, 18.712 pessoas, com idade entre 18 e 81 
anos, foram avaliadas. Na pesquisa realizada em 1967, não havia um indivíduo sequer que 
tivesse mais de 60 anos. Encabeçada pelos médicos Douglas Seals e Hirofumi Tanaka, a nova 
teoria ganhou reputação ao ser publicada no Journal of the American College of Cardiology. 
Haskell e Fox desenharam sua fórmula apoiados num conceito simples. Depois de avaliar a 
frequência em repouso e durante exercícios de pessoas das mais variadas idades, chegaram à 
conclusão de que a cada ano de vida o ser humano perdia um batimento cardíaco por minuto. 
Não é por acaso, portanto, que o número 220 é a base da fórmula. Ele representa o total de 
batimentos do coração de um recém-nascido. Subtraindo-se a idade do número se chegaria 
então ao valor mágico que poderia orientar as atividades físicas. O novo estudo da Universidade 
do Colorado submeteu os pacientes avaliados a extenuantes testes em esteira realizados em 
laboratório. Tomou-se o cuidado de excluir do grupo fumantes e pessoas com distúrbios do 
coração, para não haver erros. Depois de tanta cautela, a fórmula encontrada para achar a 
frequência cardíaca máxima foi multiplicar a idade por 0,7 e subtraí-la de 208. 
O novo cálculo pode não significarnada para a maioria das pessoas e afugentar os que odeiam 
matemática, mas exemplos simples revelam o que ele representa no dia-a-dia. Pela fórmula 
antiga, um homem saudável, com seus 70 anos, poderia exercitar-se a no máximo 150 
batimentos cardíacos. Pelo novo cálculo, ele pode chegar a 159. Um homem de 80 anos teria 
sua frequência máxima alterada de 140 para 152. Com um jovem de 20 anos ocorre o contrário. 
Se levar em consideração o padrão antigo, pode atingir os 200 batimentos, enquanto a nova 
fórmula propõe 194. 
A diferença de batimentos por minuto, apesar de pequena, é significativa. Quando o coração é 
levado a se esforçar mais do que o suportável, bate tão rápido que não tem tempo de se 
recuperar entre uma contração e outra. Isso pode acarretar falta de fluxo sanguíneo no 
miocárdio, a camada mais espessa da parede do órgão. Trata-se de uma agressão poderosa, 
que pode resultar numa arritmia passageira para quem é saudável ou até num infarto agudo em 
pessoas debilitadas por hipertensão, diabetes ou outras doenças do coração. "Esses poucos 
batimentos para mais ou para menos representam riscos sérios, até morte em casos 
patológicos", diz o professor de fisiologia da Universidade Federal de São Paulo Turíbio Leite de 
Barros Neto. Ele ressalta que na fórmula padrão já está embutida uma margem de segurança, 
que contribui, em alguns casos, apenas para piorar a situação. A frequência máxima encontrada 
pode variar dez batimentos a mais ou a menos. "Um jovem de 33 anos que, usando a forma 
simplificada, acha o número 187 pode se meter numa enrascada se sua máxima real for 177", 
diz Turíbio Leite. Ele coordena uma pesquisa semelhante a ser publicada em junho e chegou a 
resultados próximos dos encontrados pelos cientistas do Colorado. Três mil brasileiros estão 
sendo avaliados desde 1994. Dos que praticam exercícios cinco vezes por semana e têm idade 
entre 20 e 29 anos, 71% superestimam seu potencial cardíaco. Entre a população com idade de 
60 a 69 anos, 91% trabalham aquém de suas possibilidades. O mesmo ocorre com indivíduos na 
faixa dos 50 a 59 anos: 60% deles exercitam-se abaixo de seu potencial. 
Estudos como o da Universidade do Colorado e do fisiologista brasileiro têm uma outra utilidade, 
além de sugerirem uma fórmula mais exata para descobrir a frequência cardíaca. Esse 
subproduto é justamente a busca de uma orientação individualizada. "Qualquer fórmula 
generalizante está muito longe da ideal", diz o médico esportivo Renato Lotufo, hoje responsável 
pela preparação do time do Corinthians. Achar uma fórmula de frequência cardíaca que 
responda com segurança à média da população é um desafio para os fisiologistas. É uma das 
únicas formas viáveis de atingir um grande público e evitar disparates. Justamente o princípio 
que manteve o cálculo de Haskell válido até agora. "Quem lida com atividade física precisa 
afastar os desavisados de um perigo iminente. Entre a fórmula de Haskell e nada, é melhor a 
primeira opção", diz o personal trainer Roberto Toscano, especializado em fisiologia do exercício. 
Ele conta que a fórmula de Haskell tornou-se popular em 1985. Era a época da ginástica 
aeróbica e muitas pessoas se deixavam embalar pela música e pela coreografia das aulas, 
elevando seu ritmo cardíaco a níveis taquicárdicos sem ter noção do que estavam fazendo. "Por 
ser simples e fácil, ela trouxe resultados e continua orientando muitas pessoas." 
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Na tentativa de amenizar as imprecisões das fórmulas generalizadas que os médicos insistem 
em descobrir, uma corrente da fisiologia se utiliza de outro recurso: relaciona a frequência 
máxima com outro valor referente aos batimentos cardíacos. A ideia é simples. Não importa 
somente o limite cardíaco, mas em quanto tempo o organismo se recupera. Uma pesquisa feita 
pela Cleveland Clinic, nos Estados Unidos, mostrou que, em uma pessoa comum, os batimentos 
devem cair vinte pontos após um minuto de repouso. Nos atletas, o número deve beirar os 
cinquenta. Os pesquisadores chegam a afirmar que pessoas que diminuem apenas doze 
batimentos cardíacos nessas condições sofrem quatro vezes mais riscos de morte por 
problemas no coração nos próximos seis anos em comparação às que diminuem treze ou mais 
pontos. Médicos brasileiros discordam em parte das afirmativas. "A recuperação é extremamente 
importante, mas extrair dessa medição um diagnóstico cardíaco é chute", diz o fisiologista Lotufo. 
Um dos poucos testes que podem informar fielmente a quantas anda seu coração tem um nome 
tão complicado quanto a fórmula recentemente prescrita: VO2 Max. Ele verifica o volume 
máximo do oxigênio consumido pelo organismo a cada minuto, que é proporcional ao peso do 
corpo e depende da capacidade de bombeamento do coração. Só que para fazê-lo é necessário 
tempo, dinheiro e disposição. 
Enquanto os testes personalizados não se tornam populares e pesquisadores não chegam a um 
acordo, o melhor é deixar prevalecer o bom senso. "Estudos sobre preparo físico estão sujeitos a 
mudanças e servem para orientar as pessoas a achar a fórmula mais adequada a seu biotipo e 
modo de vida", disse a VEJA William Haskell, criador da fórmula mundialmente conhecida. "Não 
a idealizamos para doentes ou atletas. Aliás, nunca dissemos que era verdade absoluta", 
comenta Haskell, que disse ter assistido atônito à transformação de seu estudo num dogma. 
Realmente não há como negar que sua fórmula cumpriu um papel. Desde que a tabela passou a 
ilustrar as academias de ginástica, as pessoas começaram a se preocupar com algo mais do que 
a largura das passadas. Nos últimos dois anos, praticantes de atividade física em todo o país 
passaram a adornar o tórax com os frequencímetros, aparelhos que informam com precisão o 
número de batidas do coração. A venda desses equipamentos pulou de dez unidades ao mês 
em 1994, quando chegaram ao Brasil, para 250 numa única loja de São Paulo. Sozinhos eles 
ajudam pouco. Cada esportista deve, com a ajuda de seu médico, encontrar sua faixa de 
segurança de frequência cardíaca. 
 
 
 
 
 
Fonte: 
http://veja.abril.com.br/090501/p_070.html 
Acessado em 29/04/2013. 
 
 
Questões para discutir com o texto: 
 
1) Qual a ideia principal do texto? 
2) Qual foi a principal alteração, exposta 
no texto, em relação ao cálculo da 
frequência cardíaca máxima? O que 
essa alteração acarreta? 
3) Considerando i a idade da pessoa, escreva a função utilizada tradicionalmente 
para calcular a frequência cardíaca máxima (fT), e a nova função (fN) proposta. 
4) Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções obtidas no item 
anterior. 
5) Para qual idade as duas funções apresentam a mesma frequência cardíaca 
máxima? 
6) Calcule, pelos dois métodos, qual a sua frequência cardíaca máxima. Qual a 
diferença entre os dois valores que você encontrou? 
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Respostas possíveis: 
 
 Apresentar uma inovação no cálculo de frequência cardíaca. 
 No método tradicional, subtraía-se a idade de 220; no novo modelo subtrai-se 
70% da idade de 208; para os jovens acarretou a diminuição da frequência 
cardíaca máxima, para os idosos, seu aumento. 
 FT(i)=220-i 
 FN(i)=208-0,7i 
 40 anos. 
 
 
 
 
3.8) Referências 
 
MELLO,J. L.P. (2005). Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São 
Paulo: Moderna 
 
SOUZA, Joamir. (2010). Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD 
 
PAIVA,Manoel. (2005). Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna