FCEM Aula 4 2018

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I â iImportância
Por quê estudar?
As propriedades de muitos materiais são direcionais, 
por exemplo o módulo de elasticidade do Fe CCC é maior na 
diagonal do cubo que na direção da aresta. 
Algumas direções da célula unitária são de particular g ç p
importância, por exemplo ,os metais se deformam ao 
longo da direção de maior empacotamento. 
Algumas propriedades dos materiais dependem da 
direção do cristal em que se encontram e que são medidas.ç q q
Si C i liSistemas Cristalinos
RETICULADO CRISTALINO: grupos de 
á            átomos que se repetem no espaço 
tridimensional com uma dada 
periodicidade.
Ponto, Direção e Plano Cristalográfico
Ao se lidar com materiais cristalinos torna‐se necessário 
especificar:
1. Um ponto particular no interior de uma célula unitária;
2 Uma direção cristalográfica ou;2. Uma direção cristalográfica ou;
3. Algum plano cristalográfico de átomos.
São usados 3 números ou índices para designar localização 
de ponto, direção e plano.
A base para determinação dos valores dos índices é a célula 
unitária, com um sistema de coordenadas de eixos (x, y e z) 
localizados sobre um dos vérticeslocalizados sobre um dos vértices.
C d d d PCoordenadas dos Pontos
A  i ã  d   l   t    i t i  d     él l   itá i   d  A posição de qualquer ponto no interior de uma célula unitária pode 
ser especificada em termos de suas coordenadas, calculadas como 
múltiplos fracionários das arestas.
C d d d PCoordenadas dos Pontos
E ifi     d d  d   t    t d     i õ  Especifique as coordenadas de pontos para todas as posições 
atômicas em uma célula unitária CCC.
C d d d PCoordenadas dos Pontos Di õ C i l áfiDireções Cristalográficas
DIREÇÃO CRISTALOGRÁFICA  VETOR    LINHA t  DIREÇÃO CRISTALOGRÁFICA: VETOR ou uma LINHA entre 
dois pontos da rede cristalina.
P di    d i  d    di   i l áfiProcedimento para determinação de uma direção cristalográfica:
1. Transladar o “vetor direção” de maneira que ele passe pela 
i  d   i t  d   d dorigem do sistema de coordenadas;
2. Determinar os comprimentos da projeção do vetor em cada 
um dos três eixos de coordenadas: esses são medidos em um dos três eixos de coordenadas: esses são medidos em 
termos das dimensões da célula unitária (a,b,c);
3. Multiplicar ou dividir esses três números por um fator 
comum, tal que os três números resultantes sejam os 
menores inteiros possíveis.
R t    di ã   d    t ê   ú   t  4. Representar a direção escrevendo os três números entre 
colchetes: [uvw].
Di õ C i l áfiDireções Cristalográficas Di õ C i l áfiDireções Cristalográficas
• Para cada um dos 3 eixos  irão existir tanto coordenadas • Para cada um dos 3 eixos, irão existir tanto coordenadas 
positivas como negativas.
• Índices negativos são possíveis e representados pela colocação • Índices negativos são possíveis e representados pela colocação 
de uma barra sobre o índice apropriado.
Exemplo: Esboce uma direção [1 1 0] no interior de uma célula 
unitáriaunitária.
Di õ C i l áfiDireções Cristalográficas
EXEMPLOS DE DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS:
Di õ C i l áfiDireções Cristalográficas
EXEMPLOS DE DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS:
Di õ C i l áfiDireções Cristalográficas Di õ C i l áfiDireções Cristalográficas
Di õ C i l áfiDireções Cristalográficas Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
São especificados pelos índices de Miller.
Procedimento para determinação dos índices de Miller de um 
plano cristalográfico:
1. Se o plano passa pela origem, um outro plano paralelo deve 
ser construído no vértice de uma outra célula unitária;
2. O plano cristalográfico ou interceptará cada um dos 3 eixos ou 
será paralelo. O comprimento da intersecção do plano em p p ç p
cada eixo é determinado em termos dos parâmetros de rede 
a, b e c;
3. Obter os inversos desses três interceptos. Se o plano for 
paralelo a um dos eixos, considera‐se uma intersecção no 
infinito e o seu índice zero;
4. Representar na forma (h k l)
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
• São paralelos aos eixos x e z
(paralelo à face)(paralelo à face)
• Cortam um eixo (neste
exemplo: y em 1 e os eixos xp y
e z em∞)
• 1/∞ , 1/1, 1/∞ = (010)
Planos (010)Planos (010)
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
• São paralelos a um eixo p
(z)
• Cortam dois eixos (x e y) 
/   /   /     ( )• 1/1, 1/1, 1/ ∞ = (110)
Planos (110)Planos (110)
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
• Cortam os 3 eixos 
cristalográficoscristalográficos
• 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111)
Planos (111)
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
Uma característica exclusiva dos cristais cúbicos é 
que os planos e as direções que possuem os mesmos 
índices são perpendiculares entre si.
(110)
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
Dois planos 
paralelos entre si 
são equivalentes!q
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
FAMÍLIA DE PLANOS: conjunto de planos
cristalograficamente equivalentes ou sejacristalograficamente equivalentes, ou seja,
planos com o mesmo empacotamento
atômico. Famílias de planos são
t d {hkl}representadas por {hkl}.
Por exemplo, a família {111} é composta
pelos planos:
 
(111), ( 1 11), (1 1 1), (11 1 ),
( 1 1 1), ( 1 1 1 ), (1 1 1 ) e ( 1 1 1 ).
pelos planos:
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
Determine os índices de Miller para o plano 
mostrado na Figura a:mostrado na Figura a:
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
Determine os índices de Miller para o plano 
mostrado na Figura a:mostrado na Figura a:
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
Determine os índices de Miller para o plano 
mostrado na Figura a:mostrado na Figura a:
Pl C i l áfiPlanos Cristalográficas
Determine os índices de Miller para o plano 
mostrado na Figura a:mostrado na Figura a:
D id d A ô i Pl
Fração de área coberta por átomos em um determinado plano.
Á
Densidade Atômica Planar
l
planonoátomos
Área
Área
DP   AC
AP
    
planoÁrea P
     2822)4( 2RRRADACAP 
2
cela unitária
CFC
2)2( RAC 
Assim :
55502
2
 RADP C 
Assim :
555,0
28 2

RA
DP
P
CFC – plano (110)
Planos de Maior Densidade Atômica no Sistema CFC
 A família de planos {110} p
no sistema CCC é o de 
maior densidade
atômica
Planos de Maior Densidade Atômica no Sistema CFC
 A família de planos {111} 
no sistema CFC é o de no sistema CFC é o de 
maior densidade atômica
D id d A ô i Li
Fração de área coberta por átomos em uma determinada direção
Densidade Atômica Linear
CCC – direção [100]
Aatomos
L L
L
L
LD 
Llinha LL
4R
3
4RarestaLL 
RLA 2
A i  
D LA 3R 0 866
Assim :
 
DL  ALC

2R
 0,866
CCC – direção [100]
Di õ Si CCCDireções para o Sistema CCC
 No sistema CCC os átomos
se tocam ao longo da
diagonal do cubo, que
corresponde a família de 
di õdireções <111>;
 Então, a direção <111> é a de 
maior empacotamentomaior empacotamento
atômico para o sistema CCC.
Di õ Si CFCDireções para o Sistema CFC
 No sistema cfc os átomos
se tocam ao longo da
diagonal da face, que
corresponde a família de 
di õdireções <110>;
 Então, a direção <110> é a 
de maior empacotamentode maior empacotamento
atômico para o sistema cfc
M i i i iMateriais monocristais
•Monocristal: Quando o arranjo periódico e repetido da 
amostra é perfeito ou se estende ao longo da totalidade da 
 T d     él l   i á i    i li  d    amostra. Todas as células unitárias se interligam da mesma 
maneira e possuem a mesma orientação.
• Os monocristais existem na natureza ou podem ser Os monocristais existem na natureza ou podem ser 
produzidos artificialmente.
• A forma é um indicativo da estrutura cristalina.
M i i i iMateriais monocristais
M i i i iMateriais monocristais
Crescimento de cristais a partir da fasegasosa (PVD,CVD).
M i i i iMateriais monocristais
Cristais de diamante produzidos na superfície de um substrato de 
metal duro.
M i i P li i liMateriais Policristalinos
A maioria dos sólidos cristalinos é composta por um conjunto 
de cristais pequenos ou grãos.
O   i i     ã     i ã   i l áfi  Os monocristais ou grãos possuem orientação cristalográfica 
aleatória e crescem mediante adição sucessiva de átomos.
Região onde dois cristais se encontram é chamada de Região onde dois cristais se encontram é chamada de 
contorno de grão.
M i i P li i liMateriais Policristalinos
Grãos em aço de ultra baixo teor 
de carbono
Grãos em nióbio puro
M i i P li i liMateriais Policristalinos
Os contornos de grão são regiões separando cristais de Os contornos de grão são regiões separando cristais de 
diferentes orientações em um material policristalino.
A) Pequenos núcleos de A) Pequenos núcleos de 
cristalização (cristalito).
B) Crescimento dos cristalitosB) Crescimento dos cristalitos.
C) À conclusão da 
solidificação, grãos com ç , g
formas irregulares foram 
formados.
D)A estrutura granular como 
apareceria em um 
microscópio; as linhas escuras microscópio; as linhas escuras 
são os contornos de grãos.
A i iAnisotropia
o As propriedades físicas dos monocristais de algumas
substâncias dependem da direção cristalográfica.p ç g
o Por exemplo, o módulo de elasticidade, condutividade
lé i í di d f d l difelétrica e o índice de refração podem ter valores diferentes
nas direções [100] e [111].
o Esta direcionalidade das propriedades é denominada
ANISOTROPIA. As substâncias em que as propriedadesq p p
medidas são independentes da direção da medição são
ISOTRÓPICAS.
A i iAnisotropia
 Õ
MÓDULO DE ELASTICIDADE 
PROPRIEDADES MECÂNICAS X DIREÇÕES E PLANOS:
•MÓDULO DE ELASTICIDADE 
(direções mais compactas→maior 
módulo););
• DEFORMAÇÃO PLÁSTICA 
(deslizamento de planos→ planos p p
compactos);
• Deformação em metais envolve 
deslizamento de planos atômicos. O 
deslizamento ocorre mais facilmente 
nos planos e direções de maior nos planos e direções de maior 
densidade atômica.
Resumo
• Os materiais sólidos podem ser cristalinos e amorfos.
• Os sólidos cristalinos apresentam átomos íons ou• Os sólidos cristalinos apresentam átomos, íons ou 
moléculas (ou trechos) que se repetem no espaço, simetria 
translacional.
• Os sólidos amorfos não apresentam simetria translacional.
• Em materiais formados por mais de um tipo de átomo o• Em materiais formados por mais de um tipo de átomo, o
empacotamento tridimensional torna-se mais complexo, 
devido à forma (tamanho dos átomos e geometria molecular) e à
i i d f d li ã i ô isimetria das forças de ligação interatômicas.
• Os índices de Miller (direções e planos cristalográficos) 
d j i t li ( â t d d ) ddescrevem o arranjo cristalino (parâmetros de rede) e podem ser 
determinados por difração de raio-X.
• Os metais apresentam estrutura CCC e compactas CFC HC• Os metais apresentam estrutura CCC e compactas CFC, HC.
 Capítulos do Callister (7ª Ed., 2008) tratados nesta p (7 , )
aula
 Capítulo 3, completop 3 p
 Outras referências importantes
 Shackelford, J. F. – Ciência dos Materiais, 6ª ed., 2008. Cap. 3
V  Vl k  L   P i í i  d  Ciê i  d  M i i   d Van Vlack , L. ‐ Princípios de Ciência dos Materiais, 3a ed.
 Capítulo 3 : itens 3-9 a 3-18