Teorema_da_Amostragem.pdf

Prévia do material em texto

1 - 1 
Teorema de Amostragem 
 http://www.qsl.net/py4zbz/teoria/digitaliz.htm 
 
De acordo com o Teorema de Nyquist, a quantidade de amostras por unidade de tempo 
de um sinal, chamada taxa ou freqüência de amostragem, deve ser maior que o dobro da 
maior freqüência contida no sinal a ser amostrado, para que possa ser reproduzido 
integralmente sem erro de aliasing. A metade da freqüência de amostragem é chamada 
freqüência de Nyquist e corresponde ao limite máximo de freqüência do sinal que pode ser 
reproduzido. Como não é possível garantir que o sinal não contenha sinais acima deste limite 
( distorções, interferências, ruídos, etc...), é necessário filtrar o sinal com um filtro passa baixo com 
freqüência de corte igual (ou menor) a freqüência de Nyquist, ou filtro anti-aliasing. 
 
Amostragem do sinal : 
Como o sinal analógico é continuo no tempo e em nível, contem uma infinidade de valores. 
E como o meio de comunicação tem banda limitada, somos obrigados a transmitir apenas um certa 
quantidade de amostras deste sinal, como enunciado anteriormente no Teorema de Nyquist. 
É obvio que quando maior a freqüência de amostragem, mais fácil será reproduzir o sinal, mas 
haverá desperdício de banda ocupada sem nenhuma melhoria na qualidade. 
A figura 1 ilustra o principio da amostragem :��
 
Figura 1- Princípio de Amostragem 
2 - 2 
 
O circuito que permite amostrar o sinal é uma simples chave que se fecha por um 
brevíssimo instante, na cadencia da freqüência de amostragem. Por ex. se a freqüência de 
amostragem for de 8 kHz, a chave se fecha 8000 vezes por segundo, ou seja, a cada 125 micro 
segundo. Como a chave se fecha por um tempo extremamente curto, teremos na sua saída um 
sinal em forma de pulsos estreitos, com amplitude igual ao valor instantâneo do sinal, chamados 
pulsos PAM (pulsos modulados em amplitude). 
 
 A figura 2 mostra um sinal senoidal sendo amostrado com taxas próximas ao limite. 
Em cima, amostragem com freqüência maior que duas vezes a do sinal : há amostras suficientes 
para que o sinal possa ser reproduzido sem erro de aliasing. (lembramos que fam = 1 / Ta). 
 
 No meio, a taxa de amostragem é igual a duas vezes a freqüência do sinal : não é possível 
a sua reprodução pois o sinal PAM vale zero. ( obs.: se houvesse defasamento dos pontos de 
amostragem, haveria sinal PAM, porem com amplitude errada, a não ser que por coincidência os 
pontos caíssem nos picos da senoide, donde a necessidade do "maior que o dobro" no Teorema 
de Nyquist. 
 
 Em baixo, a freqüência de amostragem é menor que o dobro da freqüência do sinal : a 
quantidade de amostras é insuficiente e o sinal reproduzido estará errado, em vermelho na figura. 
Este erro é causado pelo fenômeno de aliasing. 
 
 
Figura 2 – Sinais Amostrados próximos de faixas limite 
 
Espectro do sinal PAM 
 O sinal de amostragem (que atua na chave) é constituído de impulsos com a freqüência de 
amostragem fam, também chamado função pente (ou fução amostra). O espectro deste sinal 
contém raias de mesmo nível e freqüência múltiplas inteiras de fam, ou seja, 0 Hz (componente 
continua), fam, 2fam, 3fam, 4fam ... (até o infinito se a duração do impulso for nula...). 
O sinal PAM terá portanto estas mesmas raias, porem com as bandas laterais criadas pela 
3 - 3 
modulação em amplitude, como mostra a figura 3, onde fa=fam e é maior que 2 fsinal para não ter 
aliasing : 
 
Figura 3 - Sinal recomposto em PAM 
 
 
 Na figura 3 pode-se fazer um dedução importante : para reconstituir o sinal PAM no sinal 
analógico original, basta passar o sinal PAM por um filtro passa baixo. Será mostrado ainda que 
para que o sinal seja perfeitamente reproduzido, a freqüência de corte deste filtro passa baixo deve 
ser exatamente igual a fn = freqüência de Nyquist, que é igual a metade da freqüência de 
amostragem ( para não haver interferência intersimbólica IIS ). 
 
 Para efeitos didáticos, a envoltória do espectro do sinal a ser amostrado é representada 
simbolicamente pela hipotenusa de um triângulo e no caso, o sinal é uma senoide. Qualquer que 
fosse o sinal, por mais complexa a sua forma de onda e espectro, desde que limitado em fn, a 
reconstituição seria perfeita, usando o citado filtro. 
Aliasing 
 Caso não haja o filtro anti-aliasing e o espectro do sinal tem freqüência máxima maior que fn 
como mostra a figura 4. 
4 - 4 
 
Figura 4 – Sinal reconstituido sem o filtro Anti-Aliasing 
 
 
 Pode-se observar como ocorre o efeito de aliasing, que nada mais é do que a 
superposição dos espectros de cada raia mfam, por falta de espaço. Na restituição do sinal pelo 
filtro passa baixo com freqüência de corte fn, a parte do espectro original acima de fn (no caso a 
ponta do triângulo) aparece como se tivesse sido dobrada em torno de fn e invertida 
espectralmente, ou seja, freqüências mais altas passam a ser menores. O sinal indesejável de 
aliasing que aparece na reprodução é uma réplica do sinal original fo, porém com freqüência 
errada e igual a fa-fo ocasionando a deformação do sinal restituído com relação ao sinal original. 
 O termo correto em português para aliasing é freqüências réplicas, mas como é pouco 
difundido, utiliza-se o termo inglês aliasing. 
 Matematicamente, as freqüência réplicas ocorrem para qualquer sinal com freqüência fs 
maior que fn, e seu valor na reprodução é igual ao valor absoluto da diferença entre a freqüência 
do sinal fs e m vezes a freqüência de amostragem fam, onde m é um inteiro tal que 0 < |(fs-
m.fam)| < fam / 2.