01 Conceitos Matemática Financeira Economia para Engenharia 201801

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1.1 Introdução 
 
A Matemática Financeira é uma ferramenta utilizada em 
 Operações financeiras (cálculos de: juro, prazo, prestação, desconto, etc.) 
 Análise de alternativas de investimentos ou de financiamento. 
Utiliza conceitos e procedimentos matemáticos aplicados a dados financeiros de modo a facilitar a 
determinação de certos valores e a tomada de decisão sobre esses dados. 
 
Os problemas clássicos de matemática financeira estão ligados à questão do valor do dinheiro no tempo 
(juro e inflação) e como isso é utilizado. Assim, são diversas as aplicações da Matemática Financeira, 
como nos seguintes exemplos: 
 Financiamento de casa e carro, 
 Empréstimos, 
 Compras a crediário ou com cartão de crédito, 
 Aplicações financeiras, 
 Investimentos em bolsas de valores, 
 Avaliação financeira de projetos, 
 Precificação de ações e de derivativos 
 
1.2 Balanço Patrimonial 
 
Toda empresa precisa de bens tangíveis e de dinheiro em caixa. Eles compõem o que é denominado de 
“Balanço Patrimonial” da empresa e, conforme a sua liquidez, podem ser classificados como Ativos 
Fixos e Ativos Circulantes. 
 
(i) Ativos Fixos (Ativo Imobilizado ou Não Circulante) - é toda a propriedade da empresa, que não será 
convertida em dinheiro em curto prazo. Isso significa que todos os bens que podem virar dinheiro, 
mas que precisam de tempo para essa transformação, são classificados como Ativo Fixo. Em outras 
palavras, possuem menos liquidez. Os Ativos Fixos podem ser classificados como: 
 Bens tangíveis (existem fisicamente): máquinas, terrenos, 
veículos, material de escritório, bens a receber no longo 
prazo, etc. 
 Bens intangíveis (não existem fisicamente): direitos 
autorais, patentes etc.. 
 
(ii) Ativo Circulante - são os bens e recursos aplicados na 
empresa e que podem ser convertidos facilmente em 
dinheiro em curto prazo, isto é, são os elementos de maior 
grau de liquidez da empresa. 
Pode-se dizer que o Ativo Circulante agrupa todo (ou quase 
todo) o dinheiro em caixa da empresa. 
Conceitos de Matemática 
Financeira 
 
 
Economia para 
Engenharia 
1 
Observações: 
Liquidez - é a facilidade de um item 
transformar-se em dinheiro em um 
curto prazo. 
Curto prazo – duração que vai até o 
final do exercício social seguinte ao da 
elaboração do Balanço Patrimonial 
Longo prazo - quando não se 
determina o prazo de vencimento do 
direito. 
 
Ele diz respeito às contas que estão constantemente em giro, ou circulação. Ativos Circulantes são 
todos os bens e direitos que a organização consegue transformar em dinheiro no curto prazo, como 
por exemplo: 
 Estoques (produtos em elaboração, produtos acabados e mercadorias para revenda), 
 Matéria-prima, 
 Capital de Giro 
 Disponibilidades (caixa, bancos conta movimento e aplicações financeiras), 
 Títulos negociáveis (como duplicatas a receber), 
 Créditos de realização a curto prazo (como adiantamento a fornecedores e empregados) 
 
 
1.3 Capital Fixo e Capital de Giro. 
 
(i) Capital Fixo - corresponde aos bens tangíveis, isto é, ao capital físico do Ativo Fixo da empresa, que: 
 Não é consumido ou destruído durante o ciclo de produção (ativo imobilizado) de um bem ou 
serviço, 
 É usado na produção de bens  é reutilizável 
 Não inclui os materiais utilizados na composição do bem, como matéria-prima, por exemplo. 
 Inclui tudo o que é necessário para criar e armazenar os bens 
 
Exemplo: 
 Máquinas e Equipamentos 
 Móveis e Utensílios 
 Instalações 
 Veículos 
 Computadores e Periféricos 
 Ferramentas, 
 Terrenos, 
 Edifícios e Prédios de escritórios, 
 Materiais de escritório 
 
O capital fixo necessário para uma empresa varia com a linha de negócios da empresa, por exemplo: 
 Fabricantes industriais - exigem um alto investimento em capital fixo. 
 Negócios baseados em serviços - podem ter capital fixo menor e mais limitado 
 
O capital fixo da empresa foi de alguma forma adquirido de terceiros  O capital fixo resulta das 
compras ou alugueis realizados pela empresa, isto é, houve um momento em que parte do capital 
circulante (dinheiro) da empresa (ou de seus sócios e donos) foi empenhado (transformado) em 
capital fixo. 
 
 
 
 
 
(ii) Capital de Giro– Capital de giro significa capital para trabalho, ou seja, o capital necessário para 
financiar a continuidade das operações da empresa, é parte do Ativo Circulante, como: 
 Recursos para financiamento aos clientes (nas vendas a prazo), 
 Recursos para manter estoques 
 Recursos para pagamento aos fornecedores (compras de matéria-prima ou mercadorias) 
 
Capital 
Circulante Dinheiro 
Aquisição de 
Ativos pela 
Empresa 
Bens Tangíveis 
Capital Fixo 
1.4 Depreciação do Capital Fixo 
 
Ao longo do tempo o capital fixo (máquinas, equipamentos, etc.) tende a se desgastar até à sua perda ou 
parada completa, quando não serve mais para nada (se desvalorizou completamente). 
A Depreciação é a redução do valor de um bem tangível devido ao: 
 Desgaste (pneu careca, etc.) 
 Ação da natureza (calor-frio, chuva, inundação, etc.) 
 Perda de utilidade com o seu uso (exemplo: lâminas sem fio de corte, etc.), 
 Obsolescência (sem peças de reposição, sem suporte técnico, etc.). 
 
Assim, a utilização frequente de uma coisa implica em seu desgaste  Se uma coisa se desgasta, 
naturalmente com o tempo ela termina por parar de funcionar. Para evitar a perda/parada do processo, 
é preciso substituir essa coisa por uma nova. Isso requer que se faça um provisionamento de recursos 
monetários ao longo do tempo, para aquisição de uma nova e assim substituir a defeituosa/gasta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Investimentos em Capital Fixo não se depreciam da mesma maneira: 
 Alguns desvalorizam rapidamente, 
 Outros têm vida útil maior (duram muito mais tempo  desvalorizam lentamente). 
Por exemplo, um automóvel zero perde valor significativo ao ser transferido da concessionária para o 
novo proprietário. Por outro lado, um prédio de escritórios pode depreciar-se a uma taxa muito mais 
lente. 
 
Uma boa prática é calcular o valor que o bem perderá ao longo de sua vida útil e mensalmente 
provisionar este valor para a compra do novo bem. 
 
1.5 Formação Bruta de Capital Fixo (FBKF) 
 
São investimentos em Capital Fixo que incluem tudo o que é necessário para criar e armazenar os bens 
que estão sendo produzidos na empresa como a fábrica, as máquinas, o terreno, etc. Além disso, a FBKF 
deve também contemplar: 
 Compras entre empresas 
 Depreciação 
 Pesquisa de novas tecnologias e produtos 
 
1.6 Poupança 
 
A parcela da renda das pessoas não gasta nos bens de consumo, i.e., guardada, dá-se o nome de 
poupança. Corresponde a um exercício de parcimônia. Ocorre poupança quando alguém evita consumir 
uma mercadoria ou serviço apesar desta opção estar disponível para ele. Assim: Poupança é a parcela 
da renda não consumida  Logo é um ato de abstenção de consumo. 
 
 
 
Tempo 
Valor 
Valor 
Residual 
Valor de 
Aquisição 
Curva da 
depreciação 
Curva Acumulativa 
de Provisionamento 
 
 
 
1.7 Investimento 
 
Todo trabalhador tem a opção de consumir ou acumular em uma poupança parte de seu salário. O valor 
acumulado só cresce (rende algo) se for aplicado em algum negócio que produza rendimento (por si só o 
dinheiro parado não cresce de valor, ao contrário ele perde valor). Assim, essa poupança quando 
aplicada em algum negócio vira capital e é parte de seu trabalho, e assim pode ser vista como um 
trabalho acumulado. Capital é trabalho acumulado. 
 
Investimento é a aplicação do capital com o objetivo de aumentar o estoque de riqueza. 
 
Capital é o valor investido em algum negócio através de uma operação financeira,também é chamado 
de Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se “Present Value” (indicado 
pela tecla PV nas calculadoras financeiras). 
 
1.8 Definições 
 
 Principal, Capital ou Valor Presente – é o valor que está sendo emprestado ou investido. 
 Juro – é a compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) ao 
emprestador (que sacrificou seu consumo ao entregar sua poupança ao tomador de 
empréstimo) para ter o direito de usar o dinheiro do poupador até o dia da sua devolução. 
 Saldo - é a soma do Principal com o Juro em um determinado momento. 
 Parcela ou Pagamento – é o valor pago pelo tomador do empréstimo (ou receptor do 
investimento) ao emprestador. 
 
1.9 Taxa de Juro 
 
(i) Conceito 
Ao realizarmos um empréstimo: valor de quitação do empréstimo > valor inicial do empréstimo.  
Diferença = juro. 
 
O homem percebeu a afinidade entre o dinheiro e o tempo. 
 
As coisas no tempo são esquisitas, elas normalmente se desgastam e portanto são menores, menos 
eficientes, menos funcional do que eram no início, corrompidas (dizemos entrópicas) com o avanço do 
tempo. 
 
Com o dinheiro isso ocorre de maneira curiosa, o dinheiro é: 
 Anti-entrópico - quando aplicado ele aumenta com o tempo (valorização monetária). 
 Entrópico - quando parado ele perde valor com o tempo (desvalorização monetária). 
 
As situações de acúmulo de capital e desvalorização monetária dão a ideia de juro, pois isso acontece 
em razão do valor momentâneo do dinheiro. 
 
Taxa de juro (em inglês: “interest rate”) 
 É a remuneração pela utilização da unidade de capital durante o período a que se refere a taxa. 
 É o preço do dinheiro. 
 É o lucro obtido pelo dinheiro emprestado, investido ou depositado, por um período. 
 É a remuneração devida pelo tomador ao emprestador do dinheiro 
 
 
 
 
 
 
O juro existe porque existem pessoas com disponibilidade de 
recursos para empréstimo e existem pessoas que: 
 Não possuem o dinheiro 
 Desejam o consumo hoje ou 
 Precisam fazer um pagamento imediato ou 
 Querem alavancar um negócio agora 
Assim, essas pessoas estão dispostas a fazer empréstimo e a 
pagar um preço por isto. 
 
Quem foi capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, durante o período 
que acumulou o valor fez o sacrifício de não consumir. E se nesse momento a quantia poupada é 
emprestada a alguém, menos paciente, essa pessoa deve ser recompensada por esta abstinência na 
proporção do tempo e risco, que a operação envolver. 
 
(ii) Valor da taxa de juro 
Todas as movimentações financeiras são baseadas no prévio estabelecimento do valor da taxa de juro. 
Esse valor depende do: 
 Tempo (duração do empréstimo), 
 Risco do reembolso 
 Quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos (oferta monetária) 
 Quantidade da demanda por dinheiro (tomadores de empréstimos) 
 Volume de dinheiro a ser emprestado 
 Forma de pagamento (prestações mensais, prestações quinzenais, quitação ao final, etc.) 
 
(iii) Forma expressa do juro 
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, por um determinado 
período. Ela vem normalmente expressa: 
 Na forma percentual, seguida da especificação do período a que se refere: 
 Na forma unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 
 
Exemplos: 
Forma percentual Forma unitária 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 0,08 a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 0,10 a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
15 % a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
 
1.10 Capitalização – Regime dos juros 
 
É o processo de acumulação de capital através de uma taxa de juros. Esse processo é regido pelo regime 
de juros. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. 
 Juros simples - o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
Compromisso 
Dinheiro 
Emprestado 
Instante t: Empréstimo 
Devolução do 
Dinheiro + Juros 
Devolução do 
Compromisso 
Instante t + t: Quitação 
Observação: “Juro” ou “Juros” 
As duas formas estão corretas. “Juros” 
é o plural de “juro”, sendo assim, o 
artigo, os adjetivos e os verbos que 
acompanharem essa palavra devem 
concordar em número e gênero 
(masculino) com ela. 
 
 Juros compostos - o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de 
correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital 
inicial e passa a render juros também. 
 
O Regime de juro é definido conforme a duração do período de empréstimo (curto e longo prazo). 
 
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: 
 Compras a médio e longo prazo, 
 Compras com cartão de crédito, 
 Empréstimos bancários, 
 Aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança 
 Aplicações em fundos de renda fixa, etc. 
 
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: exceto nos casos: 
 Operações de curtíssimo prazo, 
 Desconto simples de duplicatas. 
 
1.11 Regime de Juros Simples 
 
O regime de juros será simples 
 Quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal (e não sobre os juros 
passados). 
 Sobre os juros gerados em cada período não incidirão novos juros. 
 Valor principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de 
somarmos os juros. 
 
É o regime onde somente o capital inicial produz juros 
Chamando: 
J = juro 
C = capital ou principal = PV (Present Value) 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
M = montante = Principal + Juro = FV (Future Value) 
Então: 
Juros: J = C.i.n ou J = M - C 
Montante: M = C + J  M= C + C.i.n, logo: M = C (1 + i.n) 
 Valor Atual: VA = M / (1 + ni) 
 
Juro Comercial: usa duração do ano como 360 dias e duração do mês como 30 dias 
Juro Exato: usa duração do ano como 365 ou 366 dias e duração do mês como 28, ou 29, ou 30 ou 31 
dias. 
 
(i) Principal e juros pagos ao fim do período de investimento: 
Cn = C0 (1 + i.n) 
J = Cn – C0  J = ni 
 
 
 
 
(ii) Juros cobrados antecipadamente e o principal no fim do prazo de empréstimo. 
Recebimento
(Entrada) 
Pagamento 
(Saída) 
C 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... n 
M 
Investimento
(Saída) 
Rendimento 
(Entrada) 
C0 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... n 
Cn 
 
 
 
 É equivalente a: 
 
 
 
1.12 Exercícios com Juros simples 
 
1.12.1 Tem-se uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juro de 8% a.m. pelo regime de juros 
simples e deve-se pagá-la em 2 meses. Quanto serão os juros que serão pagos? 
 
Solução: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
 
1.12.2 Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 
dias. 
 
Solução: 
M = P . (1 + i.n) 
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 
 
Observação: A taxa i e o período n foram expressas na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ser 
necessário dividir 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial 
possui 360 dias. 
 
1.12.3 Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 
 
Solução: 
Se a taxa é 13% (ou seja, 0,13) ao trimestre, vamos dividi-la por 6 para encontrar a taxa a cada 15 dias 
(visto que um trimestre tem 6 períodos de 15 dias): 
0.13 / 6 = 0.02167 
Logo, para 4 meses e 15 dias, a taxa é 0.02167 x 9 = 0.195. Portanto: 
J = 1200 x 0.195 = R$ 234,00 
 
1.12.4Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 
dias. 
 
Solução: 
Temos: J = P.i.n 
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. 
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos 
calcular diretamente: 
J = 40000.0,001.125 = R$ 5.000,00 
 
1.12.5 Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? 
 
Solução: 
Temos imediatamente: 
J = P.i.n 
3500 = P.(1,2/100).(75/30) 
C0 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... n 
Cn = C0 
J = C0 n i 
C = C0 – C0 n i 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... n 
Cn = C (1 + ie n) 
Onde: ie = i / (1 + i n) 
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, meses. Logo, 
3500 = P. 0,012 . 2,5 
3500 = P . 0,030; 
Daí, vem: 
P = 3500 / 0,030 = R$ 116.666,67 
 
1.12.6 Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um 
capital aplicado através de capitalização simples? 
 
Solução: 
Objetivo: M = 2.P 
Dados: i = 150/100 = 1,5 
Fórmula: M = P (1 + i.n) 
Desenvolvimento: 
2P = P (1 + 1,5 n) 
2 = 1 + 1,5 n 
n = 2/3 ano = 8 meses 
 
1.13 Regime de Juros Compostos 
 
Regime onde os juros são incorporados ao capital inicial e produzem juros nos períodos subsequentes. 
 
Os juros formados no fim de cada período a que se refere a taxa são incorporados ao capital para 
também renderem juros no período seguinte. 
 
t = 1 c1 = c0 + J  c1 = c0 + i.c0  c1 = c0 (1 + i) 
t = 2  c2 = c1 + J + i.J onde: c1 + J = juros devidos ao capital inicial 
 i.J = juros devidos a juros 
 Assim: 
 c2 = c1 + J (1 + i)  c2 = c0 (1 + i) + J (1 + i) c2 = (1 + i) (c0 + J) c2 = (1 + i) c1 c2 = (1 + i) (1 + i)c0 
 c2 = (1 + i)
2c0 
Da mesma maneira tem-se: 
t = 3  c3 = (1 + i)
3c0 
................................... 
t = n  cn = (1 + i)
nc0 
 
Considerando que no regime de juros compostos o montante é: cn = (1 + i)
nc0 
o capital inicial cresce em progressão geométrica de razão igual a (1 + i), pois: an = a1 q
n-1 
O valor atual é: VA = c0 mas: cn = (1 + i)
nc0  c0 = cn / (1 + i)
n 
 
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro, sendo portanto o mais útil para 
cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para 
o cálculo dos juros do período seguinte. 
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. 
 
Definindo 
 FV= Valor Futuro (do inglês Future Value) 
 PV = Valor Presente (do inglês Present Value) 
 i = Taxa de juros (do inglês Interest Rate) 
 n = Número de períodos 
Tem-se para três meses de capitalização: 
1º mês: M1 =P.(1 + i) 
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M2 = M1.(1 + i)  M2 = P.(1 + i).(1 + i) 
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M3 = M2.(1 + i)  M3 = P.(1 + i).(1 + i).(1 + i) 
Simplificando, tem-se a fórmula: 
Mn = P . (1 + i)
n ou FV = PV (1 + i)n 
Logo: FV / (1 + i)n 
 
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, se são n meses 
então taxa de juros terá que ser ao mês. 
Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o principal do montante ao final do período: 
J = M – P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.14 Relação entre juros e progressões 
 
(i) Regime de capitalização a juros simples, o montante é igual a: 
M(n) = P . (1 + r.n)  o saldo cresce em progressão aritmética. 
 
(ii) Regime de capitalização a juros compostos, o montante é igual a: 
M(n) = P . (1 + r)n  o saldo cresce em progressão geométrica. 
 
1.15 Operações com Taxas de Juros 
 
(i) Taxa Proporcional: 
Duas taxas são chamadas proporcionais quando existe entre elas a mesma relação verificada para os 
períodos de tempo a que se referem: 
i
i
n
n
1
2
1
2

 
(ii) Taxas Equivalentes 
Duas taxas são equivalentes se fizerem com que o mesmo principal produza o mesmo montante no 
final do mesmo prazo de aplicação. São aquelas que aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo 
prazo produzem o mesmo montante 
 
Exemplo para taxas equivalentes de 80% a.a, 34.16% a.s. e 5.02% a.m. 
 
 
 
 
 
 
$100 (1 + 0,80) = $180 
0 1 ano 
$100,00 
$100 (1 + 0,3416)
2
 = $179,99 
0 2 semestres 
$100,00 
$100 (1 + 0,0502)
12
 = $179,99 
0 12 meses 
$100,00 
Curiosidade: 
Os antigos consideravam taxas de juros excessivas (acima de 10%) como imoral, e denominavam de usura 
a cobrança de remuneração abusiva pelo uso do capital. Mas aceitavam o dízimo (10%) como taxa justa. 
Considerando que era usual que eles trabalhassem com até 5 casas decimais, e sabendo-se que um 
devedor que não quitasse sua dívida tornava-se automaticamente escravo do credor (no judaísmo por 7 
anos), então era possível ao credor colocar o devedor como escravo dependendo da precisão que este 
usasse para o cálculo. 
Para uma taxa de juros composta de 11% a.m. a precisão requer 7 algarismos significativos a partir do 3º 
mês para não ter erro algum, pois (1+0,11)3= 1,367631. Assim, a partir daí precisará de mais significativos 
para a potência ser calculada com precisão. Portanto, para uma pessoa que trabalha com 4 casas decimais 
o erro já aparece a partir do quinto mês. 
 
 
(iii) Taxas nominais 
Taxa nominal de juros: É aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele à que ela se 
refere. Ou seja: quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com 
aquele a que a taxa está referida. Por exemplo, podemos ter uma taxa anual, mas com os juros sendo 
calculados e acrescidos mês a mês ou semestralmente como em: taxa de 10% a.a. com capitalização 
semestral. 
 
São exemplos de taxas nominais: 
 1150% ao ano com capitalização mensal. 
 340% ao semestre com capitalização mensal. 
 300% ao ano com capitalização trimestral. 
 
(iv) Taxas efetivas ou Taxa Implícita 
Taxa efetiva de juros: É aquela que efetivamente é considerada na aplicação de fórmulas. Por exemplo: 
a taxa de 5% é a taxa efetiva correspondente à taxa nominal de 10%a.a. com capitalização semestral, ou 
seja: 
i
i
k
efetiva
nominal
, 
onde 
k
= número de períodos de capitalização ao longo do prazo referido nominalmente. 
 
A taxa efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele 
a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 
- 140% ao mês com capitalização mensal. 
- 250% ao semestre com capitalização semestral. 
- 1250% ao ano com capitalização anual. 
A palavra efetiva, significa real, verdadeira. Isto quer dizer que, para efeitos de cálculo, utilizamos a 
taxa efetiva, e não a taxa nominal. 
 
Exemplo: 
Uma taxa de 15% a.a., com capitalização mensal, terá 16.08% a.a. como taxa efetiva. pois: 
Como um ano tem 12 meses, a taxa mensal seria a taxa anual dividida por 12: 15/12 = 1,25 
Nos 12 meses de capitalização, teríamos: (1+1,25/100)12 = 1,012512 = 1,1608  16.08% a.a. 
 
(v) Taxa Real 
É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. 
 
1.16 Exercícios com Juros Compostos 
 
Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 
3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) 
Resolução: 
P = R$6.000,00 
t = 1 ano = 12 meses 
i = 3,5 % a.m. = 0,035 
M = ? 
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: 
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: 
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 
Então M = 6000.1,509 = 9054. 
Portanto o montante é R$ 9.054,00. 
 
1.17 ExercíciosPropostos 
 
1.17.1 Que quantia devo investir hoje, a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês, para que se 
tenha, ao final de 4 meses, um resgate no valor de $3.600,00. 
 
1.17.2 Calcular o resgate obtido pela aplicação de um capital de $100.000,00, pelo prazo de um ano, a 
uma taxa de juros de 5% ao mês, capitalizado mensalmente. 
 
1.17.3 Calcular o capital que, no prazo de 3 meses, aplicado a uma taxa de 4% ao mês, produzirá o 
montante de $134.983,68. 
 
1.17.4 Em que prazo um capital de $120.000,00, a 4% ao mês, renderá de juros compostos a 
importância de $90.535,71? 
 
1.17.5 Um capital de $100.000,00 colocado a juros compostos, durante 8 meses, elevou-se no final 
desse prazo a $148.000,00. Calcular a taxa mensal de juros dessa aplicação. 
 
1.18 Para saber mais 
 
[1] PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 7ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2006 
[2]Samanez, C. P. Matemática Financeira Aplicações à Análise de Investimentos; Rio de Janeiro: Pearson / 
Prentice Hall, 2007. 
[3] VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 2001. 
[4] VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2006. 
[5] Site: "Matemática Financeira" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, Consultado 
em 10/01/2018. Disponível na Internet em http://www.somatematica.com.br/emedio/finan3.php