3a Prova GA Simone Moraes - RESOLVIDA

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Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A01 - Geometria Anal´ıtica Professora: Simone Moraes
3a PROVA RESOLVIDA
1.a Questa˜o. (3 pontos) Seja P a para´bola de foco F = (3, 1) e reta diretriz r : y + 3 = 0. Obtenha:
(a) A equac¸a˜o da para´bola P na forma reduzida.
(b) O ve´rtice e a reta focal de P .
(c) Um esboc¸o da para´bola P no sistema de coordenadas cartesianas Oxy.
Soluc¸a˜o:
(a)-(b) A reta focal da para´bola P passa pelo foco e e´ perpendicular a` reta diretriz, portanto e´ a reta
x = 3.
O ve´rtice da para´bola P e´ o ponto na reta focal equidistante do foco F e da reta diretriz, portanto
e´ o ponto V = (3,−1).
Como a para´bola P tem diretriz paralela ao eixo x, reta focal paralela ao eixo y, ve´rtice V = (3,−1)
e o foco esta´ acima da diretriz, enta˜o sua equac¸a˜o na forma reduzida e´ do tipo:
P : (x− 3)2 = 4p(y + 1),
com p = d(V, F ) = 2.
1
Assim, a equac¸a˜o de P na forma reduzida e´:
P : (x− 3)2 = 8(y + 1).
(c) Acima o esboc¸o da da para´bola P no sistema de coordenadas cartesianas Oxy.
2.a Questa˜o. (2 pontos) Seja C a coˆnica que e´ o lugar geome´trico dos pontos X = (x, y) do plano
cuja distaˆncia ao ponto P = (18, 0) e´ igual ao triplo da distaˆncia de X a` reta x− 2 = 0. Determine:
(a) A equac¸a˜o da coˆnica C na forma reduzida.
(b) Os elementos da coˆnica C: ve´rtices, centro, focos e ass´ıntotas, se existirem.
Soluc¸a˜o:
(a) Sabemos que X = (x, y) ∈ C se, e somente se,
d(X,P ) = 3 d(X, r), com r a reta x− 2 = 0.
⇐⇒
√
(x− 18)2 + (y − 0)2 = 3 d(X,Q), com Q = (2, y).
⇐⇒
√
(x− 18)2 + y2 = 3
√
(x− 2)2 + (y − y)2
⇐⇒
√
(x− 18)2 + y2 = 3
√
(x− 2)2.
Elevando a igualdade acima ao quadrado obtemos:
(x− 18)2 + y2 = 9 (x− 2)2 ⇐⇒ x2 − 36x+ 324 + y2 = 9(x2 − 4x+ 4)
⇐⇒ x2 − 36x+ 324 + y2 = 9x2 − 36x+ 36
⇐⇒ 8x2 − y2 = 288
⇐⇒ x
2
36
− y
2
288
= 1.
Assim, a coˆnica C e´ a hipe´rbole de equac¸a˜o reduzida:
x2
36
− y
2
288
= 1.
(b) Os elementos da coˆnica C:
• Ve´rtices: A1 = (6, 0) e A2 = (−6, 0).
• Centro: C = (0, 0).
• Como a = 6, b = 12√2 e c2 = a2 + b2, enta˜o c2 = 36 + 288 = 324 c>0=⇒ c = 18, logo os focos
sa˜o os pontos F1 = (18, 0) e F2 = (−18, 0).
2
• As ass´ıntotas sa˜o as retas:
12
√
2x− 6y = 0⇐⇒ y = 2
√
2x e 12
√
2x+ 6y = 0⇐⇒ y = −2
√
2x.
3.a Questa˜o. (3 pontos) Considere a coˆnica C de equac¸a˜o
7x2 − 6
√
3xy + 13y2 − 64 = 0.
(a) Reduza, por uma rotac¸a˜o dos eixos coordenados, a equac¸a˜o acima a` forma canoˆnica.
(b) Determine os focos, o centro e a reta focal da coˆnica C nas coordenadas x e y.
Soluc¸a˜o:
Como A = 6 6= 13 = C enta˜o devemos tomar θ tal que
tg 2θ =
B
A− C =
−6√3
7− 13 =
√
3 > 0.
Logo,
cos 2θ =
1√
1 + tg2 2θ
=
1√
1 + (
√
3)2
=
1√
4
=
1
2
.
3
Consequentemente, temos:
cos θ =
√
1 + cos 2θ
2
=
√√√√1 + 1
2
2
=
√√√√ 3
2
2
=
√
3
2
sen θ =
√
1− cos 2θ
2
=
√√√√1− 1
2
2
=
√√√√ 1
2
2
=
1
2
.
Portanto, A B2
B
2
C
 = [ cos θ sen θ−sen θ cos θ
]
·
 A B2B
2
C
 · [ cos θ −sen θ
sen θ cos θ
]
=
1
2
· 1
2
·
[ √
3 1
−1 √3
]
·
[
6 −2√3
−2√3 13
]
·
[ √
3 −1
1
√
3
]
=
1
4
·
[
4
√
3 4
−16 16√3
]
·
[ √
3 −1
1
√
3
]
=
1
4
·
[
16 0
0 64
]
=
[
4 0
0 16
]
.
E [
D
C
]
=
[
cos θ sen θ
−sen θ cos θ
]
·
[
D
E
]
=
√
5
5
[ √
3 1
−1 √3
]
·
[
0
0
]
=
[
0
0
]
.
(a) Assim, no sistema de coordenadas Ox¯y¯, obtido pela rotac¸a˜o de θ do sistema de coordenadas Oxy,
a coˆnica C tem equac¸a˜o:
4x¯2 + 16y¯2 − 64 = 0⇐⇒ 4x¯2 + 16y¯2 = 64
⇐⇒ 4x¯
2
64
+
16y¯2
64
= 1
⇐⇒ x¯
2
16
+
y¯2
4
= 1.
Nestas coordenadas os ve´rtices, o centro e a reta focal da coˆnica C sa˜o, respectivamente:
A1 = (4, 0), A2 = (−4, 0), B1 = (0, 2), B2 = (0,−2), C = (0, 0) e y¯ = 0.
Ale´m disso, como a2 = 16 e b2 = 4, enta˜o c2 = a2 − b2 = 12 c>0=⇒ c = 2√3, portanto os focos,
nestas coordenadas, sa˜o os pontos F1 = (2
√
3, 0) e F2 = (−2
√
3, 0).
4
(b) Portanto, em coordenadas x e y temos:
C = (0 cos θ − 0 sen θ,−0 sen θ + 0 cos θ) = (0, 0)
F1 = (2
√
3 cos θ − 0 sen θ, 2√3 sen θ + 0 cos θ) =
(
2
√
3×
√
3
2
, 2
√
3× 1
2
)
= (3,
√
3)
F2 = (−2
√
3 cos θ − 0 sen θ,−2√3 sen θ + 0 cos θ) =
(
−2√3×
√
3
2
,−2√3× 1
2
)
= (−3,−√3)
y¯ = 0⇐⇒ −x sen θ + y cos θ = 0⇐⇒ −1
2
x+
√
3
2
y = 0⇐⇒ −x+√3y = 0⇐⇒ x = √3y.
Logo, em coordenadas Oxy temos: C = (0, 0) centro, focos F1 = (3,
√
3) e F2 = (−3,−
√
3) e reta
focal x =
√
3y.
4.a Questa˜o. (2 pontos) Seja Q a superf´ıcie qua´drica de equac¸a˜o reduzida:
x2
4
− y
2
16
− z
2
4
= 1.
Determine as seguintes intersecc¸o˜es:
(a) Q∩ {x = 2}; (b) Q∩ {y = 2}; (c) Q∩ {x = −√29}.
5
Que qua´drica e´ esta?
Soluc¸a˜o:
(a) Para Q∩ {x = 2} temos:
22
4
− y
2
16
− z
2
4
= 1⇐⇒ 1− y
2
16
− z
2
4
= 1⇐⇒ y
2
16
+
z2
4
= 0⇐⇒
{
y = 0
z = 0
Portanto, Q∩ {x = 2} e´ o ponto (2, 0, 0).
(b) Para Q∩ {y = 2} temos:
x2
4
− 2
2
16
− z
2
4
= 1⇐⇒ x
2
4
− z
2
4
= 1 +
1
4
=
5
4
⇐⇒ x
2
5
− z
2
5
= 1.
Portanto, Q∩ {y = 2} e´ a hipe´rbole:

x2
5
− z
2
5
= 1
y = 2
(c) Para Q∩ {x = −√29} temos:
(−√29)2
4
− y
2
16
− z
2
4
= 1⇐⇒ 29
4
− y
2
16
− z
2
4
= 1⇐⇒ y
2
16
+
z2
4
=
29
4
− 1 = 25
4
⇐⇒ y
2
100
+
z2
25
= 1.
Portanto, Q∩ {x = −√29} e´ a elipse:

y2
102
+
z2
52
= 1
x = −√29
Essa qua´drica e´ um hiperbolo´ide de duas folhas.
6