AULA 01 ACRESCIMOS DE TENSÕES (1)

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Mecânica dos Solos 
Acréscimos de tensões 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano 
A figura abaixo mostra um elemento bidimensional do 
solo que está sendo submetido a esforços normais e 
de cisalhamento (𝜎𝑦 > 𝜎𝑥). 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano 
Para determinar estas tensões em um plano EF, que 
forma um ângulo 𝜃 com o plano AB, precisamos 
considerar o diagrama de corpo livre de EFB (b). 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano 
Sejam 𝜎𝑛 e 𝜏𝑛 as tensões normal e de cisalhamento, 
respectivamente, no plano EF. Temos: 
𝜎𝑛 =
𝜎𝑦 + 𝜎𝑥
2
+
𝜎𝑦 − 𝜎𝑥
2
. 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 . 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (𝐼) 
𝜏𝑛 =
𝜎𝑦 − 𝜎𝑥
2
. 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (𝐼𝐼) 
𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐼𝐼 , 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 
𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 é 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 
𝜃 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝜏𝑛 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
𝑡𝑔2𝜃 =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦 − 𝜎𝑥
 (𝐼𝐼𝐼) 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano 
Para os valores fornecidos 𝜏𝑥𝑦, 𝜎𝑦 e 𝜎𝑥 , a equação (III) 
fornece valores de 𝜃, distintos de 90º um do outro. 
Isso significa que existem dois planos que são 
perpendiculares entre si, nos quais a tensão de 
cisalhamento é igual a zero, chamados de planos 
principais. 
 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano 
As tensões principais podem são obtidos por: 
𝜎𝑛 = 𝜎1 =
𝜎𝑦 + 𝜎𝑥
2
+
(𝜎𝑦 − 𝜎𝑥)
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦² 
𝜎𝑛 = 𝜎3 =
𝜎𝑦 + 𝜎𝑥
2
−
(𝜎𝑦 − 𝜎𝑥)
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦² 
Tensão principal maior 
Tensão principal menor 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano 
Obs: 
• Os sinais são adotadas como positivos para as 
tensões em X ou Y que estejam comprimindo (seta 
em direção ao centro do solo) o elemento de solo. 
 
• Os sinais da tensão de cisalhamento é adotado 
como positivo quando as componentes verticais, 
dos mesmo, tendem a rotacional o bloco no 
sentido anti-horário. 
 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano Exemplo: 
Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As 
magnitudes das tensões são 𝜎𝑥 = 96 𝑘𝑁/𝑚², 𝜎𝑦 = 120 𝑘𝑁/𝑚², 
τ = 38 𝑘𝑁/𝑚² e 𝜃 = 20º. 
A)Determine as magnitudes das tensões principais. 
B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. 
C)E qual o ângulo do plano principal. 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 =
𝜎𝑦 + 𝜎𝑥
2
+
(𝜎𝑦 − 𝜎𝑥)
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦² 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎3 =
𝜎𝑦 + 𝜎𝑥
2
−
(𝜎𝑦 − 𝜎𝑥)
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦² 
Exemplo: 
Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As 
magnitudes das tensões são 𝜎𝑥 = 96 𝑘𝑁/𝑚², 𝜎𝑦 = 120 𝑘𝑁/𝑚², 
τ = 38 𝑘𝑁/𝑚² e 𝜃 = 20º. 
A)Determine as magnitudes das tensões principais. 
B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. 
C)E qual o ângulo do plano principal. 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano 
𝜎𝑛 =
𝜎𝑦 + 𝜎𝑥
2
+
𝜎𝑦 − 𝜎𝑥
2
. 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 . 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (𝐼) 
𝜏𝑛 =
𝜎𝑦 − 𝜎𝑥
2
. 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (𝐼𝐼) 
Exemplo: 
Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As 
magnitudes das tensões são 𝜎𝑥 = 96 𝑘𝑁/𝑚², 𝜎𝑦 = 120 𝑘𝑁/𝑚², 
τ = 38 𝑘𝑁/𝑚² e 𝜃 = 20º. 
A)Determine as magnitudes das tensões principais. 
B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. 
C)E qual o ângulo do plano principal. 
Tensões normais e de cisalhamento 
em um plano Exemplo: 
Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As 
magnitudes das tensões são 𝜎𝑥 = 96 𝑘𝑁/𝑚², 𝜎𝑦 = 120 𝑘𝑁/𝑚², 
τ = 38 𝑘𝑁/𝑚² e 𝜃 = 20º. 
A)Determine as magnitudes das tensões principais. 
B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. 
C)E qual o ângulo do plano principal. 
𝑡𝑔2𝜃 =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦 − 𝜎𝑥
 
Mecânica dos Solos 
Acréscimos de tensões 
Acréscimos de tensões 
Acréscimos de tensões 
s0 
Distribuição das tensões a diferentes profundidades 
Distribuição de tensões no solo 
• A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito 
importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são 
instaladas obras de engenharia. 
• Experiências realizadas nos primeiros tempos da Mecânica dos Solos mostram que: 
• os acréscimos de tensões a uma certa 
profundidade excedem a área de projeção 
da área carregada. Nas laterais da área 
carregada também ocorrem aumentos de 
tensão; 
• o somatório dos acréscimos de tensões 
verticais é constante em qualquer 
profundidade; 
Acréscimos de tensões 
Distribuição de tensões no solo 
• A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito 
importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são 
instaladas obras de engenharia. 
• Experiências realizadas nos primeiros tempos da Mecânica dos Solos mostram que: 
• os acréscimos de tensões a uma certa 
profundidade excedem a área de projeção 
da área carregada. Nas laterais da área 
carregada também ocorrem aumentos de 
tensão; 
• o somatório dos acréscimos de tensões 
verticais é constante em qualquer 
profundidade; 
• como a área de atuação aumenta, o valor 
das tensões verticais diminui com a 
profundidade. 
sv 
Variação dos acréscimos da 
tensão vertical ao longo do 
eixo de simetria vertical da 
área carregada 
s0 
Acréscimos de tensões 
P 
1,00 P 
0,50 P 
0,10 P 
s0 
0,8s0 
0,5s0 
0,2s0 
0,1s0 
Bulbo de tensões 
• Ao se unir os pontos em que os acréscimos de tensão no interior do subsolo são de mesmo 
valor percentual aplicado na superfície, têm-se linhas chamadas de isóbaras. 
• Desta forma, isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões. 
Acréscimos de tensões 
Bulbo de tensões 
• Ao se unir os pontos em que os acréscimos de tensão no interior do subsolo são de mesmo 
valor percentual aplicado na superfície, têm-se linhas chamadas de isóbaras. 
• Desta forma, isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões. 
P Pontos de igual tensão 
Isóbaras 
Acréscimos de tensões 
Índice 
Métodos de cálculo 
Métodos de cálculo 
 º.
.
30tgz2L2
L2
0v

ss
Entretanto, o método do 
espraiamento não satisfaz o 
princípio da superposição dos 
efeitos. 
30° 30° 
2L z.tg30° z.tg30° 
Determinação das tensões verticais 
 Alguns métodos foram desenvolvidos para a determinação das tensões verticais, tais como: 
• Método do espraiamento das tensões 
• Simplificadamente, o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas 
com a profundidade, com um ângulo de espraiamento de 30º. 
Métodos de cálculo 
𝐿0 
𝐿0 
𝜎𝑧 = 𝜎0
𝐿0
𝐿𝑒𝑠𝑝𝑟𝑎𝑖𝑎𝑑𝑎
 
𝐿𝑒𝑠𝑝𝑟𝑎𝑖𝑎𝑑𝑎 = 𝐿0 + 2. 𝑧. 𝑡𝑎𝑛30º 
 º.
.
30tgz2L2
L2
0v

ss
Entretanto, o método do 
espraiamento não satisfaz o 
princípio da superposição dos 
efeitos. 
2L 
30° 30° 
2L z.tg30° z.tg30° 
Determinação das tensões verticais 
 Alguns métodos foram desenvolvidos para a determinação das tensões verticais, tais como: 
• Método do espraiamento das tensões 
• Simplificadamente, o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas 
com a profundidade, com um ângulo de espraiamento de 30º. 
Métodos de cálculo 
• Se a área carregada for quadrada ou circular, os 
cálculos serão semelhantes, considerando-se o 
espraiamento em todas as direções. 
𝜎𝑧 = 𝜎0
𝐿0
𝐿𝑒𝑠𝑝𝑟𝑎𝑖𝑎𝑑𝑎
 
2L 
𝐿0 
𝐿0 
𝐿0 
Exemplo: 
Calcule os acréscimos de tensão pela práticado “espraiamento 
das tensões” de uma construção industrial que apresenta uma 
planta retangular, com 12 m de largura e 48 m de comprimento, e 
vai aplicar ao terreno uma pressão uniformemente distribuída de 
50kPa. 
Calcule o valor da tensão para z= 0 m, 2 m, 4 m, 10 m, 20 m. 
Determinação das tensões verticais 
espraiada
vv
A
A
tgzL
L 0
00 .
º30.22
2
. ssss 


Determinação das tensões verticais 
• Teoria da Elasticidade 
 
Métodos de cálculo 
Teoria da Elasticidade 
• Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes 
tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da 
Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de 
comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo). 
• Um solo é dito isotrópico se os parâmetros definidos em um ponto são os mesmos em 
qualquer direção 
• A isotropia reduz as constantes elásticas dom solo as apenas duas: módulo de elasticidade (E) 
e coeficiente de Poisson () 
• Se as constantes elásticas são as mesmas em todos os pontos de uma massa de solo então ele 
pode ser considerado homogêneo 
Métodos de cálculo 
Teoria da Elasticidade 
• Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes 
tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da 
Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de 
comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo). 
Métodos de cálculo 
e 
s 
Ds 
De 
eD
sD
E
Teoria da Elasticidade 
• Entretanto, a aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é 
questionável, pois os mesmos podem não satisfazer as hipóteses: 
 
• Comportamento linear e elástico 
 Para que seja válida, os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas deformações), 
tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura 
• Homogeneidade 
 Foge da realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também 
apresenta relações tensão-deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo 
variável com a profundidade 
• Isotropia 
 O solo é, em muitos casos, anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. 
Entretanto, a condição de isotropia é válida para terrenos onde o solo mantém constituição 
uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada 
 
Métodos de cálculo 
Teoria da Elasticidade 
• Como ainda não há melhor alternativa para a análise do comportamento das obras e 
também porque tem tido uma avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo, a Teoria 
da Elasticidade é aplicada como base de várias soluções desenvolvidas. 
Métodos de cálculo 
Soluções com base na Teoria da Elasticidade 
• Boussinesq - carga concentrada; 
• Flamant - carga ao longo de uma linha de extensão infinita; 
• Carothers-Terzaghi - carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de 
extensão infinita; 
• Osterberg - carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de 
extensão infinita; 
• Carothers - carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita; 
• Love - carga uniforme sobre superfície circular; 
• Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular: 
• Newmark 
• Steinbrenner 
• Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer - Método das superposição de 
áreas (Ábaco circular de Newmark). 
Métodos de cálculo 
  2
5
22
3
v
zr2
zQ3
σ


 Sendo r e z definidos como: 
r 
z 
Q 
sv 
Solução de Boussinesq - Carga concentrada 
• Nesta solução foram determinadas as tensões, deformações e 
deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e 
isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horizontal, devido 
a uma carga pontual aplicada na superfície deste semi-espaço. 
• A equação de Boussinesq para o acréscimo de tensão vertical em 
qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q na superfície é: 
r 
z 
Q 
sv 
2v z
.Q48,0
σ Solução de Boussinesq - Carga concentrada 
• Na vertical abaixo do ponto de aplicação da carga (r = 0), as tensões são iguais a:   2
5
22
3
v
zr2
zQ3
σ


0 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
14 
16 
18 
20 
20 40 60 80 100 120 
Tensão vertical 
Q 
P
ro
fu
n
d
id
a
d
e
 
Métodos de cálculo 
Solução de Boussinesq - carga concentrada 
• As tensões variam inversamente com o quadrado da profundidade, sendo 
infinita no ponto de aplicação. 
Exemplo: 
Considere uma carga pontual, P=5 kN. Calcule o aumento da 
tensão vertical a z=0, 2 m, 4 m, 6 m, 10 m e 20 m. Dados: x=3m e 
y=4m. 
Solução de Boussinesq - carga concentrada   2
5
22
3
v
zr2
zQ3
σ


Solução de Flamant - Carga distribuída 
• Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à 
aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um 
comprimento que tende ao infinito 
• Exemplos 
 222
3
v
zr
zQ2
σ


 Sendo r e z definidos como: 
r 
z 
Q 
sv 
Solução de Flamant - Carga distribuída 
• Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à 
aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um 
comprimento que tende ao infinito 
Exemplo: 
Conforme a figura abaixo, tem-se duas linhas de carga na 
superfície do solo. Determine o aumento de tensão no ponto A. 
Solução de Flamant - Carga distribuída 
 222
3
v
zr
zQ2
σ


Tensão vertical causada por um linha de carga 
horizontal 
A figura abaixo mostra uma linha de carga flexível horizontal na superfície de 
uma massa de solo semi-infinita. O aumento da tensão vertical no ponto A, 
nessa massa, pode ser dada como: 
𝜎𝑧 =
2. 𝑄. 𝑅. 𝑍2
𝜋. 𝑅2 + 𝑧2 2
 
𝑅 
Tensão vertical causada por um linha de carga 
horizontal 
Exemplo: 
Uma carga de linha inclinada com magnitude de 14,6kN/m é mostrada 
conforme a figura abaixo. Determine o aumento da tensão vertical no ponto A 
decorrente da linha de carga. 
𝜎𝑣 =
2 𝑞 
𝜋
 
𝑅 𝑧²
𝑅2 + 𝑧2 ²
 
𝜎𝑣 =
2 𝑞 
𝜋
 
𝑧³
𝑅2 + 𝑧2 ²
 
Devido a carga vertical: 
Devido a carga horizontal: 
Tensão vertical devida ao carregamento de um 
aterro 
• A figura abaixo mostra a seção transversal de um aterro de altura H. Para 
esta condição de carregamento bidimensional, o aumento da tensão 
vertical pode ser expresso como: 
 𝜎𝑣 =
𝑞𝑜
𝜋
.
𝐵1 + 𝐵2
𝐵2
. 𝛼1 + 𝛼2 −
𝐵1
𝐵2
 . 𝛼2 
𝑂𝑛𝑑𝑒: 
𝑞𝑜 = 𝛾 . 𝐻 
𝛾 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜 
𝐻 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜 
 
𝛼1 𝑟𝑎𝑑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐵1 + 𝐵2
𝑧
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐵1
𝑧
 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐵1
𝑧
 
Tensão vertical devida ao carregamento de um 
aterro 
Exemplo: 
Um aterro é mostrado conforme abaixo. Determine o aumento da tensão sob 
o aterro no ponto A. 
 
𝜎𝑣 =
𝑞𝑜
𝜋
.
𝐵1 + 𝐵2
𝐵2
. 𝛼1 + 𝛼2 −
𝐵1
𝐵2
 . 𝛼2 
Solução para carga distribuída em placa 
• Solução de Carothers-Terzaghi, para o acréscimo de tensão vertical em 
qualquer ponto devido à aplicação de uma carga uniformemente 
distribuída, sobre uma placa corrida, onde uma das dimensões é 
predominante às demais, podendo ser considerada infinita 
  

s 2cos.sen
Q
v
2b 
z 
Q 
sv OBS.: Ângulos em radianos. 










s 2sen
b
r
2
Q
v
z 
Q 
sv 
Solução carregamento triangular• Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à 
aplicação de um carregamento triangular linearmente distribuída ao 
longo de um comprimento que tende ao infinito 
2b 
r 
OBS.: Ângulos em radianos. 
z
a
m 
z
b
n 
b 
a 
z 
x 
z 
sv 
a.b
Q
σ0 
y 
Solução de Newmark - Superfície retangular 
• A partir da integração da equação de Boussinesq, Newmark (1933) desenvolveu 
uma solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço 
infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído 
numa área retangular, numa vertical passando por um dos vértices da área. 
• Newmark verificou que a solução era a mesma para situações em que as 
relações entre os lados da área retangular e a profundidade fossem as mesmas e 
definiu as seguintes relações: z
b
m 
z
a
n 
ou 
ou 
b 
a 
Solução de Newmark para superfície retangular 
• Em função destes parâmetros, a solução de Newmark é expressa pela 
equação: 
 
 
 
 
 
• Trata-se uma solução muito trabalhosa, mas se considerarmos que a tensão 
num ponto qualquer é função só dos parâmetros m e n, a expressão pode 
ser reescrita como: 
 
 
sendo Is um coeficiente de influência que pode ser obtido a partir de um 
ábaco, em função de m e n. 
Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as 
tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela. 
 
 
   
  
 


















 

2222
5,022
222222
225,022
0
1
12
11
212
.
.4 nmnm
nmmn
artg
nmnmnm
nmnmmn
v 
ss
v 0I .ss  s
Métodos de cálculo 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,01 0,10 1,00 10,00
n
Is
1,4
1,0
1,2
0,9
2,0m ≥ 10
1,6
0,8
m = 0,1
0,2
0,3
0,6
0,4
0,5
0,7
m = 0
 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9Ábaco para a solução 
de Newmark para 
cargas uniformemente 
distribuídas em área 
retangular 
Métodos de cálculo 
z
a
m 
z
b
n 
z
b
m 
z
a
n 
ou 
ou 
b 
a 
z 
x 
z 
sv 
a.b
Q
σ0 
y 
Solução de Newmark para superfície retangular 
 
Determine o acréscimo de tensões numa profundidade z para a área 
apresentada abaixo: 
+ 
+ - 
P 
a 
b 
c 
d d 
b 
a 
 c 
P 
P 
P 
Exercícios 
Determine o acréscimo de tensões numa profundidade z = 10m para a área 
apresentada abaixo, considere so = 50 kPa: 
+ 
+ - 
P 
7 
3 
5 
10 10 
3 
7 
 5 
P 
P 
P 
IsB IsA 
IsC 
IsA 
IsB 
IsC 
3,0
10
3
m 
5,0
10
5
n 
a = 3 
b = 5 
3,0
10
3
m 
1
10
10
n 
a = 3 
b = 10 
70
10
7
m ,
5,0
10
5
n 
a = 7 
b = 5 
Is 0,06 
Is 0,08 
Is 0,118 
Ábaco 
Ábaco 
Ábaco 
Exercícios 
Is IsB IsC IsA = + - 0,06 0,08 0,118 = + - = 0,138 
+ 
+ - 
P 
7 
3 
5 
10 10 
3 
7 
 5 
P 
P 
P 
IsB IsA 
IsC 
Is 
sv 
= 
• Determine o acréscimo de tensões numa profundidade z = 10m para a área apresentada 
abaixo, considere so = 50 kPa: 
0,138 
Is so = 
sv = 0,138 . 50 = 6,9 kPa 
Índice 
Exercícios 
Métodos de cálculo 
Tensão vertical em qualquer ponto abaixo de 
uma área circular uniformemente carregada 
• As soluções são apresentada em formas de bulbos de tensões, que 
apresenta os coeficientes de influência (coeficiente que, multiplicado 
pela tensão aplicada na superfície, fornece a tensão atuante no ponto), 
para o cálculo das tensões verticais no interior do solo devidas a 
carregamento uniformemente distribuído numa área circular, na 
superfície do terreno. 
• Segue o ábaco: 
Métodos de cálculo 
Tensão vertical em 
qualquer ponto abaixo de 
uma área circular 
uniformemente carregada 
Métodos de cálculo 
Tensão vertical em qualquer ponto abaixo de 
uma área circular uniformemente carregada 
Exemplo: 
Um tanque metálico circular, com 14m de diâmetro, foi construído com 
fundação direta na superfície, num terreno plano e horizontal, para 
estocagem de combustível. O tanque deverá transmitir ao terreno uma 
pressão de 50kPa. Para a previsão de eventuais recalques, desejam-se 
conhecer os acréscimos de tensão a 3,5 e a 7 m de profundidade, no centro e 
na periferia do tanque. 
 
Métodos de cálculo 
Solução de Love - carga circular 
z sv 
Q 
  








s
2/322
3
v
zr
z
1Q
2r