Apostila Conjuntos- Parte 1

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Parte 1- Conjuntos 
Definição Conjunto: Um conjunto é uma reunião de elementos que compartilham as mesmas 
características. Quando esses elementos são números, esse agrupamento passa a ser conhecido 
como conjunto numérico. 
Conjuntos: 
 
Naturais: Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. 
Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } 
 
Inteiros: Representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é uma ampliação 
do conjunto dos números naturais. ... Um número é conhecido como inteiro se ele for um número 
natural, n, ou o oposto de um número natural, –n. Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} 
 
Racionais: O conjunto dos números racionais é a junção dos conjuntos numéricos de frações e dos 
decimais, já que esses algarismos podem ser escritos em formato de fração. A letra Q representa 
esse conjunto, pois o termo “quociente” começa com a letra q, e remete ao resultado de uma 
divisão. 
 
Irracionais: O conjunto dos números irracionais é composto pelas dízimas não periódicas e as 
raízes não exatas. Existem números irracionais, como o π, que são bastante conhecidos, utilizamos 
esse símbolo para representar o número, já que ele é uma dízima não periódica. O conjunto é 
representado pela letra I maiúscula. 
 
Reais: Um número real é um valor que representa uma quantidade ao longo de uma linha contínua, 
ou seja, um ponto sobre uma linha reta infinita, chamada de reta numérica ou reta real, onde os 
pontos correspondentes aos números inteiros são igualmente espaçados. 
 
 
 
 
 
 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Minas Gerais – IFMG 
 
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Capes 
 
Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência – PIBID 
 
Subprojeto Matemática / Campus Formiga 
 
 
 
Figura 1 
 
Fonte: https://araquelexplica-te.pt/wp-content/uploads/2018/10/Conjuntos-num%C3%A9ricos-1024x768.jpeg 
 
 
Para realizar a atividade acesse o link: https://wordwall.net/pt/resource/10049645/conjuntos-
num%C3%A9ricos 
Notação e representação dos conjuntos: 
Para representação de um conjunto, utilizamos sempre uma letra maiúscula do alfabeto, e os 
elementos estão sempre entre chaves e são separados por vírgula. Para representar o conjunto dos 
números pares maiores que 1 e menores que 20, por exemplo, usamos a seguinte notação: 
 P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}. 
https://araquelexplica-te.pt/wp-content/uploads/2018/10/Conjuntos-num%C3%A9ricos-1024x768.jpeg
https://wordwall.net/pt/resource/10049645/conjuntos-num%C3%A9ricos
https://wordwall.net/pt/resource/10049645/conjuntos-num%C3%A9ricos
 
 
 
Formas de representação dos conjuntos 
 
1- Representação por enumeração: podemos enumerar seus elementos, ou seja, fazer uma lista, 
sempre entre chaves. Veja um exemplo: 
 
 A = {1,5,9,12,14,20} 
2- Descrevendo as características: podemos simplesmente descrever a característica do conjunto. 
Por exemplo, seja X um conjunto, temos que X = {x é um número positivo múltiplo de 5}; Y: é o 
conjunto dos meses do ano. 
 
3- Diagrama de Venn: os conjuntos também podem ser representados na forma de um diagrama, 
conhecido como diagrama de Venn, que é uma representação mais eficiente para a realização das 
operações. 
 
Figura 1 
 
 
 
 
 
 
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto.htm 
 
Elementos de um conjunto e relação de pertinência 
 
Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto ou não 
pertente a esse conjunto. Para representar essa relação de pertinência de forma mais rápida, 
utilizamos os símbolos (lê-se pertence) e ∉ (lê-se não pertente). 
Por exemplo, seja P o conjunto dos números pares, podemos dizer que o 7 ∉ P e que 12 P. 
 
Igualdade de Conjuntos 
É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo assim, podemos afirmar que dois conjuntos são 
iguais ou não verificando cada um dos seus elementos. Seja A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0}, 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-pares-impares.htm
 
 
ainda que os elementos estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os conjuntos A e B são 
iguais: A = B. 
 
 
Figura 2 
 
 
 
Fonte:http://www.laifi.com/laifi.php?id_laifi=1803&idC=36098# 
 
Relação de inclusão 
 
Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas relações, e uma delas é a relação 
de inclusão. Para essa relação, precisamos conhecer alguns símbolos: 
⊃ → contém ⊂ → está contido 
 ⊅ → não contém ⊄ → não está contido 
 
Dica: o lado da abertura do símbolo sempre ficará virado para o conjunto maior. 
 
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a um conjunto B, dizemos que 
A ⊂ B ou que A está contido em B. Por exemplo, A= {1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6}. É possível também 
fazer a representação pelo diagrama de Venn, que ficaria assim: 
A está contido em B: 
Figura 3 
 
 
 
Fonte: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto.htm 
A ⊂ B 
 
Subconjuntos 
 
http://www.laifi.com/laifi.php?id_laifi=1803&idC=36098
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto.htm
 
 
Quando acontece uma relação de inclusão, ou seja, o conjunto A está contido no conjunto B, 
podemos dizemos que A é subconjunto de B. O subconjunto continua sendo um conjunto, e 
um conjunto pode ter vários subconjuntos, construídos a partir dos elementos pertencentes a ele. 
Por exemplo: A: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tem como subconjuntos os conjuntos B: {1, 2, 3}; C: {1, 3, 
5, 7}; D: {1} e, até mesmo, o conjunto A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, ou seja, A é subconjunto dele 
mesmo. 
Conjunto unitário 
 
Um conjunto será unitário se nele existir apenas um elemento, por exemplo: 
• O conjunto dos planetas do sistema solar que começam com a letra T = {Terra}. 
• O conjunto dos números inteiros que estão entre 10 e 12 = {11}. 
• O conjunto dos números naturais compreendidos entre 0 e 2 = {1}. 
• Conjunto dos divisores inteiros e positivos de 1: {1}. 
• Conjunto das soluções da equação 3x +1 = 10: {3}. 
• Conjunto dos meses com apenas 28 dias: {fevereiro}. 
 
Conjunto Vazio 
 
Conjunto que não possui nenhum elemento. Esse tipo de conjunto por não possuir nenhum 
elemento irá ter uma representação diferenciada. Quando um conjunto for vazio ele será 
representado por: Ø ou { }, nunca devemos representá-lo assim {Ø}. 
• A = {x ∈ Q | x ∉ R} ⇒ A = ; 
• B = {x | x ∈ N e 2 < x < 3} ⇒ B = { }; 
 
Conjunto universo 
 
Definição: É aquele ao qual pertencem todos os elementos utilizados em determinado estudo ou 
assunto, denotado geralmente por U. 
É importante entender que o conjunto universo, diferentemente do conjunto vazio, possui uma 
definição relativa, sempre associada ao contexto de trabalho/estudo. 
O conjunto vazio é sempre o mesmo. Não importa o contexto e nem onde estivermos 
trabalhando. Isto é, se estivermos falando de matemática, ou de futebol, ou de estrelas no céu, o 
conjunto vazio é sempre o mesmo. 
 
 
No entanto, o conjunto universo U pode mudar de acordo com o contexto da situação em que 
estivermos trabalhando. 
Exemplo: 
• Se as soluções de uma equação são reais, o universo é U = R 
• Se quisermos uma solução inteira, o universo é U = Z. 
• Para estudar resultados da Mega Sena, o universo é U = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 60}. 
 
Conjunto finito 
 
Podemos dizer que são conjuntos que tem fim, por exemplo: 
• O conjunto que representa a quantidade de funcionários registrada em umaempresa. 
• O conjunto dos números inteiros que estão entre - 8 e 2 = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1} 
 
Conjunto infinito 
 
Conjuntos que a contagem dos seus elementos não tem fim, por exemplo: 
• o conjunto dos números naturais 
•conjunto dos números inteiros. 
 
Conjunto das Partes 
 
Bem, o nome já diz tudo. É um conjunto que possui todas as “partes” de um outro conjunto. Vamos 
definir para entender melhor. 
(Definição) Conjunto das Partes. Seja A um conjunto qualquer. O conjunto abaixo é chamado 
de conjunto das partes de A: P(A)={X | X é um subconjunto de A} 
Ainda, sobre o conjunto das partes, você deve estar atento a duas coisas: 
1. sempre está no conjunto das partes, pois ⊂A 
2. O próprio conjunto sempre está em seu conjunto das partes, pois A⊂A 
Então tome nota: 
 ∈ P(A) 
 A ∈P(A) 
Exemplo de conjunto das partes: 
Seja A={a,b,c} 
O conjunto das partes de A é o conjunto que reúne todos os subconjuntos de A, incluindo o e o 
próprio A. 
 
 
P(A)={{a}; {b}; {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}; } 
 
 Número de elementos no conjunto das partes 
Há um fato bastante interessante sobre o conjunto das partes. 
Se A possui n elementos, então P(A) possui elementos. É isso aí. Normalmente, indicamos 
o número de elementos de um conjunto A por #A. Então, para resumir, em notação 
matemática: 
#A = n ⇒ #P(A) = 
 
Exercícios 
 
1- Escreva os elementos devidamente corretos para cada um dos conjuntos: 
i. Naturais 
ii. Inteiros 
iii. Reais 
2- Considere os conjuntos: 
A = {1, 4, 7} 
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8} 
É correto afirmar que: 
a) A ⊃ B 
b) A ⊂ B 
c) B ⊄ A 
d) B ∩ A 
 
3- Observe os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta. 
A = {x|x é um múltiplo positivo de 4} 
B = {x|x é um número par e 4 ≤ x < 16} 
a) 145 ∈ A 
b) 26 ∈ A e B 
c) 11 ∈ B 
d) 12 ∈ A e B 
 
4- Qual a possível lei de formação do conjunto A = {2, 3, 5, 7, 11}? 
 
 
a) A = {x|x é um número simétrico e 2 < x < 15} 
b) A = {x|x é um número primo e 1 < x < 13} 
c) A = {x|x é um número ímpar positivo e 1 < x < 14} 
d) A = {x|x é um número natural menor que 10} 
 
Gabarito 
 
1- a) N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
b) I = {-3, -2, -1, 0, 1} 
c) R = {-5, -5/2, - 0,444...} 
2- b) A ⊂ B 
3- d) 12 ∈ A e B 
Referencias 
Conjunto Universo. Disponível em: https://matika.com.br/conjuntos/conjunto-universo. Acesso 
em: 01 ago. 2021. 
Conjunto das Partes. Disponível em: https://matika.com.br/conjuntos/conjunto-das-partes. Acesso 
em: 01 ago. 2021. 
DOMINGUES, José Sérgio. Teoria Elementar dos Conjuntos. In: DOMINGUES, José 
Sérgio. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA ELEMENTAR. Formiga: Departamento de Matemática - 
Ifmg Campus Formiga, 2018. Cap. 2. p. 1-180. Disponível em: 
https://formiga.ifmg.edu.br/documents/2019/Cursos/Matematica/Livro_algebra-revisado.pdf. 
Acesso em: 01 ago. 2021. 
LUIZ, Robson. "Operações com conjuntos"; Brasil Escola. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm. Acesso em 09 de agosto 
de 2021. 
MIRANDA, Danielle de. Tipo de conjuntos. Disponível em: 
https://www.preparaenem.com/matematica/tipo-de-conjunto.htm. Acesso em: 01 ago. 2021.