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O Modelo de Regressão Simples
Aula 03, Introdução à Econometria
Prof. Moisés A. Resende Filho
Capítulo 02, parte 1
14 de março de 2018
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) O Modelo de Regressão Simples 14/03/2018 1 / 21
1. Cinco Passos da Análise Econométrica ou Econômica
Empírica
Passo 1. Formular a questão de interesse e, com isto, de…nir a
população de interesse.
Passo 2. Especi…car o modelo econômico ou modelo conceitual.
Passo 3. Especi…car o modelo econométrico.
Passo 4. Obter dados por meio de experimentação ou coleta passiva.
Passo 5. Estimar o modelo econométrico e testar, interpretar e
utilizar os resultados para responder a questão de interesse.
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Passo 1
Passo 1: por razões que, presumidamente, já devemos ter explicado
antes em nosso estudo, estamos interessados em investigar "como y
varia em resposta à variações em x".
Portanto, nesse caso, há apenas duas variáveis de interesse, x e y
devido ao contexto de regressão linear simples (RLS).
Suponha ainda que tenhamos de…nido a população de interesse, por
exemplo, os produtores de milho do Brasil ou os trabalhadores do
Brasil ou os moradores do DF, ....
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Passo 2
Passo 1: assim, o nosso modelo econômico ou modelo conceitual é
y = f (x) (1)
ou seja, x causa ou explica y segundo a função f (.).
Exemplos: x é a quantidade de fertilizante e y é a produção de
milho; x é anos de estudo formal e y , salário; x é salário do crime e
y , horas alocadas em atividades criminosas.
Em Introdução à Econometria, nos concentraremos em análises com
dados de corte transversal ou seção cruzada, admitindo ser possível
coletar uma amostra aleatória da população de interesse.
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Passo 3
No passo 3 deve-se responder a três questões:
1 Como incorporar fatores além de x que afetam y? Quando se está
estudando questões de real interesse, normalmente, não há relações
determinísticas entre variáveis.
2 Qual a forma funcional de f (.) no modelo teórico (1)?
3 Como nos certi…car de que estamos capturando o efeito ceteris
paribus de x em y? Normalmente, esse é o interesse de pesquisa.
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2. O Modelo de Regressão Linear Simples (RLS)
Considere o modelo (populacional) de regressão linear simples
(RLS) ou modelo (populacional) de regressão linear de duas
variáveis na forma estocástica:
y = β0 + β1x + u (2)
A equação (2) do modelo de RLS relaciona y a apenas x e a um
termo de erro aditivo u.
Admitimos que a equação (2) do modelo de RLS retrata a população
de interesse, ou seja, é o processo gerador dos dados.
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O Modelo de Regressão Linear Simples (RLS)
O termo “regressão”tem as suas raízes históricas no fenômeno
chamado de “regressão para a média”.
Sir Francis Galton (fev. de 1822 a jan. de 1911) utilizou o modelo
(2) para modelar a altura das crianças (y) em função da altura dos
pais (x) e obteve uma estimativa positiva, mas menor que um para
β1.
Galton utilizou o resultado 0 < β1 < 1 para propor que pais mais
altos e mais baixos que a média da população teriam …lhos com
alturas mais próximas da média da população, tal que haveria um
processo de regressão para a média.
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2.1. Terminologia no Modelo de Regressão Linear Simples
(RLS)
y x
Variável Dependente Variável Independente
Variável Explicada Variável Explicativa
Variável de Resposta Variável de Controle
Variável Prevista Covariável
Regressando Regressor
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2.2. Efeito Ceteris Paribus na RLS
O Modelo de Regressão Linear Simples y = β0 + β1x + u
responde cada uma das três questões postas anteriormente, pois:
Todos os outros fatores que afetam y , exceto x , estão no termo
aditivo de erro u.
A forma funcional de f (.) estabelece que y se relaciona linearmente
com x , tal que:
β0 é o parâmetro de intercepto; e
β1 é o parâmetro de inclinação.
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Efeito Ceteris Paribus na RLS
O Modelo de Regressão Linear Simples y = β0 + β1x + u
também responde a questão sobre o efeito ceteris paribus de x em y .
Considere que ∆ denota “variação”, tal que a variação total em y é
∆y = β1∆x + ∆u
= β1∆x quando ∆u = 0 (3)
Como manter todos os outros fatores constantes, exceto x , é o
mesmo que manter u constante, tal que ∆u = 0, então β1, que é uma
inclinação, é o efeito ceteris paribus de x em y .
Note ainda que como β1 é uma constante, o efeito ceteris paribus de
x em y não depende do nível de x .
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3. Hipótese Crucial
No entanto, y = β0 + β1x + u, o modelo populacional, é não
observável.
Na prática, coletamos da população de interesse uma amostra
aleatória f(yi , xi ) : i = 1, 2, ..., ng de dados e estimamos os
parâmetros do modelo com base nesta.
Ou seja, coletamos aleatoriamente uma coleção de pares (yi , xi ) e,
com base nela e em algum critério ou estimador, estimamos β0 e β1.
Como os dados em economia são normalmente observacionais, pois
não temos controle sobre x , x e u são variáveis aleatórias, cada
uma com sua distribuição de probabilidade.
Portanto, como todos os fatores que afetam y , exceto x , são
relegados a u, para ser possível identi…car o efeito ceteris paribus de y
em x é necessário existir restrições na forma pela qual u e x se
relacionam na população. Que restrições seriam essas?
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Hipótese Crucial
Inicialmente, admitiremos que
E (u) = 0 (4)
em que E (�) é o operador valor esperado e normalizando a condição
tal que, por exemplo, a média da "qualidade da terra"ou a média da
"habilidade individual"é zero na população não traz qualquer
problema adicional.
A inclusão de β0 no modelo
y = β0 + β1x + u
nos permite assumir E (u) = 0 sem perda de generalidade.
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Hipótese Crucial
Se em média u é diferente de zero, simplesmente ajustamos o
intercepto, preservando o coe…ciente de inclinação.
Por exemplo, se E (u) = µu (uma constante), reformulamos o modelo
para
y = (β0 + µu)| {z }+β1x + (u � µu)| {z }
tal que o novo erro, u � µu , passa a ter média zero.
Obviamente, o novo intercepto (β0 + µu) é diferente do intercepto do
modelo original, mas o coe…ciente de inclinação que é o efeito ceteris
paribus de y em x é o mesmo, β1.
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Hipótese Crucial
QUESTÃO CHAVE: Como restringir a dependência de u em x e ainda
identi…car o efeito ceteris paribus de y em x?
Poderíamos assumir que u e x são não correlacionados na
população, ou seja:
Corr(x , u) =
Cov(x , u)p
Var(x)
p
Var(u)
é zero.
No entanto, Corr(x , u) = 0 apenas diz que u e x não são linearmente
relacionados, o que não é su…ciente.
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Hipótese Crucial
Uma hipótese que irá atender bem as nossas necessidades envolve a
média do erro para cada possível valor de x e é que:
E (ujx) = E (u), para todo valor de x
em que E (ujx) signi…ca “valor esperado de u dado x”ou "valor
esperado de u condicional em x".
Se E (ujx) = E (u), para cada possível valor de x , diz-se que u é
independente em média ou, simplemente, média independente
(mean independent) de x .Moisés Resende Filho (ECO/UnB) O Modelo de Regressão Simples 14/03/2018 15 / 21
Hipótese Crucial
Por exemplo, se u = habilidade individual e x , anos de escolaridade,
para que E (ujx) = E (u), por exemplo, deve ser verdade que:
E (habilidadejx = 8) = E (habilidadejx = 12) = E (habilidadejx = 16) = E (habilidade)
tal que a habilidade média seja a mesma da população em todo
estrato da população, por exemplo, no estrato 8a série, 12a série e 4o
ano de universidade.
No entanto, como cada indivíduo escolhe seu nível de escolaridade
levando em conta também sua própria habilidade, a hipótese
E (habilidadejeduc) = E (habilidade) em todos os possíveis níveis de
educ é muito pouco plausível.
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Hipótese Crucial
Combinando E (ujx) = E (u) com E (u) = 0 (mera normalização),
chega-se à hipótese crucial:
E (ujx) = E (u) = 0, para todo x (5)
ou hipótese da média condicional zero.
Como o operador esperança matemática é linear, se E (ujx) = 0,
então:
E (y jx) = β0 + β1x + E (ujx)
= β0 + β1x
que é a função de regressão populacional (FRP) linear em x .
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Hipótese Crucial
x
y
1x 2x 3x
A linha reta no grá…co é a função de regressão populacional
(FRP), E (y jx) = β0 + β1x .
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Hipótese Crucial
x
y
1x 2x 3x
O grá…co mostra a distribuição conditional (nos valores de x) de y
para três níveis: x1, x2 e x3.
Em cada nível de x , observamos um intervalo de valores de y , pois
y = β0 + β1x + u e u é uma variável aleatória com distribuição de
probabilidade na população.
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Hipótese Crucial
EXEMPLO: IRA (Índice de Rendimento Acadêmico2 [0, 4]) em curso
superior versus IRA no ensino médio.
Suponha que para a população de estudantes em universidades, de alguma
maneira sabemos que:
E (univIRAjemIRA) = 1, 5+ 0, 5 emIRA
em que univIRA (IRA na universidade) é a variável dependente e emIRA
(IRA no ensino médio) é a variável explicativa, tal que, por exemplo,
dentre os estudantes com emIRA de 3, 6, sabe-se que o IRA na
universidade é em média
1, 5+ 0, 5(3, 6) = 3, 3
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Hipótese Crucial
No entanto, um estudante com IRA no ensino médio de 3, 6,
provavelmente, não terá um IRA na universidade exatamente igual a
3, 3.
Isso porque 3, 3 é apenas o valor esperado ou previsto para univIRA
na parcela da população de estudantes universitários que terminaram
o ensino médio com um IRA de 3, 6.
A análise de regressão, essencialmente, visa explicar/medir os efeitos
das variáveis explicativas sobre o resultado médio da variável
dependente.
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	1. Cinco Passos da Análise Econométrica
	2. O Modelo de Regressão Linear Simples (RLS)
	2.1.Terminologia no Modelo de Regressão Linear Simples (RLS)
	2.2. Efeito Ceteris Paribus na RLS
	3. Hipótese Crucial