04 parametrizacao de curvas

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9.5 - Parametrizac¸a˜o de Curvas no Espac¸o
Parametrizac¸a˜o de Curvas no Espac¸o
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Caˆmpus Francisco Beltra˜o
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 3
Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
9.5 - Parametrizac¸a˜o de Curvas no Espac¸o
Parametrizac¸a˜o de Curvas no Espac¸o
Curvas C no espac¸o podem ocorrer como trajeto´rias de corpos em
movimento. Essa e outras aplicac¸o˜es motivam as representac¸o˜es
parame´tricas com um paraˆmetro t, que pode ser o tempo ou
alguma outra grandeza.
~r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k
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9.5 - Parametrizac¸a˜o de Curvas no Espac¸o
Uma curva simples e´ aquela que na˜o tem pontos mu´ltiplos, ou
seja, na˜o tem pontos nos quais a curva se intercepta ou toca a si
mesma. Circunfereˆncias e he´lices sa˜o exemplos de curvas simples.
Exemplo
Esboce a imagem da seguinte equac¸a˜o parame´trica e determine a
equac¸a˜o correspondente. {
x = 1 + 3t
y = 2 + t
Exemplo
Determine ao menos duas parametrizac¸o˜es para a seguinte
equac¸a˜o:
y = 1 + 2x
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Exemplo
Determine uma representac¸a˜o parame´trica para a equac¸a˜o da
circunfereˆncia.
x2 + y 2 = 4, z = 0
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Exemplo
Determine uma representac¸a˜o parame´trica para a equac¸a˜o de uma
elipse gene´rica.
x2
a2
+
y 2
b2
= 1, z = 0
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Exemplo
Determine a representac¸a˜o parame´trica de uma reta que passa pelo
ponto A = [3, 2] com inclinac¸a˜o 1.
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Exemplo
Determine a representac¸a˜o parame´trica da he´lice circular
apresentada na figura abaixo.
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9.5 - Parametrizac¸a˜o de Curvas no Espac¸o
Exerc´ıcio
Encontre uma representac¸a˜o parame´trica das seguintes curvas.
1. C´ırculo de raio 3, centro (4, 6)
2. Reta passando por (5, 1, 2) e (11, 3, 0)
3. Reta passando por (2, 0, 4) e (−3, 0, 9)
4. Reta y = 2x + 3, z = 7x
5. C´ırculo y 2 + 4y + z2 = 5, x = 3
6. Elipse x2 + y 2 = 1, z = y
7. Reta passando por (a, b, c) e (a + 3, b − 2, c + 5)
8. Intersec¸a˜o de x + y − z = 2, 2x − 5y + z = 3
9. C´ırculo 0,5x2 + y 2 = 1, z = y
10. He´lice x2 + y 2 = 9, z = 4 tg−1(y/x)
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Respostas:
1. ~r(t) = [4 + 3 cos t, 6 + 3 sen t]
2. ~r(t) = [5 + 3t, 1 + t, 2− t]
3. ~r(t) = [2− t, 0, 4 + t]
4. ~r(t) = [t, 3 + 2t, 7t]
5. ~r(t) = [3, −2 + 3 cos t, 3 sen t]
6. ~r(t) = [cos t, sen t, sen t]
7. ~r(t) = [a + 3t, b − 2t, c + 5t]
8. ~r(t) = [ 137 − 4t, 17 − 3t, −7t]
9. ~r(t) = [
√
2 cos t, sen t, sen t]
10. ~r(t) = [3 cos t, 3 sen t, 4t]
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Exerc´ıcio
Que curvas sa˜o representadas pelas expresso˜es a seguir?
11. ~r(t) = [2 + r cos 4t, 6 + r sen 4t, 2t]
12. ~r(t) = [4− 2t, 8t, −3 + 5t]
13. ~r(t) = [2 + cos 3t, −2 + sen 3t, 5]
14. ~r(t) = [t, t2, t3]
15. ~r(t) = [
√
cos t,
√
sen t, 0] (“Curva de Lame´”)
16. ~r(t) = [cosh t, senh t, 0]
17. ~r(t) = [t, 1/t, 0]
18. ~r(t) = [1, 5 + t, −5 + 1/t]
19. Mostre que, quando se faz t = −t∗, inverte-se a orientac¸a˜o de
~r(t) = [a cos t, a sen t, 0]
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Respostas:
11. He´lice em (x − 2)2 + (y − 6)2 = r 2
12. Reta que passa por (4, 0, −3) na direc¸a˜o (−2, 8, 5)
13. C´ırculo (x − 2)2 + (y + 2)2 = 1, z = 5
14. Curvas no espac¸o com prejec¸o˜es y = x2 e z = x3 nos planos
xy e xz , respectivamente.
15. x4 + y 4 = 1
16. Hipe´rbole x2 − y 2 = 1, z = 0
17. Hipe´rbole xy = 1
18. Hipe´rbole x = 1, (y − 5)(z + 5) = 1
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Exerc´ıcio
21. Utilizando um software computacional, represente
graficamente as seguintes curvas, mais complicadas.
(a) ~r(t) = [2 cos t + cos 2t, 2 sen t − sen 2t] (hipociclo´ide de
Steiner)
(b) ~r(t) = [cos t + k cos 2t, sen t − k sen 2t] com
k = 10, 2, 1, 12 , 0,
−1
2 , −1
(c) ~r(t) = [cos t, sen 5t] (uma curva de Lissajous)
(d) ~r(t) = [cos t, sen kt]. Para quaisquer k’s ela sera´ fechada?
(e) ~r(t) = [R senωt + ωRt, R cosωt + R] (ciclo´ide).
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Tangente a uma Curva
A pro´xima ideia e´ fazer a aproximac¸a˜o de uma curva por linhas
retas, o que leva a`s tangentes e a` definic¸a˜o de comprimento. Uma
tangente e´ uma linha reta que toca uma curva. A tangente a uma
curva simples C num ponto P de C e´ a posic¸a˜o limite de uma reta
L passando por P e por um ponto Q de C com Q aproximando-se
de P ao longo de C .
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O vetor tangente a C em P e´ dado por:
~r ′(t) = lim
∆t→0
[~r(t + ∆t)−~r(t)]
∆t
O vetor unita´rio correspondente e´ o vetor tangente unita´rio
~u =
~r ′
|~r ′|
A reta tangente a` C em P e´ dada por
~q(w) = ~r +~r ′w
Exemplo
Encontre a tangente a` elipse
x2
4
+ y 2 = 1 em P : (
√
2,
√
2/2).
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Comprimento de uma Curva
O comprimento de uma curva e´ dado pelo limite da soma dos
comprimentos dos fragmentos de linhas de n cordas, com n sendo
um nu´mero cada vez maior e o comprimento de todos os
fragmentos tendendo a zero.
l =
∫ b
a
√
~r ′ ·~r ′dt
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Exerc´ıcio
Dada uma curva C : ~r(t), encontre um vetor tangente ~r ′(t), um vetor
tangente unita´rio ~u(t) e a reta tangente de C em P. Esboce a curva e a
tangente.
22. ~r(t) = [t, t2, 0], P : (2, 4, 0)
23. ~r(t) = [5 cos t, 5 sen t, 0], P : (4, 3, 0)
24. ~r(t) = [3 cos t, 3 sen t, 4t], P : (3, 0, 8pi)
25. ~r(t) = [cosh t, senh t], P : (5/3, 4/3)
Respostas:
22. ~r ′ = [1, 2t, 0], ~u = (1 + 4t2)−
1
2 [1, 2t, 0] e ~q = [2 + w , 4 + 4w , 0]
23. ~r ′ = [−5 sen t, 5 cos t, 0], ~u = [− sen t, cos t, 0] e
~q = [4− 3w , 3 + 4w , 0]
24. ~r ′ = [−3 sen t, 3 cos t, 4], ~u = [−0,6 sen t; 0,6 cos t; 0,8] e
~q = [3, 3w , 8pi + 4w ]
25. ~r ′ = [ senh t, cosh t], ~u = (cosh 2t)−
1
2 [ senh t, cosh t] e
~q = [5/3 + 4w , 4/3 + 5w ]
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Exerc´ıcio
Encontre o comprimento e esboce a curva.
26. He´lice circular ~r(t) = [2 cos t, 2 sen t, 6t] de (2, 0, 0) a`
(2, 0, 24pi)
27. Catena´ria ~r(t) = [t, cosh t] de t = 0 a` t = 1
28. Hipociclo´ide ~r(t) = [a cos3 t, a sen 3t], comprimento total
Respostas:
26. l = 4pi
√
40
27. l = 1,175
28. l = 6a
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