Aula 3- Conjuntos Númericos

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Matemática Aplicada na Geografia
Aula 3: Conjuntos Numéricos
Conjuntos numéricos
Números Reais
Equação do Primeiro Grau
Inequações do Primeiro Grau
Equações do Segundo Grau
Intervalos
Módulo ou valor Absoluto
Conjuntos dos números reais - R
Chama-se conjunto dos números reais R – aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicos (que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadas de números irracionais).
Assim, todo racional é um número real.
Q  R
e, além dos racionais, estão em R números como: , 2, 3, 7, etc. chamados de irracionais.
Conjuntos dos números reais - r
Além de Q, destacamos em R três outros subconjuntos.
R+=conjunto dos reais não negativos
R-=conjunto dos reais não positivos
R*=conjunto dos reais não nulos
As operações de adição e multiplicação em R gozam das mesmas propriedades vistas para o conjunto Q. 
Conjuntos dos números reais - r
Em R é também definida a operação de subtração e em R* é definida a divisão. Com a introdução dos números irracionais, a radiciação é uma operação em R+ , isto é,  R para todo a R+.
Representação na reta real ou reta numérica:
-3 -2 -1	 0	 1 2 3
Números inteiros
Números racionais
Números irracionais
Conclusão
Designemos por I o conjunto de todos os números irracionais. A união do conjunto dos racionais com o dos irracionais dá origem a um conjunto chamado de conjunto dos números reais, indicada por R. Assim
R=QI. 
Exercícios
Quais das preposições abaixo são verdadeiras?
3  R ( )	
N  R ( )
z  R ( )
12  R – Q ( )
4R – Q ( )
Equação do Primeiro Grau
Chamamos de equação do primeiro grau na incógnita x, no universo real, toda equação redutível à forma. 
em que a e b são números reais quaisquer com a0.
Resolução:
Dividirmos ambos os membros por a:
Esse valor encontrado é chamado de raiz da equação
Exemplo
Resolva a equação: 4x - 12 = 8 - 6x
Transpondo os termos com x para o 1º membro, e os números para o 2º membro, obtemos
4x+6x=8+12
Agrupando os termos semelhantes,
10x=20
x=2
Conjunto solução: S={2}
Exercício proposto
Resolva as equações:
a) 
b) 0,3(y-1)+0,4(y-2)=7
Inequações do Primeiro Grau
Inequações do Primeiro Grau na incógnita x são aquelas redutíveis a uma das formas:
a.x<b ou a.xb ou a.x>b ou a.x b, em que a e b são números reais quaisquer com a0.
Resolva a inequação 3(x-4)>x+2.
Solução: 
3(x-4)>x+2
3x-12>x+2  3x-x>2+12 
 2x>14x>7, portanto, o conjunto solução é 
S=xRx7
Exercício Proposto
Resolva as inequações
2(x-1)<5x+3
2x+1x-5
Equações do Segundo Grau
Uma equação do segundo grau, na incógnita x, é toda equação redutível à forma ax²+bx+c=0, em que a, b, e c são constantes reais quaisquer com a0. 
As raízes desse tipo de equação podem ser obtidas por meio da seguinte formula resolutiva:
Na qual o valor de b²-4ac, indicado usualmente como  (delta), é chamado discriminante da equação.
É fácil nota que: 
Se >0, a equação terá duas raízes reais e distintas,
Se =0, a equação terá uma única raiz real.
Se <0, a equação não terá raízes reais.
Exercício
Resolva a equação
X²-4x+3=0
Solução:
Como a=1, b=-4 e c=3, então:
X=3 ou x=1
Portanto, o conjunto solução é S={1,3}
Exercício proposto
A) x²-3x=0
B) x²-9=0
Intervalos
Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:
Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto
	]a,b[ = {x  R|a < x < b}
 que também pode indicar a	 b.
Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto
	[a,b] = {x  R|a  x  b}
 que também pode indicar a b.
Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto
	[a,b[ = {x  R|a  x < b}
 que também pode indicar a b.
Continuando...
Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto
	]a,b] = {x  R|a < x  b}
 que também pode indicar a b.
Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.
exemplo
]2,5[ = {x  R|2 < x < 5} é intervalo aberto
[-1,4] =
[2/5,7[=
]-1/3,2] = 
]-,a[ = {x  R|x < a} que podemos indicar -  a.
]- ,a] =
[a, + [ =
]- , + [ = R
Exemplo
Os intervalos têm representação geométrica sobre a reta real como segue:
]a,b[
[a,b]
[a,b[
]a,b]
]- ,a]
]a,+ [
a
b
Módulo ou Valor Absoluto
Dado um número real x, chamamos de valor absoluto, ou módulo de x, ao número indicado pelo símbolo |x| e dado por
Por exemplo:
|7|=7
|-4|=-(-4)=4
Propriedades do módulo
1) Se |x| = k, então x=k ou x=-k em que k é um número positivo.
2) Se |x| < k, então –k< x<k ou x=-k em que k é uma constante positiva.
3) Se |x| > k, então x>k ou x<-k em que k é uma constante positiva.
Exemplo:
A) |x|=3x=3 ou x=-3
B) |x|<5 -5<x<5
C) |x|>7 x>7 ou x<-7
BIBLIOGRAFIA
Iezzi G. e Murakami C. Fundamentos de Matemática Elementar 1. São Paulo. Atual, 1985. 
Dante, Luiz Roberto. Matemática, contexto e aplicações. V. 3. São Paulo: Ática, 2000.