GEOMETRIA ANALÍTICA - (21 06 2016)

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Prefácio 
 Trata-se de uma grande honra e orgulho para mim ter recebido uma 
impressionante resposta às edições antigas desse livro. De certo modo, 
isso me inspirou a revisar esse livro completamente. Fiz todos os esforços 
possíveis para retirar todos os erros de impressão da versão antiga. O livro 
agora está de forma tal que os estudantes sentirão mais facilidade, 
enquanto passam pelos problemas que irão clarear seus conceitos 
também. Sugestões valiosas de estudantes e professores são bem-vindas 
e essas terão seus devidos lugares nas próximas edições. 
 
Dr. SK Goyal 
 
Sumário 
 
 
1. Coordenadas e sistema de coordenadas .................................. 3 – 115 
2. Linhas retas ............................................................................116 – 314 
3. Pares de retas ........................................................................315 – 396 
4. Circunferência ........................................................................397 – 622 
5. Parábola .................................................................................623 – 788 
6. Elipse ......................................................................................789 – 938 
7. Hipérbole .............................................................................939 – 1.079 
COORDENADAS E SISTEMAS DE COORDENADAS 1 
 
 1.1 INTRODUÇÃO 
O grande filósofo e matemático francês Rane Descartes (1596 – 1665) 
publicou um livro “La Geometric” em 1637. Descartes introduziu uma nova 
ideia, i.e., cada ponto em um plano é expresso por um par ordenado de 
números reais como    x,y , r, etc, denominado de coordenadas do ponto. O 
ponto  x,y é denominado de coordenada cartesiana e  r, é denominado de 
coordenada polar do ponto. Assim, podemos representar diferentes formas de 
equações para todos os tipos de retas e curvas. 
Portanto, a Coordenada Geométrica (ou Analítica Geométrica) é o ramo da 
matemática no qual os problemas geométricos são resolvidos com auxílio de 
Álgebra. 
 
 1.2 EIXOS COORDENADOS 
A posição de um ponto no plano é determinada em relação a duas retas que 
se intersectam, chamadas de eixos coordenados e o ponto de intersecção 
entre essas é denominado de origem das coordenadas. Se esses dois eixos 
de referência (geralmente chamados de eixos x e y) cortam um ao outro em 
um ângulo de 90º, eles são chamados de eixos retangulares, caso contrário 
são chamados de eixos oblíquos. Os eixos dividem o plano coordenado em 
quatro quadrantes. 
 
 
 1.3 COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES DE UM PONTO 
Sejam X’OX e Y’OY dois eixos perpendiculares no plano do papel que se 
intersectam em O. Seja P um ponto qualquer no plano do papel. Desenhe PM 
perpendicular a OX. Assim, os comprimentos OM e PM são denominados de 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
4 
coordenadas cartesianas retangulares ou, 
resumidamente, de coordenadas de P. 
Seja OM x e MP y . 
Assim, a posição do ponto P no plano em relação 
aos eixos coordenados é representada pelo par 
ordenado  x,y . O par ordenado  x,y é chamado 
de coordenadas do ponto P. 
i.e., OM é a coordenada x ou abcissa do ponto P 
e MP é a coordenada y ou ordenada do ponto P. 
 
Observação: 
1. A ordenada de qualquer ponto sobre o eixo x é 0. 
2. A abcissa de qualquer ponto sobre o eixo y é 0. 
3. A abcissa e ordenada da origem  O 0,0 são ambas nulas. 
4. A abcissa e ordenada de um ponto são as distâncias perpendiculares do 
ponto aos eixos x e y. 
5. Tabela de conversão de sinais das coordenadas 
 
Quadrantes XOY (I) X’OY (II) X’OY’ (III) XOY’ (IV) 
Sinal da 
coordenada x + - - + 
Sinal da 
coordenada y + + - - 
Sinal de  x,y   ,   ,   ,   , 
 
6. Equação do eixo x é y 0 e a equação do eixo y é x 0 . 
 
 1.4 COORDENADAS POLARES DE UM PONTO 
Seja OP r (raio vetor) e   XOP (ângulo vetorial). 
Então, o par ordenado de números reais  r, é denominado de coordenadas 
polares do ponto P. 
 Nota. 
1. r pode ser positivo ou negativo, 
dependendo se  está medido no sentido 
horário ou antihorário.  situa-se entre  
e  , i.e.,      . Se é maior do que  , 
subtraímos 2 dele, e se for menor que 
 , adicionamos 2 a ele. Também é 
conhecido como o valor principal de P. 
2. Sempre tome  em radianos. 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
5 
Exemplo 1 Desenhe as coordenadas polares               
     
2, , 2, , 2,
3 3 3
 e 
  
 
2,
3
 no plano. 
 
Solução. 
 
 
Exemplo 2 Desenhe a coordenada polar   
 
53,
4
 no plano. 
 
Solução. Seja    5
4
, 
assim        5 32 2
4 4
 
 
 
 
 
53,
4
 é igual a 
  
 
33,
4
. 
 
 1.5 RELAÇÃO ENTRE COORDENADAS POLAR E CARTESIANA 
 
Seja  P x,y a coordenada cartesiana relativa aos 
eixos OX e OY e  r, sua coordenada polar em 
relação à origem O e a reta OX. 
É fácil ver na figura que 
  OM x r cos (1) 
e 
  MP y r sen (2) 
 
Elevando cada equação ao quadrado e somando (1) e (2), obtemos 
   2 2 2 2 2x y r ou r x y 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
6 
Dividindo (2) por (1), temos 
 
ytg
x
 
ou 
     
 
1 ytg
x
 
i.e., 
     r cos ,r sen x,y (3) 
e 
  
   
 
2 2 1 yx y , tg r,
x 
(4) 
 
Se r e  são conhecidos, então podemos encontrar  x,y de (3) e se x e y 
são conhecidos, podemos encontrar  r, de (4). 
      
 
1 ytg
x
. 
Se      
 
1 ytg
x
, 
 
então os valores de  nos quatro quadrantes serão 
Quadrante I II III IV 
         
 
Exemplo 1 Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos cujas 
coordenadas polares são 
(i)      
  
1 45, tg
3
 (ii) 
 
 
 
5 2,
4
 
 
Solução. (i) Sejam        
 
1 4r 5, tg
3
. 
Agora,         
  
1 4x r cos 5cos tg
3
 
      
  
1 45cos tg
3
          
  
1 3 35 cos cos 5 3
5 5
 
e         
  
1 4y r.sen 5sen tg
3
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
7 
     
  
1 45sen tg
3
       
  
1 4 45sen sen 5 4
5 5
. 
Assim, as coordenadas cartesianas do ponto dado serão  3,4 . 
(ii) Sejam   r 5 2,
4
. 
Agora, 
       
 
1x r cos 5 2cos 5 2 5
4 2
 
e 
       
 
1y r sen 5 2 sen 5 2 5
4 2
. 
Logo, as coordenadas cartesianas do ponto dado serão  5,5 . 
 
Exemplo 2 Encontre as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas 
cartesianas são 
(i)   2, 2 (ii)  3,4 
 
Solução. (i) Sejam   x 2, y 2 
     2 2r x y 4 4 2 2 
e         

1 1 1y 2tg tg tg 1
x 2 4
. 
Já que o ponto   2, 2 situa-se no terceiro quadrante, 
 
          
3
4 4
. 
Assim, as coordenadas polares do ponto dado serão 
  
 
32 2,
4
. 
 
Observação. Se encontrarmos  , da equação 

   

y 2tg 1
x 2
, 
então  
4
 e            
 
1 1x,y r cos , r sen 2 2 , 2 2
2 2
 
       2,2 2, 2 . 
 
(ii) Sejam   x 3, y 4 
    2 2r x y 9 16 5 
e            
1 1 1y 4 4tg tg tg
x 3 3
. 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
8 
Já que o ponto  3,4 situa-se no segundo quadrante, 
        
 
1 4tg
3
. 
Assim, as coordenadas polares do ponto dado serão      
  
1 45, tg
3
. 
 
Exemplo 3 Transforme a equação  2 2r a cos2 na forma cartesiana. 
 
Solução.  2 2r x y e      
 
1 ytg
x
 
ou   2 2 2r x y e   ytg x . 
Sendo que 
     
   
2
2 2 2
2
1 tgr a cos2 a
1 tg
 
ou  
 
 
    
  
 
2
22 2 2
2
2
y1
xx y a
y1
x
 
ou      22 2 2 2 2x y a x y . 
Que é a equação na forma cartesiana. 
 
Solução alternativa. 2 2r a cos2 
ou     2 2 2 2r a cos sen 
     x r cos e y r sen 
e  2 2 2r x y 
então 
 
  
 
 
2 2
2 2
2 2
x yr a
r r
 
ou   4 2 2 2r a x y 
ou      22 2 2 2 2x y a x y . 
 
Exemplo 4 Transforme a equação  2 2x y ax na forma polar. 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
9 
Solução.     x r cos , y r sen 
Já que  2 2x y ax , 
   2r a r cos ou  r acos . 
Que é a equação na forma polar procurada. 
 
EXERCÍCIOS INTRODUTÓRIOS 1.1 
 
 A. Objetivas 
 
Questão 1 
As coordenadas polares do ponto cujas coordenadas cartesianas são   1, 1 
são: 
(a) 
 
 
 
2,
4
; (b) 
 
 
 
32,
4
; (c) 
  
 
2,
4
; (d) 
  
 
32,
4
. 
 
Questão 2 
As coordenadas cartesianas do ponto de coordenadas polares 
     
  
1 513, tg
12
 são: 
(a)  12,5 ; (b)  12,5 ; (c)   12, 5 ; (d)  12, 5 . 
 
Questão 3 
A equação   2 2 2r cos a cos2 transformada na forma cartesiana é 
   2 2 2 2x y x a , então, o valor de  é: 
(a) 2 2y x ; (b) 2 2x y ; (c) xy ; (d) 2 2x y . 
 
Questão 4 
As coordenadas de P’ na figura é: 
(a) 
 
 
 
3,
3
; 
(b) 
  
 
3,
3
; 
(c) 
   
 
3,
3
; 
(d) 
  
 
3,
3
. 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
10 
Questão 5 
As coordenadas cartesianas do ponto Q na figura é: 
(a)  3,1 ; 
(b)   3,1 ; 
(c)   3, 1 ; 
(d)  3, 1 . 
 
 
 
 B. Subjetivas 
1. Um ponto situa-se no eixo x a uma distância de 5 unidades do eixo y. 
Quais as suas coordenadas? 
2. Um ponto situa-se no eixo a uma distância de 4 unidades do eixo x. Quais 
as suas coordenadas? 
3. Um ponto situa-se na direção negativa do eixo x a uma distância de 6 
unidades do eixo y. Quais as suas coordenadas? 
4. Transforme a equação y = x.tg na forma polar. 
5. Transforme a equação r = 2a cos na forma cartesiana. 
 
 1.6 Distância entre dois pontos 
Teorema: A distância entre dois pontos 
 1 1P x ,y e  2 2Q x ,y é dada por 
      2 22 1 2 1PQ x x y y . 
Prova. Sejam  1 1P x ,y e  2 2Q x ,y dos pontos 
quaisquer no plano. Vamos supor que os 
pontos P e Q estão ambos situados no primeiro 
quadrante (por uma questão de rigor). 
De P e Q, desenhe RL e QM perpendiculares 
ao eixo x. De P, desenhe PR perpendicular à 
QM e ligue com PQ. Assim 
   1 2 1 2OL x , OM x , PL y , QM y 
    2 1PR LM OM OL x x 
e      2 1QR QM RM QM PL y y . 
Já que PRQ é um triângulo retângulo, pelo teorema de Pitágoras segue que 
      2 2 2PQ PR QR 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
11 
     2 2PQ PR QR (PQ é sempre positivo) 
       2 22 1 2 1x x y y 
 
 A distância PQ entre os pontos  1 1P x , y e  2 2Q x , y é dada por 
     2 22 1 2 1x x y y 
ou    2 2diferença entre as coordenadas x diferença entre as coordenadas y 
ou    2 2diferença entre as abcissas diferença entre as ordenadas 
 
Notações: Devemos denotar a distância entre dois pontos P e Q do plano 
coordenado por PQ ou PQ . 
Corolário 1: A fórmula acima é verdadeira para qualquer posição dos pontos 
(i.e., se um ou ambos estão ou não no primeiro quadrante), sempre levando 
em consideração o sinal das coordenadas. 
Corolário 2: A distância do ponto  P x,y até a origem  O 0,0 é dada por 
        2 2 2 2OP x 0 y 0 x y . 
Corolário 3: A fórmula acima também pode ser usada como 
     2 21 2 1 2x x y y . 
Corolário 4: (i) Se PQ é paralelo ao eixo x, então 1 2y y e, portanto, 
    22 1 2 1PQ x x x x . 
(ii) Se PQ é paralelo ao eixo y, então 1 2x x e, portanto, 
    22 1 2 1PQ y y y y . 
Corolário 5: Se a distância entre dois pontos é dada, então use o sinal  . 
 Nota. 
1. Se três pontos    1 1 2 2A x ,y , B x , y e  3 3C x , y são colineares, então 
 AB BC AC . 
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
12 
2. Quando três pontos são dados e se pede: 
(i) um triângulo isósceles, mostre que dois dos seus lados (ou ângulos) são 
iguais. 
(ii) um triângulo equilátero, mostre que todos os seus lados são iguais ou 
que cada ângulo é 60º. 
(iii) um triângulo retângulo, mostre que a soma dos quadrados de dois lados 
é igual ao quadrado do terceiro. 
(iv) um triângulo retângulo isósceles, mostre que dois dos seus lados são 
iguais e que a soma dos quadrados dos dois lados iguais é igual ao 
quadrado do terceiro lado. 
(v) um triângulo escaleno, mostre que todos os lados são distintos. 
3. Quando quatro pontos são dados e se pede: 
(i) um quadrado, mostre que os quatro lados são iguais e que as diagonais 
também são iguais. 
(ii) um losango, mostre que os quatro lados são iguais e que as diagonais 
não são iguais. 
(iii) um retângulo, mostre que os lados opostos são iguais e que as diagonais 
também são iguais. 
(iv) um paralelogramo, mostre que os lados opostos são iguais e que as 
diagonais não são iguais. 
(v) um trapézio, mostre que dois lados são paralelos e os outros dois não. 
4. Se A, B, C são os vértices de um triângulo e temos que encontrar as 
coordenadas do circuncentro, então, seja  P x,y, esse circuncentro e use 
o fato de que 2 2PA PB e 2 2PA PC , isso irá lhe fornecer duas equações 
em x e y. Resolva-as e encontre  x,y . 
 
 Nota importante para as Questões Objetivas 
Se  1 1x ,y e  2 2x , y são dois vértices de um triângulo equilátero, então, o 
terceiro vértice é expresso por: 
        
  
 
1 2 2 1 1 2 2 1x x 3 y y y y 3 x x,
2 2
 
 
Exemplo 1 Prove que a distância do ponto  acos , asen  até a origem 
independe de . 
Solução. Sejam  P acos , asen   e  O 0,0 , 
assim    2 2OP a cos 0 a sen 0      
 2 2 2 2a cos a sen     2 2 2a cos sen    2a a , 
que independe de  . 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
13 
Exemplo 2 Encontre a distância entre os pontos  acos , asen  e 
 acos ,asen  , onde a 0 . 
 
Solução. Sejam,  P acos , asen   e  Q acos , asen   , 
assim    2 2PQ a cos acos a sen a sen        
    2 22a cos cos sen sen        
 2 2 2 2 2a cos cos 2cos cos sen sen 2sen .sen              
  2a 1 1 2 cos cos sen .sen        
  2a 2 2cos       22a 1 cos     2 22a 2sen
2
         
 
2 24a sen
2
    
 
2a.sen
2
    
 
 2a sen a 0
2
     
 
. 
 
Exemplo 3 Se o ponto  x,y é equidistante dos pontos  6, 1 e  2,3 , prove 
que x y 3  . 
 
Solução. Sejam    P x,y ,A 6, 1   e  B 2,3 . 
Das condições dadas, PA PB 
        2 2 2 2x 6 y 1 x 2 y 3        
       2 2 2 2x 6 y 1 x 2 y 3      
2 2 2 2x 12x 36 y 2y 1 x 4x 4 y 6y 9           
8x 8y 24   x y 3  . 
 
Exemplo 4 Usando a fórmula da distância, mostre que os pontos    1,5 , 2,4 e 
 3,3 são colineares. 
Solução. Sejam    A 1,4 ,B 2,4  e  C 3,3 os pontos dados, assim 
   2 2AB 1 2 5 4 2     
   2 2BC 2 3 4 3 2     
   2 2AC 1 3 5 3 2 2     . 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
14 
Claramente, AB BC 2 2 2 2 AC     . 
Assim, A, B e C são colineares. 
 
Exemplo 5 Um triângulo equilátero tem um vértice no ponto  0,0 e outro em 
 3, 3 . Encontre as coordenadas do terceiro vértice. 
 
Solução. Sejam  O 0,0 e  A 3, 3 os 
pontos dados e seja  B x,y o ponto 
procurado. Assim 
OA OB AB  
      2 2 2OA OB AB   
        22 2 23 0 3 0 x 0 y 0        
   22x 3 y 3    
 2 2 2 212 x y x y 6x 2 3y 12        
Tomando os dois primeiros membros, temos 
2 2x y 12  (1) 
e tomando os dois últimos temos: 
 6x 2 3y 12 ou y 3 2 x    (2) 
De (1) e (2), obtemos que 
 22 2x 3 2 x 12 ou 4x 12x 0     
x 0,3 . 
Substituindox 0,3 em (2), obtemos que y 2 3, 3  . 
Assim, as coordenadas do terceiro vértice B são  0,2 3 ou  3, 3 . 
Método rápido: De acordo com a nota importante: 
   1 2 2 1 1 2 2 1x x 3 y y y y 3 x x,
2 2
     
  
 

 
i.e., 
   0 3 3 3 0 0 3 3 3 0,
2 2
      
 
 

 
3 3 3 3 3,
2 2
 
  
 
 
 0,2 3 ou  3, 3 . 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
15 
Exemplo 6 Mostre que os quatro pontos      1, 2 , 3,6 , 5,10 e  3,2 são os 
vértices de um paralelogramo. 
 
Solução. Sejam        A 1, 2 , B 3,6 , C 5,10 , D 3,2     os pontos dados. 
Assim, 
   2 2AB 1 3 2 6 4 64 2 17        
   2 2BC 3 5 6 10 4 16 2 5       
   2 2CD 5 3 10 2 4 64 2 17       
   2 2AD 1 3 2 2 4 16 2 5        
   2 2AC 1 5 2 10 16 144 4 10        
e    2 2BD 3 3 6 2 4     . 
 
Claramente, AB CD , BC AD  e AC BD . 
Logo, ABCD é um paralelogramo. 
 
Exemplo 7 Sejam  3,4 e  1, 1 dois pontos opostos por ângulos em um 
quadrado. Encontre as coordenadas dos pontos restantes. 
 
Solução. Sejam  A 3,4 e  C 1, 1 os pontos dados do quadrado ABCD e seja 
 B x,y o vértice desconhecido. Assim, 
AB BC 
   2 2AB BC  
       2 2 2 2x 3 y 4 x 1 y 1        
4x 10y 23 0    
23 10yx
4
    
 
 (1) 
No ABC , 
     2 2 2AB BC AC  
           2 2 2 2 2 2x 3 y 4 x 1 y 1 3 1 4 1            
2 2x y 4x 3y 1 0      (2) 
 
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
16 
Substituindo o valor de x de (1) em (2), obtemos 
2
223 10y 23 10yy 4 3y 1 0
4 4
           
   
 
   24y 12y 5 0 ou 2y 1 2y 5 0       
1 5y ou y
2 2
   . 
Substituindo 1y
2
 em (1), obtemos 9x
2
 , e substituindo 5y
2
 em (1), 
obtemos 1x
2
  . 
Assim, os vértices procurados do quadrado são 
9 1,
2 2
 
 
 
 e 
1 5,
2 2
  
 
. 
 
Exemplo 8 Encontre o circuncentro do triângulo cujos vértices são 
   2, 3 , 1,0   e  7, 6 . Além disso, encontre o raio do circuncírculo. 
 
Solução. Sejam    A 2, 3 , B 1,0     e  C 7, 6  . Seja  P x,y o 
circuncentro do ABC . 
Como P é circuncentro, 
PA PB PC  
     2 2 2PA PB PC   
       2 2 2 2x 2 y 3 x 1 y 0       
    2 2x 7 y 6    
2 2 2 2x y 4x 6y 13 x y 2x 1         
 2 2x y 14x 12y 85     
Tomando os dois primeiros membros, obtemos 
x 3y 6 0   (1) 
e tomando os primeiro e o último membro, obtemos 
3x y 12 0   (2) 
Resolvendo (1) e (2), encontramos que 
x 3, y 3   . 
Assim, o circuncentro é  3, 3 . 
O circunraio será    2 2PB 3 1 3 0     16 9 5 unidades   . 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
17 
Exemplo 9 Se o segmento de reta que une os pontos  A a,b e  B c,d 
subentende um ângulo  na origem, prove que 
   2 2 2 2
a.c b.dcos
a b c d

 
 
 
ou 
 OA OBcos a.c b.d    . 
 
Solução. Sejam 1OA r e 2OB r . Agora, 
 2 21r OA a b   (1) 
e  2 22r OB c d  
 
 (2) 
Além disso,    2 2AB a c b d    
2 2 2 2a b c d 2a.c 2b.d      
  
2 2
1 2r r 2 a.c b.d    (de (1) e (2)). 
Usando a lei dos cossenos no AOB 
     2 2 2OA OB ABcos
2 OA OB
 
 
 
  2 2 2 21 2 1 2
1 2
r r r r 2 a.c b.d
2.r .r
    
 
   
1 2 1 2
2 a.c b.d a.c b.d
2.r .r r .r
 
  (3) 
 
 
   2 2 2 2
a.c b.d
a b c d


 
 (de (1) e (2)) 
 
   2 2 2 2
a.c b.d
a b c d


 
. 
Também de (3), 
1 2r .r .cos a.c b.d ou OA.OB.cos a.c b.d      . 
 
 1.7 ESCOLHA DOS EIXOS 
Por simplificação, cuidadosamente escolhemos os eixos ou a origem. 
Algumas situações são dadas abaixo: 
(i) Se duas retas são perpendiculares, então o ponto de intersecção é 
tomado como origem e essas retas devem ser tomadas como os eixos 
coordenados. 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
18 
(ii) Se dois pontos fixos A e B são dados, então tomamos AB 2a e o ponto 
médio de AB como origem ‘O’, a reta AOB como eixo x e a reta 
perpendicular a AB passando por O como eixo y. Assim, as coordenadas 
dos pontos fixos são  a,0 . Analogamente, se AOB é o eixo y e a reta 
perpendicular a AB passando por O é tomada como eixo x, as 
coordenadas dos pontos fixos são  0, a . 
(iii) Se há uma simetria de qualquer tipo, então, tome as coordenadas dos 
pontos de modo geral, i.e.,  i ix ,y , i 1,2,3,... etc. 
 
Exemplo 1 Mostre que o triângulo cujas coordenadas dos vértices são dadas 
por inteiros nunca pode ser um triângulo equilátero. 
 
Solução. Sejam    A 0,0 ,B a,0  e  C b,c os vértices dos triângulo 
equilátero ABC, onde a, b, c são inteiros. Assim, 
AB BC CA       
2 2 2AB BC CA    22 2 2 2a a b c b c      . 
Dos dois primeiros membros, obtemos 
2 2b c 2a.b  (1) 
e tomando o primeiro e o terceiro temos 
 2 2 2b c a  (2) 
De (1) e (2) temos que  a 2b a 0  . 
De (2),  22 2b c 2b  
ou 2 2c 3b 
ou c b 3  , 
 
o que é impossível, já que b e c são inteiros. 
 
Exemplo 2 Para qualquer triângulo ABC, mostre que 
 2 2 2 2AB AC 2 AD BD   , 
onde D é o ponto médio de BC. 
 
Solução. Seja D a origem e DC e DY os eixos 
x e y, respectivamente. Seja BC 2a , assim 
   B a,0 ,C a,0   e seja  A b,c . 
Agora, 
2 2Lado esquerdo da equação AB AC  
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
19 
       2 2 2 2b a c 0 b a c 0        
 2 2 22 a b c   (1) 
e 
 2 2Lado direito da equação 2 AD BD  
     2 2 22 b 0 c 0 a      2 2 22 a b c   (2) 
De (1) e (2), obtemos 
 2 2 2 2AB AC 2 AD BD   . 
 
Exemplo 3 Seja ABCD um retângulo e P um ponto qualquer no seu plano. 
Mostre que 
2 2 2 2PA PC PB PD   . 
 
Solução. Sejam A a origem e AB e AD os 
eixos x e y, respectivamente. Sejam AB a e 
AD b , então,    B a,0 , D 0,b  e  C a,b . 
Seja  P ,   . Agora, 
2 2LHS PA PC  
       2 2 2 20 0 a b            
2 2 2 22 2 2a. 2b. a b          (1) 
e 
2 2RHS PB PD         2 2 2 2a 0 0 b            
 2 2 2 22 2 2a. 2b. a b          (2) 
De (1) e (2) segue que 
2 2 2 2PA PC PB PD   . 
 
 1.8 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS EM COORDENADAS POLARES 
Sejam O o pólo e OX a reta inicial. Sejam P 
e Q dois pontos dados cujas coordenadas 
polares são  1 1r , e  2 2r , , 
respectivamente. 
Assim, 1 2OP r ,OQ r  
e 1 2POX , QOX      
 1 2POQ     . 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
20 
Usando a lei dos cossenos no POQ , 
          
2 2 2OP OQ PQ
cos POQ
2 OP OQ
 
  ,    
22 2
1 2
1 2
1 2
r r PQ
cos
2r .r
 
    
  2 21 2 1 2 1 2PQ r r 2r .r cos      . 
 Nota. Sempre tomando 1 e 2 em radianos. 
 
Exemplo 1 Prove que os pontos  0,0 , 3,
2
 
  
 e 3,
6
 
  
 são os vértices de um 
triângulo equilátero. 
Solução. Sejam  A 0,0 ,B 3,
2
     
 e C 3,
6
    
. 
Como as coordenadas dadas estão na forma polar, 
2 2AB 0 3 2 0 3cos 0 3 unidades
2
          
  
 
2 2BC 3 3 2 3 3cos
2 6
          
  
18 18sen 18 9 3 unidades
6
      
 
 
e 
2 2CA 3 0 2 3 0cos 0 3 unidades
6
          
  
 
AB BC CA   
Logo, os pontos A, B, C são os vértices de um triângulo equilátero. 
Solução alternativa. 
BAX
2

  
e CAX
6

  
BAC
2 6 3
  
     
No ABC , AB AC , ACB ABC    
3

       
ou 
3

  . 
Logo, AB BC CA  . 
GEOMETRIAANALÍTICA 
 
21 
EXERCÍCIOS INTRODUTÓRIOS 1.2 
 
 A. Objetivas 
 
Questão 1 
Se a distância entre os pontos  a,2 e  3,4 é 8, então a  
(a) 2 3 15 ; (b) 2 3 15 ; (c) 2 3 15 ; (d) 3 2 15 . 
 
Questão 2 
Os três pontos    2,2 , 8, 2  e  4, 3  são os vértices de: 
(a) um triângulo isósceles; (c) um triângulo retângulo; 
(b) um triângulo equilátero; (d) n.d.a 
 
Questão 3 
A distância entre os pontos 3,
4
 
  
 e 57,
4
 
  
 é: 
(a) 8; (b) 10; (c) 12; (d) 14. 
 
Questão 4 
Sejam    A 6, 1 ,B 1,3 e  C x,8 três pontos tais que AB BC . Então, o valor de 
x é: 
(a) 3, 5; (b) -3, 5 (c) 3, -5; (d) -3, -5. 
 
Questão 5 
Os pontos    a 1,1 , 2a 1,3  e  2a 2,2a são colineares se: 
(a) a 1,2  ; (b) 1a ,2
2
 ; (c) a 2,1 ; (d) 1a ,2
2
  . 
 
Questão 6 
 A 3,4 e B é um ponto variável sobre as retas x 6 . Se AB 4 , então o 
número de posições de B com coordenadas inteiras é: 
(a) 5; (b) 6; (c) 10; (d) 12. 
 
Questão 7 
O número de pontos sobre o eixo x os quais estão a uma mesma distância de 
c unidades  c 3 de  2,3 é: 
(a) 1; (b) 2; (c) 0; (d) 3. 
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
22 
Questão 8 
O ponto sobre o eixo y que é equidistante de  1,2 e  3,4 é: 
(a)  0,3 ; (b)  0,4 ; (c)  0,5 ; (d)  0, 6 . 
 
 
 
 B. Subjetivas 
1. Encontre a distância entre os pontos  21 1at ,2at e  22 2at ,2at , onde 1t e 2t 
são as raízes da equação 2x 2 3x 2 0   e a 0 . 
2. Se  2 2a 2aP at ,2at , Q , tt
 
 
 
 e  S a,0 são três pontos quaisquer, mostre que 
1 1
SP SQ
 é independente de t. 
3. Prove que os pontos    3,4 , 8, 6 e  13,9 são os vértices de um triângulo 
retângulo. 
4. Mostre que os pontos      0, 1 , 6,7 , 2,3  e  8,3 são os vértices de um 
retângulo. 
5. Encontre o circuncentro e o circunraio do triângulo cujos vértices são 
   2,3 , 2, 1  e  4,0 . 
6. Os vértices de um triângulo são    A 1,1 ,B 4,5 e  C 6,13 . Encontre cosA . 
7. Dois vértices opostos de um quadrado são  2,6 e  0, 2 . Encontre as 
coordenadas dos outros vértices. 
8. Se o ponto  x,y é equidistante dos pontos  a b,b a  e  a b,a b  , prove 
que b.x a.y . 
9. Se a e b são números reais entre 0 e 1 tais que os pontos    a,1 , 1,b e 
 0,0 formam um triângulo equilátero, encontre a e b. 
10.Um triângulo equilátero tem um vértice em  3,4 e outro em  2,3 . 
Encontre as coordenadas do terceiro vértice. 
11. Se P é um ponto qualquer no plano do quadrado ABCD, prove que 
2 2 2 2PA PC PB PD   . 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
23 
 1.9 DIVISÃO DE SEGMENTOS 
Definição: Se P é um ponto qualquer sobre a 
reta AB entre A e B, então dizemos que P 
divide o segmento AB internamente na razão 
AP:PB. 
Além disso, se P é um ponto qualquer sobre a 
reta AB mas não entre A e B (P pode estar à 
direita ou à esquerda dos pontos A e B), então 
P divide AB externamente na razão AP:PB. 
 
 Nota. Positivo, na divisão internaAP
Negativo, na divisão externaPB

 

 
 
(1) Fórmula para divisão interna 
Teorema: Se o ponto  P x,y divide o segmento de reta que liga os pontos 
 1 1A x ,y e  2 2B x ,y internamente na razão m : n , então prove que 
2 1 2 1mx nx my nyx , y
m n m n
 
 
 
. 
 
Prova. Os pontos dados são  1 1A x ,y e 
 2 2B x ,y . Vamos supor que os pontos A e 
B estão ambos situados no primeiro 
quadrante (por uma questão de rigor). Já 
que  P x,y divide AB internamente na 
razão m : n , i.e., AP : PB m : n . De A, B e 
P, desenhamos AL, BM e PN 
perpendiculares ao eixo x. De A e P 
desenhamos AH e PJ perpendiculares a 
PN e BM, respectivamente. Assim 
1 2 1OL x , ON x, OM x , AL y , PN y     e 
2BM y . 
1AH LN ON OL x x     , 2PJ NM OM ON x x     , 
1PH PN HN PN AL y y      , 2BJ BM JM BM PN y y      . 
 
Claramente, os triângulos AHP e PJB são semelhantes e, portanto, seus 
lados estão na proporção 
AH PH AP
PJ BJ PB
 
1 1
2 2
x x y y m
x x y y n
(i) (ii) (iii)
 
  
  
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
24 
 
De (i) e (iii), temos 
1
2
x x m
x x n


 1 2
n.x n.x m.x m.x      2 1m n x m.x n.x    2 1
m.x n.xx
m n

 

, 
e de (ii) e (iii), temos 
1
2
y y m
y y n


 1 2
n.y n.y m.y m.y      2 1m n y m.y n.y    2 1
m.y n.yy
m n

 

. 
Portanto, as coordenadas de P são 2 1 2 1m.x n.x m.y n.y,
m n m n
  
   
. 
Corolário 1: A fórmula acima é verdadeira para todas as posições dos pontos 
(i.e., se um ou ambos pontos estão ou não no 1º quadrante), sempre levando 
em conta os sinais das coordenadas. 
Corolário 2: Se P é o ponto médio de AB, então m n e as coordenadas do 
ponto médio são 
1 2 1 2x x y y,
2 2
  
 
 
. 
 Notas. 
1. Se  P ,  é o ponto médio de AB e se as coordenada de A são  ,  , 
então as coordenadas de B são  2 , 2    , i.e., (dobro da coordenada 
x do ponto médio – cordenada x do ponto dado, dobro da coordenada y do 
ponto médio – coordenada y do ponto dado). 
2. O diagrama a seguir irá ajudá-lo a lembrar a fórmula. 
 
3. Para encontrar a razão, use a razão :1 , assim as coordenadas de P são 
1 2 1 2x x y y,
1 1
    
     
. Se  é positivo, então ele divide internamente e se 
 é negativo então divide externamente. 
4. A linha reta ax by c 0   divide a 
união dos pontos  1 1A x ,y e 
 2 2B x ,y na razão 
AP
PB 1


 
 
1 1
2 2
ax by c
ax by c
 
 
 
. 
 Se a razão é positiva, então divide 
internamente e se a razão é 
negativa, então divide externamente. 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
25 
Prova. As coordenadas de P são 1 2 1 2x x y y,
1 1
    
     
. Como P situa-se na 
reta ax by c 0   , então 
1 2 1 2x x y ya b c 0
1 1
      
           
 
   1 1 2 2ax by c ax by c 0        
 
 
1 1
2 2
ax by c
1 ax by c
 
 
 
. 
5. A reta que une os pontos  1 1x ,y e  2 2x ,y é dividida pelo eixo x na razão 
1
2
y
y
 e pelo eixo y na razão 1
2
x
x
 . 
6. No quadrado, losango, retângulo e paralelogramo as diagonais bissectam 
uma a outra. 
 
Exemplo 1 Encontre as coordenadas do ponto que divide na razão 3 :1 o 
segmento de reta unindo os pontos  5, 2 e  9,6 . 
Solução. Seja  x,y o ponto procurado, então 
 3 6 1 23 9 1 5x 8 e y 4
3 1 3 1
       
           
. 
Logo, as coordenadas do ponto procurada são  8,4 . 
 
Exemplo 2 Encontre o comprimento da mediana partindo de A do triângulo 
cujos vértices são    A 1,3 ,B 1, 1  e  C 5,1 . 
 
Solução. Seja D o ponto médio de 
BC, então, as coordenadas de D são 
1 5 1 1,
2 2
   
  
, i.e.,  3,0 . A mediana 
AD tem comprimento 
   2 2AD 3 1 0 3    
16 9 25   5 unidades . 
 
Exemplo 3 Determine a razão na qual y x 2 0   divide a reta unindo  3, 1 
e  8,9 . 
 
Solução. Suponha que a reta y x 2 0   divide o segmento de reta unindo 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
26 
 A 3, 1 e  B 8,9 na razão :1 no ponto P. Assim, as coordenadas de P são 
8 3 9 1,
1 1
    
     
. 
Como P encontra-se na reta y x 2 0   , temos 
9 1 8 3 2 0
1 1
      
            

 
9 1 8 3 2 2 0         
23 2 0
3
      . 
Logo, a razão procurada é 2 :1
3
, i.e., 2: 3 (internamente), já que  é positivo. 
Método rápido: De acordo com a Nota 4: 
1 3 2 2
9 8 2 3
          
:1 2 : 3   
 
Exemplo 4 As coordenadas de três vértices consecutivos de um 
paralelogramo são    1,3 , 1,2 e  2,5 . Encontre as coordenadas do 4º 
vértice. 
 
Solução. Seja  D ,  o quarto vértice. Já 
que ABCD é um paralelogramo, as 
diagonais bissectam uma a outra, i.e., o 
ponto médio de BC é igual ao ponto 
médio de AC 
1 2 2 1 5 3, ,
2 2 2 2
             
 
1 2 3, ,4
2 2 2
            
. 
Igualando abcissa com abcissa e ordenada com ordenada, obtemos 
1 3 1 3 4
2 2
 
        
e 
2 4 2 8 6
2
 
        . 
Assim, as coordenadas do 4º vértice  D ,  são  4,6 . 
 
Exemplo 5 Em que razão o eixo x divide o segmento de reta unindo  2, 3 e 
 5,6 ? 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
27 
Solução. Sejam  A 2, 3 e  B 5,6 os 
pontos dados. Considere que AB esteja 
divido internamente pelo eixo x em  P x,0 
na razão :1 . Analisando a ordenada de P, 
temos: 
 6 1 30
1
    

  

 
1
2
  . 
A razão é, portanto 1 :1
2
, i.e., 1: 2 
(internamente). 
Método rápido: De acordo com a Nota 5: 
 1
2
3y 1
1 y 6 2
 
    . 
A razão é, portanto, 1 :1
2
, i.e., 1: 2 (internamente). 
 
Exemplo 6 Os pontos médios dos lados de um triângulo são    1,2 , 0, 1 e 
 2, 1 . Encontre as coordenadas dos vértices do triângulo com ajuda de duas 
variáveis desconhecidas. 
 
Solução. Sejam    D 1,2 ,E 0, 1 e  F 2, 1 os pontos médios de BC, CA e AB, 
respectivamente. 
Seja  ,  as coordenadas de A, 
assim, as coordenadas de B e C 
são  4 , 2   e  , 2   , 
respectivamente (veja a Nota 1). 
Como D é ponto médio de B e C, 
então 
41
2
   
 
1 2 1     . 
e 
2 22
2
     
 
2 2 4       . 
Assim, as coordenadas de A, B e C são    1, 4 , 3,2 e  1, 2 , 
respectivamente. 
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
28 
Exemplo 7 Prove que em um triângulo retângulo o ponto médio da 
hipotenusa é equidistante dos seus vértices. 
 
Solução. Seja ABC o triângulo retângulo 
dado, com ângulo reto em B. Tomamos 
B como a origem e BA e BC são os eixos 
x e y, respectivamente. Seja BA a e 
BC b , assim,  A a,0 e  C 0,b . 
Seja M o ponto médio da hipotenusa AC, 
assim, as coordenadas de M são a b,
2 2
 
  
. 
Então, 
2 2 2 2a b a bAM a 0
2 2 2
          
   
 
2 2 2 2a b a bBM 0 0
2 2 2
          
   
 
e 
2 2 2 2a b a bCM 0 b
2 2 2
          
   
. 
Das relações acima, concluímos que AM BM CM  . 
 
Exemplo 8 Mostre que a reta unindo os pontos médios de quaisquer dois 
lados de um triângulo é metade do terceiro lado. 
 
Solução. Tomamos O como a 
origem e OC e OY como os eixos 
x e y, respectivamente. 
Seja BC = 2a, assim, 
   B a,0 ,C a,0   . Seja, também, 
 A b,c . Se E e F são os pontos 
médios dos lados AC e AB, 
respectivamente, 
então a b cE ,
2 2
    
 e 
b a cF ,
2 2
    
. Assim, 
2 2a b b a c cFE a
2 2 2 2
           
    
    1 12a BG
2 2
 . 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
29 
Logo, a reta unindo os pontos médios de quaisquer dois lados do triângulo é 
metade do terceiro lado. 
 
(2) Fórmula para divisão externa 
Teorema: Se o ponto  P x,y divide a reta unindo os pontos  1 1A x ,y e 
 2 2B x ,y externamente na razão m : n , então prove que 
2 1 2 1m.x n.x m.y n.yx , y
m n m n
 
 
 
. 
Prova. Os pontos dados são  1 1A x ,y e 
 2 2B x ,y . Vamos supor que os pontos A e 
B estão ambos situados no 1º quadrante 
(por uma questão de rigor). Seja  P x,y o 
ponto que divide AB externamente na razão 
m : n , assim, AP m
BP n
 . De A, B e P desenhe 
AL, BM e PN perpendiculares ao eixo x. 
Também, de A e B desenhe AR e BS 
perpendiculares a PN, assim, 
1AR LN ON OL x x      
2BS MN ON OM x x     
1PR PN RN PN AL y y      
e 2PS PN SN PN BM y y      . 
 
Claramente, os triângulos APR e BPS são semelhantes e, portanto, seus 
lados estão na proporção 
AP AR PR
PB BS PS
 
1 1
2 2
x x y ym
n x x y y
(i) (ii) (iii)
 
  
  
De (i) e (ii), temos 
1
2
x xm
n x x


 2 1
m.x m.x n.x n.x      2 1m n x m.x n.x    
2 1m.x n.xx
m n

 

. 
Também, de (i) e (iii), temos 
1
2
y ym
n y y


 2 1
m.y m.y n.y n.y      2 1m n y m.y n.y    
2 1m.y n.yy
m n

 

. 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
30 
Portanto, as coordenadas de P são 2 1 2 1m.x n.x m.y n.y,
m n m n
  
   
.  m n 
Corolário 1: A fórmula acima é verdadeira para todas as posições dos 
pontos, levando sempre em consideração os sinais das coordenadas. 
Corolário 2: As coordenadas acima também podem ser expressas como 
 
 
 
 
2 1 2 1m.x n .x m.y n .y,
m n m n
    
      
 
e isso pode interpretado como sendo as coordenadas do ponto que divide AB 
internamente na razão m : n 
 
Corolário 3: 
AP m
PB n
 
AP m1 1
PB n
   
AP PB m n
Pb n
 
 
AB m n
PB m

 . 
Agora podemos dizer que B divide AP internamente na razão  m n : n , i.e., 
 
 
1 2 1
2
m n .x n.x m.x n.x
x x
m n n m n
  
  
  
 
 
 
1 2 1
2
m n .y n.y m.y n.y
y y
m n n m n
  
  
  
. 
 
Corolário 4: (para provar que A, B e C são colineares) 
Se A, B e C são três pontos colineares, então, C divide AB internamente na 
razão :1 . 
Se    , é divisão interna. 
Se    , é divisão externa. 
 
 Nota. 
1. O diagrama a seguir irá ajudá-lo a lembrar a fórmula 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
31 
2. Seja m
n
  , assim, 2 1 2 1m.x n.x m.y n.y,
m n m n
  
   
 
2 1 2 1 2 1 2 1
m mx x y y x x y yn n, ou ,m m 1 11 1
n n
        
          
 
 
 
Exemplo 1 Encontre as coordenadas do ponto que divide externamente a 
reta unindo  1, 3 e  3,9 na razão 1:3. 
Solução. Seja  P x,y as coordenadas do ponto procurado. Assim, 
   1 3 3 1 1 9 3 3x e y
1 3 1 3
          
           
 
i.e., 
x 3 e y 9   . 
Assim, o ponto procurado é  3, 9 . 
 
Exemplo 2 O segmento de reta unindo os pontos  A 6,3 e  B 1, 4  tem seu 
comprimento dobrado ao se adicionar o seu comprimento nos extremos. 
Encontre as coordenadas dos novos extremos. 
 
Solução. Sejam P e Q os novos extremos 
procurados. Seja  1 1x ,y as coordenadas de P. Dado 
que 
AB 2AP 
AB 2
AP 1
  
i.e., A divide BP internamente na razão 2:1. 
 
Assim, 
 1
1 1
2 x 1 1 196 19 2x ou x
2 1 2
   
   

 
e 
 
 1
1 1
2 y 1 4 133 13 2y ou y
2 1 2
   
   

. 
As coordenadas de P são 19 13,
2 2
 
  
. 
Além disso, seja  2 2x ,y as coordenadas de Q. Dado que AB 2BQ , 
AB 2
BQ 1
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
32 
i.e., B divide AQ internamente na razão 2:1. 
Assim, 
2
2 2
2 x 1 6 91 9 2x ou x
2 1 2
  
      

 
e 
2
2 2
2 y 1 3 154 15 2y ou y
2 1 2
  
      

. 
As coordenadas de Q são 9 15,
2 2
    
. 
Método alternativo: AB 2AP 
AB 2
AP 1

 
 AB 21 1
AP 1
   
AB AP 3 BP 3
AP 1 AP 1

   
Ou seja, P divide AB externamente na razão 1:3. Assim, 
 
1
1 1 3 6 19x
1 3 2
   
 
 
e  1
1 4 3 3 13y
1 3 2
   
 

. 
As coordenadas de P são 19 13,
2 2
 
  
. 
Além disso, AB 2BQ 
AB 2
BQ 1

 

 
AB 21 1
BQ 1
  
 
 AB BQ 3
BQ 1


 
 AQ 3
BQ 1
 . 
Ou seja, Q divide AB externamente na razão 3:1. Assim, 
 
2
3 1 1 6 9x
3 1 2
   
  
 
e  2
3 4 1 3 15y
3 1 2
   
  

. 
As coordenadas de Q são 9 15,
2 2
    
. 
 
Exemplo 3 Usando a fórmula de divisão, mostre que os pontos    1, 1 , 2,1 e 
 4,5 são colineares. 
 
Solução. Sejam    A 1, 1 ,B 2,1   e  C 4,5 . Suponha 
que C divide AB internamente na razão :1 , assim 
2 1 14
1
   

 
4 4 2 1     3
2
    
i.e., C divide AB na razão 3:2 (externamente). 
Logo, A, B e C são colineares. 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
33 
Exemplo 4 Encontre a razão na qual o ponto  2,y divide o segmento de reta 
unindo os pontos  4,3 e  6,3 e, assim, encontre o valor de y. 
 
Solução. Sejam    A 4,3 , B 6,3  e  P 2,y . Considere que P divide AB 
internamente na razão:1 , assim 
6 42
1
 

 
2 2 6 4      
4 2    1
2
    
P divide AB externamente na razão 1:2 ( é negativo). 
Agora, 
1 3 2 3y 3
1 2
  
 

. 
(3) Conjugados harmônicos: 
Se quatro pontos estão sobre uma reta, então, o sistema é dito formar uma 
extensão. Sejam P, Q, R, S os quatro pontos. 
Se a extensão  PQ,RS tem razão anarmônica igual a -1, então, é chamada 
de harmônica, i.e., 
PR SQ 1
RQ SP
   
PR SP
RQ SQ
    
ou seja, 
PR PR : RQ :1
RQ 1

    (internamente) 
SP PS : SQ :1
SQ 1

     (externamente) 
Assim, R e S são denominados harmônicos conjugados um ao outro em 
relação aos pontos P e Q. 
 
Exemplo 1 Encontre o harmônico conjugado do ponto  R 5,1 em relação aos 
pontos  P 2,10 e  Q 6, 2 . 
 
Solução. Seja  S ,  o harmônico conjugado do ponto  R 5,1 . Suponha que 
R divida PQ internamente na razão :1 , assim, S divide PQ externamente na 
razão :1 . Logo, 
6 25
1
 

  
 5 5 6 2      3  . 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
34 
Além disso, 
2 101
1
  

  
 1 2 10      
3 = 9 =  = 3. 
Agora, 
3 6 1 2 8
3 1
  
  

 
e  3 2 1 10 8
3 1
   
   

. 
Portanto, o conjugado harmônico de  R 5,1 é  S 8, 8 . 
 
 1.10 BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO 
Definição: O ponto de intersecção das medianas de um triângulo é 
denominado de baricentro de um triângulo e divide a mediana internamente 
na razão 2:1. 
Teorema: Prove que as coordenadas do baricentro de um triângulo cujos 
vértices são    1 1 2 2x ,y , x ,y e  3 3x ,y são 
1 2 3 1 2 3x x x y y y,
3 3
    
 
 
. 
Também prove que as medianas de um triângulo são concorrentes. 
Prova. Sejam    1 1 2 2A x ,y , B x ,y  
e  3 3C x ,y os vértices do 
triângulo ABC. Vamos supor que os 
pontos A, B e C estão no 1º 
quadrante (por uma questão de 
rigor) e que suas medianas são AD, 
BE e CF, respectivamente. 
Portanto, D, E e F são, 
respectivamente, os pontos médios 
dos lados BC , CA e AB. Assim, as coordenadas de D, E, F são 
2 3 2 3x x y yD ,
2 2
    
  
 3 1 3 1x x y yE ,
2 2
    
  
 1 2 1 2x x y yF ,
2 2
    
 
. 
As coordenadas de um ponto que divide AD na razão 2:1 são 
2 3 2 3
1 1
x x y y2 1 x 2 1 y
2 2,
2 1 2 1
              
    
  
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
35 
ou 1 2 3 1 2 3x x x y y y,
3 3
    
 
 
, 
e as coordenadas de um ponto que divide BE na razão 2:1 são 
3 1 3 1
2 2
x x y y2 1 x 2 1 y
2 2,
2 1 2 1
              
    
  
 
 
 
ou 1 2 3 1 2 3x x x y y y,
3 3
    
 
 
. 
Analogamente, as coordenadas de um ponto que divide CF na razão 2:1 são 
1 2 3 1 2 3x x x y y y,
3 3
    
 
 
. 
O ponto comum que divide AD, BE e CF na razão 2:1 é 
1 2 3 1 2 3x x x y y y,
3 3
    
 
 
. 
Assim, as medianas de um triângulo são concorrentes e as coordenadas do 
baricentro são 
1 2 3 1 2 3x x x y y y,
3 3
    
 
 
. 
Teorema importante: O baricentro do triângulo obtido ao se unir os pontos 
médios dos lados do triângulo é o mesmo baricentro do triângulo original. 
Se    1 1 2 2a ,b , a ,b e  3 3a ,b são os pontos médios dos lados de um triângulo, 
então, seu baricentro é dado por 
1 2 3 1 2 3a a a b b b,
3 3
    
 
 
. 
Prova: Sejam D, E e F os pontos médios de BC, CA e AB, respectivamente. 
Seja, agora,  ,  as coordenadas de A. Assim, as coordenadas de B e C 
são, respectivamente,  3 32a , 2b    e  2 22a , 2b    . Como  1 1D a ,b 
é ponto médio de B e C, então 
1 3 2 2 3 12a 2a 2a a a a           
e 
1 3 22b 2b 2b      2 3 1b b b     . 
As coordenadas de B são  3 32a , 2b    , ou 
seja,  3 1 2 3 1 2a a a , b b b    . 
As coordenadas de C são  2 22a , 2b    , ou 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
36 
seja,  2 1 3 2 1 3a a a , b b b    . 
Portanto, as coordenadas de A, B e C são 
 2 3 1 2 3 1A a a a , b b b     ;  3 1 2 3 1 2B a a a , b b b     
 2 1 3 2 1 3C a a a , b b b     . 
 
Dessa forma, as coordenadas do baricentro do triângulo ABC são 
1 2 3 1 2 3a a a b b b,
3 3
    
 
 
, que é o mesmo baricentro do triângulo DEF. 
Corolário 1: Se os pontos médios dos lados de um triângulo são 
   1 1 2 2x ,y , x y e  3 3x ,y , então, as coordenadas do triângulo original são 
   2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2x x x , y y y , x x x , y y y        
e 
 1 2 3 1 2 3x x x , y y y    . 
Corolário 2: Se dois vértices de um triângulo são  1 1x ,y e  2 2x ,y e as 
coordenadas do baricentro são  ,  , então, as coordenadas do terceiro 
vértice são 
 1 2 1 23 x x , 3 y y      . 
Corolário 3: De acordo com o importante teorema, se os triângulos ABC e 
DEF são semelhantes, então 
 
 
2
2
BCÁrea ABC
Área DEF EF



 
    
    
2 2
2 3 2 3
2 2
2 3 2 3
4 a a b b
4
a a b b
  
 
  
. 
Ou seja, Área ABC 4 Área DEF    , i.e., a área de um triângulo é quatro vezes 
a área do triângulo formado pelos pontos médios dos seus lados. 
 
Exemplo 1 Dois vértices de um triângulo são  1,4 e  5,2 . Se o seu 
baricentro é  0, 3 , encontre o terceiro vértice. 
 
Solução. Seja  x,y o terceiro vértice, então, as coordenadas do baricentro 
do triângulo são 
1 5 x 4 2 y 4 x 6 y, i.e., ,
3 3 3 3
         
      
. 
De onde segue que, 
 4 x 6 y, 0, 3
3 3
      
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
37 
4 x 6 y0 e 3
3 3
 
   
4 x 0 e y 6 9     
x 4 e y 15    . 
Logo, o terceiro vértice é  4, 15  . 
 
Método rápido: De acordo com o corolário 2: 
        x,y 3 0 1 5, 3 3 4 2 4, 15            . 
 
Exemplo 2 Os vértices de um triângulo são    1,2 , h, 3 e  4,k . Encontre o 
valor de     2 2h k h 3k   , sabendo que o baricentro do triângulo está no 
ponto  5, 1 . 
 
Solução. Temos que 
1 h 4 2 3 k5 e 1
3 3
   
   , 
de onde segue que h 18, k 2   . Assim, 
       2 2 2 2h k h 3k 18 2 18 6        2 216 12 20   . 
 
Exemplo 3 Se    D 2,3 ,E 4, 3  e  F 4,5 são os pontos médios dos lados BC, 
CA e AB do triângulo ABC, então calcule  2 2 2AG BG CG  , onde G é o 
baricentro do ABC . 
 
Solução. Seja  ,  as coordenadas de A. 
Assim, as coordenadas de B e C são, 
respectivamente,  8 , 10  e 
 8 , 6   . Como D é ponto médio de 
BC, então 
8 8 10 62 e 3
2 2
         
   
i.e., 
10 e 1     . 
De onde segue que as coordenadas de A, B, C são, respectivamente, 
   10, 1 , 2,11  e  2, 5  . Assim, as coordenadas do baricentro serão 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
38 
10 2 2 1 11 5G ,
3 3
        
 
i.e., 5G 2,
3
    
. 
De onde segue que 
 
2
2 5AG 10 2 1
3
      
  
64 864 10
9 3
    
 
 
 
2
2 5BG 2 2 11
3
      
  
228 416 58
9 3
   
e  
2
2 5 400 4CG 2 2 5 16 34
3 9 3
              
   
. 
Assim, 
 2 2 2 64 16 16AG BG CG 10 58 349 9 9           
 32 20 29 17
9
   32 3232
9 3
    
  
 
Exemplo 4 Se G é o baricentro do ABC e O é um ponto qualquer no plano 
do triângulo ABC, mostre que 
2 2 2 2 2 2 2OA OB OC GA GB GC 3GO      . 
 
Solução. Seja G a origem e GO o eixo x, assim 
     1 1 2 2O a,0 , A x ,y , B x ,y   e  3 3C x ,y . 
Agora, 
2 2 2Lado esquerdo da equação OA OB OC   
      22 22 2 21 1 2 2 3 3x a y x a y x a y         
      2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3x x x y y y 2a x x x 3a          
Entretanto, 1 2 3 1 2 3
x x x 0 x x x 0
3
 
     . 
Assim, 2 2 21 1Lado esquerdo da equaçãox y 0 3a     
 2 2 21 1x y 3a    (1) 
e 2 2 2 2Lado direito da equação GA GB GC 3GO    
   22 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3x y x y x y 3 a 0        
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
39 
 2 2 21 1x y 3a    (2) 
Logo, de (1) e (2) obtemos que 
2 2 2 2 2 2 2OA OB OC GA GB GC 3GO      . 
 
Exemplo 5 Se G é o baricentro do ABC , mostre que 
 2 2 2 2 2 2AB BC CA 3 GA GB GC     . 
 
Solução. Tomamos B como origem e 
BC e BY como eixos x e y, 
respectivamente. Seja BC a , então 
   B 0,0 e C a,0  
e seja  A h,k . Assim, as coordenadas 
de G serão 
h 0 a k 0 0 h a k, , i.e., ,
3 3 3 3
       
      
 
Tome ABC como estando no 1º 
quadrante (por uma questão de rigor). 
Dessa forma, denotando LHS como o lado esquerdo da equação e RHS como 
o lado direito, temos: 
     2 2 2LHS AB BC CA          2 2 2 22h 0 k 0 a h a k 0         
 
2 2 22h 2k 2a.h 2a    (1) 
      2 2 2RHS 3 GA GB GC  
2 2 2a h k a h3 h k 0
3 3 3
                 
     
2 2 2k a h k0 a 0
3 3 3
                 
      
 
        2 2 2 22 23 a 2h 2k a h k h 2a k9          
 2 2 21 6a 6h 6k 6a.h3    2 2 22h 2k 2a.h 2a    (2) 
Logo, de (1) e (2) obtemos que  2 2 2 2 2 2AB BC CA 3 GA GB GC     . 
 
Exemplo 6 Os vértices de um triângulo são    1,a , 2,b e  2c , 3 . 
(i) Prove que o seu baricentro não pode situar-se no eixo y; 
(ii) Encontre a condição para que o baricentro situe-se no eixo x. 
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
40 
Solução. O baricentro do triângulo é 
2 21 2 c a b 3 3 c a b 3G , i.e., ,
3 3 3 3
            
   
   
 
(i) Suponha que G situa-se no eixo y, assim 
2
23 c 0 c 3
3

   
 
c i 3   . 
Ambos valores de c são imaginários. Logo, G não pode se situar no eixo y. 
(ii) Suponha que G situa-se no eixo x, assim 
 
a b 3 0
3
 

 
 a b 3 0    a b 3  . 
 
 1.11 INCENTRO 
Definição: O ponto de intersecção das bissetrizes internas de um triângulo é 
denominado incentro do triângulo. 
Teorema: Prove que as coordenadas do incentro de um triângulo cujos 
vértices são      1 1 2 2 3 3A x ,y , B x ,y , C x ,y são 
1 2 3 1 2 3a.x b.x c.x a.y b.y c.y,
a b c a b c
    
     
, 
onde a, b, c são os comprimentos dos lados BC, CA e AB, respectivamente. 
Além disso, prove que as bissetrizes internas de um triângulo são 
concorrentes. 
Prova. Temos que A  (x1, y1), B  (x2, 
y2), C  (x3, y3) são os vértices do 
ABC e que BC a, CA b  e AB c . 
Seja AD a bissetriz do ângulo A. 
Sabemos que a bissetriz de um ângulo 
divide o lado oposto em uma 
determinada razão contendo os dois 
outros lados do triângulo. 
 BD AB c
DC AC b
  (1) 
Assim, D divide BC na razão c:b. As coordenadas de D são 
3 2 3 2cx bx cy by,
c b c b
  
   
 
De (1), DC b DC bou 1 1
BD c BD c
    
DC BD b c
BD c
      
 a b c
BD c
    
   
a.cBD
b c


. 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
41 
Também, no ABD, BI é bissetriz de B, assim 
AI AB c b c
a.cID BD a
b c

  
 
  
, 
assim, I divide AD na razão  b c : a . As coordenadas de I são 
   3 2 3 21 1
c.x b.x c.y b.yb c a.x b c b.y
c b c b,
b c a b c a
          
    
 
 
 
i.e., 
1 2 3 1 2 3a.x b.x c.x a.y b.y c.y,
a b c a b c
    
     
. 
Analogamente, podemos mostrar que as coordenadas do ponto que divide BE 
internamente na razão  c a : b e as coordenadas do ponto que divide CF 
internamente na razão  a b : c serão 
1 2 3 1 2 3a.x b.x c.x a.y b.y c.y,
a b c a b c
    
     
 
e 
   
a.b b.cCE , AE
c a c a
 
  
 b.c a.cAF , BF
a b a b
 
 
. 
Portanto, as três bissetrizes internas do triângulo se encontram no ponto I. 
1 2 3 1 2 3a.x b.x c.x a.y b.y c.yI ,
a b c a b c
    
      
. 
 
Corolário 1: Se ABC é equilátero, então 
a b c  
e 
1 2 3 1 2 3x x x y y yincentro , baricentro
3 3
      
 
 
i.e., o incentro e o baricentro coincidem no 
triângulo equilátero. 
 
Corolário 2: 
AE AF s a   , 
BD BF s b   , 
CD CE s c   , 
onde a b cs
2
 
 e BC a, CA b, AB c   . 
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
42 
Prova. Sejam AE AF   , BD BF   e CD CE   (os comprimentos das 
tangentes à circunferência que partem de um mesmo ponto são iguais). 
Além disso, 
 a BC BD DC       (1) 
 b CA CE AE       (2) 
 c AB AF BF       (3) 
Somando todas essas relações, obtemos 
 a b c 2      
 2s 2 s           . 
De (1), (2) e (3) obtemos que s a, s b, s c         . 
 
Exemplo 1 Encontre as coordenadas do incentro do triângulo cujos vértices 
são    4, 2 , 2,4  e  5,5 . 
 
Solução. Sejam    A 4, 2 , B 2,4  e  C 5,5 
os vértices do triângulo dado. Assim, 
   2 2a BC 2 5 4 5 50 5 2        
   2 2b CA 5 4 5 2 50 5 2       
   2 2c AB 4 2 2 4 72 6 2        
Sejam  x,y as coordenadas do incentro do 
ABC , então 
1 2 3a.x b.x c.xx
a b c
 

  
 5 2 4 5 2 2 6 2 5
5 2 5 2 6 2
     

 
 
20 2 10 2 30 2 40 5
16 216 2
 
   
e 1 2 3a.y b.y c.yy
a b c
 

  
 5 2 2 5 2 4 6 2 5 40 5
16 25 2 5 2 6 2
     
  
 
. 
Logo, as coordenadas do incentro são 5 5,
2 2
 
  
. 
 
Exemplo 2 Se 3 3,0 , ,6
2 2
   
      
 e  1,6 são os pontos médios dos lados de um 
triângulo, então encontre: 
(i) baricentro do triângulo; (ii) incentro do triângulo. 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
43 
Solução. Seja  A ,   , assim, as coordenadas 
de  B 2 , 12    e de  C 3 , 12   . 
Entretanto, o ponto médio de BC é 3 ,0
2
 
  
, dessa 
forma 
3 2 3 1         
e 
0 12 12 12       . 
Assim, as coordenadas dos vértices são 
     A 1,12 , B 1,0 , C 4,0     . 
(i) Baricentro: O baricentro do ABC é 
1 2 3 1 2 3x x x y y y,
3 3
    
 
  
 1 1 4 12 0 0,
3 3
     
   
 2,4
3
 
  
. 
(ii) Incentro: Temos que 
   2 2a BC 1 4 0 0 5       ;    
2 2b CA 4 1 0 12 13      
   2 2c AB 1 1 12 0 12       . 
Assim, o incentro do ABC será 
1 2 3 1 2 3a.x b.x c.x a.y b.y c.y,
a b c a b c
    
     
 
   5 1 13 1 12 4 5 12 13 0 12 0,
5 13 12 5 13 12
            
      
 1,2 . 
Alguns resultados padrões 
(i) Exincentros de um triângulo: É o ponto 
de intersecção das bissetrizes externas de 
um triângulo. A circunferência oposta ao 
vértice A é chamada de circunferência 
exinscrita oposta ao vértice A ou 
circunferência exinscrita ao lado BC. Se 1I 
é o ponto de intersecção da bissetriz 
interna do ângulo BAC com as 
bissetrizes externas dos ângulos ABC e 
ACB , então 
1 2 3 1 2 3
1
a.x b.x c.x a.y b.y c.yI ,
a b c a b c
    
       
 
1 2 3 1 2 3
1
a.x b.x c.x a.y b.y c.yI ,
a b c a b c
      
        
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
44 
 Analogamente, 
1 2 3 1 2 3
2
a.x b.x c.x a.y b.y c.yI ,
a b c a b c
    
      
 
1 2 3 1 2 3
2
a.x b.x c.x a.y b.y c.yI ,
a b c a b c
    
      
, 
 quando BC a, CA b AB c    . 
 
(ii) Circuncentro de um triângulo: O circuncentro de um triângulo é o ponto 
de intersecção das mediatrizes de um triângulo (i.e., as retas que passam 
perpendicularmente pelo ponto médio de um lado). As coordenadas são 
 
1 2 3 1 2 3x sen2A x sen 2B x sen 2C y sen2A y sen 2B y sen2C,
sen 2A sen2B sen 2C sen2A sen2B sen2C
    
     
 
ou 
1 2 3 12 3a.x cos A b.x cosB c.x cosC a.y cos A b.y cosB c.y cosC,
acos A bcosB c cosC acos A bcosB c cosC
    
     
, 
 onde, BC a, CA b  e AB c . 
 
(iii)Ortocentro de um triângulo: O ortocentro de um triângulo é o ponto de 
intersecção das alturas (i.e., as retas que partem dos vértices e são 
perpendiculares aos lados opostos). Suas coordenadas são 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
45 
1 2 3 1 2 3x tgA x tgB x tgC y tgA y tgB y tgC,
tgA tgB tgC tgA tgB tgC
    
     
 
ou 
1 2 3 1 2 3a.x sec A b.x sec B c.x sec C a.y sec A b.y secB c.y sec C,
a sec A b sec B c sec C a sec A b sec B c sec C
    
     
, 
 
onde BC a, CA b  e AB c . 
 
(iv) Circunferência dos nove pontos: 
Se uma circunferência passa pelos 
pés das perpendiculares (i.e., D, E, 
F), pelos pontos médios dos lados 
BC, CA e AB, respectivamente 
(i.e., H, I, J) e pelos pontos médios 
das retas unindo o ortocentro aos 
pontos A, B, C (i.e., K, L, M), então, 
todos os pontos D, E, F, H, I, J, K, 
L, M situam-se na circunferência 
denominada de circunferência dos nove pontos, cujo centro é chamado 
de centro dos nove pontos. O centro dos nove pontos de um triângulo é 
colinear com o circuncentro e o ortocentro e bissecta o segmento unindo-
os. O raio da circunferência dos nove pontos de um triângulo é metade 
do raio do circuncírculo. 
Corolário 1: O ortocentro, o centro dos nove pontos, o baricentro e o 
circuncentro situam-se todos em uma mesma linha reta. 
Corolário 2: Se O é o ortocentro, N é o centro dos nove pontos, G é o 
baricentro e C é o circuncentro, então, para lembrar decore ONGC (i.e., Oil 
Natural Gas Corporation, do inglês), na esquerda de G estão 2 e na sua 
direita está 1, portanto, G divide O e C na razão 2:1 (internamente). 
Corolário 3: N é o ponto médio de O e C. 
Corolário 4: 1Raio da circunferência dos 9 pontos Raio do circuncírculo
2
  . 
 Nota. 
1. A distância entre o ortocentro e o circuncentro em um triângulo equilátero é 
zero. 
 
2. O ortocentro de um triângulo de vértices    , , ,    e  ,  é  ,  . 
 
3. Se o circuncentro e o baricentro de um triângulo são, respectivamente, 
   , , ,    , então, o ortocentro será  3 2 , 3 2      . 
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
46 
Exemplo 1 Se um vértice de um triângulo é  1,1 e os pontos médios dos dois 
lados que passam por esse vértice são  2,3 e  5,2 , então, encontre o 
baricentro e o incentro do triângulo. 
 
Solução. Sejam  1,1 as coordenadas de A 
e os pontos médios F e E de AB e AC são 
   F 2,3 e E 5,2   . 
Assim, as coordenadas de B e C são 
  2 2 1 , 2 3 1     
e 
  2 2 5 , 2 4 5     
i.e.,  B 5,5  e  C 9,3 , respectivamente. 
Assim, o baricentro é 1 5 9 1 5 3,
3 3
    
  
, i.e., 5 ,3
3
 
  
. 
 
Além disso, 
   2 2a BC 5 9 5 3 200 10 2        
   2 2b CA 9 1 3 1 68 2 17       
   2 2c AB 1 5 1 5 52 2 13       . 
 
Dessa forma, o incentro será 
 10 2 1 2 17 5 2 13 9 10 2 1 2 17 5 2 13 3,
10 2 2 17 2 13 10 2 2 17 2 13
           
      
 
5 2 5 17 9 13 5 2 5 17 3 13,
5 2 17 13 5 2 17 13
    
       
 
Exemplo 2 Se G é o baricentro e I é o incentro do triângulo de vértices 
   A 36,7 ,B 20,7 e  C 0, 8 e 25GI 205
3
  , então, encontre o valor de  . 
 
Solução. As coordenadas do baricentro são 
36 20 0 7 7 8G ,
3 3
         
 16G ,2
3
    
 
e    2 2a BC 20 0 7 8 625 25       
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
47 
   2 2b CA 0 36 8 7 1521 39        
   2 2 2c AB 36 20 7 7 56 56        . 
 
Portanto, as coordenadas do incentro serão 
   25 36 39 20 56 0 25 7 39 7 56 8I ,
25 39 56 25 39 56
            
       
 
i.e.,  I 1,0  
 
2
216 205GI 1 2 0
3 3
      
  
 25GI 205
3
  
entretanto, 
1 25205 205
3 3
 
1
25
 
 
 
Exemplo 3 Seja o triângulo ABC de vértices    A 1,2 ,B 2,3 e  C 3,1 e 
1 4A cos
5
      
, 1 1B C cos
10
       
 
. Encontre o circuncentro do triângulo 
ABC. 
 
Solução. Já que 
1 4A cos
5
       
 4 3cos A senA
5 5
  
 
3 4 24sen2A 2sen A cosA 2
5 5 25
     
e 
1 1B C cos
10
   
 
 1cosB cosC
10
 
 
 1 3senB senC 1
10 10
    
3 1 3sen2B 2senBcosB 2 sen2C
510 10
      
Seja  x,y o circuncentro, assim 
1 2 3x sen2A x sen2B x sen2Cx
sen2A sen2B sen2C
 

  
24 3 31 2 3 1125 5 5
24 3 3 6
25 5 5
    
 
 
 
e 1 2 3y sen2A y sen2B y sen2Cy
sen2A sen2B sen2C
 

 
 
24 3 32 3 1
25 5 5 224 3 3
25 5 5
    
 
 
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
48 
Logo, as coordenadas do circuncentro são 11,2
6
 
  
. 
 
Exemplo 4 Se as coordenadas dos pontos médios dos lados do triângulo são 
   1,1 , 2, 3 e  3,4 , então, encontre o exincentro oposto ao vértice A. 
 
Solução. Sejam    D 1,1 ,E 2, 3 e  F 3,4 os pontos médios dos lados BC, CA 
e AB do triângulo, respectivamente. Seja também  A ,   , então 
 B 6 ,8   
e 
 C 4 , 6    . 
 
Além disso, D é o ponto médio de B e C, então 
6 41 4
2
   
    
e 
8 61 0
2
  
    , 
de onde segue que    A 4,0 , B 2,8  e 
 C 0, 6  . Assim, 
   2 2a BC 2 0 8 6 200 10 2       ,
   2 2b CA 0 4 6 0 52 2 13        , 
   2 2c AB 4 2 0 8 68 2 17       . 
 
Dessa forma, as coordenadas do exincentro oposto a A são 
1 2 3 1 2 3a.x b.x c.x a.y b.y c.y,
a b c a b c
      
       
 
i.e.,  10 2 0 2 13 8 2 17 610 2 4 2 13 2 2 17 0 ,
10 2 2 13 2 17 10 2 2 13 2 17
            
        
 
20 2 2 13 8 13 6 17,
5 2 13 17 5 2 13 17
   
        
 
 
Exemplo 5 Se um triângulo tem ortocentro em  1,1 e circuncentro em 3 3,
2 4
 
  
, 
então, encontre o baricentro e o centro dos nove pontos. 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
49 
Solução. Já que o baricentro divide o ortocentro e o circuncentro na razão 2:1 
(internamente) e se o baricentro é  G x,y , então 
   2 1 3 3O 1,1 G x,y C ,
2 4
     
 
32 1 1 42x
2 1 3
  
 
 
 
32 1 1 54y
2 1 6
  
 

 
Assim, o baricentro é 4 5,
3 6
 
  
 e o centro dos nove pontos é o ponto médio 
entre o ortocentro e o circuncentro, i.e., 
3 31 1
2 4,
2 2
   
 
  
  

5 7,
4 8
 
  
. 
 
Exemplo 6 Os vértices de um triângulo são    A a,a.tg ,B b,b.tg  e  C c,c.tg . 
Se o circuncentro do ABC coincide com a origem e  H x,y é o ortocentro, 
então, mostre que 
y sen sen sen
cos cos cosx
     
       
. 
 
Solução. Se R é o circunraio e O é 
o circuncentro, então 
OA OB OC R   
ou 
2 2 2 2 2 2 2 2 2a a tg b b tg c c tg R         
2 2 2 2 2 2 2 2 2a a tg b b tg c c tg R         
asec bsec c sec R      
a Rcos , b Rcos , c R cos      
então 
sena.tg Rcos Rsen
cos

     

. 
Analogamente, 
b.tg R sen e c.tg Rsen      . 
 
As coordenadas dos vértices do triângulo são 
   A Rcos ,Rsen , B Rcos ,Rsen    e  C Rcos ,Rsen  . 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
50 
O baricentro G é 
     R cos cos cos R sen sen senG ,
3 3
          
   
 
. 
Já que G divide H e O na razão 2:1 (internamente), então 
 R 2 0 1 xcos cos cos
3 2 1
  
     

  R xcos cos cos
3 3
      (1) 
e 
 R 2 0 1 ysen sen sen
3 2 1
  
     

  R ysen sen sen
3 3
     
 
(2) 
Dividindo (2) por (1), obtemos 
y sen sen sen
cos cos cosx
     
       
. 
 
 1.12 ÁREA DE UM TRIÂNGULO 
Teorema: A área de um triângulo cujas coordenadas dos vértices são 
   1 1 2 2x ,y , x ,y e  3 3x,y é 
     1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 x y y x y y x y y
2
     
ou 
1 1
2 2
3 3
x y 1
1 x y 1
2
x y 1
. 
Prova. Seja ABC um triângulo de 
vértices    1 1 2 2A x ,y ,B x ,y e  3 3C x ,y . 
Vamos supor que os pontos A, B e C 
estão no 1º quadrante (por uma 
questão de rigor). Desenhe AL, BM e 
CN perpendiculares ao eixo x. Seja  
a área do triângulo ABC, assim 
Área do triângulo ABC  
Área do trapézio ABML 
Área do trapézio ALNC
Área do trapézio BMNC  
           1 1 1BM AL ML AL CN LN BM CN MN
2 2 2
         
 
       1 1BM AL OL OM AL CN ON OL
2 2
     
   1 BM CN ON OM
2
   
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
51 
       2 1 1 2 1 3 3 1
1 1y y x x y y x x
2 2
     
   2 3 3 2
1 y y x x
2
   
 
   1 2 1 1 3 2 2 1 2 3
1 x y y y y x y y y y
2
          3 1 3 2 3x y y y y      
     1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 x y y x y y x y y
2
        . 
A área do triângulo ABC irá aparecer positiva somente quando os vértices A, 
B, C são tomados no sentido anti-horário. Se os pontos A, B, C são tomados 
no sentido horário, então a área será negativa. Caso os pontos A, B, C sejam 
tomados arbitrariamente, então, a área será positiva ou negativa, com o valor 
numérico sendo o mesmo em todos os casos. De modo geral, 
 
     1 2 3 2 3 1 3 1 2
1Área ABC x y y x y y x y y
2
       
Essa expressão pode ser escrita como um determinante a seguir 
1 1
2 2
3 3
x y 1
1 x y 1
2
x y 1
. 
Corolário 1: A área do triângulo também pode ser encontrada pelo método 
fácil seguinte 
2 21 1 3 3
3 32 2 1 1
x yx y x y1 1 1
x yx y x y2 2 2
    . 
A área do quadrilátero ABCD pode ser 
encontrada dividindo o quadrilátero em dois 
triângulos. 
Área do quadrilátero ABCD 
Área do ABC Área do DAC    
2 21 1 3 3
3 32 2 1 1
x yx y x y1 1 1
x yx y x y2 2 2
   
1 14 4 3 3
3 31 1 4 4
x yx y x y1 1 1
x yx y x y2 2 2
   
2 21 1 3 3 4 4
3 32 2 4 4 1 1
x yx y x y x y1 1 1 1
x yx y x y x y2 2 2 2
    , 
já que 1 13 3
3 31 1
x yx y
x yx y
  . 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
52 
Área de um polígono cujos vértices são        1 1 2 2 3 3 n nx ,y , x ,y , x ,y ,..., x ,y é 
dada por 
2 21 1 3 3 n n
3 32 2 4 4 1 1
x yx y x y x y1 ...
x yx y x y x y2
    . 
Corolário 2: Se as coordenadas dos vértices de 
um triângulo são dadas na forma polar, i.e., 
     1 1 2 2 3 3A r , ,B r , ,C r ,   , então, a área do 
triângulo é 
   1 2 1 2 2 3 2 3
1 r .r sen r .r sen
2
        
 3 1 3 1r .r sen    1 2 1 2
1 r .r sen
2
    . 
Corolário 3: Se 1 1 1 2 2 2a x b y c 0, a x b y c 0      e 3 3 3a x b y c 0   são 
os lados de um triângulo, então, a área do triângulo é dada por (sem 
encontrar os vértices) 
2
1 1 1
2 2 2
1 2 3
3 3 3
a b c
1 a b c
2 C C C
a b c
  
onde 1 2 3C ,C ,C são os cofatores de 1 2 3c ,c ,c no determinante. Isto é, 
 2 21 2 3 3 2
3 3
a b
C a .b a .b
a b
   ;
 
 3 32 3 1 1 3
1 1
a b
C a .b a .b
a b
   
 1 13 1 2 2 1
2 2
a b
C a .b a .b
a b
   
e 
1 1 1
2 2 2 1 1 2 2 3 3
3 3 3
a b c
a b c c C c C c C
a b c
  
 
ou 
2
1 2 3
Área do triângulo
2


  
, 
onde 
1 1 1
2 21 1 3 3
2 2 2 1 2 3
3 32 2 1 1
3 3 3
a b c
a ba b a b
a b c , , ,
a ba b a b
a b c
        . 
Corolário 4: A área do triângulo formado pelas retas 
1 1 2 2y m x c , y m x c    e 3 3y m x c  é 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
c c c c c c1
2 m m m m m m
  
   
  
 
 Nota. 
1. Se a área de um triângulo é dada, então use o sinal  . 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
53 
2. Se os pontos    1 1 2 2A x ,y ,B x ,y e  3 3C x ,y são colineares, então, a área 
do ABC é zero. 
3. Quatro pontos dados são colineares se a área do quadrilátero é zero. 
4. A área do triângulo formado pelos pontos    1 1 2 2x ,y , x ,y e  3 3x ,y é 
1 3 2 3
1 3 2 3
x x x x
y y y y
 
 
 
. 
5. Se um vértice  3 3x ,y é  0,0 , então 1 2 2 1
1 x y x y
2
   . 
 
Exemplo 1 As coordenadas de A, B, C são    6,3 , 3,5 e  4, 2 , 
respectivamente, e P é qualquer ponto  x,y . Mostre que a razão entre as 
áreas dos triângulos PBC e ABC é 
x y 2
7
 
. 
 
Solução. Temos que 
      
      
1 x 5 2 3 2 y 4 y 5Área PBC 2
1Área ABC 6 5 2 3 2 3 4 3 5
2
     

      
 
7x 7y 14 7 x y 2
49 49
   
 
x y 2
7
 
 . 
 
Exemplo 2 Encontre a área do pentágono cujos vértices são 
       A 1,1 ,B 7,21 ,C 7, 3 ,D 12,2 e  E 0, 3 . 
Solução. A área procurada é 
1 1 7 21 7 3 12 2 0 31
7 21 7 3 12 2 0 3 1 12
 
    
 
 
         1 21 7 21 147 14 36 36 0 0 3
2
           
1 137
2
 
 
137 u.a.
2

 
 
Exemplo 3 Mostre que os pontos    a,0 , 0,b e  1,1 são colineares se 
1 1 1
a b
  . 
 
Solução. Sejam    A a,0 ,B 0,b  e  C 1,1 . Os pontos A, B, C são 
colineares se a área do triângulo ABC é nula, i.e., 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
54 
a 0 0 b 1 11 0
0 b 1 1 a 02
  
 

 
     a.b 0 0 b 0 a 0      
a.b a b 0    a b a.b   
1 1 1
a b
  . 
 
Exemplo 4 Prove que as coordenadas dos vértices de um triângulo equilátero 
não podem ser todas racionais. 
Solução. Sejam    1 1 2 2A x ,y ,B x ,y e  3 3C x ,y os vértices do triângulo ABC. 
Vamos supor por absurdo que 1 1 2 2 3 3x ,y ,x ,y ,x ,y são todos racionais. 
A área do triângulo ABC é expressa por 
     1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 x y y x y y x y y
2
     Racional (1) 
Já que ABC é equilátero, 
   2 23 3Área ABC lado AB
4 4
   
    2 21 2 1 23 x x y y4    Irracional (2) 
De (1) e (2), 
Racional Irracional , 
ou seja, um absurdo. 
Logo, 1 1 2 2 3 3x ,y ,x ,y ,x ,y não podem ser todos racionais. 
 
Exemplo 5 As coordenadas de dois pontos A e B são  3,4 e  5, 2 , 
respectivamente. Encontre as coordenadas de um ponto qualquer P sabendo 
que PA = PB e que a área do APB é igual a 10. 
Solução. Sejam  h,k as coordenadas de P. 
   2 2PA PB PA PB           
2 2 2 2h 3 k 4 h 5 k 2       
       2 2 2 2h 3 h 5 k 4 k 2 0        
       2h 8 2 2k 2 6 0         h 4 3 k 1 0    
h 3k 1 0   (1) 
Agora, 
h k 1
1Área PAB 3 4 1 10
2
5 2 1
  

 
i.e., 6h 2k 26 20    
6h 2k 46 0 ou 6h 2k 6 0      
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
55 
3h k 23 0 ou 3h k 3 0      
Resolvendo h 3k 1 0 e 3h k 23 0 h 7, k 2         . 
Resolvendo h 3k 1 0 e 3h k 3 0 h 1, k 0         . 
Logo, as coordenada de P são  7,2 e  1,0 . 
 
Exemplo 6 Encontre a área do triângulo formado pelas linhas retas 
7x 2y 10 0   , 7x 2y 10 0   e 9x y 2 0   (sem encontrar os vértices). 
Solução. As retas dadas são: 
7x 2y 10 0   
7x 2y 10 0   
9x y 2 0   . 
 
2
1 2 3
7 2 10
1Área do triângulo 7 2 10
2 C C C
9 1 2

   (1) 
Onde 1 2
7 2 9 1
C 7 18 11, C 18 7 25
9 1 7 2
          

 
e 3
7 2
C 14 14 28
7 2

    
e 1 2 3
7 2 10
7 2 10 10C 10C 2C
9 1 2

       10 11 10 25 2 28 196         . 
De (1), 
   
21 196
2 11 25 28
  
   
196 196
2 11 25 28


  
686 u.a.
275

 
 
Exemplo 7 Se 1 é a área do triângulo de vértices 
     0,0 , a.tg , b.cotg , asen , bcos    ; 2 é a área do triângulo de vértices 
   2 2 2a,b , a sec , bcossec   2 2, a a sen , b bcos    e 3 é a área do 
triângulo de vértices      0,0 , a.tg , bcotg , asen , bcos     . Mostre que não 
existe  tal que 1 2,  e 3 estejam em PG. 
Solução. Temos 
      1
1 a.tg bcos asen bcotg
2
      
1 a.b sen cos
2
    
e 
   
   
2 2 2
2 2 2 2
a a asen asec a asen1
2 b b bcos bcossecb bcos
      
 
     
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
56 
 
 
2 2 2
2 2 2
asen a tg sen1
2 bcos b cotg cos
    

    
 
 
 
2 2 2
2 2 2
sen sen sec 11 a.b
2 cos cos cossec 1
    
 
    
2 2 2
2 2 2
sen sen .tg1 a.b
2 cos cos .cotg
   
 
   
 
2 2 2 2 2 21 a.b sen .cos .cotg sen .cos .tg
2
          
4 41 a.b cos sen
2
      2 2 2 2
1 a.b sen cos sen cos
2
         
1 a.b 1 cos2
2
    
1 a.b cos2
2
   
e        3
1 a tg bcos bcot g asen
2
       
1 a.b sen cos
2
    . 
Já que 1 2 3, ,   estão em PG, então 
2
1 3 2    , assim 
2 21 1 1a.b sen cos a.b sen cos a.b cos2
2 2 4
         
22 2sen cos cos2    
 
 2cos2 cos2     
2cos 2 cos 2   
 cos2 1 cos2 0     1 cos2 0    cos2 1   cos2 1   
cos2 1 e cos2 1     
 2 2n , 2 2p 1        n , p ; n,p2

        . 
 
Para esses valores de  os vértices do triângulo dado não estão definidos, 
portanto, não existe  tal que 1 2,  e 3 estão em PG. 
 
 
EXERCÍCIOS INTRODUTÓRIOS 1.3 
 
 A. Objetivas 
 
Questão 1 
As coordenadas dos pontos médios dos lados de um triângulo são    4,2 , 3,3 
e  2,2 . Logo, as coordenadas do baricentro são 
(a)  3,7 3 ; (b)  3,3 ; (c)  4,3 ; (d)  3,4 . 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
57 
Questão 2 
O incentro de um triângulo cujos vértices são    36,7 , 20,7 e  0, 8 é: 
(a)  0, 1 ; (b)  1,0 ; (c)  1,1 ; (d) 1,1
2
 
  
. 
 
Questão 3 
Se o ortocentro e o baricentro de um triângulo são  3,5 e  3,3 , então, seu 
circuncentro é: 
(a) (6, 2); (b) (3, –1); (c) (–3, 5); (d) (–3, 1). 
 
Questão 4 
Um triângulo equilátero tem lado a. Se as coordenadas dos seus vértices são 
   1 1 2 2x ,y , x ,y e  3 3x ,y , então, o quadrado do determinante 
1 1
2 2
3 3
x y 1
x y 1
x y 1
 é 
igual a: 
(a) 43a ; (b) 
43a
2
; (c) 43 a
4
; (d) 43a . 
 
Questão 5 
Os vértices de um triângulo são    A 0,0 ,B 0,2 e  C 2,0 . A distância entre o 
circuncentro e o ortocentro é: 
(a) 2 ; (b) 1
2
; (c) 2; (d) 1
2
. 
 
Questão 6 
   1 1A a,b ,B x ,y e  2 2C x ,y são os vértices de um triângulo. Se 1 2a,x ,x estão 
em uma PG de razão r e 1 2b,y ,y estão em uma PG de razão s, então, a área 
do ABC é: 
(a)      a.b r 1 s 1 s r   ; (b)      1 a.b r 1 s 1 s r
2
   ; 
(c)      1 a.b r 1 s 1 s r
2
   ; (d)      a.b r 1 s 1 r s   . 
 
Questão 7 
Os pontos     1 2x 1, 2 , 1, x 2 , ,
x 1 x 1
      
 são colineares, logo, x é igual a: 
(a) –4; (b) 8 ; (c) 4; (d) 8 . 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
58 
Questão 8 
Os vértices de um triângulo são    6,0 , 0,6 e  6,6 . Logo, a distância entre 
seu circuncentro e seu baricentro é: 
(a) 2 2 ; (b) 2; (c) 2 ; (d) 1; 
 
Questão 9 
O centro dos nove pontos de um triângulo cujos vértices são    1, 3 , 0,0 e 
 2,0 é: 
(a) 31,
2
 
   
; (b) 2 1,
3 3
 
 
 
; (c) 2 3,
3 2
 
   
; (d) 11,
3
 
 
 
. 
 
Questão 10 
Os vértices de um triângulo são    0,0 , 1,0 e  0,1 . Então, o exincentro oposto 
ao vértice  0,0 é: 
(a) 1 11 , 1
2 2
   
 
; (b) 1 11 , 1
2 2
   
 
; 
(c) 1 11 , 1
2 2
   
 
; (d) 1 11 , 1
2 2
   
 
. 
 
 B. Subjetivas 
 
Questão 1 
Se , ,   são as raízes reais da equação 3 2x 3p.x 3q.x 1 0    , então, 
encontre o baricentro do triângulo cujos vértices são 1 1, , ,         
 e 1,   
. 
Questão 2 
Se o baricentro de um triângulo é  1,4 e as coordenadas de dois vértices 
quaisquer dele são  4, 8 e  9,7 , encontre a área do triângulo. 
 
Questão 3 
Encontre o baricentro e o incentro do triângulo cujos vértices são (1, 2), (2, 3) 
e (3, 4). 
 
Questão 4 
Mostre que a área do triângulo cujos vértices são    , 2 , 3,      e 
 2, 2    independe de  . 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
59 
Questão 5 
Prove que os pontos    a, b c , b, c a  e  c, a b são colineares. 
 
Questão 6 
Prove que os pontos    a,b , c,d e  a c,b d  são colineares se a.d b.c . 
 
Questão 7 
Se os pontos    1 1 2 2x ,y , x ,y e  3 3x ,y são colineares, mostre que 
1 2
1 2
y y
0
x .x
 
 
 
 , i.e., 2 3 3 11 2
1 2 2 3 3 1
y y y yy y 0
x .x x .x x .x
 
   . 
 
Questão 8 
As coordenadas dos pontos A, B, C e D são      3,5 , 4, 2 , x,3x  e  6,3 , 
respectivamente, e ABC 2
BCD 3



. Encontre x. 
 
Questão 9 
Encontre a área do hexágono cujos vértices tomados em ordem são 
         5,0 , 4,2 , 1,3 , 2,2 , 3,1  e  0, 4 . 
 
 
 1.13 LUGAR GEOMÉTRICO E SUA EQUAÇÃO 
Lugar geométrico: O lugar geométrico de um ponto móvel é o caminho 
construído do ponto satisfazendo uma ou mais condições dadas. 
Exemplo 1. Um ponto P se move em um plano de modo 
que a distância desse ponto até um ponto fixo O no 
plano é sempre constante e igual a a. Logo, o lugar 
geométrico do ponto móvel P é, claramente, uma 
circunferência de centro O e raio a. 
Exemplo 2. Um ponto P se move em um plano de modo 
que as distâncias desse ponto até dois pontos fixos A e 
B são sempre iguais, i.e., PA = PB (o ponto P não pode 
estar em Q pois AQ BQ ). Obviamente, todas as 
posições do ponto móvel P situam-se na mediatriz de 
AB. Logo, o lugar geométrico do ponto móvel P é a 
mediatriz de AB. 
 
COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS 
 
60 
Equação de um lugar geométrico 
A relação  f x,y 0 entre x e y que é satisfeita por cada ponto do lugar 
geométrico e tal que cada ponto que satisfaz a equação está no lugar 
geométrico é chamada de equação do lugar geométrico. 
 
Como encontrar o lugar geométrico de um ponto 
Seja  1 1x ,y as coordenadas de um ponto móvel P. Agora, aplique as 
condições geométricas em 1 1x ,y . Isso dá a relação entre 1x e 1y . Agora, 
substitua 1x por x e 1y por y , a equação resultante será a equação do lugar 
geométrico. 
 
Corolário 1: Se x e y não estão na questão, as coordenadas de P devem ser 
tomadas como  x,y . 
Corolário 2: Se as coordenadas e a equação não são dadas na questão, uma 
escolha conveniente de origem e eixos deve ser feita. 
Corolário 3: Para encontrar o lugar geométrico do ponto de intersecção de 
duas linhas retas, elimine o(s) parâmetro(s) das retas dadas. Se há mais do 
que um parâmetro, então, condição ou condições adicionais também serão 
dadas. 
 
 Nota. Simplifique a equação elevando ambos membros ao quadrado se há 
raízes quadradas e tire o mínimo múltiplo comum (MMC) para remover os 
denominadores. 
 
Exemplo 1 Encontre o lugar geométrico de um ponto móvel cuja distância até 
o ponto  0,0 é o dobro da distância ao eixo y. 
 
Solução. Seja  1 1P x ,y o ponto móvel cujo lugar geométrico queremos 
procurar. Por hipótese, OP 2 PM , i.e., 
 2 21 1 1x y 2 x  . 
Elevando ambos lados ao quadrado, temos 
2 2 2
1 1 1x y 4x  
2 2
1 13x y 0   . 
Substituindo  1 1x ,y por  x,y , temos 
2 23x y 0  , 
que é o lugar geométrico de P. 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
61 
Exemplo 2 Encontre o lugar geométrico do ponto móvel P tal que 2PA 3PB , 
onde A é  0,0 e B é  4, 3 . 
 
Solução. Seja  1 1P x ,y o ponto móvel cujo 
lugar geométrico queremos procurar. Por 
hipótese, 
2PA 3PB 
   2 24 PA 9 PB 
      2 22 21 1 1 14 x y 9 x 4 y 3     
   2 2 2 21 1 1 1 1 14 x y 9 x y 8x 6y 25      
2 2
1 1 1 15x 5y 72x 54y 225 0     . 
Substituindo  1 1x ,y por  x,y , temos: 2 25x 5y 72x 54y 225 0     , 
que é o lugar geométrico de P. 
 
Exemplo 3 Um ponto se move que modo que a soma dos quadrados das 
distâncias dele até dois pontos fixos  A a,0 e  B a,0 é constante e igual a 
22c . Encontre o lugar geométrico do ponto. 
 
Solução. Seja  1 1P x ,y o ponto nível cujo