Tópicos de matemática: matrizes, determinantes e sistemas

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UNIVERSIDADE DO SAGRADO CORAÇÃO 
 
 
 
 
 
KARINA APARECIDA GUISINI 
NATÁLIA LUISA MESSIAS TALIABOA 
WAGNER VINICIUS MACENA DE MORAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO SEMESTRAL: TÓPICOS DE 
MATEMÁTICA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru 
2016 
 
 
KARINA APARECIDA GUISINI 
NATÁLIA LUISA MESSIAS TALIABOA 
WAGNER VINICIUS MACENA DE MORAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO SEMESTRAL: TÓPICOS DE 
MATEMÁTICA II 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado a disciplina de Tópicos de 
Matemática II, na Universidade do Sagrado 
Coração, para obter aprovação na mesma sob 
orientação da Prof.ª Mestre Fátima Regina Lima 
Ribeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A Matemática apresenta invenções tão sutis que 
poderão servir não só para satisfazer os curiosos 
como, também para auxiliar as artes e poupar 
trabalho aos homens”. 
 (Descartes) 
 
 
RESUMO 
 
Este trabalho traz a proposta do Plano de Ensino da Prof.ª Dr.ª Fátima Ribeiro, para o 
ensino de Tópicos de Matemática II à turma de Licenciatura em Matemática, que traz como 
competências da disciplina, domínios da matemática básica e lógica. 
Logo, o mesmo tem o intuito de que os alunos consigam interpretar, classificar e 
elaborar materiais didáticos utilizando os conceitos de Matrizes e Sistemas Lineares, 
utilizando diferentes métodos de resolução para maior esclarecimento do conteúdo; aplicando 
a matéria no cotidiano, ou seja, em realizações próprias. Para fixação e aprofundamento dos 
conteúdos, este trabalho apresenta uma síntese do conteúdo estudado durante as aulas, com 
citações e exercícios complementares encontrados em fontes como livros didáticos ou sites. 
 
 
Palavras Chaves: Plano de Ensino, Tópicos de Matemática II, Domínio Básico, Materiais 
didáticos, Matrizes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
 
This paper presents the proposal of the Prof.ª Dr. ª Fatima Ribeiro Education Plan for 
the teaching of Mathematics II Topics to degree class in mathematics, which brings the skills 
of discipline, fields of basic math and logic. 
Therefore, it is intended that students can interpret, classify and prepare teaching 
materials using the concepts of matrices and linear systems, using different methods of 
resolution for further clarification of the content; applying the matter in everyday life, ie own 
achievements. For fixing and deepening of content, this paper presents a summary of the 
content studied in class, with quotes and complementary exercises found in sources such as 
textbooks or websites. 
 
 
Keywords: Teaching Plan, Math Topics II, Basic Domain, teaching materials, Matrices and 
Linear Systems. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 6 
2. OBJETIVO ......................................................................................................................... 7 
2.1 OBJETIVO GERAL ................................................................................................. 7 
2.2 OBJETIVO ESPECIFÍCO ........................................................................................ 7 
3. JUSTIFICATIVA ............................................................................................................... 8 
4. MATRIZES ......................................................................................................................... 9 
4.1 MATRIZES- EXERCÍCIOS ................................................................................ 11 
5. DETERMINANTES ......................................................................................................... 34 
5.1 DETERMINANTES- EXERCÍCIOS ..................................................................... 36 
6. SISTEMAS LINEARES .................................................................................................. 41 
6.1 1SISTEMAS LINEARES- EXERCÍCIOS ............................................................. 44 
7. APLICAÇÕES .................................................................................................................. 61 
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................... 62 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 63 
GLOSSÁRIO .......................................................................................................................... 64 
ANEXO A- A ORIGEM DO NOME MATRIZ ................................................................... 65 
ANEXO B- PIERRE SIMON LAPLACE ............................................................................ 66 
ANEXO C- ORIGEM DOS SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES ................ 68 
ANEXO D- DESCARTES ..................................................................................................... 70 
ANEXO E- GABRIEL CRAMER ........................................................................................ 72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
Na disciplina de Tópicos de Matemática II, iremos conhecer e aplicar estudos práticos 
e teóricos sobre matrizes, determinantes de sistemas de equações lineares. 
Na parte de matrizes iremos conhecer as nomenclaturas para cada um de seus tipos e 
iremos trabalhar com suas operações (definições e propriedades) que são adição, subtração, 
multiplicação por produto e multiplicação por um escalar, matriz inversa e assim por diante. 
Em seguida quando conhecermos todas as definições de matrizes vai ser vista a parte 
de determinantes onde realizaremos cálculo de determinantes pela definição e pela a aplicação 
das propriedades, onde conheceremos A Regra de Sarrus e o Teorema de Laplace. 
E por último entramos na parte de sistemas lineares, onde estudaremos sua definição, a 
solução de um sistema linear, sistemas lineares equivalentes e a classificação de um sistema 
linear quanto ás soluções, na pratica estaremos vendo a resolução de sistemas lineares 
escalonados, e faremos a aplicação de sistemas lineares na resolução de problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
2 OBJETIVOS 
 
 
2.1 OBJETIVO GERAL 
 
O intuito deste trabalho é observar se o conteúdo estudado em sala de aula fora 
absorvido, de maneira com a qual possamos desenvolvê-lo com suas definições e exercícios 
elaborados de acordo com o que fora estudado em cada assunto que contem neste trabalho. 
 
 
2.2 OBJETIVO ESPECIFÍCO 
 
Os mesmos terão suas definições e cinco ou mais exemplos de exercícios resolvidos 
sobre cada tema, para demonstrar o que fora absorvido e como foi absorvido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
3 JUSTIFICATIVA 
 
 
O intuito deste trabalho é apresentar o que fora estudado em sala de aula, tal que cada 
aluno mostre os conhecimentos obtidos nas matérias de matrizes, determinantes e sistemas de 
equações lineares, para demonstrar se os conceitos estudados foram obtidos. 
A demonstração de conceitos se deve pelo curso Matemática (licenciatura), no qual 
tem como objetivo transmitirnossos conhecimentos para os alunos do 6° ao 9° ano do ensino 
fundamental e do 1° ao 3° ano do ensino médio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
4 MATRIZES 
 
 
Como o assunto matriz é um pouco extenso, o mesmo será dividido em tópicos 
explicando conceito geral de matriz e em seguida o conceito de cada tipo de matriz, e em 
seguida teremos os exercícios referente a todos os conceitos escritos sobre cada matriz. 
A matriz é em geral, representada por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (𝐴), 
enquanto seus termos são representados pela mesma letra desta vez minúscula, acompanhado 
de dois índices (𝑎11, 𝑎12, 𝑎21, 𝑎22…), onde o primeiro representa a linha e o segundo a coluna 
na qual o elemento está localizado [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
]. Abaixo segue alguns conceitos dos tipos de 
matrizes no qual citaremos nesta primeira parte: 
Matriz Quadrada: Dizemos que uma matriz 𝐴 de ordem 𝑚 × 𝑛 é quadrada, quando 
𝑚 = 𝑛. Isso significa que o numero de linhas será igual ao número de colunas. Esse tipo de 
matriz pode ser representado por 𝐴𝑛. 
Matriz Diagonal: A matriz de ordem 𝑛 (matriz quadrada), diagonal é aquela em que 
todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos (ou seja, iguais a 0). 
Matriz Identidade: É uma matriz quadrada de ordem 𝑛, cujos elementos da diagonal 
principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo são nulos (ou seja, iguais a 0). Essa 
matriz pode ser representada por 𝐼𝑛. 
Matriz Transposta: Se 𝐴 é uma matriz de ordem 𝑚× 𝑛, denominamos a transposta de 
𝐴 á matriz de ordem 𝑛 × 𝑚, obtida por 𝐴 trocando-se as linhas pelas colunas. Indica-se a 
transposta de 𝐴 por 𝐴𝑡. 
Matrizes Iguais: Dadas as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑝×𝑞, podemos afirmar 
que 𝐴 e 𝐵 são iguais somente se: 𝑚 = 𝑝 e 𝑛 = 𝑞, ou seja, se eles tiverem a mesma ordem. 
Adição e subtração de matrizes: Dadas as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗), de mesma 
ordem 𝑚 × 𝑛, temos que a soma de 𝐴 + 𝐵 é igual à matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) de ordem 𝑚 × 𝑛, tal 
que (𝑐𝑖𝑗) = (𝑎𝑖𝑗) + (𝑏𝑖𝑗). 
Se os elementos correspondentes de duas matrizes são opostos, essas matrizes são 
chamadas de opostas e a sua soma evidentemente é uma matriz nula. A matriz oposta é 
indicada por – 𝐴. 
10 
 
Dada duas matrizes 𝐴 e 𝐵 de mesma ordem 𝑚× 𝑛, denominamos diferença entre 𝐴 e 
𝐵, indicado por 𝐴 − 𝐵, a matriz 𝐶 obtida ao calcularmos a adição de 𝐴 com o oposto de 𝐵, ou 
seja, 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) = 𝐶. 
Multiplicação de um número real por matriz: Seja a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝑘 um 
número real. O produto 𝑘 pela matriz 𝐴 (indica-se 𝑘 × 𝐴) é a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛, que se 
obtém multiplicando cada elemento 𝐴 do fator 𝑘. 
Multiplicação de matrizes: Dadas as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e = (𝑏𝑗𝑘)𝑛×𝑝, chama-se 
produto de 𝐴 por 𝐵, e se indica por 𝐴 × 𝐵, a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑘)𝑚×𝑝, em que um elemento 
qualquer 𝑐𝑖𝑘é obtido da seguinte maneira: 
 Tomamos ordenadamente os 𝑛 elementos da linha 𝑖 da matriz 𝐴: 𝑎𝑖1, 𝑎𝑖2, … , 𝑎𝑖𝑛. 1 
 Tomamos ordenadamente os 𝑛 elementos da coluna 𝑘 da matriz 𝐵: 𝑏𝑘1, 𝑏𝑘2, … , 𝑏𝑘𝑛. 2 
 Multiplicamos o 1° elemento de 1 pelo 1° elemento de 2, o 2° elemento de 1 pelo 2° 
elemento de 2, e assim sucessivamente. 
 Somamos os produtos obtidos. 
Assim: 
𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 × 𝑏1𝑘 + 𝑎𝑖2 × 𝑏2𝑘 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛 × 𝑏𝑛𝑘. 
 
Observações: 
 A definição garante a existência do produto 𝐴𝐵 quando o número de colunas de 𝐴 for 
igual ao número de linhas de 𝐵. 
 A matriz do produto 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número 
de linhas de 𝐴 e o número de colunas é igual ao número de colunas de 𝐵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
4.1 MATRIZES- EXERCÍCIOS 
 
1) Uma matriz possui 32 elementos, e a quantidade de colunas é o dobro da quantidade 
de linhas. Qual é a ordem da matriz? 
 
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑚 × 𝑛, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑚. 𝑛 = 32 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 é 𝑜 𝑑𝑜𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑛 = 2𝑚 
 𝑚. 𝑛 = 32 
𝑚. 2𝑚 = 32 
𝑚2 = 32 ÷ 2 
𝑚2 = 16 
𝑚 = ±√16 
𝑚 = 4 
 
𝑚. 𝑛 = 32 
4. 𝑛 = 32 
𝑛 = 32 ÷ 4 
𝑛 = 8 
 
𝑚. 𝑛 = 32 
4 × 8 = 32 
32 = 32 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
 
2) Escreva a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)1×3, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 2𝑗. 
 
𝐴 = (𝑎11 𝑎12 𝑎13) 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝐴 = (1 −1 −3) 
 
𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 2𝑗 
𝑎11 = 3 × 1 − 2 × 1 
𝑎11 = 3 − 2 
12 
 
𝑎11 = 1 
 
𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 2𝑗 
𝑎12 = 3 × 1 − 2 × 2 
𝑎12 = 3 − 4 
𝑎12 = −1 
 
𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 2𝑗 
𝑎13 = 3 × 1 − 2 × 3 
𝑎13 = 3 − 6 
𝑎13 = −3 
 
 
3) Escreva a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3×2, tal que 𝑏𝑖𝑗 = {
(−1)𝑗 , 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
2𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
. 
𝐵 = (
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑏31 𝑏32
) 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝐵 = (
−1 1
5 1
7 8
) 
 
𝑏𝑖𝑗 = {
(−1)𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
2𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
. 
𝑏11 = (−1)
1 = −1 
𝑏12 = (−1)
2 = 1 
𝑏21 = 2 × 2 + 1 = 4 + 1 = 5 
𝑏22 = (−1)
2 = 1 
𝑏31 = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7 
𝑏32 = 2 × 3 + 2 = 6 + 2 = 8 
 
 
4) Escreva a ordem de cada matriz: 
 
a) 𝐴 = [
1 −6
−3 5
] 
13 
 
R: Ordem 2 × 2 
 
b) [
0 −1 
−8 4
√2 15
2
0
−4,3
] 
R: Ordem 3 × 3 
 
 
c) [5 −2 8 13] 
R: Ordem 1 × 4 
 
d) [
−1
3
5
𝑥2
1 √−8
3
4
 
−3
𝑥 + 1
] 
R: Ordem 2 × 4 
 
 
5) Observe a tabela e resolva as questões: 
 
TAXA DE ANALFABETISMO FUNCIONAL (PESSOAS COM 
15 ANOS DE IDADE OU MAIS) - 2008 
REGIÃO HOMENS MULHERES 
Norte 26,30 22,00 
Nordeste 34,30 29,20 
Centro-Oeste 20,10 18,30 
Sudeste 15,00 16,50 
Sul 15,50 16,90 
 
 
a) Represente a tabela por uma matriz 5 × 2 
(
 
 
26,3 22,0
34,3 29,2
20,1 18,3
15,0 16,5
15,5 16,9)
 
 
 
14 
 
 
b) Nessa matriz, o que representa: 
 
 A 4ª linha? A taxa de analfabetismo funcional da região Sudeste. 
 
 A 1ª coluna? A taxa de analfabetismo funcional dos homens. 
 
 O elemento da 3ª linha com a 2ª coluna? A taxa de analfabetismo funcional das 
mulheres no centro-oeste. 
 
6) Na matriz 𝐴 = (
0 −1 5,7 −3 2
4 15 3 √7 6
𝜋 −9 10 −2 8
), qual elemento ocupa a posição: 
a) 𝑎35? 
R: 8 
 
b) 𝑎13? 
R: 5,7 
 
c) 𝑎31? 
R: π 
 
d) 𝑎24? 
R: √7 
 
7) Dadas as matrizes 𝐴 = (
7 0,5 4
9 0 1
) e 𝐵 = (
14
2⁄
1
2⁄ √16
32 0 1
), verificar e provar se 
elas são semelhantes. 
 
Ambas possuem mesma ordem 2 × 3 e se desenvolvermos a matriz B vamos concluir 
que 𝐴 = 𝐵 
 
15 
 
𝑎11 = 𝑏11 → 7 =
14
2
 → 7 = 7 
𝑎12 = 𝑏12 → 0,5 =
1
2
 → 0,5 = 0,5 
𝑎13 = 𝑏13 → 4 = √16 → 4 = 4 
𝑎21 = 𝑏21 → 9 = 3
2 → 9 = 9 
𝑎22 = 𝑏22 → 0 = 0 
𝑎23 = 𝑏23 → 1 = 1 
 
8) Determine 𝑥 e 𝑦, para que a matriz 𝑀 = (
3𝑥 + 10 0
0 4𝑦 − 9
)seja igual à matriz 𝑙2. 
 
(
3𝑥 + 10 0
0 4𝑦 − 9
) = (
1 0
0 1
) 
 
3𝑥 + 10 = 1 
3𝑥 = 1 − 10 
3𝑥 = −9 
𝑥 =
−9
3
→ −3 
 
4𝑦 − 9 = 1 
4𝑦 = 1 + 9 
4𝑦 = 10 
𝑦 =
10
4
→
5
2
 
 
 
9) Determine a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3×3, em que 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖
𝑗. 
Que elementos pertencem ás diagonais principal e secundaria de 𝐵? 
 
(
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑏21 𝑏22 𝑏23
𝑏31 𝑏32 𝑏33
) 
16 
 
 
𝑏𝑖𝑗 = 𝑖
𝑗 
𝑏11 = 1
1 = 1 
𝑏12 = 1
2 = 1 
𝑏13 = 1
3 = 1 
𝑏21 = 2
1 = 2 
𝑏22 = 2
2= 4 
𝑏23 = 2
3 = 8 
𝑏31 = 3
1 = 3 
𝑏32 = 3
2 = 9 
𝑏33 = 3
3 = 27 
 
(
1 1 1
2 4 8
3 9 27
) 
Elementos diagonal principal: 1, 4, 27 
Elementos diagonal secundaria: 3, 4, 1 
 
10) Indique as matrizes 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)4×1, em que 𝑐𝑖𝑗 = 𝑖
2 + 𝑗, e 𝐷 = (𝑑𝑖𝑗)1×3, em que 
𝑑𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗. Que matrizes especiais são essas? 
 
𝐶 = (
𝑐11
𝑐21
𝑐31
𝑐41
) = (
2
5
10
17
)𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎. 
 
𝑐𝑖𝑗 = 𝑖
2 + 𝑗 
𝑐11 = 1
2 + 1 = 1 + 1 = 2 
𝑐21 = 2
2 + 1 = 4 + 1 = 5 
𝑐31 = 3
2 + 1 = 9 + 1 = 10 
𝑐41 = 4
2 + 1 = 16 + 1 = 17 
 
𝐷 = (𝑑11 𝑑12 𝑑13) = (0 −1 −2)𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎. 
17 
 
 
𝑑𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗 
𝑑11 = 1 − 1 = 0 
𝑑12 = 1 − 2 = −1 
𝑑13 = 1 − 3 = −2 
 
11) Determine 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 para que se tenha (
𝑎 1
4 𝑐
) = (
2 𝑏
𝑑 6
) 
 
𝑎 = 2 
1 = 𝑏 
4 = 𝑑 
𝑐 = 6 
 
(
2 1
4 6
) = (
2 1
4 6
) 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
12) Determine 𝑥, 𝑦, 𝑧 para que satisfaçam (
𝑥 + 𝑦 2
4 𝑥 − 𝑦
) = (
7 𝑧
𝑧2 1
). 
 
𝑥 + 𝑦 = 7 
𝑥 − 𝑦 = 1 
2𝑥 = 8 
𝑥 =
8
2
 
𝑥 = 4 
 
𝑥 + 𝑦 = 7 
4 + 𝑦 = 7 
𝑦 = 7 − 4 
𝑦 = 3 
𝑧2 = 4 
18 
 
𝑧 = √4 
𝑧 = 2 
 
(
4 + 3 2
4 4 − 3
) = (
7 2
22 1
) 
(
7 2
4 1
) = (
7 2
4 1
) 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
13) Determine 𝑝 e 𝑞, tais que ( 8 𝑝
2
3−𝑞 −8
) = (
2𝑝 9
81 2𝑞
) 
2𝑝 = 8 
2𝑝 = 23 
𝑝 = 3 
2𝑞 = −8 
𝑞 =
−8
2
 
𝑞 = −4 
( 8 3
2
3−(−4) −8
) = (2
3 9
81 2.−4
) 
(
8 9
81 −8
) = (
8 9
81 −8
) 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
14) A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao 
dia, durante cinco dias, cada elemento 𝑎𝑖𝑗da matriz abaixo corresponde a temperatura 
observada no instante 𝑖 do dia 𝑗: 
(
35,6 36,4 38,6 38,0 36,0
36,1 37,0 37,2 40,5 40,4
35,5 35,7 36,1 37,0 39,2
) 
Determine: 
19 
 
a) O instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; 
O paciente apresentou maior temperatura no 2° instante do 4°dia. 
b) A temperatura média do paciente no terceiro dia de observação 
38,6 + 37,2 + 36,1 = 119,9 ÷ 3 = 37,3 
 
15) Calcule: 
a) (
5 7
9 4
) + (
6 −2
5 8
) 
(
5 + 6 7 − 2
9 + 5 4 + 8
) = (
11 5
14 12
) 
 
b) (
0 −1
2 5
4 1
) + (
11 17
0 2
−3 4
) 
(
0 + 11 −1 + 17
2 + 0 5 + 2
4 − 3 1 + 4
) = (
11 16
2 7
1 5
) 
c) (1 5 0 4) − (6 6 8 7) 
(1 5 0 4) + (−6 −6 −8 −7) 
(1 − 6 5 − 6 0 − 8 4 − 7) = (−5 −1 −8 −3) 
 
d) (
1 1 1
2 3 4
−1 −2 −5
) − (
0 1 2
1 1 3
−3 −2 −7
) 
(
1 1 1
2 3 4
−1 −2 −5
) + (
0 −1 −2
−1 −1 −3
3 2 7
) 
(
1 − 0 1 − 1 1 − 2
2 − 1 3 − 1 4 − 3
−1 + 3 −2 + 2 −5 + 7
) = (
1 0 12
1 2 1
2 0 2
) 
 
16) Sejam 𝐴 = (12 1
9 5
), 𝐵 = (8 11
3 6
) e 𝐶 = ( 2 4
10 7
). Determine a matriz 𝐴 + 𝐵 + 𝐶. 
20 
 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 
(
12 1
9 5
) + (
8 11
3 6
) + (
2 4
10 7
) 
(
12 + 8 + 2 1 + 11 + 4
9 + 3 + 10 5 + 6 + 7
) = (
22 16
22 18
) 
17) Resolva as seguintes equações matriciais: 
a) 𝑋 + (
4 3
1 1
2 0
) = (
5 0
2 3
7 8
) 
(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
) + (
4 3
1 1
2 0
) = (
5 0
2 3
7 8
) 
(
𝑎 + 4 𝑏 + 3
𝑐 + 1 𝑑 + 1
𝑒 + 2 𝑓 + 0
) = (
5 0
2 3
7 8
) 
𝑎 + 4 = 5 → 𝑎 = 5 − 4 → 𝑎 = 1 
𝑏 + 3 = 0 → 𝑏 = 0 − 3 → 𝑏 = −3 
𝑐 + 1 = 2 → 𝑐 = 2 − 1 → 𝑐 = 1 
𝑑 + 1 = 3 → 𝑑 = 3 − 1 → 𝑑 = 2 
𝑒 + 2 = 7 → 𝑒 = 7 − 2 → 𝑒 = 5 
𝑓 + 0 = 8 → 𝑓 = 8 − 0 → 𝑓 = 8 
(
1 −3
1 2
5 8
) + (
4 3
1 1
2 0
) = (
5 0
2 3
7 8
) 
(
1 + 4 −3 + 3
1 + 1 2 + 1
5 + 2 8 + 0
) = (
5 0
2 3
7 8
) 
(
5 0
2 3
7 8
) = (
5 0
2 3
7 8
) 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
b) 𝑋 − (
1 4 7
−2 5 −3
) = (
−1 2 11
−3 4 1
) 
 
21 
 
𝑋 + (
−1 −4 −7
2 −5 3
) = (
−1 2 11
−3 4 1
) 
(
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
) + (
−1 −4 −7
2 −5 3
) = (
−1 2 11
−3 4 1
) 
(
𝑎 − 1 𝑏 − 4 𝑐 − 7
𝑑 + 2 𝑒 − 5 𝑓 + 3
) = (
−1 2 11
−3 4 1
) 
𝑎 − 1 = −1 → 𝑎 = −1 + 1 → 𝑎 = 0 
𝑏 − 4 = 2 → 𝑏 = 2 + 4 → 𝑏 = 6 
𝑐 − 7 = 11 → 𝑐 = 11 + 7 → 𝑐 = 18 
𝑑 + 2 = −3 → 𝑑 = −3 − 2 → 𝑑 = −5 
𝑒 − 5 = 4 → 𝑒 = 4 + 5 → 𝑒 = 9 
𝑓 + 3 = 1 → 𝑓 = 1 − 3 → 𝑓 = −2 
(
0 6 18
−5 9 −2
) + (
−1 −4 −7
2 −5 3
) = (
−1 2 11
−3 4 1
) 
(
0 − 1 6 − 4 18 − 7
−5 + 2 9 − 5 −2 + 3
) = (
−1 2 11
−3 4 1
) 
(
−1 2 11
−3 4 1
) = (
−1 2 11
−3 4 1
) 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
18) Determine a matriz 𝑋 em: (
1
2
1
0 2
) + (
3
2
4
3 7
) = 𝑋 − (
−1 −3
−2 4
) 
(
1
2
1
0 2
) + (
3
2
4
3 7
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) − (
−1 −3
−2 4
) 
(
1
2
1
0 2
) + (
3
2
4
3 7
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) + (
1 3
2 −4
) 
(
1
2
+
3
2
1 + 4
0 + 3 2 + 7
) = (
𝑎 + 1 𝑏 + 3
𝑐 + 2 𝑑 − 4
) 
(
2 5
3 9
) = (
𝑎 + 1 𝑏 + 3
𝑐 + 2 𝑑 − 4
) 
 
𝑎 + 1 = 2 → 𝑎 = 2 − 1 → 𝑎 = 1 
𝑏 + 3 = 5 → 𝑏 = 5 − 3 → 𝑏 = 2 
22 
 
𝑐 + 2 = 3 → 𝑐 = 3 − 2 → 𝑐 = 1 
𝑑 − 4 = 9 → 𝑑 = 9 + 4 → 𝑑 = 13 
 
(
2 5
3 9
) = (
𝑎 + 1 𝑏 + 3
𝑐 + 2 𝑑 − 4
) 
(
2 5
3 9
) = (
1 + 1 2 + 3
1 + 2 13 − 4
) 
(
2 5
3 9
) = (
2 5
3 9
) 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
19) Dada a matriz 𝐴 = (
1 2 3
−3 5 −1
), obtenha as matrizes: 
a) 4 × 𝐴 
4 × (
1 2 3
−3 5 −1
) 
[
4 × 1 4 × 2 4 × 3
4 × −3 4 × 5 4 × −1
] = [
4 8 12
−12 20 −4
] 
 
b) 
1
3
× 𝐴 
1
3⁄ × [
1 2 3
−3 5 −1
] 
[
1
3⁄ × 1
1
3⁄ × 2
1
3⁄ × 3
1
3⁄ × −3
1
3⁄ × 5
1
3⁄ × −1
] = [
1
3⁄
2
3⁄ 1
−1 5 3⁄
−1
3⁄
] 
 
20) Sejam as matrizes 𝐴 = (
2 4
1 5
0 7
) e 𝐵 = (
3 −2
−1 6
9 8
). Determine as seguintes matrizes: 
a) 3 × 𝐴 + 𝐵 
3 × (
2 4
1 5
0 7
) + (
3 −2
−1 6
9 8
) 
(
3 × 2 3 × 4
3 × 1 3 × 5
3 × 0 3 × 7
) + (
3 −2
−1 6
9 8
) = (
6 12
3 15
0 21
) + (
3 −2
−1 6
9 8
) = 
23 
 
= (
6 + 3 12 − 2
3 − 1 15 + 6
0 + 9 8 + 21
) = (
9 10
2 21
9 29
) 
 
b) 𝐴 − 3 × 𝐵 
(
2 4
1 5
0 7
) − 3 × (
3 −2
−1 6
9 8
) 
(
2 4
1 5
0 7
) − (
3 × 3 3 × −2
3 × −1 3 × 6
3 × 9 3 × 8
) = (
2 4
1 5
0 7
) − (
9 −6
−3 18
27 24
) = 
= (
2 4
1 5
0 7
) + (
−9 6
3 −18
−27 −24
) = (
2 − 9 4 + 6
1 + 3 5 − 18
0 − 27 7 − 24
) = (
−7 10
4 −13
−27 −17
) 
 
21) Seja a matriz 𝐴 = (
3 −4
2 1
). 
a) Calcule 2 × (3 × 𝐴) e (2 × 3) × 𝐴. Os resultados são os mesmos? 
 2 × (3 × 𝐴) 
2 × (3 × [
3 −4
2 1
]) 
2 × ([
3 × 3 3 × −4
3 × 2 3 × 1
]) = 2 × [
9 −12
6 3
] 
[
2 × 9 2 × −12
2 × 6 2 × 3
] = [
18 −24
12 6
] 
 (2 × 3) × 𝐴 
 6 × (
3 −4
2 1
) 
(
6 × 3 6 × −4
6 × 2 6 × 1
) = (
18 −24
12 6
) 
𝑆𝑖𝑚, 𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠. 
 
22) Resolva a equação: 
24 
 
(
−7 2 1
6 4 −3
) + 2 × 𝑋 = (
11 0 3
8 12 5
) 
(
−7 2 1
6 4 −3
) + 2 × (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
) = (
11 0 3
8 12 5
) 
(
−7 2 1
6 4 −3
) + (
2𝑎 2𝑏 2𝑐
2𝑑 2𝑒 2𝑓
) = (
11 0 3
8 12 5
) 
(
2𝑎 2𝑏 2𝑐
2𝑑 2𝑒 2𝑓
) = (
11 0 3
8 12 5
) − (
−7 2 1
6 4 −3
) 
(
2𝑎 2𝑏 2𝑐
2𝑑 2𝑒 2𝑓
) = (
11 0 3
8 12 5
) + (
7 −2 −1
−6 −4 3
) 
(
2𝑎 2𝑏 2𝑐
2𝑑 2𝑒 2𝑓
) = (
11 + 7 0 − 2 3 − 1
8 − 6 12 − 4 5 + 3
) 
(
2𝑎 2𝑏 2𝑐
2𝑑 2𝑒 2𝑓
) = (
18 −2 2
2 8 8
) 
(
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
) = (
18
2⁄
−2
2⁄
2
2⁄
2
2⁄
8
2⁄
8
2⁄
) 
(
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
) = (
9 −1 1
1 4 4
) 
(
−7 2 1
64 −3
) + 2 × (
9 −1 1
1 4 4
) = (
11 0 3
8 12 5
) 
(
−7 2 1
6 4 −3
) + (
2 × 9 2 × −1 2 × 1
2 × 1 2 × 4 2 × 4
) = (
11 0 3
8 12 5
) 
(
−7 2 1
6 4 −3
) + (
18 −2 2
2 8 8
) = (
11 0 3
8 12 5
) 
(
−7 + 18 2 − 2 1 + 2
6 + 2 4 + 8 −3 + 8
) = (
11 0 3
8 12 5
) 
(
11 0 3
8 12 5
) = (
11 0 3
8 12 5
) 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
23) Sendo 𝐴 = (
8 3
−1 2
) e 𝐵 = (
1 2
3 0
5 −3
), determine: 
25 
 
a) 2 × 𝐴 + 𝐴𝑡 
𝐴𝑡 = (
8 3
−1 2
)
𝑡
= (
8 −1
3 2
) 
2 × (
8 3
−1 2
) + (
8 −1
3 2
) 
(
2 × 8 2 × 3
2 × −1 2 × 2
) + (
8 −1
3 2
) 
(
16 6
−2 4
) + (
8 −1
3 2
) = (
16 + 8 6 − 1
−2 + 3 4 + 2
) = (
24 5
1 6
) 
 
b) 3 × 𝐵𝑡 
𝐵𝑡 = (
1 2
3 0
5 −3
)
𝑡
= (
1 3 5
2 0 −3
) 
3 × (
1 3 5
2 0 −3
) 
(
3 × 1 3 × 3 3 × 5
3 × 2 3 × 0 3 × −3
) = (
3 9 15
6 0 −9
) 
 
c) (𝐴𝑡)𝑡 
𝐴𝑡 = (
8 3
−1 2
)
𝑡
= (
8 −1
3 2
) 
(
8 −1
3 2
)
𝑡
= (
8 3
−1 2
) 
 
d) (−𝐵)𝑡 
(− [
1 2
3 0
5 −3
])
𝑡
= [
−1 −2
−3 0
−5 3
]
𝑡
= [
−1 −3 −5
−2 0 3
] 
 
26 
 
24) Resolva a equação 2 × 𝑋𝑡 − 3 × 𝐴 = 𝐵, se 𝐴 = (
1 −1
2 −3
) e 𝐵 = (
−1 4
−5 10
) . 
2 × (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)
𝑡
− 3 × (
1 −1
2 −3
) = (
−1 4
−5 10
) 
2 × (
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
) − 3 × (
1 −1
2 −3
) = (
−1 4
−5 10
) 
(
2𝑎 2𝑐
2𝑏 2𝑑
) − (
3 × 1 3 × −1
3 × 2 3 × −3
) = (
−1 4
−5 10
) 
(
2𝑎 2𝑐
2𝑏 2𝑑
) − (
3 −3
6 −9
) = (
−1 4
−5 10
) 
(
2𝑎 2𝑐
2𝑏 2𝑑
) = (
−1 4
−5 10
) + (
3 −3
6 −9
) 
(
2𝑎 2𝑐
2𝑏 2𝑑
) = (
−1 + 3 4 − 3
−5 + 6 10 − 9
) 
(
2𝑎 2𝑐
2𝑏 2𝑑
) = (
2 1
1 1
) 
(
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
) = (
1 1 2⁄
1
2⁄
1
2⁄
) 
2 × (
1 1 2⁄
1
2⁄
1
2⁄
) 3 × (
1 −1
2 −3
) = (
−1 4
−5 10
) 
(
2 1
1 1
) − (
3 −3
6 −9
) = (
−1 4
−5 10
) 
(
2 − 3 1 + 3
1 − 6 1 + 9
) = (
−1 4
−5 10
) 
(
−1 4
−5 10
) = (
−1 4
−5 10
) 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
25) Resolva o sistema {
2 × 𝑋 + 𝑌 = (
−2 8 −4
17 −13 20
)
3 × 𝑋 + 2 × 𝑌 = (
−5 13 −6
29 −20 33
)
. 
27 
 
{
2 × 𝑋 + 𝑌 = (
−2 8 −4
17 −13 20
) × (−2)
3 × 𝑋 + 2 × 𝑌 = (
−5 13 −6
29 −20 33
)
 
+{
−4𝑋 − 2 × 𝑌 = (
4 −16 8
−34 26 −40
)
3𝑋 + 2 × 𝑌 = (
−5 13 −6
29 −20 33
)
 
−𝑋 = (
4 − 5 −16 + 13 8 − 6
−34 + 29 26 − 20 −40 + 33
) 
−𝑋 = (
−1 −3 2
−5 6 −7
) × (−1) 
𝑋 = (
1 3 −2
5 −6 7
) 
2 × (
1 3 −2
5 −6 7
) + 𝑌 = (
−2 8 −4
17 −13 20
) 
(
2 × 1 2 × 3 2 × −2
2 × 5 2 × −6 2 × 7
) + 𝑌 = (
−2 8 −4
17 −13 20
) 
(
2 6 −4
10 −12 14
) + 𝑌 = (
−2 8 −4
17 −13 20
) 
𝑌 = (
−2 8 −4
17 −13 20
) − (
2 6 −4
10 −12 14
) 
𝑌 = (
−2 − 2 8 − 6 −4 + 4
17 − 10 −13 + 12 20 − 14
) 
𝑌 = (
−4 2 0
7 −1 6
) 
{
2 × (
1 3 −2
5 −6 7
) + (
−4 2 0
7 −1 6
) = (
−2 8 −4
17 −13 20
)
3 × (
1 3 −2
5 −6 7
) + 2 × (
−4 2 0
7 −1 6
) = (
−5 13 −6
29 −20 33
)
 
{
(
2 6 −4
10 −12 14
) + (
−4 2 0
7 −1 6
) = (
−2 8 −4
17 −13 20
)
(
3 9 −6
15 −18 21
) + (
−8 4 0
14 −2 12
) = (
−5 13 −6
29 −20 33
)
 
28 
 
{
(
−2 8 −4
17 −13 20
) = (
−2 8 −4
17 −13 20
)
(
−5 13 −6
29 −20 33
) = (
−5 13 −6
29 −20 33
)
 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
26) Analise a afirmação seguinte: se 𝐴 é uma matriz quadrada, 𝐴 + 𝐴𝑡 é uma matriz 
simétrica e 𝐴 − 𝐴𝑡 é uma matriz antissimétrica. 
Res: 𝐴 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎çã𝑜 é 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎. 
 
27) Determine se existirem os produtos: 
 
a) (
1 2
3 4
) × (
2 3
−2 1
) 
[
1 × 2 + 2 × −2 1 × 3 + 2 × 1
3 × 2 + 4 × −2 3 × 3 + 4 × 1
] = [
−2 5
−2 13
] 
 
b) (
1 −2
3 4
) × (
−2 3 2 −1
−1 0 0 −4
) 
(
1 × −2 + −2 × −1 1 × 3 + −2 × 0 1 × 2 + −2 × 0 1 × −1 + −2 × −4
3 × −2 + 4 × −1 3 × 3 + 4 × 0 3 × 2 + 4 × 0 3 × −1 + 4 × −4
) =
(
0 3 2 7
−10 9 6 −19
) 
 
c) (
2 3
5 7
) × (
1 0
0 1
) × (
−1 0
1 2
) 
(
2 × 1 + 3 × 0 2 × 0 + 3 × 1
5 × 1 + 7 × 0 5 × 0 + 7 × 1
) × (
−1 0
1 2
) 
(
2 3
5 7
) × (
−1 0
1 2
) = (
2 × −1 + 3 × 1 2 × 0 + 3 × 2
5 × −1 + 7 × 1 5 × 0 + 7 × 2
) = (
1 6
2 14
) 
 
d) (
−2 1
0 3
) × (
1 −2
−1 −4
2 4
) 
29 
 
Res: Número de colunas é ≠ do número de linhas, logo o produto das matrizes acima ∄. 
 
28) Calcule 𝑥 e 𝑦 em [
2 𝑥
𝑦 −3
] × [
4
−5
] = [
−2
1
] 
[
2 × 4 + 𝑥 × −5
𝑦 × 4 + −3 × −5
] = [
−2
1
] 
[
−5𝑥 + 8
4𝑦 + 15
] = [
−2
1
] 
−5𝑥 + 8 = −2 
−5𝑥 = −2 − 8 
−5𝑥 = −10 
𝑥 = −10 −5⁄ 
𝑥 = 2 
4𝑦 + 15 = 1 
4𝑦 = 1 − 15 
4𝑦 = −14 
𝑦 = −14 ∶ 4 4 ∶ 4⁄ =
−7
2⁄ 
[
2 2
−7
2⁄ −3
] × [
4
−5
] = [
−2
1
] 
[
2 × 4 + 2 × −5
−7
2⁄ × 4 + −3 × −5
] = [
−2
1
] 
[
−2
1
] = [
−2
1
] 
 
30 
 
29) Sejam as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)6×3 em que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗, e 𝐵 = (𝑏𝑗𝑘)3×4, em que 𝑏𝑗𝑘 =
2𝑗 − 𝑘. Sendo 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)6×4 a matriz produto 𝐴 × 𝐵, determine o elemento 𝑐43. 
𝐴 =
(
 
 
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
6 7 8
7 8 9)
 
 
 e 𝐵 = (
1 0 −1 −2
3 2 1 0
5 4 3 2
) 
(
 
 
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
6 7 8
7 8 9)
 
 
× (
1 0 −1 −2
3 2 1 0
5 4 3 2
) 
(
 
 
2 + 9 + 20 6 + 16 −2 + 3 + 12 −4 + 8
3 + 12 + 25 8 + 20 −3 + 4 + 15 −6 + 10
4 + 15 + 30 10 + 24 −4 + 5 + 18 −8 + 12
5 + 18 + 35 12 + 28 −5 + 6 + 21 −10 + 14
6 + 21 + 40 14 + 32 −6 + 7 + 24 −12 + 16
7 + 24 + 45 16 + 36 −7 + 8 + 27 −14 + 18)
 
 
=
(
 
 
31 22 13 4
40 28 16 4
49 34 19 4
58 40 22 4
67 46 25 4
76 52 28 4)
 
 
 
Resp.: O elemento 𝑐43 da matriz é 22. 
30) Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛, definimos 𝐴2 = 𝐴 × 𝐴. Assim determine 𝐴2, 
nos seguintes casos: 
a) A=(
1 2
3 4
) 
(
1 2
3 4
) × (
1 2
3 4
) = (
1 + 6 2 + 8
3 + 12 6 + 16
) = (
7 10
15 22
) 
 
b) 𝐴 = (
1 0 2
0 3 4
5 6 0
) 
(
1 0 2
0 3 4
5 6 0
) × (
1 0 2
0 3 4
5 6 0
) = (
1 + 10 12 2
20 9 + 24 12
5 18 10 + 24
) = (
11 12 2
20 33 12
5 18 34
) 
 
31 
 
31) Seja uma matriz quarada de ordem 𝑛, definimos 𝐴3 = 𝐴 × 𝐴 × 𝐴. Assim determine 
𝐴3, utilizando a matriz 2 × 2 do exercício anterior. 
(
1 2
3 4
) × (
1 2
3 4
) × (
1 2
3 4
) = (
7 10
15 22
) × (
1 2
3 4
) 
(
7 + 30 14 + 40
15 + 66 30 + 88
) = (
37 54
81 118
) 
 
32) Verifique se (
2 −5
−1 3
) é a inversa de (
3 5
1 2
). 
(
3 5
1 2
) × (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
(
3𝑎 + 5𝑐 3𝑏 + 5𝑑
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
+{
3𝑎 + 5𝑐 = 1
−3𝑎 − 6𝑐 = 0
 
 −𝑐 = 1 × (−1) 
𝑐 = −1 
 
𝑎 + 2𝑐 = 0 
𝑎 + 2 × (−1) = 0 
𝑎 = 2 
 
+{
3𝑏 + 5𝑑 = 0
−3𝑏 − 6𝑑 = −3
 
−𝑑 = −3 × (−1) 
𝑑 = 3 
 
𝑏 + 2𝑑 = 1 
𝑏 + 2 × 3 = 1 
𝑏 = 1 − 6 
𝑏 = −5 
 
32 
 
Logo tenho que a inversa é (
2 −5
−1 3
). 
 
 
33) Seja 𝐴 = (
3 2
5 4
). Determine 𝐴−1. 
(
3 2
5 4
) × (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
(
3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 2𝑑
5𝑎 + 4𝑐 5𝑏 + 4𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
+{
−6𝑎 − 4𝑐 = −2
5𝑎 + 4𝑐 = 0
 
−𝑎 = −2 × (−1) 
𝑎 = 2 
+{
−6𝑏 − 4𝑑 = 0
5𝑏 + 4𝑑 = 1
 
−𝑏 = 1 × (−1) 
𝑏 = −1 
 
3 × 2 + 2𝑐 = 1 
6 + 2𝑐 = 1 
2𝑐 = 1 − 6 
𝑐 = −5 2⁄ 
 
3 × −1 + 2𝑑 = 0 
−3 + 2𝑑 = 0 
2𝑑 = 3 
𝑑 = 3 2⁄ 
 
(
3 2
5 4
) × (
2 −1
−5
2⁄
3
2⁄
) = (
1 0
0 1
) 
(
6 − 5 −3 + 3
10 − 10 −5 + 6
) = (
1 0
0 1
) 
33 
 
(
1 0
0 1
) = (
1 0
0 1
) 𝑐. 𝑞.𝑑. 
 
 
34) A matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2×3é tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
3𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
2𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
. É correto afirmar que: 
a) 𝐴 = (
−1 −5
6 7
2 9
) Essa não é a correta pois é 3 × 3 
b) 𝐴 = (
1 7 5
6 −2 9
) Essa não é a correta pois 3𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 𝑛𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎12 𝑛ã𝑜 é 7. 
c) 𝐴 = (
1 7
−5 2
6 −9
) Essa não é a correta pois é 3 × 3 
d) 𝐴 = (
1 5 6
7 2 9
) Essa é a opção correta. 
35) O elemento 𝑐22 da matriz 𝐶 = 𝐴𝐵, onde: 𝐴 = (
1 2 3 4
5 6 7 8
−1 0 0 1
) e 𝐵 = (
7 1 2
8 1 1
5 0 0
4 0 1
) 
a) 0 
b) 2 
c) 6 
d) 11 
e) 22 
(
1 2 3 4
5 6 7 8
−1 0 0 1
) × (
7 1 2
8 1 1
5 0 0
4 0 1
) 
(
7 + 16 + 15 + 16 1 + 2 2 + 2 + 4
35 + 48 + 35 + 32 5 + 6 10 + 6 + 8
−7 + 4 −1 −2 + 1
) = (
54 3 8
150 11 24
−3 −1 −1
) 
𝑂 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐22 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐶 é 11, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑎 é 𝑎 𝑑. 
 
 
34 
 
5 DETERMINANTES 
 
A toda matriz quadrada pode ser associado um número real, chamado determinante, 
obtido a partir de certas regras. 
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. Chama-se de determinante da matriz A, e se 
indica por det 𝐴, o número obtido a partir e operações entre os elementos de 𝐴, de modo que: 
 Se 𝐴 é de ordem 𝑛 = 1, então 𝑑𝑒𝑡 𝐴 é o único elemento de 𝐴. 
Vejamos alguns exemplos: 
 𝐴 = (5) → det 𝐴 = 5 
 𝐵 = (−3) → det𝐵 = −3 
 𝐶 = (
2
7
) → det 𝐶 =
2
7
 
 Se 𝐴 é de ordem 𝑛 = 2, então det 𝐴 é dado pela diferença entre o produto dos 
elementos da diagonal principal de 𝐴 e o produto dos elementos de sua diagonal secundária. 
Vejamos alguns exemplos: 
 𝐴 = (
1 3
2 7
) → det 𝐴 = 1 × 7 − 2 × 3 = 7 − 6 = 1 
 𝐵 = (
5 4
−2 −1
) → det 𝐵 = 5 × (−1) − (−2) × 4 = −5 + 8 = 3 
Podemos também indicar o determinante de uma matriz colocando uma barra vertical 
em cada um dos seus lados. Assim: 
|
3 1
5 10
| = 30 − 5 = 25 
|
0 1
2 8
| = 0 − 2 = −2 
 Se 𝐴 é de ordem 𝑛 = 3, utilizaremos o seguinte procedimento para obter o valor da 
det 𝐴 e esse procedimento é conhecido como Regra de Sarrus: 
 
i. Copiamos ao lado da matriz 𝐴 as suas duas primeiras colunas. 
ii. Multiplicamos os elementos da diagonal principal de 𝐴. Seguindo a direção da 
diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas “diagonais”. 
iii. Multiplicamos os elementos da diagonal secundaria de 𝐴, trocando o sinal do produto 
obtido. Seguindo a direção da diagonal secundaria, multiplicamos, separadamente, os 
elementos das outras duas “diagonais”, também trocando o sinal dos produtos. 
35 
 
iv. Somamos todos os resultados obtidos no ii e iii itens. 
 
COFATOR 
 
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 e seja 𝑎𝑖𝑗 um elemento de A. 
Chamasse de cofator de 𝑎𝑖𝑗 o número de 𝐴𝑖𝑗 tal que 𝐴𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 × 𝐷𝑖𝑗, e que 𝐷𝑖𝑗 é 
o determinante da matriz que se obtém de A, eliminando sua i-ésima linha e j-ésima coluna. 
 
TEOREMA DE LAPLACE 
 
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 𝑛,escolhemos 
arbitrariamente uma de suas filas (linha ou coluna) e somamos os produtos dos elementos 
dessa fila pelos respectivos cofatores. 
O teorema de Laplace se aplica a toda matriz quadrada de ordem 𝑛; entretanto, para os 
casos de 𝑛 = 2 e 𝑛 = 3 é mais simples, em geral, utilizar as regras que foram vistas acima. 
 
TEOREMA DE JACOBI 
 
Ao adicionarmos a uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada 𝐴, outra linha (ou 
coluna) previamente multiplicada por um número real, obtemos uma matriz 𝐵 tal que 
det 𝐴 = det 𝐵. 
 
 TEOREMA DE BINET 
 
Dadas a matrizes quadradas 𝐴 e 𝐵 de mesma ordem, temos det(𝐴 × 𝐵) = det 𝐴 ×
det 𝐵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
5.1 DETERMINANTES- EXERCICÍOS 
36) Vamos calcular o determinante da matriz 𝐴 = (
1 3 5
2 4 6
−4 1 −1
) 
det 𝐴 = |
1 3 5
2 4 6
−4 1 −1
|
1 3
2 4
−4 1
 
det 𝐴 = − 4 − 72 + 10 + 80 − 6 + 6 = 14 
37) Calculemos o valor do determinante: 𝐷 = (
𝑎 𝑏 𝑐
−1 2 3
−3 0 −2
) 
det 𝐴 = |
𝑎 𝑏 𝑐
−1 2 3
−3 0 −2
|
𝑎 𝑏
−1 2
−3 0
 
det 𝐴 = − 4𝑎 − 9𝑏 − 0 + 6𝑐 − 0 − 2𝑏 = −4𝑎 − 11𝑏 + 6𝑐 
 
38) Calcule: 
 
a) |−7| = −7 
b) |
2 9
3 7
| = 14 − 27 = −13 
c) |
1 −1
2 2
| = 2 + 2 = 4 
d) |
−2 4
0 −3
| = 6 + 0 = 6 
e) |
1
2⁄
1
3⁄
3 4
| = 2 − 1 = 1 
 
39) Resolva a equação: |
𝑥 −3
𝑥 + 2 𝑥 − 2
| = 8 
|
𝑥 −3
𝑥 + 2 𝑥 − 2
| = 8 
 𝑥2 + 𝑥 + 6 = 8 
𝑥2 + 𝑥 + 6 − 8 = 0 
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 
37 
 
𝑥 =
−1 ± √1 + 8
2
 
𝑥 =
−1 ± √9
2
 
𝑥 =
−1 ± 3
2
= 𝑥1 =
−1 + 3
2
=
2
2
= 1; 𝑥2 =
−1 − 3
2
=
−4
2
= −2 
𝑆 = {𝑥1 = 1 𝑜𝑢 𝑥2 = −2} 
 
Verificação: 
|
1 −3
1 + 2 1 − 2
| = 8 
|
1 −3
3 −1
| = 8 
−1 + 9 = 8 
8 = 8 c.q.d. 
|
−2 −3
−2 + 2 −2 − 2
| = 8 
|
−2 −3
0 −4
| = 8 
+8 + 0 = 8 
8 = 8 c.q.d. 
40) Calcule o valor de cada um dos determinantes: 
a) |
3 2 1
1 2 5
1 −1 0
| 
|
3 2 1
1 2 5
1 −1 0
|
3 2
1 5
1 −1
 
10 − 1 − 2 + 15 = 22 
38 
 
b) |
1 −1 2
5 7 −4
1 0 1
| 
|
1 −1 2
5 7 −4
1 0 1
|
1 −1
5 7
1 0
 
7 + 4 − 14 + 5 = 2 
41) O determinante da matriz 𝐴 = (
5 7 −2
−4 0 9
3 1 −1
) é dado por: 
|
5 7 −2
−4 0 9
3 1 −1
|
5 7
−4 0
3 1
 
0 + 189 + 8 − 0 − 45 − 28 = 124 
42) Sejam as matrizes 𝐴 = [
1 2
𝑥 3
] e 𝐵 = [
1 0 1
2 1 𝑥
3 −1 2
]. Determine x, de modo que det 𝐴 =
det 𝐵. 
det 𝐴 |
1 2
𝑥 3
| = 3 − 2𝑥 
det 𝐵 |
1 0 1
2 1 𝑥
3 −1 2
|
1 0
2 1
3 −1
= 2 − 2 − 3 + 𝑥 = 𝑥 − 3 
det 𝐴 = det𝐵 
3 − 2𝑥 = 𝑥 − 3 → −3𝑥 = −6 → 𝑥 =
−6
−3
→ 𝑥 = 2 
43) Mostre que são válidas as seguintes propriedades para uma matriz quadrada 𝐴 de 
ordem 2: det 𝐴 = det 𝐴𝑡 
𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] 
det 𝐴 |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
39 
 
𝐴𝑡 = [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] 
det 𝐴𝑡 |
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
det 𝐴 = det 𝐴𝑡 
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
44) Na matriz 𝐴 = (
2 1 5
4 3 2
7 6 8
), qual é o cofator do elemento 𝑎13? 
Vamos eliminar a 1°linha e a 3° coluna, assim obtemos: 
𝑎13 = (−1)
1+3 × |
4 3
7 6
| 
𝑎13 = 1 × |
4 3
7 6
| 
𝑎13 = 1 × (24 − 21) = 1 × 3 = 3 
45) Na matriz B = (
3 1 2 7
1 9 3 5
4 4 3 0
0 1 3 5
), qual é o cofator do elemento 𝑏22? 
Vamos eliminar a 2°linha e a 2°coluna, logo obtemos: 
𝑏22 = (−1)
2+2 × |
3 2 7
4 3 0
0 3 5
| 
𝑏22 = 1 × |
3 2 7
4 3 0
0 3 5
|
3 2
4 3
0 3
 
𝑏22 = 1 × (45 + 84 − 40) = 1 × 89 = 89 
46) O determinante da matriz 𝐴 = (
5 0 −1
3 2 −4
−2 7 1
) , calcule: 
a) det 𝐴 
40 
 
det 𝐴 = |
5 0 −1
3 2 −4
−2 7 1
|
5 0
3 2
−2 7
 
det 𝐴 = 10 − 21 − 4 + 140 
det 𝐴 = 125 
b) 2 × det 𝐴 
det 𝐴 = |
5 0 −1
3 2 −4
−2 7 1
|
5 0
3 2
−2 7
 
det 𝐴 = 10 − 21 − 4 + 140 
det 𝐴 = 125 
2 × 125 = 250 
47) Calcule a matriz a seguir pelo teorema de Jacobi 𝐴 = [
4 7 1
2 6 −4
−1 0 −2
] 
det 𝐴 = |
4 7 1
2 6 −4
−1 0 −2
|
4 7
2 6
−1 0
 
det 𝐴 = −48 + 28 + 6 + 28 
det 𝐴 = 14 
Se adicionarmos a 2° linha da matriz 𝐴 a 3° linha multiplicado por 2, obteremos a 
matriz 𝐵 
𝑏21 = 𝑎21 + 2 × 𝑎31 = 2 + 2 × (−1) = 0 
𝑏21 = 𝑎22 + 2 × 𝑎32 = 6 + 2 × (0) = 6 
 𝑏21 = 𝑎23 + 2 × 𝑎33 = −4 + 2 × (−2) = −8 
det 𝐵 = |
4 7 1
0 6 −8
−1 0 −2
|
4 7
0 6
−1 0
 
det 𝐴 = −48 + 56 + 6 
det 𝐴 = 14 
 
det 𝐴 = det 𝐵 
14 = 14 𝑐. 𝑞. 𝑑. 
 
41 
 
6 SISTEMAS LINEARES 
Denomina-sesistema linear todo sistema formado por equações lineares (1° grau). 
Para resolver os sistemas de duas equações/ duas incógnitas, recorre-se dos métodos: 
adição, substituição, comparação, onde todos levam ao mesmo resultado. 
Para resolver os sistemas de três equações/ três incógnitas, recorre-se aos métodos: 
regra de cramer (determinantes), escalonamento onde ambos levam ao mesmo resultado 
também. 
 
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNIO 
 
Se todos os termos independentes de um sistema linear 𝑆 forem “nulos”, o sistema é 
denominado homogêneo e a n-repla (0,0,0, ...0) é uma solução de 𝑆, chamada de trivial. 
 
SISTEMA LINEAR EQUIVALENTE 
 
Dados dois sistemas 𝑆1 e 𝑆2, se diz que são equivalentes, se toda solução de 𝑆1for 
também a solução de𝑆2 e vice-versa, isto é, possuem o mesmo conjunto solução. 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
A classificação é de acordo com o n° de soluções que ele admite. 
Se 𝑆 admitir pelo menos uma solução, se diz que ele é possível ou compatível, e se 
não admitir solução se diz que é impossível ou incompatível. 
Um sistema linear possível é chamado de determinado, quando admitir uma única 
solução, ou indeterminado, quando admitir infinitas soluções. 
Quando se estudou a resolução pela regra de cramer, onde 𝐷 ≠ 0 se verificou que o 
sistema é possível e determinado, por conta de ter solução única. 
 No caso de 𝐷 = 0, duas situações podem ocorrer: 
 Se o determinante de alguma das incógnitas for diferente de zero, então o sistema é 
impossível; 
 Se todos os determinantes das incógnitas forem nulos, o sistema, se tiver solução, será 
indeterminado; 
42 
 
 O fato de todos os determinantes de todas as incógnitas serem “nulos”, não garante 
que o sistema tenha solução. 
 
ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Deve-se seguir alguns passos: 
 Colocar como 1° equação aquela em que o coeficiente da 1° incógnita seja diferente 
de zero; 
 Anular o coeficiente da 1° incógnita de todas as equações (com exceção da 1°), 
substituir pela soma da mesma com a 1° multiplicada por um número conveniente; 
 Deixar de lado a 1° equação, e aplicar o 1° e o 2° passo nas equações restantes; 
 E verificar os resultados 
 
PASSO A PASSO DE COMO RESOLVER UM SISTEMA POSSIVEL 
INDETERMINADO 
 
 Deve-se identificar a variável que não aparece no início de nenhuma das equações 
denominada variável livre; 
 Transportar a variável livre para o 2° membro em cada equação; 
 Fazer a mudança de variável (MDV) onde geralmente se utiliza as letras gregas α, β, γ, 
δ; 
 Substituir no sistema MDV; 
 Dar as possíveis soluções e verificar os resultados. 
 
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Em geral, sendo 𝐷 o determinante, de uma matriz, tem-se que {
𝑠𝑒 𝐷 ≠ 0 ≠ 𝑆𝑃𝐷
𝑠𝑒 𝐷 = 0 𝑆𝑃𝐼 𝑜𝑢 𝑆𝐼
. 
Logo, discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros, significa 
dizer para quais valores dos parâmetros, tem-se SPD, SPI ou SI. Abaixo segue os passos que 
são feitos na discussão de um sistema: 
 Calcular o D (determinante); 
43 
 
 Fazer o teste para verificar. Se M≠ 𝐷, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆𝑃𝐷. Resolver por cramer e 
escalonamento; 
 Se M= 𝐷, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆𝑃𝐼 𝑜𝑢 𝑆𝐼. Resolver por escalonamento desenvolvendo o processo 
até o final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
6.1 SISTEMAS LINEARES- EXERCICIOS 
 
48) Resolva o sistema de Equação pelo método da adição: 
 





3
11
yx
yx 
2𝑥 = 11 + 3 
2𝑥 = 14 
𝑥 = 7 
7 − 𝑦 = 3 
𝑦 = 4 
49) Determine a S= {x, y} da equação pelo método da adição: 





9
1
yx
yx
 
2𝑥 = 1 + 9 
2𝑥 = 10 
𝑥 = 5 
5 − 𝑦 = 1 
𝑦 = 4 
 
Portanto: S = {5, 4} 
50) Verifique se S= {4,6} é solução da equação, caso não, resolva pelo método da adição: 





9
92
yx
yx
 
2.4 − 6 = 9 
8 − 6 = 9 
2 = 9 
4 + 6 = 9 
10 = 9 
45 
 
 
S= {4, 6}. Não é solução da equação. 
 3𝑥 = 18 
𝑥 =
18
3
 
𝑥 = 6 
 
6 + 𝑦 = 9 
𝑦 = 3 
S= {6, 3} é solução da equação 
51) João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo 
perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João 
respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro do número de cachorros e do 
triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de 
gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos 
cachorros e quantos gatos João possui? 
 
{
2𝑐 − 3𝑔 = 17
𝑐 − 𝑔 = 1 (× 3)
 
{
2𝑐 − 3𝑔 = 17
3𝑐 − 3𝑔 = 3
 
 
5. 𝑐 + 0. 𝑔 = 20 
5. 𝑐 = 20 
𝑐 =
20
5
 
𝑐 = 4 
𝑐 − 𝑔 = 1 
4 − 𝑔 = 1 
−𝑔 = 1 − 4 
𝑔 = 3 
46 
 
 
52) (Fuvest). Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra 
foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que 
cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma 
coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi de? 
 
 





2
24
CL
CL 
2. 𝐿 + 0. 𝐶 = 26 
2. 𝐿 = 26 
𝐿 =
26
2
 
𝐿 = 13 
Portanto: Cada caixa tinha 13 frascos de detergente aroma de limão. Mas como 
foram entregues 10 caixas: 13 × 10 = 130 𝑓𝑟𝑎𝑠𝑐𝑜𝑠. 
53) Resolva o sistema de Equação pelo método da substituição: 





7243
20
yx
yx
 
𝑥 + 𝑦 = 20 
𝑥 = 20 − 𝑦 
3𝑥 + 4𝑦 = 72 
3. (20 − 𝑦) + 4𝑦 = 72 
60 − 3𝑦 + 4𝑦 = 72 
𝑦 = 12 
𝑥 = 20 − 𝑦 
𝑥 = 20 − 12 
𝑥 = 8 
54) Determine a S= {x, y} da equação pelo método da substituição: 
 
47 
 





72
02
yx
yx
 
𝑥 = y + 2 
2. (𝑦 + 2) + 𝑦 = 7 
3𝑦 + 4 = 7 
3𝑦 = 3 
𝑦 = 1 
𝑥 = 𝑦 + 2 
𝑥 = 1 + 2 
𝑥 = 3 
55) Verifique se S= {5, 1} é solução da equação, caso não, resolva pelo método da 
substituição. 





212
6
yx
yx
 
5 − 1 = 6 
4 = 6 
2.5 + 1 = 21 
10 + 1 = 21 
11 = 21 
Portanto: S = {5, 1}, não é solução da equação. 
𝑥 = 𝑦 + 6 
2. (𝑦 + 6) + 𝑦 = 21 
2𝑦 + 12 + 𝑦 = 21 
𝑦 =
9
3
 
𝑦 = 3 
 
𝑥 = 𝑦 + 6 
𝑥 = 9 
48 
 
Portanto: S = {9, 3} é solução da equação. 
56) Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e 
carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos 
e de carros estacionados na rua de André? 





5442
20
cm
cm 
𝑚 + 𝑐 = 20 
𝑚 = 20 − 𝑐 
2.𝑚 + 4. 𝑐 = 54 
2. (20 − 𝑐) + 4. 𝑐 = 54 
40 − 2. 𝑐 + 4. 𝑐 = 54 
−2. 𝑐 + 4. 𝑐 = 54 − 40 
2. 𝑐 = 14 
𝑐 =
14
2
 
𝑐 = 7 
 
𝑚 = 20 − 𝑐 
𝑚 = 20 − 7 
𝑚 = 13 
Portanto: 7 carros e 13 motos. 
57) (Vunesp). Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata, 
marca 1 ponto e se perde não marca nenhum ponto. Admita que, nesse campeonato, o 
time A tenha participado de 16 jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses 
jogos, obteve 24 pontos, então a diferença entre o número de jogos que o 
time A venceu e o número de jogos que empatou, nessa ordem, é? 





243
14
ev
ev
 
3. 𝑣 + 𝑒 = 24 
49 
 
3. 𝑣 + 14 − 𝑣 = 24 
3. 𝑣 − 𝑣 = 24 − 14 
2𝑣 = 10 
𝑣 =
10
2
 
𝑣 = 5 
𝑒 = 14 − 𝑣 
𝑒 = 14 − 5 = 9 
O time A teve nove empates e cinco vitórias, mas o exercício pediu a diferençaentre 
o número de jogos em que A venceu e o número de jogos em que empatou. Essa diferença 
é 5 – 9 = – 4. 
58) Resolva o sistema de Equação pelo método da Comparação:





52
7
yx
yx 
𝑥 = 7 − 𝑦 
𝑥 = −5 + 2𝑦 
𝑥 = 𝑥 
7 − 𝑦 = −5 + 2𝑦 
3𝑦 = 12 
𝑦 = 4 
𝑥 + 𝑦 = 7 
𝑥 + 4 = 7 
𝑥 = 3 
59) Determine a S= {x, y} da equação pelo método da comparação:





353
402
yx
yx 
𝑥 = 40 − 2𝑦 
𝑥 = −35 + 3𝑦 
𝑥 = 𝑥 
40 − 2𝑦 = −35 + 3𝑦 
5𝑦 = 75 
50 
 
𝑦 = 15 
𝑥 + 2𝑦 = 40 
𝑥 + 2.15 = 40 
𝑥 = 40 − 30 
𝑥 = 10 
Portanto a 𝑆 = {10, 15} é a solução da equação. 
60) Verifique se 𝑆 = {1, 2} é solução da equação, caso não, resolva pelo método da 
comparação: 





33
42
yx
yx 
2𝑥 + 𝑦 = 4 
2.1 + 2 = 4 
4 = 4 
3𝑥 + 𝑦 = −3 
3.1 + 2 = −3 
5 = −3 
Portanto 𝑆 = {1, 2} não é solução da equação. 
2𝑥 + 𝑦 = 4 
𝑦 = 4 − 2𝑥 
3𝑥 + 𝑦 = −3 
𝑦 = −3 − 3𝑥 
𝑦 = 𝑦 
4 − 2𝑥 = −3 − 3𝑥 
𝑥 = −7 
𝑦 = −3 − 3.−7 
𝑦 = −3 + 21 
𝑦 = 18 
Portanto a 𝑆 = {−7 , 18} é solução da equação. 
51 
 
 
61) Apresente o conjunto solução, por meio do método da comparação, do sistema a 
seguir: 





4
424
yx
yx 
 
4𝑥 + 2𝑦 = 4 
𝑥 =
4 − 2𝑦
4
 
𝑥 − 𝑦 = 4 
𝑥 = 4 + 𝑦 
𝑥 = 𝑥 
4 + 𝑦 =
4 − 2𝑦
4
 
𝑦 = −2 
𝑥 = 4 + 𝑦 
𝑥 = 4 + (−2) 
𝑥 = 4 − 2 
𝑥 = 2 
Portanto o conjunto S = {2, -2}. 
62) Em um determinado sistema, queremos descobrir o triplo do valor do conjunto 
solução, seguinte (use o método da comparação para a resolução):





83
4
yx
yx 
𝑥 + 𝑦 = 4 
𝑥 = 4 − 𝑦 
𝑥 + 3𝑦 = 8 
𝑥 = 8 − 3𝑦 
𝑥 = 𝑥 
4 − 𝑦 = 8 − 3𝑦 
2𝑦 = 4 
52 
 
𝑦 = 2 
𝑥 = 8 − 3𝑦 
𝑥 = 8 − 3.2 
𝑥 = 2 
Portanto S = {2,2}, porém o exercício pede o Triplo dos valores, 3 × 𝑆 , 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑆 =
{6 , 6} 
63) Calcule os valores de x, y e z do sistema de equações {
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = −1
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
utilizando a 
Regra de Cramer: 
𝐷 = |
1 −2 −2
1 −1 1
2 1 3
|
1 −2
1 −1
2 1
 
𝐷 = −3 − 4 − 2 − 4 − 1 + 6 
𝐷 = −8 
𝐷𝑥 = |
−1 −2 −2
−2 −1 1
1 1 3
|
−1 −2
−2 −1
1 1
 
𝐷𝑥 = 3 − 2 + 4 − 2 + 1 − 12 
𝐷𝑥 = −8 
𝐷𝑦 = |
1 −1 −2
1 −2 1
2 1 3
|
1 −1
1 −2
2 1
 
𝐷𝑦 = −6 − 2 − 2 − 8 − 1 + 3 
𝐷𝑦 = −16 
𝐷𝑧 = |
1 −2 −1
1 −1 −2
2 1 1
|
1 −2
1 −1
2 1
 
𝐷𝑧 = −1 + 8 − 1 − 2 + 2 + 2 
𝐷𝑧 = 8 
𝑋 =
𝐷𝑥
𝐷
=
−8
−8
= 1 
𝑌 =
𝐷𝑦
𝐷
=
−16
−8
= 2 
53 
 
𝑍 =
𝐷𝑧
𝐷
=
8
−8
= −1 
𝑆 = {1, 2, −1} 
 
64) Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de 
equações lineares: {
2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 23
5𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 27
 
𝐷 = |
2 3 3
3 2 5
5 4 2
|
2 3
3 2
5 4
 
𝐷 = 8 + 75 + 36 − 30 − 40 − 18 
𝐷 = 31 
𝐷𝑦 = |
2 18 3
3 23 5
5 27 2
|
2 18
3 23
5 27
 
𝐷𝑦 = 92 + 450 + 243 − 345 − 270 − 108 
𝐷𝑦 = 62 
𝑌 =
𝐷𝑦
𝐷
=
62
31
= 2 
𝑆 = {2} 
65) (Vunesp – SP). Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual 
compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi 
de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso 
foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, determine o número de 
sócios e não sócios que compareceram ao show. 
{
𝑥 + 𝑦 = 200
5𝑥 + 10𝑦 = 1400
 
𝐷 = |
1 1
5 10
| 
𝐷 = 10 − 5 
𝐷 = 5 
𝐷𝑥 = |
200 1
1400 10
| 
𝐷𝑥 = 2000 − 1400 
54 
 
𝐷𝑥 = 600 
𝐷𝑦 = |
1 200
5 1400
| 
𝐷𝑦 = 1400 − 1000 
𝐷𝑦 = 400 
𝑋 =
𝐷𝑥
𝐷
=
600
5
= 120 
𝑌 =
𝐷𝑦
𝐷
=
400
5
= 80 
Resolvendo por substituição: 
{
𝑥 + 𝑦 = 200
5𝑥 + 10𝑦 = 1400
 
𝑥 = 200 − 𝑦 
5𝑥 + 10𝑦 = 1400 
5(200 − 𝑦) + 10𝑦 = 1400 
1000 − 5𝑦 + 10𝑦 = 1400 
5𝑦 = 1400 − 1000 
5𝑦 = 400 
𝑦 =
400
5
 
𝑦 = 80 
𝑥 = 200 − 𝑦 
𝑥 = 200 − 80 
𝑥 = 120 
No show estavam presentes 120 sócios e 80 não sócios. 
66) (Fuvest–SP). Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de 
seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente 
pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes 
55 
 
marcas: Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e 
Bidu pesam 66 kg. Determine o peso de cada um deles: 
Andreia: a; Bidu: b e Carlos: c. 
{
𝑐 + 𝑏 = 87
𝑎 + 𝑐 = 123
𝑎 + 𝑏 = 66
 
𝐷 = |
0 1 1
1 0 1
1 1 0
|
0 1
1 0
1 1
 
𝐷 = 1 + 1 
𝐷 = 2 
𝐷𝑏 = |
0 87 1
1 123 1
1 66 0
|
0 87
1 123
1 66
 
𝐷𝑏 = 87 + 66 − 123 
𝐷𝑏 = 30 
 
𝐵 =
𝐷𝑏
𝐷
=
30
2
= 15𝑘𝑔 
 
𝑐 + 𝑏 = 87 
𝑐 + 15 = 87 
𝑐 = 87 − 15 
𝑐 = 72 𝑘𝑔 
𝑎 + 𝑏 = 66 
𝑎 = 66 – 15 
𝑎 = 51𝑘𝑔 
 
Logo Andreia pesa 51kg, Bidu pesa 15kg e Carlos pesa 72kg. 
 
67) Resolva o sistema pelo Método de Cramer: 
{
2𝑥 − 𝑦 = 7
𝑥 + 5𝑦 = −2
 
56 
 
𝐷 = |
2 −1
1 5
| 
𝐷 = 10 + 1 
𝐷 = 11 
𝐷𝑥 = |
7 −1
−2 5
| 
𝐷𝑥 = 35 − 2 
𝐷𝑥 = 33 
𝐷𝑦 = |
2 7
1 −2
| 
𝐷𝑦 = −4 − 7 
𝐷𝑦 = −11 
𝑋 =
𝐷𝑥
𝐷
=
33
11
= 3 
𝑌 =
𝐷𝑦
𝐷
=
−11
11
= −1 
 
VERIFICAÇÃO 
2𝑥 − 𝑦 = 7 
2 × 3 + 1 = 7 
6 + 1 = 7 
7 = 7 C.Q.D. 
𝑥 + 5𝑦 = −2 
3 + 5 × (−1) = −2 
3 − 5 = −2 
−2 = −2 C.Q.D. 
 
𝑆 = {3,−1} 
 
68) Escalonar e resolver o sistema abaixo: 
57 
 
{
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 10
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 11
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
Resolução: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 11
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 10
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑦 + 𝑧 = 5
−𝑦 − 2𝑧 = −8
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑦 + 𝑧 = 5
−𝑧 = −3
 
Z = 3 
𝑦 + 3 = 5 
𝑦 = 2 
𝑥 + 2 + 3 = 6 
𝑥 = 1 
Portanto S = {1, 2, 3} é solução da equação. 
69) Escalonar e resolver o sistema abaixo: 
{
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12
3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 = 14
2𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = −3
 
Resolução: 
{
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12
−4𝑏 − 𝑐 = −22
−4𝑏 − 𝑐 = −27
 
 
{
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12
−4𝑏 − 𝑐 = −22
0 = −5
 
O sistema é impossível, pois a terceira equação nunca será satisfeita. 
Assim: 𝑆 = ⍉ 
58 
 
 
70) Escalonar e resolver o sistema abaixo: 
{
x + 2y − z = 4
3x − y + z = 5
 
Resolução: 
 
{
x + 2y − z = 4
3x − y + z = 5
 
 
{
x + 2y − z = 4
−7y + 4z = −7
 
O sistema é indeterminado, sendo z a variável livre, logo 𝑧 = ∝: – 7𝑦 + 4 ∝ =
 – 7 7𝑦 – 4 ∝ = 7 
 
𝑦 =
4 ∝ +7
7
 
 
Substituindo na 1a equação: 
 
x + 2 (
4 ∝ +7
7
)−∝= 4 
x =
14 − α
7
 
 
Portanto S={(
14−α
7
 ,
4∝+7
7
)} 
 
Para ∝= −2 
𝑋 = 
14 − (−2)
7
=
14 + 2
7
=
16
7
 
𝑌 =
4 (−2) + 7
7
=
−8 + 7
7
=
−1
7
 
 
Para ∝= 5 
𝑋 = 
14 − 5
7
=
9
7
 
𝑌 =
4 ∗ 5 + 7
7
=
20 + 7
7
=
27
7
 
 
71) Discutir, em função de m, o sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 + 3𝑦 = 8
𝑥 −𝑚𝑦 = 3
 
59 
 
Resolução: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑦 = 2
0𝑦 = 2 + 2𝑚
 
2 + 2𝑚 = 0 
𝑚 = – 1 
𝑦 = 2 
𝑥 = 1 
Assim, temos: 
𝑚 – 1 𝑆𝐼 
𝑚 = – 1 𝑆𝑃𝐷 
 
72) Discutir, em função de k, o sistema: 
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5
2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 12
3𝑥 + 7𝑦 + 2𝑧 = 17
5𝑥 + 12𝑦 + 𝑘𝑧 = 29
 
Resolução: 
 
 
 
 
60 
 
 
 
Assim, para , o sistema é possível e determinado. 
𝑧 = 0 
𝑦 + 𝑧 = 2 
𝑦 =2 
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5 
𝑥 = 1 
Portanto S= {x, y, z} = {1, 2, 0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
11 APLICAÇÕES 
 
 
As matrizes e os sistemas lineares têm larga aplicação em problemas práticos, 
especialmente na área de Engenharia. 
Temos, por exemplo, a obtenção da frequência natural do eixo traseiro de um 
automóvel, por envolver grande número de variáveis a serem testadas e analisadas, acarreta 
um alto custo financeiro; portanto, faz-se necessária a utilização de métodos numéricos 
simples e precisos, como, por exemplo, o Método das Matrizes de Transferência, no qual, 
como o próprio nome evidencia, utilizam-se matrizes. Por sua vez, o projeto de uma estrutura 
composta por vigas metálicas exige a resolução de um sistema de equações lineares, no qual o 
número de equações e variáveis cresce à medida que se torna mais complexa a estrutura. 
A forma matricial do sistema é, então, utilizada, analisando-se a singularidade da 
matriz dos coeficientes do sistema e a matriz coluna das forças externas, para se encontrar a 
matriz coluna das forças que atuam sobre as vigas. 
 O Método dos Elementos Finitos, que tem grande aplicação em problemas de 
Engenharia, particularmente em problemas de Engenharia Civil e Mecânica, utiliza-se de 
sistemas lineares que envolvem grande número de variáveis, os quais são resolvidos 
computacionalmente, trabalhando-se com as matrizes dos sistemas. Também em outras áreas, 
como, por exemplo, na Pesquisa Operacional, a teoria das matrizes e os sistemas lineares são 
largamente utilizados. 
Também temos uma relação de circuitos elétricos com os sistemas lineares. Os 
circuitos elétricos são formados por condutores e outros componentes. Um dos mais simples 
podemos ter é um circuito composto por uma fonte (como uma bateria) e um dispositivo de 
circuito (como uma lâmpada). Em algumas situações é necessário medir a intensidade da 
corrente que atravessa esse circuito, e uma das técnicas utilizadas é a obtenção de um sistema 
linear cuja solução nos forneça o dado procurado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
12 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 
No decorrer do trabalho podemos concluir que os conceitos estudados em sala de aula 
contribuem de grande forma para o aprendizado do aluno em sala de aula. 
O incentivo ao processo auto didático é fornecido pela proposta de trabalho, que tende 
a fazer com que o aluno consiga aumentar o número de informações sobre determinado 
assunto e obter a autonomia para a formulação e resolução de problemas. 
Neste trabalho também vemos onde podemos aplicar o conteúdo que nele contem, não 
sendo apenas de uso exclusivo para a área de matemática, mas que poderá ser útil em 
quaisquer outras áreas/profissões. 
Logo se conclui que pela elaboração do trabalho, que os alunos tenham adquirido os 
conhecimentos sobre a formulação e resolução dos exercícios, trabalhados na disciplina de 
Tópicos de Matemática II, e que se encontram aptos para transmitir esse conteúdo para o 
público alvo mencionado na Justificativa (pág.8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
CHUEIRI M. M., Vanilda. GONÇALVES M., Eliete. Dicionário comentado de 
matemática. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2012. 
 
DANTE R., Luiz. Matemática: contexto e aplicações (volume único). 1° ed. São Paulo: 
Editora Ática, 2000. 
 
História de Laplace. Disponível em: http://ecalculo.if.usp.br/historia/laplace.htm. Acesso em: 
29 de maio de 2016 
 
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática 
(volume único). 4°ed. São Paulo: Atual Editora, 2007. 
 
INFO ESCOLA. Matriz. Disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/matrizes/. 
Robison de Sá. Acesso em: 14 de março de 2016. 
 
Significado de Determinante. Disponível em: 
http://www.dicionarioinformal.com.br/determinante/. Acesso em: 03 de junho de 2016. 
 
Significado Inversa. Disponível em: http://www.dicionarioinformal.com.br/inversa/. Acesso 
em: 03 de junho de 2016. 
 
Significado Limite. Disponível em: http://www.dicionarioinformal.com.br/limite/. Acesso 
em: 03 de junho de 2016. 
 
SÓ MATEMÁTICA. Frases matemáticas. Disponível em: 
http://www.somatematica.com.br/frases.php. Acesso em: 02 de junho de 2016. 
 
SOUZA R., Joamir. Novo olhar matemática (coleção novo olhar; v.2). 1°ed. São Paulo: 
FTD, 2010. 
 
 
64 
 
GLOSSÁRIO 
 
 
Determinante: Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz 
quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real. Esta função permite 
saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo 
determinante é igual a 0. 
 
Escalar: Graduar por escala. 
Inversa: Que é oposto, ao contrário. 
Limite: Grandeza constante, da qual outra pode aproximar-se indefinidamente sem nunca a 
atingir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
ANEXO A- A ORIGEM DO NOME MATRIZ 
Faz pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e 
saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 
1826: tableau (= tabela). 
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com 
sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a 
demonstrar sua utilidade. 
 
Ele usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera 
ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos...o que não representa um 
determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários 
sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas..." 
(artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pág. 363-370). 
Sylvester ainda via as matrizes como um mero ingrediente dos determinantes. 
Somente com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a 
suplantar os determinantes em importância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
ANEXO B- PIERRE SIMON LAPLACE 
 
Pierre Simon Laplace nasceu no dia 23 de março em Beumont-en-Auge, na França e morreu 
no dia 5 de março em Paris. 
 Seus pais eram agricultores pobres. O desejo paterno era que Pierre seguisse carreira 
na Igreja, dado que naquela época era comum para o homem ir para a igreja ou para o 
exército. 
Laplace iniciou seus estudos em uma escola Beneditina, onde permaneceu dos 7 aos 
16 anos. Com 16 anos entrou para a Universidade de Caen, onde se matriculou no curso de 
teologia. Durante seus dois anos de faculdade descobriu seu talento matemático e sua paixão 
pelo assunto, decidindo sair da Universidade de Caen e ir à Paris, levando uma carta de 
apresentação de um de seus professores. 
Quando chegou em Paris, apresentou sua carta à D'Alembert e em pouco tempo, com 
a sua ajuda, tornou-se professor da École Militaire . Também foi professor da École Normale 
e da École Polytechnique . Em 1785, ocupou uma importante posição na Academia de 
Ciências de Paris, onde, dois anos mais tarde, conheceu Lagrange. 
Além de Matemática, Laplace gostava de política, participando de um comitê para 
padronizar os pesos e medidas. Ocupou um posto na administração política: foi nomeado 
Ministro do Interior por Napoleão Bonaparte e chegou a receber o título de marquês. 
Produziuseus melhores trabalhos nas áreas de mecânica celeste, probabilidade, equações 
diferenciais e problemas geodésicos. Foi tão famoso em seu tempo que ficou conhecido como 
o "Newton da França". 
Entre suas obras, duas merecem destaque: Traité de Mécanique Céleste , que contém 
cinco volumes e compreende toda a mecânica celeste da época, tendo inclusive muitas 
contribuições do próprio Laplace; Théorie Analytique des Probabilités , que traz o cálculo de 
através do problema da agulha de Buffon - que ficou conhecido como problema de Buffon-
Laplace - e também a transformada de Laplace que é muito útil na resolução de equações 
diferenciais. 
Seu nome está ligado à hipótese nebular de cosmogonia, à equação de Laplace da 
teoria do Potencial - embora Laplace não fosse pioneiro nesses dois assuntos; à chamada 
transformada de Laplace, que posteriormente se tornaria a chave do cálculo operacional de 
Heaviside, e ao teorema de Laplace da teoria dos determinantes. 
67 
 
Segundo os historiadores, Laplace era muito generoso com os principiantes em 
pesquisa matemática. Ele os chamava de enteados e, por várias vezes, absteve-se de publicar 
uma descoberta a fim de permitir que um principiante o fizesse primeiro. Infelizmente, esse 
tipo de generosidade é raro em Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO C- ORIGEM DOS SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES 
 
Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações 
lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial 
por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes 
escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram 
descobrindo o método de resolução por eliminação, que consiste em anular coeficientes por 
meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove 
capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C. 
Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de 
determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, 
considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do 
estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas 
equações apenas). 
O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de 
Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de 
compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante 
de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve 
ser nulo). Para tanto criou até uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por 
exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12. 
A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de 𝑛 equações a n incógnitas, 
por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-
1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu 
Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse 
episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra 
(independentemente), mas depois, na sua Introdução à análise das curvas planas (1750), em 
conexão com o problema de determinar os coeficientes da cônica geral 𝐴 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑥 +
 𝐷𝑦2 + 𝐸𝑥𝑦 + 𝑥2 = 0. 
O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em 
seu tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um 
determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, 
69 
 
empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos 
sistemas lineares — embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante 
teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através dos menores de r 
filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte 
pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: 
"Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo". 
O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy 
sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e 
simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a 
atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com 
Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes — 
meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a de 
Cauchy era superior. 
Além de Cauehy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes 
foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". 
Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como 
algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. 
Assim, o importante conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais 
característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO D- DESCARTES 
 
Filósofo, matemático e fisiologista, o francês René Descartes é considerado o pai da 
matemática e da filosofia moderna. Nasceu em La Haye (em 1802, a cidade passou a ser 
chamada de La Haye-Descartes), província de Touraine, no dia 31 de março de 1596. Seu pai 
era advogado, juiz, conselheiro do parlamento da província de Rennes. Possuía título de 
primeiro grau de nobreza (escudeiro). A mãe de Descartes morreu quando ele tinha apenas 1 
ano (vítima de complicações pós-parto). René foi criado por uma babá e por sua avó, embora 
sempre tenha tido contato com o pai. 
Aos 9 anos começou seus estudos no colégio jesuíta La Flèche, no qual estudou 
gramática, poética, retórica (Humanidades), Filosofia e Matemática (escolástica), até 1614. 
Sua saúde, nessa época era frágil, o que fez com que ele adquirisse um hábito que manteve 
por quase toda a vida: permanecia deitado em sua cama até tarde, meditando. 
Atendendo a vontade de seu pai, ainda em 1614 entrou para a Universidade de Pointier, onde 
cursos direito (curso com duração de 2 anos). Formou-se em 1616, mas não exerceu a 
profissão. 
Em 1618 Descartes viajou à Holanda, onde se alistou para combater os espanhóis ao 
lado das tropas holandesas de Maurício de Nassau. Nessa ocasião, conheceu e ficou amigo do 
médico Isaac Beckman, que o influenciou a estudar matemática e física. Em 1619, após 
assistir à coroação do Imperador Maximiliano da Baviera, em Frankfurt (Alemanha), alista-se 
no exército do novo Imperador. Retira-se em seguida, assim que Maximiliano declara guerra 
ao Rei Frederico da Boémia. 
Na noite entre os dias 10 e 11 de novembro de 1619, Descartes tem três sonhos que 
ele próprio interpreta como uma premunição de seu destino: inventar uma "ciência 
admirável", na qual estariam unificados todos os conhecimentos humanos. 
Em 1621, Descartes renuncia à carreira militar de forma definitiva, com o objetivo de 
dedicar-se exclusivamente às ciências e a filosofia. Para tanto, em 1623 retornou a sua cidade 
natal, onde vendeu as terras e a propriedade que herdara. Com isso, pôde manter seu conforto, 
embora sem luxos. Após a venda, viajou para a Itália (estabeleceu-se em Veneza), onde 
permaneceu até 1625. 
Voltando da Itália,passa a viver em Paris, onde se ocupa da Óptica, Astronomia e 
Matemática. 
71 
 
A partir de então, passa a redigir vários esboços e mesmo obras que não chegou a 
publicar em vida. Algumas se perderam. Em 1629, se instala na Holanda, onde permanece até 
1649. 
Entre 1629 e 1633, Descartes redige o Tratado do Mundo, mas não o publica por 
receio da Inquisição, que acabara de condenar Galileu. A primeira obra de Descartes teve 
como título “Essays Philosophiques”. A introdução ficou mais famosa que a própria obra: O 
discurso do método, onde, na quarta seção, encontra-se sua frase mais famosa - "Penso, logo 
existo". 
Nos anos seguintes, produziu as seguintes obras: 
 1641 - Meditações sobre a filosofia Primeira; Objeções e Respostas. 
 1644 - Princípios da Filosofia. 
 1647/48 - Descrição do Corpo Humano. 
 1649 - As Paixões da Alma. 
Em 1649 Descartes deixa a Holanda e passa a viver em Estocolmo, a convite da 
rainha Cristina da Suécia (para ser seu preceptor e conselheiro). No frio da Suécia, Descartes 
passou a sair da cama cedo (ao contrário do que fez a vida toda), pois ministrava aulas para a 
Rainha às 5 horas da manhã. Fragilizado pela mudança de hábitos e pelo frio intenso, uma 
gripe acabou se transformando em pneumonia, doença que causou sua morte em 11 de 
fevereiro de 1650. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO E- GABRIEL GRAMER 
 
Nasceu no dia 31 de julho de 1704 em Geneva (agora Suíca), e morreu em 4 de 
janeiro de 1752 em Bagnols-sur-Cèze, na França. Cramer trabalhou em análise e 
determinantes. Ele se tornou professor de matemática em Geneva e escreveu em trabalho 
relacionado a física, também em geometria e história da matemática. Cramer é melhor 
conhecido pelo seu trabalho em determinantes (1750) mas também fez contribuições ao 
estudo das curvas algébricas (1750). 
A regra de Cramer é um método de resolver equações lineares simultâneas pelo uso 
de determinantes. Uma equação linear é uma equação que pode ser representada por uma 
linha reta. Se duas retas se cruzam, o ponto de interseção delas é comum. São ditas as 
coordenadas deste ponto para satisfazer ambas as equações "simultaneamente". A regra de 
Cramer usa determinantes para achar as coordenadas do ponto de interseção. Cada 
denominador consiste nos coeficientes de x e y. O numerador para x é determinado 
substituindo os coeficientes de x pelas constantes no lado direito das equações. O numerador 
para y é semelhantemente determinado. Numeradores e denominadores são alcançados por 
multiplicação cruzada e subtração. O método vale para n equações lineares com n 
desconhecido. Nestes casos, devem ser usados determinantes de terceira ordem ou mais alta.