Conceitos de Probabilidade

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - GST1079 
8 - PROBABILIDADES 
 
8.1 Conceitos Preliminares 
 
O estudo de probabilidades diz respeito a experiências aleatórias, cujo resultado não po-
de ser conhecido "a priori" antes que a experiência seja efetivamente realizada e o seu 
resultado observado. 
Embora o resultado de uma experiência aleatória seja imprevisível existe um certo tipo de 
regularidade presente neste tipo de experiência, e isto nos permite criar modelos para 
representar fenômenos aleatórios. 
 
8.2 Experimento Aleatório (  ) 
 
Experimentos cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando realizados 
em condições praticamente iguais. 
Ex.: 1 = lançamento de um dado 
 2 = observação do sexo de recém-nascidos 
 3 = lançamento de uma moeda 
 4 = contagem de chamadas telefônicas por hora, em determinado aparelho 
 5 = jogar duas moedas 
 
8.3 Espaço Amostral ( S ) 
 
Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório . 
Ex.: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
 S2 = { M, F } 
 S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa 
 S4 = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... } 
 S5 = { CC, CK, KC, KK } 
 
Obs.:1) os resultados do experimento aleatório podem ser de natureza quantitativa e qua-
litativa. 
 2) os espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos, em relação ao número de 
elementos. Os espaços amostrais finitos contêm 2n resultados possíveis, sendo n os di-
ferentes elementos. 
 
Dois tipos de conjuntos infinitos: enumeráveis (ou contáveis) e não enumeráveis. 
A={ 2,4,6,8,....} B={1,1/2,1/4,1/8,...} = contáveis 
C={x : 0  x  1} = não é contável 
Quaisquer intervalos de números reais são conjuntos não enumeráveis 
 
8.4 Evento 
 
É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente denotado por letras maiúsculas. 
 
Ex.:  = lançamento de um dado 
 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
 A = sair face par 
 
S 
A 
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a) Evento Simples: formado apenas por um elemento do espaço amostral. 
Ex.: B = sair face 4 
b) Evento Composto: formado por dois ou mais elementos do espaço amostral. 
Ex.: C = sair face maior que 3 
c) Evento Certo: ocorre em qualquer das realizações do experimento. 
Ex.: D = sair face menor que 7 
d) Evento Impossível: não ocorre em qualquer realização do experimento. 
Ex.: E = sair face maior que 6 
e) Evento Complementar: dado um evento A qualquer, chamamos de complementar de A o 
evento formado pelos elementos do espaço amostral que não pertencem a A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) União: é o evento que consiste dos elementos de A, ou de B, ou de ambos. 
 
 
 
 
 
g) Interseção: é o evento que consiste de todos elementos contidos simultaneamente em A 
e B. 
 
 
 
 
S 
 
 
AC 
 
A 
S 
A 
B 
S 
A B 
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h) Eventos Mutuamente Exclusivos ou Excludentes: quando dois eventos, A e B, não 
possuem elementos em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: todos os eventos complementares são necessariamente excludentes, mas a recíproca 
não é verdadeira. 
 
Ex.: Um experimento consiste em se jogar uma moeda e jogá-la pela segunda vez, caso 
ocorra uma cara. Se uma coroa ocorre no primeiro lançamento, então um dado é lançado 
uma única vez. Listar os elementos de S. 
 
Ex.: Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos: 
a) faces iguais; 
b) cara na 1ª. moeda; 
c) coroa na 2ª. e 3ª. moedas. 
 
 
8.5 Definição de Probabilidades 
 
Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número finito de resultados pos-
síveis. Seja A um evento associado a essa experiência aleatória. Então a probabilidade 
do evento A é dada por: 
 
 P ( A ) = N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A 
 N. º total de casos possíveis 
8.6 AXIOMAS (verdades inquestionáveis, universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princí-
pios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação) 
 
Seja S o espaço amostral e A um subconjunto qualquer deste espaço. Uma função de 
probabilidade que atua sobre este espaço amostral satisfaz: 
a) 0  P(A)  1 
b) P(S) = 1 
c) P() = 0 
d) P(A1  A2  A3 ...) = P(A1 ) + P (A2 ) + P(A3 ) + ... onde os Ai são mutuamente 
excludentes 
e) Se AC é o complemento de A, então: P (AC) = 1 - P (A) 
 
S 
A 
B 
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Ex.: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de 
sair um Às? 
 
Ex.: Seja  = jogar uma moeda duas vezes e observar o resultado. Qual a probabilidade 
de se obter pelo menos 1 cara ? 
 
Ex.: Um dado é construído de tal forma que um número par é duas vezes mais provável 
de acontecer do que um ímpar. 
Seja A = um número menor que 4 ocorre. 
Calcular P(A). 
 
8.7 Teorema da Soma 
 
P (A+B) = P (A) + P(B) - P (A  B) , se A  B   
P (A+B) = P (A) + P(B) , se A  B =  
 
Ex.: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de 
sair rei ou uma carta de espadas? 
 
Ex.: Uma caixa com bolas contém 6 vermelhas, 4 azuis e três pretas. Se uma pessoa es-
colhe aleatoriamente 1 destas bolas, ache a probabilidade de escolher: 
a) 1 vermelha 
b) 1 azul ou 1 preta 
 
Ex.: A probabilidade de Paulo passar em Matemática é 2/3 e a probabilidade de passar 
em Inglês é 4/9. Se a probabilidade de Paulo passar em ambas as disciplinas é 1/4, qual 
a probabilidade de que Paulo passe em pelo menos uma das duas disciplinas? 
 
8.8 Probabilidade Condicional 
Sejam A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral. Definimos probabilidade 
condicional de A dado que B ocorre (A/B) como: 
 P(A/B) = 
)B(P
)BA(P 
 , se P(B)  0 
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 
Beventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
BAeventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
)B/A(P


 
Ex.: Seja o experimento lançar um dado e verificar o resultado. 
Sejam os eventos: 
A= {sair o número 3} e B = {sair um número ímpar} 
Calcular P(A), dado que já ocorreu o evento B. 
 
8.9 Eventos Independentes 
Sejam A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral. Se A e B são indepen-
dentes, então: 
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) 
 
DEFINIÇÃO: A e B são eventos independentes se P(A  B) = P(A).P(B). 
Obs.: 
 Para verificar se 3 eventos A, B e C são independentes, as 4 suposições deverão ser satis-
feitas: 
1- P(ABC) = P(A). P(B). P(C) 
2- P(AB) = P(A). P(B) 
3- P(AC) = P(A). P(C) 
4- P(BC) = P(B) . P(C) 
Se apenas uma não for satisfeita, os eventos não são independentes. 
 Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B 
não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não ocorrência do outro. 
 
Ex.: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável 
Sejam A = {1, 2} B = {2, 3} C = {4}, três eventos de S. 
Verificar quais eventos são independentes. 
 
Ex.: Lança-se um par de dados não-viciados. Determine: 
a) A probabilidade de ocorrer face dois em qualquer um deles. 
b) A probabilidade da soma das faces ser 6. 
c) Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido a face 2 em qualquer um deles? 
d) Os eventos soma 6 e face 2 em qualquer um deles, são independentes? 
 
 
 
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8.10 Teorema do Produto 
Sejam A e B eventos que pertencem ao mesmo espaço amostral. Então: 
 
P(A  B) = P(A). P(B/A)se A e B forem dependentes 
P(A  B) = P(A). P(B) se A e B forem independentes 
 
A generalização do teorema do produto é: 
Se os eventos A1 , A2 , ... An são dependentes: 
)A...AA/A(P)...AA/A(P).A/A(P).A(PAP 1n21n123121
n
1i
i 











 
Se os eventos A1 , A2 , ... An são independentes: 










 n
1i
in321
n
1i
i )A(P)A(P)...A(P).A(P).A(PAP 
 
 
Ex.: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas, uma após a 
outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas? 
 
Ex.: Um saco contém 4 bolas brancas e 3 bolas pretas. Um segundo saco contém 3 bolas 
brancas e 5 pretas. Uma bola é retirada do primeiro saco e colocada no segundo. Qual a 
probabilidade de se retirar uma bola preta do segundo saco?