MAT cap1v01 (1)

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MÓDULO I: Conjuntos (aula 1)
Conjunto
Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de coisas, que podem ser
números, pessoas, letras, objetos.
Então, dizemos que:
Conjunto é uma coleção de elementos que têm uma característica comum, uma
propriedade que os distingue.
Conjunto Finito
Conjunto finito é todo conjunto em que, contando os elementos, um a um, chega-
se ao fim da contagem.
Exemplo:
Conjunto das vogais do alfabeto; elementos: a, e, i, o, u
Conjunto Infinito
Conjunto infinito é todo conjunto em que é impossível chegar ao fim da contagem.
Exemplo:
Conjunto dos números naturais ímpares; elementos: 1, 3, 5, 7, 9, 11,...
Notação dos Conjuntos
Os conjuntos são designados por letras maiúsculas do nosso alfabeto e podem ser
representados por uma das seguintes formas:
• Nomeando seus elementos entre chaves e separados por vírgulas:
B = {a, e, i, o, u}
• Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos:
B = {x | x é uma vogal}
 
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• Através de linhas simples, fechadas, conhecidas como Diagramas de Venn:
Simbologia dos Conjuntos
Significado: Significado:
A, B, C, ... indicam conjuntos ∣ tal que
a, b, c, ... indicam elementos ∀ para todo, qualquer que seja
∃ existe n(A) número de elementos do 
conjunto A
∄ não existe
Relação de Pertinência
Relação estabelecida somente entre elemento e conjunto. 
Símbolo: ∈ (pertence). Notação: a ∈ B 
Símbolo: ∉ (não pertence). Notação: c ∉ B
Exemplo: 
Dado o conjunto A = {a, b, c, d}, podemos afirmar que:
a ∈ A, b ∈ A, g ∉ A, m ∉ A
Relação de Inclusão 
Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A está contido em B, ou que A é
subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é
elemento de B.
 
P á g i n a | 2
Símbolo: ⊂ (está contido). Notação: A ⊂ B
Símbolo: ⊄ (não está contido). Notação: A ⊄ B
Exemplos:
Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, então A ⊂ B, já que todo elemento de A 
também é elemento de B. Neste caso, A é subconjunto de B.
Se A ⊂ B, então, B ⊃ A (lê-se: B contém A).
Do mesmo modo, se A ⊄ B, então B ⊅ A (lê-se: B não contém A).
Ainda sobre a relação de inclusão, temos algumas observações importantes:
• Se A B e B A, então A = B.⊂ ⊂
• Se A não é subconjunto de B, isto é, se A ⊄ B, deve haver pelo menos um
elemento de A que não é elemento de B.
• Um conjunto vazio é considerado subconjunto de qualquer conjunto.
Tipos de Conjuntos 
Conjunto vazio: não possui elementos. É representado por { } ou ∅ .
Exemplo:
F = {x | 0 × x = 2} 
F = { } ou F = ∅ 
Conjunto unitário: todo conjunto formado por um único elemento.
Exemplo: 
V = {x | x é número natural par e primo}
V = {2}
Conjunto universo: conjunto formado por todos os elementos com os quais
estamos trabalhando num determinado momento. Símbolo: U.
Fixado o universo U, todos os elementos pertencem a U, e todos os demais conjuntos
trabalhados são partes de U. 
Exemplo:
Resolva a equação x + 5 = 2, sendo U = ℕ.
A raiz da equação é x = − 3, mas como U = ℕ a equação não tem solução.
 
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Conjunto das Partes
É o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Indica-se por P(A).
Exemplo: 
Dado A = {1,3}, temos:
P(A) = { ∅ , {1}, {3}, {1, 3}}
Se o conjunto A tem k elementos, então P(A) tem 2k elementos:
n(P(A)) = 2k = 2² = 4
Observações:
• Para qualquer conjunto A, o conjunto vazio e o próprio conjunto A são seus
subconjuntos. Em outras palavras: o conjunto vazio é subconjunto de qualquer
conjunto. Além disso, todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
• Excepcionalmente, na relação entre P(A) e seus elementos, utilizamos os
símbolos de pertinência (∈, ∉). Assim, se {1} é elemento de P(A), escrevemos {1}
∈ P(A).
Fique atento!
• Não repetimos elementos em um conjunto.
• Dois conjuntos que apresentam os mesmos elementos, em qualquer ordem, são
iguais. Assim, a ordem em que os elementos aparecem no conjunto é irrelevante.
 
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EXERCÍCIOS
Sequência A
• 1. Lembrando que pertinência é uma relação entre elemento e conjunto, e que inclusão
relaciona conjunto e conjunto, indique se as relações abaixo são verdadeiras (V) ou
falsas (F).
V F V F
a) 2 ∈ {0, 1, 2, 3} i) 5 ∈ {-1, 0, 1}
b) 5 ∈ {5} j) {2, 3} Ì {0, 1, 2, 3, 4}
c) 0 ∈ {1, 2, 3} k) 0 ∈ { }
d) 0 Ï {-2, -1, 0,1} l) 0 = ∅
e) 0 Ï ∅ m) {1, 3, 5}  {5, 3, 1}
f) {2, 3} ∈ {0, 1, 2, 3, 4} n) ∅ Ì {0}
g) {0, 5} Ë {0, 1, 3, 5} o) ∅ Ì {1, 2, 3}
h) {1, 2} Ì {0, 2, 4} p) ∅ ∈ {1, 2, 3}
• 2. Considere U o conjunto das letras do alfabeto, A o conjunto das letras da palavra idade
e B o conjunto das letras da palavra universidade, escreva usando os símbolos
apropriados:
a) A é subconjunto de B c) B não é subconjunto de A
b) B é subconjunto de U d) A é subconjunto de U
• 3. Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então,
podemos afirmar que x + y  …
• 4. Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 2, 3} e C = {0, 1, 2, 3}, pode-se afirmar que C É A
e que C É B? Justifique.
• 5. A sentença 3 Ì {3, {3}} é verdadeira ou falsa? Por quê?
• 6. Represente o conjunto dos números pares compreendidos entre 16 e 21, escrevendo
seus elementos entre chaves.
• 7. Represente por uma propriedade de seus elementos, o conjunto A  {5, 7, 11, 13, 17,
19, 23}.
• 8. Sendo A o conjunto cujos elementos são 2, 3 e 4, determine P(A).
 
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Sequência B
• 1. Considere os conjuntos A, B e C e indique se as afirmações apresentadas na tabela
são verdadeiras (V) ou falsas (F):
A = { x | x é número par maior que 10 }
B = { x | x é número ímpar compreendido entre 2 e 4 }
C = { x | x é número natural menor que 8 }
V F V F
a) A = {12, 14, 16, 18, ...} e) 0 ∉ C
b) 3 ∈ B f) B é conjunto vazio
c) 10 ∈ C g) 0 ∉ A
d) B é conjunto unitário h) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• 2. Considere os conjuntos não vazios A, B e C representados pelos diagramas abaixo e
indique se as afirmações apresentadas na tabela são verdadeiras (V) ou falsas (F):
 (diagrama 1) V F (diagrama 2) V F
A Ì B A Ì B
C Ì B A Ì C
B Ì A C Ì B
A ⊄ C B Ì C
• 3. Posso afirmar que o conjunto com os elementos 2 e 3 pertence ao conjunto cujos
elementos são 1, 2 e 3? Justifique sua resposta.
• 4. É correto dizer que o conjunto vazio pertence ao conjunto cujos elementos são 1, 2 e
3? Por quê?
• 5. Se um conjunto A possui 128 subconjuntos, então qual é o número de elementos do
conjunto A?
 
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MÓDULO I: Conjuntos (aula 2)
Operações com Conjuntos
Conjunto União 
Conjunto união é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A ou do
conjunto B. Indica-se por: A ∪ B (lê-se: “A união B”).
Simbolicamente, temos: 
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo: 
Se A = {1, 2, 5} e B = {1, 3, 4}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Representações de A ∪ B:
A representação do conjunto união através do Diagrama de Venn facilita o entendimento
desta operação. Em cada modelo, a parte pintada representa a união dos elementos de A
com B. Note que x é elemento de “A ∪ B” nas seguintes condições: 
A e B possuem alguns
elementos em comum. B é subconjunto de A. A é subconjunto de B.
A e B não possuem nenhum
elemento comum.
Conjunto Interseção
É o conjunto formado por todos os elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto
B, ou seja, formado por todos os elementos que pertencem simultaneamente aos
conjuntos A e B. Indica-se por: A ∩ B (lê-se:“A interseção B”).
Simbolicamente, temos: 
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo: 
Se A = {1, 2, 5} e B = {1, 3, 4}, então A ∩ B = {1}.
 
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Ainda sobre a operação de interseção, temos a seguinte definição:
Conjuntos Disjuntos
Se A ∩ B = ∅, entãoos conjuntos A e B são chamados disjuntos.
Exemplo: 
Se A = {1, 7} e B = {2, 5, 8}, temos que A ∩ B = ∅. Assim, A e B são chamados 
conjuntos disjuntos.
Representações de A ∩ B
Através do Diagrama de Venn, também podemos observar as condições em que o
elemento x pertence à interseção dos conjuntos A e B. Em cada modelo, a parte pintada
representa esta interseção. Veja:
A e B possuem alguns
elementos em comum. B é subconjunto de A. A é subconjunto de B. Os conjuntos são disjuntos.
Conjunto Diferença
É o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem ao conjunto B. Indica-se por: A – B (lê-se: “A menos B”).
Simbolicamente, temos: 
A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo: 
Se A = {1, 2, 5} e B = {1, 3, 4}, então A − B = {2, 5}.
 
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Representações de A – B
Veja as condições do conjunto diferença através do Diagrama de Venn:
A e B possuem alguns 
elementos em comum. B é subconjunto de A. A e B são conjuntos disjuntos.
Conjunto Complementar
Se A e B são conjuntos tais que A ⊂ B (Lê-se: A está contido em B), chamamos de
complementar de A em relação a B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem
ao conjunto B e não pertencem ao conjunto A. 
Indica-se por: CB
A = B – A (lê-se: complementar de A em relação a B que é igual a B – A).
Quando quisermos o complementar de A em U, podemos usar uma das seguintes
notações: A' = Ā = C 
A = CU
A
Exemplo: 
Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, então CB
A = B – A = {4, 5}.
Fique atento!
O complementar de um conjunto é representado por uma diferença (operação que
vimos anteriormente), em que um conjunto está contido em outro. 
Representações de CBA :
Veja a representação do conjunto complementar através do Diagrama de Venn: 
O conjunto complementar de A em relação a B é formado pelos elementos do 
conjunto B que não pertencem ao conjunto A, ou seja, B – A.
 
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 Número de elementos da união de conjuntos
Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o número de elementos do
conjunto B, temos:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Fique atento!
• Ao subtrairmos os elementos comuns (A interseção B), evitamos que eles
sejam contados duas vezes.
• Se A e B forem disjuntos, temos n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
Exemplos:
1) Sendo A = {1, 2, 5} e B = {1, 3, 4}, temos: 
n(A) = 3, n(B) = 3 
(A ∩ B) = {1} → n(A ∩ B) = 1 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 3 + 3 – 1 = 5
De fato, temos: (A ∪ B) = {1, 2, 3, 4, 5} → n(A ∪ B) = 5
2) Uma prova com duas questões A e B foi dada a uma classe de 40 alunos. Dez alunos
acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda
questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 25 + 20 – 10 = 35
40 – 35 = 5
Portanto, cinco alunos erraram as duas questões.
 
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EXERCÍCIOS
Sequência A
• 1. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} e C = {3, 4}, determine:
a) A ∩ B b) A ∩ C
c) B ∩ C d) A ∪ C
• 2. Considere os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-1, 1} e C = {0, 1, 2}. Determine:
a) B ∩ C b) A ∪ C
c) B ∩ C - A d) A ∩ B ∩ C
• 3. Considerando A = {x | x = 2y + 1, y ∈ ℕ} e B = {x | x = y + 3, y ∈ ℕ}, verifique se A Ì B
ou B Ì A.
• 4. Determine o conjunto D(30) ∩ D(60), onde D(n) é o conjunto dos divisores de n.
• 5. Sendo A = {a, c, e, g} e B = {a, e}, determine o conjunto (A ∩ B) – (A – B).
• 6. Sendo A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 4, 6, 7}, determine o conjunto (A ∩ B) ∪ (B – A).
• 7. Verifique se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique: 
“Se A Ë B e B = {10, 23, 12, {1, 2}}, então o conjunto A pode ser A = {1}”.
• 8. Sejam os conjuntos numéricos A = {2, 4, 8, 12, 14}, B = {5, 10, 15, 20, 25} e o conjunto
C = {1, 2, 3, 18, 20}. Determine [(A – B) ∩ C] ∪ [(A ∩ B) – C].
• 9. Se A = {9, 10, 11, 12}, B = {10, 12, 13, {11}} e C = {11, 12, 13, 14}, determine o conjunto
A ∩ B – [C ∩ (B ∩ A)].
• 10. Dado o diagrama abaixo, determine A – B.
 
 
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• 11. Dado o diagrama abaixo, determine o complementar de A em relação a B.
• 12. Se A é um conjunto com 5 elementos, B é um conjunto com 9 elementos e a
interseção de A e B tem 3 elementos, quantos elementos tem A ∪ B?
• 13. Sabe-se que um conjunto A tem 24 elementos e que um conjunto B tem 13
elementos. Uma vez que os elementos simultaneamente pertencentes a A e B são 9,
calcule o número de elementos de A ∪ B.
• 14. Sendo n(A ∪ B) = 38, n(A ∩ B) = 12 e n(B) = 15, Calcule n(A).
• 15. Verificou-se que em uma cidade existem dois jornais A e B os quais têm juntos 7200
assinantes. É certo que o jornal A tem 3200 assinantes. Existem 1500 pessoas que
assinam os dois jornais. Quantas pessoas assinam o jornal B?
Sequência B
• 1. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2} e C = {x | x é número par menor que 10}, 
D = {x | x é número ímpar compreendido entre 0 e 6} determine:
a) A ∩ B b) A ∩ D c) B ∩ D d) A ∩ C
e) B ∩ C f) C ∩ D g) (A ∩ B) ∩ C h) (A ∩ D) ∩ B
• 2. Complete: “se um conjunto A tem 3 elementos e um conjunto B tem 5 elementos, então
A ∩ B tem no máximo _____ elementos”.
• 4. Sendo A o conjunto dos divisores naturais de 18 e B o conjunto dos divisores naturais
de 30, complete:
(a) A = 
(b) B = 
(c) A ∩ B =
(d) o maior divisor comum de 18 e 30 é _____ .
• 5. Sabendo que um conjunto A tem 4 elementos, um conjunto B tem 3 elementos e um
conjunto C tem 6 elementos, quantos elementos, no máximo, podem ter os conjuntos:
 
P á g i n a | 12
(a) A ∩ B (b) A ∩ C (c) B ∩ C 
• 6. Complete: “se A e B são disjuntos, A tem 4 elementos e B tem 3 elementos, então A ∩
B certamente tem ____ elementos”.
• 7. Sendo A = {0, 1, {2}}, B = {0, {1}, 2, {2}} e C = {{0}, {1}, 2}, determine:
(a) A ∪ B (b) A ∪ C (c) B ∪ C 
• 8. Sabendo que um conjunto A tem 4 elementos, um conjunto B tem 3 elementos e um
conjunto C tem 6 elementos, quantos elementos, no mínimo, poderão ter os conjuntos:
(a) A ∪ B (b) A ∪ C (c) B ∪ C 
• 9. Se um conjunto A tem a elementos e um conjunto B tem b elementos, quantos
elementos terá A ∪ B se A e B são disjuntos?
• 10. Nas figuras abaixo, hachure (destaque com traços) as operações indicadas:
A ∪ (B ∩ C) (A ∩ B) ∪ C (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• 11. Numa pesquisa verificou-se que 100 pessoas liam o jornal A, 150 liam o jornal B e 20
liam os dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas?
• 12. Sabendo que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), descubra o valor de n(A ∪ B) ∪ C.
• 13. Numa pesquisa de mercado sobre a preferência por três marcas de café C, D e F
montou-se a seguinte tabela:
marcas C D F C e D D e F C e F C, D e F nenhum
Nº de usuários 100 150 200 20 40 30 10 130
Pergunta-se:
(a) Quantas pessoas foram consultadas?
(b) Quantas preferem a marca C ou D?
(c) Quantas consomem apenas uma marca?
 
P á g i n a | 13
• 14. Na Escola de Educação estudam 630 alunos, sendo que 350 estudam Matemática,
210 estudam Pedagogia e 160 alunos não estudam nem Matemática nem Pedagogia
• 15. Sabendo que n(A) = 47, n(B) = 30 e n(A ∪ B) = 60, determine:
(a) n(A ∩ B) (b) n(A – B) (c) n(B – A) 
• 16. Sejam A, B e C conjuntos finitos. Sabe-se que n(A ∩ B ∩ C) = 8, n(A ∩ B) = 15, n(A ∩
C) = 20, n(B ∩ C) = 24, n(C) = 50, n(B) = 60 e n(A ∪ B ∪ C) = 129. Determine:
(a) n(A) (b) n(B – A) (c) n(C – A) 
(d) n(A – B) (e) n(A ∩ B) – C (f) n(A ∪ C) 
• 17. Os conjuntos A e B são ambos finitos e subconjuntos de U. Sabe-se que n(A) = 30,
n(B) = 36, n(U) = 68 e n(A ∪ B) = 50. Determine:
(a) n(A ∩ B) (b) n(CU
A) (c) n(B') (d) n(B ∩ Ā) 
 
P á g i n a | 14
MÓDULO I: Conjuntos (aula 3)
Conjuntos Numéricos
Quando comparamos uma grandeza (ou seja, tudo o que pode ser contadoou medido) e
uma unidade, obtemos um número. 
Se a grandeza é discreta, a comparação é uma contagem e o resultado um número
natural. 
Exemplo:
A contagem do número de livros de uma coleção.
Se a grandeza é contínua, a comparação é uma medição e o resultado é um número real.
Exemplo:
 A medição, em quilômetros, da distância entre duas cidades.
Apresentamos a seguir alguns conjuntos numéricos.
Conjunto dos Números Naturais (ℕ)
Esse conjunto foi o primeiro sistema de números desenvolvido e usado primitivamente
para contagem.
 ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}
Sucessor de n: n + 1
Sempre podemos obter o sucessor de um número natural, por isso dizemos que este
conjunto é infinito e indicamos tal fato pelas reticências.
Subconjuntos de ℕ
Temos que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também
é elemento de B. 
ℕ* Conjunto dos números naturais não nulos.
ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, …}. Note que ℕ* = ℕ − {0}
 
P á g i n a | 15
Fique atento!
O conjunto dos números naturais admite a propriedade do fechamento para a
adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais
sempre é um número natural. No entanto, a subtração e a divisão entre dois
números naturais nem sempre é um número natural, como em 2 – 5 = – 3 e 1 : 2 =
0,5. Assim surgiu a necessidade de novos conjuntos numéricos. 
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)
Esse conjunto é formado por todos os números inteiros negativos, o zero e os inteiros
positivos.
ℤ = {, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, }
Subconjuntos de ℤ
• Conjunto dos números inteiros não nulos
 ℤ* = {, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4,}. Note que ℤ* = ℤ − {0}
• Conjunto dos números inteiros não negativos
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4,}. Note que ℤ+ = ℕ
• Conjunto dos números inteiros positivos 
ℤ*+ = {1, 2, 3, 4,}
• Conjunto dos números inteiros não positivos
ℤ- = {, −3, −2, −1, 0}
• Conjunto dos números inteiros negativos
ℤ*- = {..., −3,−2, −1}
Fique atento!
No conjunto dos números inteiros, a soma, o produto e a diferença de dois números
inteiros sempre resultam em um número inteiro. No entanto, o quociente de dois
números inteiros nem sempre é um número inteiro, como no exemplo 1 : 2 = 0,5.
 
P á g i n a | 16
Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
Um número x é racional quando pode ser escrito na forma a / b sendo a e b 
números inteiros e b diferente de zero. Em símbolos:
ℚ={x∣x=ab ,a∈ℤ , b∈ℤe b≠0 } 
Elementos de ℚ
Números inteiros: 
Se b = 1, temos a
b
=a
1
=0 . Exemplos: 2
1
=2 ; −5
1
=−5 ; 0
1
=0
Também podemos escrever os números inteiros 2 e –5 através de outras frações 
equivalentes: 2 = 10/5; -5 = -15/3.
Números decimais:
Os números racionais também podem ser escritos na forma decimal: 0,25; -3,4; 0,333...,
sendo sempre possível passar de uma representação a outra.
0,6 = 610 ; −1,54 =
154
100
A técnica prática para transformar um número decimal em fração é escrever o
número sem a vírgula no numerador e o denominador como uma potência de 10,
de acordo com o número de casas decimais, ou seja, uma casa decimal (101 =
10),duas casas decimais (10² = 100), três casas decimais (10³ = 1000) e assim por
diante. 
Por outro lado, para representar a fração 3/8, por exemplo, em forma decimal,
basta efetuar a divisão aproximada de 3 por 8.
Dízimas Periódicas Simples: 
São aquelas que têm a repetição de um valor logo após a vírgula. 
0,333... = 3
9
= 1
3
Transformamos em fração, dentre outras técnicas, escrevendo o valor que se repete
(chamado período) no numerador e tantos algarismos 9 no denominador de acordo com a
quantidade de algarismos do período. 
 
P á g i n a | 17
Dízimas Periódicas Compostas:
são aquelas que, entre a vírgula e o período (valor que se repete) possuem pelo
menos um algarismo.
−0,21111... = −21−2
90
= −19
90
Para obtermos o numerador escrevemos o número formado pela parte não periódica com
a parte periódica, menos a parte não periódica. No denominador devemos escrever tantos
9 de acordo com o número de algarismos do período, e tantos zeros de acordo com a
quantidade de algarismos do não período.
Subconjuntos de ℚ
• ℚ* Conjunto dos números racionais não nulos: ℚ* = { x ∈ ℚ | x ≠ 0}
• ℚ+ Conjunto dos números racionais não negativos: ℚ+ = { x ∈ ℚ | x  0}
• ℚ*+ Conjunto dos números racionais positivos: ℚ*+ = { x ∈ ℚ | x  0} 
• ℚ- Conjunto dos números racionais não positivos: ℚ- = { x ∈ ℚ | x  0}
• ℚ*- Conjunto dos números racionais negativos: ℚ*- = { x ∈ ℚ | x  0}
Fique atento!
Entre dois números racionais sempre existe um número racional. 
Exemplo: entre 0,4 e 0,5 podemos encontrar infinitos números racionais como 0,41;
0,423; 0,483.
Conjunto dos Números Irracionais
Existem certos números que não podem ser escritos na forma a/b com a ∈ ℤ e b ≠
0. São os chamados números irracionais, cuja representação decimal é infinita,
mas não periódica. 
Exemplos: 
0,123456...
2 1,4142135...
-4, 34562...
 
P á g i n a | 18
π ; 3√4 ; √12 ; 6√15
O número p (pi) é um irracional bastante conhecido que vale aproximadamente 3,14.
Outros irracionais que se destacam são as raízes em que o resultado não é um número
inteiro: 3√5; √10 ;
Fique atento!
A soma ou diferença de um racional e um irracional é sempre irracional. 
O produto e o quociente de um racional não nulo por um irracional é sempre
irracional. 
O quociente de um irracional por um racional não nulo é sempre irracional.
Conjunto dos Números Reais (ℝ)
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais, obtemos o conjunto dos números reais.
ℝ = {x | x ∈ ℚ ou x é irracional}
Exemplos: 3 ; −4,6; 2
5
; 0,12345...
Subconjuntos de ℝ
• ℝ* Conjunto dos números reais não nulos: ℝ* = { x ∈ ℝ | x ≠ 0}
• ℝ+ Conjunto dos números reais não negativos: ℝ+ = { x ∈ ℝ | x  0}
• ℝ*+ Conjunto dos números reais positivos: ℝ*+ = { x ∈ ℝ | x  0}
• ℝ- Conjunto dos números reais não positivos: ℝ- = { x ∈ ℝ | x  0}
• ℝ*- Conjunto dos números reais negativos: ℝ*-= { x ∈ ℝ | x  0}
Fique atento!
Se um número real é racional, ele não é irracional. E se é irracional, ele não é
racional. 
 
P á g i n a | 19
EXERCÍCIOS
Sequência A
• 1. Dados A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4} e B = {x ∊ ℕ | 2 < x < 20}, determine A ∩ B.
• 2. Sendo ℚ o conjunto dos números racionais e ℝ o conjunto dos números reais, a 
sentença (ℚ ∩ ℝ) Ì ℚ é verdadeira ou falsa?
• 3. Determine o conjunto resultante de ℝ ∩ ℚ ∩ ℤ ∩ ℕ.
• 4. Dados os conjuntos A = {x ∈ ℤ | -3  x  5} e B = {x ∈ ℤ | x  0}, 
determine (B – A) ∩ B.
• 5. Dados os conjuntos A = {x ∈ ℤ | x  0} e B = {x ∈ ℤ | -3  x  4} e 
C = {x ∈ ℤ | -2  x  3}, determine [(B – C) ∩ (A – B)] ∪ A .
• 6. Dados os conjuntos 
A = { x ∈ ℕ | x é ímpar e menor do que 11}, B = { x ∈ ℤ | –3  x  4} e 
C = {x ∈ ℤ | x  6}. Determine (A – B) – C. 
• 7. Encontre o número decimal resultante da fração 4/3.
• 8. Encontre a fração geratriz da dízima periódica 1,434343 . 
• 9. Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica e resolva a expressão
0,212121 + 0,2333 . 
• 10. A sentença ℤ ∩ ℕ = { } é verdadeira ou falsa? Por quê?
Sequência B
• 1. Diga se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas e explique:
(a) p ∈ ℚ (b) -1/2 ∈ ℤ- (c) 0 ∈ ℚ*
(d) -4/5 ∈ ℝ (e) √5 ∈ ℕ (f) √3 ∈ ℝ*+
• 2. Escreva na forma decimal:
(a) 9/5 (b) -7/4 (c) 2/3 (d) 2/45
 
P á g i n a | 20
• 3. Escreva os números racionais seguintes, na forma fracionária irredutível:
(a) 0,075 (b) 3 2
5
 (c) 1,6 (d) 2,4141
• 4. Indique quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
(a) ℕ É ℤ (b) ℚ Ì ℝ (c) ℕ Ì ℤ Ì ℚ Ì ℝ (d) ℕ ∪ ℤ = ℕ
(e) ℤ ∪ ℤ+ = ℤ- (f) ℝ É ℝ+ (g) ℝ ∪ ℝ+ = ℝ (h) ℝ∩ ℝ- = ℝ-
• 5. Compare os números e escreva-os na ordem crescente:
(a) −4
3
, 0, −2, 1, 3
2
(b) π , 3, −2 1
3
, −15
2
(c) −√3 , −95 , √2 ,
1
2
• 6. Escreva, usando a linguagem simbólica:
(a) 3 é positivo. (b) -0,5 é negativo. (c) 1 está entre -0,75 e 3.
• 7. Determine as frações que geram as seguintes dízimas periódicas:
(a) 0,451451451 (b) 0,3121212 (c) 1,24444
• 8. Determine a fração geratriz dos números decimais periódicos:
(a) 121,434343 (b) 0,3727272 (c) 0,99999
• 9. Quais os 6 primeiros algarismos na representação decimal de 355
113
?
• 10. Sabendo que a > b > 0, indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou
falsas:
(a) a + b > 0 (b) a – b > 0 
(c) a . b > 0 (d) a – b < 0
(e) a/b > 0
 
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