Aula 40 Matrizes e Equações Matriciais - Cópia

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Aula 40
Matriz Inversa e Equações Matriciais
Inversa de uma matriz quadrada
Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os produtos AB e BA.
Profa Ellis Noro
AB =
1
1
2
3
A =
3
–1
–2
1
B =
1
1
2
3
3
–1
–2
1
.
=
–2 + 3
–1 + 1
6 – 6
3 – 2
=
1
0
0
1
BA =
3
–1
–2
1
1
1
2
3
.
=
–2 + 3
3 – 3
–2 + 2
3 – 2
=
1
0
0
1
Note que AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2. 
Inversa de uma matriz quadrada
AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2. Dizemos que:
Profa Ellis Noro
A é a inversa de B (A = B–1);
B é a inversa de A (B = A–1).
Inversa de uma matriz quadrada
Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se, e somente se, existir uma matriz B tal que AB = BA = In. No caso a matriz B é chamada de inversa de A e é representada por A–1. Portanto
Profa Ellis Noro
AA–1 = A–1A = In
Exemplo
Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter sua inversa.
Profa Ellis Noro
2
–5
1
–3
A =
Caso exista, A–1 ela será de ordem 2.
a
b
c
d
A–1 =
AA–1 = I2
⇒
2
–5
1
–3
.
a
b
c
d
1
0
0
1
=
⇒
b – 3d
2b – 5d
a – 3c 
2a – 5c
=
1
0
0
1
Exemplo
Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter sua inversa.
Profa Ellis Noro
2
–5
1
–3
A =
Resolvendo os sistemas encontramos a = 3, b = –5, c = 1 e d = –2. Logo
⇒
2a – 5c = 1
a – 3c = 0
e
2b – 5d = 0
b – 3d = 1
a
b
c
d
A–1 =
3
–5
1
–2
=
Exercícios
 Obter a inversa de:
a)
 
b) 
 
 
Matriz Inversa
Observações:
1) Sendo A e In de ordem n, a inversa de A -1 será também de ordem n
2. Se não existir a inversa, dizemos que a matriz A não é inversível ou um matriz singular
3. Toda matriz inversível é quadrada, mas nem toda matriz quadrada é inversível.
Matriz Inversa
https://www.youtube.com/watch?v=z9hC99RhTHU
Conceito
	Toda equação cuja incógnita é uma matriz recebe o nome de equação matricial.
Exemplo
Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
–5
0
–1
4
1
–3
2
1
B =
A =
A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B.
x
y
z
t
X =
3.X – A = 2B ⇒
x
y
z
t
–5
0
–1
4
1
–3
2
1
3.
–
= 2.
Exemplo
3.X – A = 2B ⇒
3x
3y
3z
3t
5
0
1
–4
2
–6
4
2
+
=
⇒
3t – 4
3z + 1
3y
3x + 5
2
–6
4
2
=
3x + 5 = 2
3y = –6
3z + 1 = 4
3t – 4 = 2
⇒
x = –1
y = –2
z = 1
t = 2
⇒
–1
–2
1
2
X =
Exemplo
Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
–5
0
–1
4
1
–3
2
1
B =
A =
Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja.
3.X – A = 2B 
⇒
3.X = A + 2B 
⇒
X =
1
3
A + 2B =
–5
0
–1
4
2
–6
4
2
+
=
6
3
–6
–3
(A + 2B)
Exemplo
Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
–5
0
–1
4
1
–3
2
1
B =
A =
Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja.
3 . X – A = 2B 
⇒
3 . X = A + 2B 
⇒
X = 1/3 . (A + 2B)
X =
=
–3
–6
3
6
1
3
2
1
–2
–1
Questões
1)(UFPR - PR) Resolvendo a equação  
encontramos que valores para x e y, respectivamente?
2) (UFSC - SC) A somas dos valores de x e y que satisfazem à equação matricial 			é:
a) 1
b) 0 
c) 2
d) -1
e) -2
Questões
Questões
7) Utilize as matrizes A, B e C que aparecem a seguir para solucionar a equação matricial indicada, descobrindo todos os elementos da matriz X:
Questões
Questões
Questões