capitulo02P03 (1)

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Propriedades Algébricas do Estimador MQO
Aula 05, Introdução à Econometria
Prof. Moisés A. Resende Filho
Capítulo 02, parte 3
20 de março de 2018
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) Propriedades Algébricas MQO 20/03/2018 1 / 28
1. Introdução
bβ0 e bβ1, as estimativas MQO de β0 e β1 no MRLS, são obtidas pela
aplicação dos estimadores MQO
bβ0 = y¯ � bβ1x (1)
e
bβ1 = ∑ni=1(xi � x)(yi � y¯)∑ni=1(xi � x)2 (2)
=
n∑ni=1 xiyi �∑ni=1 xi ∑ni=1 yi
n∑ni=1 x2i � (∑ni=1 xi )2
aos dados.
Esses são também estimadores MM sob a hipótese crucial
E (ujx) = 0.
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Introdução
Os valores ajustados ou estimados de y , byi , ou estimativas de
E (y jx) são obtidos substituindo xi no modelo de regressão estimado:
byi = bβ0 + bβ1xi , i = 1, ..., n
Os resíduos, bui � yi � by , da regressão MQO são
bui = yi � bβ0 � bβ1xi , i = 1, ..., n
Se bui > 0, o valor observado yi é maior que o previsto byi .
Se bui < 0, o valor observado yi é menor que o previsto byi .
Vide grá…co no próximo slide.
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Introdução
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Introdução
Aplicando os estimadores MQO aos dados do arquivo beauty.dta
(disponivel na página web do curso) obtém-se:
 _cons 1,57 0,63 2,50 0,01 0,34 2,80
 educ 0,38 0,05 7,71 0,00 0,28 0,47
 wage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 Total 27347.4392 1259 21.7215561 Root MSE = 4.5562
 Adj R-squared = 0.0443
Residual 26114.4737 1258 20.7587231 R-squared = 0.0451
 Model 1232.96548 1 1232.96548 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 1258) = 59.40
Source SS df MS Number of obs = 1260
. regress wage educ, cformat(%9,2f) pformat(%5,2f) sformat(%8,2f)
Portanto, bβ0 = 1, 57, bβ1 = 0, 38 e o MRLS estimado ébyi = 1, 57+ 0, 38xi , i = 1, ..., 1260
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Introdução
 5. 11.42 16 7.602482 3.817518
 4. 11.57 16 7.602482 3.967518
 3. 7.96 10 5.340084 2.619916
 2. 4.28 12 6.094216 -1.814216
 1. 5.73 14 6.848349 -1.118349
 wage educ wagehat uhat
. list wage educ wagehat uhat in 1/5
. predict uhat, residuals
. predict wagehat, xb
predict wagehat, xb é o comando para gerar a série[wage i ; predict
uhat, residuals é o comando para gerar a série bui ; list wage educ
wagehat uhat in 1/5 é o comando para apresentar os cinco primeiro
valores das séries.
Há resíduos positivos se wagei >[wage i e negativos se wagei <[wage i .
Como medir o grau de ajuste do modelo aos dados? Com ∑ni=1 bui?
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2. Propriedades Algébricas de MQO
(Propriedade 1) A soma e, portanto, a média dos resíduos MQO, bu,
são zeros:
∑ni=1 bui = 0 = bu (3)
em consequência da imposição do momento populacional E (u) = 0 aos
dados ou da primeira equação normal de MQO.
A propriedade 1 somente é assegurada se o modelo é estimado com
um intecepto.
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Propriedades Algébricas de MQO
Uma consequência direta da Propriedade 1 é que, comobyi + bui = yi , então:
n�1∑ni=1 byi + n�1∑ni=1 bui = n�1∑ni=1 yi =>
n�1∑ni=1 byi = n�1∑ni=1 yi , pois ∑ni=1 bui = 0
ou seja, by = y¯
a média dos valores previstos de y é igual a média amostral de y .
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Propriedades Algébricas de MQO
(Propriedade 2) Ortogonalidade de x e bu
∑ni=1 xibui = 0 (4)
em consequência da imposição do momento populacional E (xu) = 0 aos
dados ou devido a segunda equação normal de MQO.
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Propriedades Algébricas de MQO
Uma consequência direta das Propriedades 1 e 2 é que a covariância
e, assim, a correlação amostral de x e os resíduos são zeros, pois:
dCov(x , bu) = ∑ni=1(xi � x)(bui � bu)
n� 1 , mas bu = 0
=
∑ni=1 xibui � x ∑ni=1 bui
n� 1 = 0
Uma segunda consequência direta é que como byi = bβ0 + bβ1xi , 8i são
funções lineares de xi , os byi , 8i também são ortogonais a bui , 8i :
∑ni=1 byibui = bβ0∑ni=1 bui + bβ1∑ni=1 xibui
, pois ∑ni=1 xibui = ∑ni=1 bui = 0
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Propriedades Algébricas de MQO
(Propriedade 3) A reta da regressão estimada passa no ponto (x¯ , y¯),
tal que:
y¯ = bβ0 + bβ1x¯
ou seja, se substituirmos na regressão estimada a média amostral de
x , x¯ , no lugar de xi , o valor estimado de y , byi , será a própria média
amostral de y , y¯ .byi = bβ0 + bβ1xii , 8i , tal que aplicando dos dois lados da igualdade
somatório e multiplicando por n�1, temos que:
n�1∑ni=1 byi = n�1nbβ0 + bβ1n�1∑ni=1 xiby = bβ0 + bβ1x¯
mas uma consequência direta da propriedade 1 é que by = y¯ .
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3. Qualidade do Ajuste da Regressão MQO
De…na Soma dos Quadrados Total (SQT ), Soma dos Quadrados
Explicada (SQE ) e Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR) da
seguinte forma:
SQT � ∑ni=1(yi � y¯)2
SQE � ∑ni=1(byi � y¯)2
SQR � ∑ni=1 bu2i
Note que SQT
(n�1) ,
SQE
(n�1) e
SQR
(n�1) são, respectivamente, a variância
amostral de y , byi , bui .
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Qualidade do Ajuste da Regressão MQO
SQT pode ser reescrita como:
∑ni=1(yi � y¯)2 = ∑
n
i=1[(yi �byi ) + (byi| {z }�y¯)]2, pois � byi + byi = 0
= ∑ni=1[bui + (byi � y¯)]2, pois bui � yi � byi
= ∑ni=1 bu2i + 2 ∑ni=1 bui (byi � y¯)| {z }
pois ∑ni=1 byibui=∑ni=1 bui=0
+∑ni=1(byi � y¯)2
tal que,
SQT = SQE + SQR (5)
Lembre-se de que assegura-se que ∑ni=1 bui = 0 somente se o modelo é
estimado com intercepto.
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Qualidade de Ajuste da Regressão MQO
Admitindo que SQT > 0, de…nimos a parcela da variação total em yi
explicada por xi ou explicada pela regressão MQO por:
R2 =
SQE
SQT
= 1� SQR
SQT
(6)
R2 é chamado de R-quadrado, R dois ou coe…ciente de
determinação da regressão.
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Qualidade de Ajuste da Regressão MQO
É possível mostrar que o R2 = Corr(yi , byi )2, ou seja, o quadrado da
correlação amostral entre yi e byi , tal que:
0 � R2 � 1
Esse resultado somente é válido no modelo estimado com intercepto.
R2 = 0 indica que não há relação linear e R2 = 1 indica que há uma
relação linear perfeita entre y e x .
Não devemos nos …xar no R2, pois um “alto”R2 não é necessário ou
su…ciente para inferir causalidade de x em y .
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Qualidade de Ajuste da Regressão MQO
O resultado da regressão MQO com os dados do arquivo beauty.dta
é:
 _cons 1.56942 .6279439 2.50 0.013 .3374873 2.801353
 educ .3770664 .0489263 7.71 0.000 .2810802 .4730526
 wage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 Total 27347.4392 1259 21.7215561 Root MSE = 4.5562
 Adj R-squared = 0.0443
Residual 26114.4737 1258 20.7587231 R-squared = 0.0451
 Model 1232.96548 1 1232.96548 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 1258) = 59.40
Source SS df MS Number of obs = 1260
. reg wage educ
Como R2 = 0, 045, dizemos que anos de escolaridade(educ) explica
apenas 4, 5% da variação total no salário por hora na amostra.
Ou que a regressão explica apenas 4, 5% da variação total no salário
por hora na amostra.
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4. Unidades de Medida e Forma Funcional
Para se poder interpretar as funções de regressão, é muito importante
saber como y e x são medidos.
Na regressão estimada com educ em anos de escolaridade:
[wage = 1, 57+ 0, 38 educ
n = 1260, R2 = 0, 0451
estima-se que um ano a mais de escolaridade aumenta o salário-hora
em 0, 38 dólares.
Mas e se educ fosse medido em meses?
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Unidades de Medida e Forma Funcional
Se ynovo = byvelho e xnovo = cxvelho , em que b e c são constantes
diferentes de zero:bβ1,novo = ∑ni=1(cxi ,velho � cxvelho )(byi ,velho � by¯velho )∑ni=1(cxi ,velho � cxvelho )2
=
cb
c2
∑ni=1(xi ,velho � xvelho )(yi ,velho � y¯velho )
∑ni=1(xi ,velho � xvelho )2
=
b
c
bβ1,velho (7)
bβ0,novo = by¯velho � bc bβ1,velhocxvelho
= by¯velho � bβ1,velhoxvelho )
= bbβ0,velho (8)
O R2 permanece o mesmo, ou seja, independe das unidades de
medida de y e x .
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Unidades de Medida e Forma Funcional
 _cons 1.56942 .6279439 2.50 0.013 .3374873 2.801353
 educmes .0314222 .0040772 7.71 0.000 .0234233 .039421
 wage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 Total 27347.4392 1259 21.7215561 Root MSE = 4.5562
 Adj R-squared = 0.0443
Residual 26114.4737 1258 20.7587231 R-squared = 0.0451
 Model 1232.96548 1 1232.96548 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 1258) = 59.40
Source SS df MS Number of obs = 1260
. reg wage educmes
. gen educmes=educ*12
[wage = 1, 57+ 0, 031educmeses
n = 1260, R2 = 0, 0451
No caso, b = 1 e c = 12, tal que: bβ0,novo = bβ0,velho ebβ1,novo = 112bβ1,velho = 112 � 0.38 = 0, 031.
Estima-se que um mês a mais de estudo formal aumente o
salário-hora em 0, 38/12 = 0, 031 dólares.
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4.1. Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples
Tomemos o exemplo:
[wage = 1, 57+ 0, 38educ
n = 1260, R2 = 0, 0451
Assim, estima-se que um ano de escolaridade aumenta o salário hora
em US$ 0, 38, seja qual for o nível de escolaridade do indivíduo, por
exemplo, para alguém com curso superior (16 anos de escolaridade)
ou alguém com segundo grau completo (12 anos de escolaridade).
Como permitir efeitos diferenciados de educ no modelo?
Uma forma é admitir que há um aumento percentual constante do
efeito de educ no salário.
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Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples
Podemos aproximar variações percentuais constantes usando o log natural
(no livro do Wooldridge, log()), por exemplo, logaritmizando a variável
dependente como, por exemplo:
log(wage) = β0 + β1educ + u (9)
tal que mantendo u …xo (hipótese ceteris paribus),
100� β1 = 100�
∂ log(wage)
∂educ
= 100� ∂ log(wage)
∂wage
∂wage
∂educ
=
1
wage
∂wage
∂educ
� 100 =
∂wage
wage � 100
∂educ
� %∆wage
∆educ
� mudança percentual no salario
mudança em educ
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Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples
Assim, no modelo log(wage) = β0 + β1educ + u:
100� β1 � %∆wage devido a ∆educ = 1
Nesse exemplo, (100� β1) é o retorno da escolaridade (como no
caso do retorno de um investimento) e não depende da unidade em
que o salário é medido (reais, dólares, euros,...).
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Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples
 _cons .9014239 .0790132 11.41 0.000 .7464117 1.056436
 educ .0602839 .0061563 9.79 0.000 .0482061 .0723616
 lwage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 Total 444.979972 1259 .353439215 Root MSE = .5733
 Adj R-squared = 0.0701
Residual 413.464976 1258 .328668502 R-squared = 0.0708
 Model 31.5149966 1 31.5149966 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 1258) = 95.89
Source SS df MS Number of obs = 1260
. reg lwage educ
[lwage = 0, 90+ 0, 06 educ
n = 1260, R2 = 0, 0708
A estimativa do retorno da escolaridade é 0, 06� 100 = 6%.
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Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples
[wage = exp(0, 9+ 0, 6 � educ)
0 1 2 3 4 5
10
20
30
40
50
educ
wage
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Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples
No modelo de elasticidade constante, log-log ou duplo log:
log(salario) = β0 + β1 log(vendas) + u (10)
temos que, ceteris paribus:
β1 =
∂ log(salario)
∂ log(vendas)
=
∂ log(salario)
∂salario
∂salario
∂vendas
∂vendas
∂ log(vendas)
=
∂salario/salario
∂vendas/vendas
� 100
100
� mudança percentual no salario
mudança percentual em vendas
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Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples
Portanto, no modelo log(salario) = β0 + β1 log(vendas) + u, β1 é a
elasticiade vendas do salario.
Elasticiades são livres de unidades de medida, por exemplo, de salario
e vendas.
Um modelo de elasticiade constante para salário e vendas deve fazer
mais sentido que um com efeito constante em dólares.
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Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples
Usando os dados no arquivo ceosal1.dta, obtemos:
 _cons 4.821997 .2883396 16.72 0.000 4.253538 5.390455
 lsales .2566717 .0345167 7.44 0.000 .1886224 .3247209
 lsalary Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 Total 66.7221632 208 .320779631 Root MSE = .50436
 Adj R-squared = 0.2070
Residual 52.6559944 207 .254376785 R-squared = 0.2108
 Model 14.0661688 1 14.0661688 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 207) = 55.30
Source SS df MS Number of obs = 209
. reg lsalary lsales
Como bβlvendas = 0, 25, estima-se que cada 1% de aumento nas
vendas da empresa resulta em um aumento de 0, 26% no salário do
CEO/chefe executivo.
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Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples
Modelo Var. Dep. Var. Indep. β1
Nível-Nível y x ∆y = β1∆x
Nível-Log y log(x) ∆y = (β1/100)%∆x
Log-Nível log(y) x %∆y = (100β1)∆x
Log-Log log(y) log(x) %∆y = β1%∆x
A possibilidade de usar o log natural e, assim, obter relações não
lineares entre y e x levanta a questão: Como devemos entender o
temo "linear"em regressão ?
A resposta é que o modelo deve ser linear nos parâmetros, β0 e β1.
Ou seja, podemos fazer transformações das variáveis dependentes e
independentes de modo a obter interpretações mais interessantes dos
parâmetros.
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	1. Introdução
	2. Propriedades Algébricas de MQO
	3. Qualidade do Ajuste da Regressão MQO
	4. Unidades de Medida e Forma Funcional
	4.1. Usando Logaritmo Natural na Regressão Simples