Lista cálculo 3

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho
UACSA
.
Lista 01 - Funções Vetoriais. Campos e integrais de linha.
Exerćıcio 1. Determine a equação da reta tangente à trajetória dada no ponto dado.
a) F (t) = (cos t, sen t, t) e F
(π
3
)
b) G(t) = (t2, t) e G(1)
c) F (t) = (t, t2, t, t2) e F (1).
Exerćıcio 2. Seja F definida no intervalo I e com valores em Rn. Suponha que F ′(t) = ~0 para todo t ∈ I. Prove
que existe uma constante k = (k1, k2, . . . , kn) ∈ Rn tal que F (t) = k para todo t em I.
Exerćıcio 3. Esboce as curvas a seguir
a) F (t) = (1, t, t)
b) F (t) = (t2, t,−2)
c) F (t) = (etcost, etsen(t))
Exerćıcio 4. Mostre que as retas tangente à curva parametrizada regular ( isto é, cujo vetor tangente é não nulo)
α(t) = (3t, 3t2, 2t3) fazem um ângulo constante com a reta y = 0, z = x.
Exerćıcio 5. Uma haste presa na origem do plano xy , ocupa a posição na reta x = ty. A haste intercepta a reta
y = 4 no ponto S e a elipse x2 + (y − 2)2 = 4 no ponto Q. Quando t varia, o vértice P do triângulo retângulo
também varia.
a) Determine as equações paramétricas dessa curva em função do parâmetro t.
b) Faça um esboço da curva.
c) Determine sua equação cartersiana.
Exerćıcio 6. A astróide x
2
3 + y
2
3 = 2
2
3 tem equações paramétricas x = 2cos3t e y = 2 sin3 t, t ∈ [0, 2π]. Escreve a
equação da reta tangente à astróide em t =
π
4
.
Exerćıcio 7. Se σ(t) (t ∈ I) é uma parametrização da reta, então mostre que σ′(t) é paralelo a σ′′(t).
Exerćıcio 8. Encontre uma curva parametrizada α(t) cujo traço seja o ćırculo x2 + y2 = 1 de maneira que α(t)
percorra o ćırculo no sentido anti-horário e tenhamos α(0) = (0, 1).
Exerćıcio 9. Considere uma curva parametrizada α(t) tal que seua derivada segunda α′′(t) seja identicamente
nula. O que podemos dizer sobre α?
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Exerćıcio 10. Seja α : (−1,+∞) −→ R2 dada por
α(t) =
( 3at
1 + t3
,
3at2
1 + t
)
a) Para t = 0, α é tangente ao eixo Ox.
b) Quando −→ +∞, α(t) −→ (0, 0) e α′(t) −→ (0, 0).
c) Esboce esta curva utilizando o software win.plot.
Exerćıcio 11. Determine a derivada da função vetorial:
a) r(t) = (tsent, t2, tcos2t)
b) r(t) = (t, t2, t8, t16, .., t512)
c) F (t) = (artan(t2 + 1), 2tln(t2), 3t)
Exerćıcio 12. Determine as integrais a seguir:
a)
∫ 1
0 (16t
3~i+ 9t2~j − cost ~k) dt
b)
∫ 1
0
( 4
1 + t2
~j +
2t
1 + t2
~k
)
dt
c)
∫ 2
1 (t
2) ~i+ t
√
t− 1 ~j + tsenπ~k
Exerćıcio 13. Suponha que ||~v(t)|| 6= 0 para todo t. Faça ~T (t) = ~v(t)
v(t)
onde v(t) = ||~v(t)||. Prove que :
a) ~T e
d~T
dt
são ortogonais
b) ~a = v
d~T
dt
+
v(t)
dt
~T , onde ~a =
d~v
dt
Exerćıcio 14. Calcule o comprimento da curva dada.
a) γ(t) = (tcos t, tsen t), t ∈ [0, 2π]
b) γ(t) = (t, 2t, t2), t ∈ [1, 2]
c) γ(t) = (−1,−t2, t3, 2), t ∈ [0, 1]
Exerćıcio 15. Reparametrize as curvas dadas, pelo comprimento de arco.
a) γ(t) = (2t, t2, t)
b) γ(t) = (et cos t, etsen t)
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Exerćıcio 16. Esboce os campos vetoriais a seguir.
a) F (x, y) = x2~i+ y2~j
b)F (x, y) =
y~i+ x~j√
x2 + y2
c) F (x, y, z) = ~j −~i
d) F (x, y, z) = −y~k
Exerćıcio 17. Determine o campo vetorial gradiente de f
a) f(x, y, z) = ln(x+ 2y)
b) f(x, y) = xαe−βx
c) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2
d) f(x, y, z) = xcos( zy )
Exerćıcio 18. Calcule a integral de linha onde C é a curva dada.
a)
∫
C y
3 ds, C : x = t3, y = t, 0 ≤ t ≤ 2
b)
∫
C xy ds, C : x = t
2, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 1
c)
∫
C xy
4 ds, C é a metade direita do ćırculo x2 + y2 = 16
d)
∫
C xyz
2 ds, C é o segmento de reta de (−1, 5, 0) a (1, 6, 4).
e)
∫
C z dx+ x dy + y dz, C : x = t
2, y = t3, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1
f)
∫
C x
2 dx+ y2 dy + z2 dz, C consiste nos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (1, 2,−1) e (1, 2,−1) a (3, 2, 0).
Exerćıcio 19. Calcule a integral
∫
C F · dr, onde C é a curva dada pela função vetorial r(t).
a) F (x, y) = xy~i+ 3y2~j , r(t) = 11t4~i+ t2~j, 0 ≤ t ≤ 1
b) F (x, y, z) = senx ~i+ cosy ~j + xz ~k, r(t) = t2 ~i+ t3 ~j + t2 ~k, 0 ≤ t ≤ 1
c) F (x, y, z) = z ~i+ y ~j − x ~k, r(t) = t ~i+ sent ~j + cost ~k, 0 ≤ t ≤ 1
d) F (x, y, z) = x2 ~i+ y2 ~j + z2 ~k, r(t) = (2cost, 3sent, t) 0 ≤ t ≤ 2π
Exerćıcio 20. Uma part́ıcula move-se no plano de modo que no instante t sua posição é dada por γ(t) = (t, t2).
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y) = (x + y)~i + (x − y)~j no deslocamento da part́ıcula de
γ(0) até γ(1).
Exerćıcio 21. Calcule
∫
C
~E · dl em que E(x, y) = 1
x2 + y2
x ~i+ y ~j√
x2 + y2
e γ(t) = (t, 1) para −1 ≤ t ≤ 1.
Exerćıcio 22. Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência x2 + y2 = 4, x ≥ 0. Se a densidade
linear for uma constante k, determine a massa e o centro de massa do arame.
Exerćıcio 23. Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) sobre uma
part́ıcula que se move ao longo do segmento de reta que vai de (1, 0, 0) a (3, 4, 2).
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