utf-8''10 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISCRETAS 2

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Divanete Maria Bitdinger de Oliveira
Universidade Tecnológica Federal do 
Paraná
Veremos algumas das distribuições de probabilidade 
mais importantes, que serão úteis ao longo de nosso 
estudo. São elas:
• A distribuição Uniforme Discreta
• A distribuição Binomial
• A distribuição de Poisson
É a mais simples de todas as distribuições de 
probabilidade discretas, é aquela em que a variável 
aleatória assume cada um de seus valores com igual 
probabilidade.
Se a variável X assume os valores 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑘 com igual 
probabilidade, então a distribuição uniforme discreta é 
dada por
𝑓 𝑥; 𝑘 =
1
𝑘
, 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 .
Usamos a notação 𝑓 𝑥; 𝑘 em vez de 𝑓 𝑥 para indicar que 
a distribuição uniforme depende do parâmetro k.
Quando selecionamos uma lâmpada, aleatoriamente, de 
uma caixa que contêm uma lâmpada de 40 watts, uma de 
60 watts, uma de 75 watts e uma de 100 watts, cada 
elemento do espaço amostral S = {40, 60, 75, 100} ocorre 
com probabilidade de ¼. Portanto, temos uma distribuição 
uniforme, com
𝑓 𝑥; 4 =
1
4
, 𝑥 = 40, 60, 75, 100
Quando um dado não adulterado é lançado, cada 
elemento do espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ocorre 
com probabilidade de 1/6. Portanto, temos uma 
distribuição uniforme, com
𝑓 𝑥; 6 =
1
6
, 𝑥 = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5
bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25 e meu colega
tem outros 5 bilhetes, com os números 1, 11, 29, 68 e 93.
Quem tem maior probabilidade de ser sorteado?
Solução: Assumindo a honestidade da rifa, todos os
números tem a mesma probabilidade de ocorrência, com
1/100 para cada um. A variável aleatória ‘o número
sorteado’ segue o modelo Uniforme e, portanto, eu e meu
colega com 5 bilhetes temos a mesma probabilidade de
ganhar a rifa. Ou seja, a probabilidade de ganhar depende
de quantos bilhetes se tem e não da particular escolha do
número.
Nasce do processo de Bernoulli, definido da 
seguinte maneira:
• É um experimento que só pode apresentar dois 
resultados mutuamente exclusivos, um deles 
chamado fracasso e o outro, sucesso;
• A probabilidade de sucesso ou fracasso é a 
mesma ao longo do tempo, ou seja, é inalterável 
de um experimento ao outro;
• Um experimento é independente do outro.
Sabe-se que o processo de usinagem de uma 
peça ainda não está perfeitamente ajustado, o que 
faz com que uma peça em cada dez saia da 
produção com defeito. Pergunta-se: tiradas duas 
peças da linha de produção, quais são as 
probabilidades de que apresentem zero, um ou 
dois defeitos?
Solução:
Vamos chamar de sucesso ao fato de se obter 
uma peça defeituosa (D) e de fracasso ao fato de 
se obter uma peça perfeita (ND) na produção.
Assim temos as seguintes probabilidades:
P(D) = 0,10
P(ND) = 0,90
Teremos nesse exemplo uma sequência de dois 
processos de Bernoulli:
Número de peças 
defeituosas
Probabilidade de 
ocorrência
0 0,81
1 0,18
2 0,01
Assim, a distribuição binomial 
é aquela que resulta do 
cálculo da probabilidade de 
obter k sucessos em n 
tentativas (k = 0, 1, 2, 3, ..., 
n), em que cada tentativa é 
por si mesma um processo 
de Bernoulli.
Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de 80%. Um
grupo de três indivíduos é sorteado, dentre a população
vacinada, e submetido a testes para verificar se a
imunização foi efetivada, evento representado por I. Se
classificarmos como sucesso a ocorrência de imunização
temos a repetição independente de três ensaios de
Bernoulli.
Suponha que desejamos estudar o comportamento da
variável X: número de indivíduos imunizados nesse grupo.
Ela assume os valores 0, 1, 2 e 3 apresentadas na tabela
seguinte.
Consequentemente, a função de probabilidade de X fica
Ou seja, o comportamento de X é completamente determinado pela expressão:
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
3
𝑘
0,8𝑘0,23−𝑘, 𝑘 = 0, 1, 2, 3
ou
𝑃 𝑘 =
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘
Eventos Probabilidade X
𝐼𝐼𝐼 0,83 3
𝐼𝐼 𝐼 0,82. 0,2 2
𝐼 𝐼𝐼 0,82. 0,2 2
𝐼 𝐼 𝐼 0,8. 0,22 1
 𝐼𝐼𝐼 0,82. 0,2 2
 𝐼𝐼 𝐼 0,8. 0,22 1
 𝐼 𝐼𝐼 0,8. 0,22 1
 𝐼 𝐼 𝐼 0,23 0
X 0 1 2 3
𝒑𝒊 0,2
3 3.0,8. 0,22 3. 0,82. 0,2 0,83
Calcula-se a probabilidade de se obter k sucessos em n 
tentativas como :
𝑃 𝑘 =
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘
onde:
n – número de tentativas
k – número de sucessos obtidos em n tentativas
p – probabilidade de um sucesso individual
É dada por:
𝜇 = 𝑛𝑝
No caso das duas peças retiradas da produção do 
exemplo anterior, tem-se:
𝜇 = 2.0,1 = 0,2
É dado por:
𝜎 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
No exemplo que estamos trabalhando,
𝜎 = 2.0,1(1 − 0,1) = 0,4243
Um desportista pratica tiro ao alvo, tentando acertar, em 
sequências de cinco pratos, um por vez. A probabilidade 
de acertar em uma dada tentativa é de 0,95. Determinar a 
distribuição de probabilidade resultante, ou seja, as 
probabilidades de que o desportista acerte 0, 1, 2, 3, 4 ou 
5 pratos em uma sequência. Adicionalmente, determinar a 
média e o desvio padrão da distribuição.
Solução:
Usaremos a equação:
𝑃 𝑘 =
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘
Para k = 0
𝑃 0 =
5!
0! 5 − 0 !
0,950(1 − 0,95)5−0= 0,00000
Para k = 1: 0,00003
Para k = 2: 0,00113
Para k = 3: 0,02256
Para k = 4: 0,20363
Para k = 5: 0,77378. 
Os valores encontrados estão reunidos na tabela abaixo:
O cálculo da média nos fornece:
𝜇 = 𝑛𝑝 = 5 0,95 = 4,75
e o desvio padrão:
𝜎 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 5(0,95)(1 − 0,95) = 0,4873
Número de pratos 
acertados (k)
Probabilidade P(k)
0 0,00000
1 0,00003
2 0,00113
3 0,02256
4 0,20363
5 0,77378
A probabilidade de que um paciente se recupere de uma 
doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas 
contraíram essa doença, qual é a probabilidade de que:
a) Pelo menos dez sobrevivam
b) De três a oito pessoas sobrevivam
c) Exatamente cinco sobrevivam.
Solução:
a) 𝑃 𝑋 ≥ 10 = 1 − 𝑃 𝑋 < 10 = 1 − 0,9662 = 0,0338
b) 𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = 0,9050 − 0,0271 = 0,8779
c) 𝑃 𝑋 = 5 = 0,4032 − 0,2173 = 0,1859
• Esta distribuição é um caso limite da distribuição
binomial, que dá o número de ocorrências de um evento
num intervalo de tempo. Ela se aplica quando se tem um
número muito grande de eventos e quando a
probabilidade de sucesso de cada tentativa é muito
pequena e por isso é também chamada de distribuição
de eventos raros.
• Na prática a distribuição de Poisson se aplica à análise
de controle da qualidade para estabelecer o número de
itens defeituosos ou o número de paradas da máquina,
em um dado intervalo de tempo.
Vamos supor um posto de pedágio, ao qual sabe-se que 
chegam três carros, em média, a cada 10 segundos. A 
questão básica é esta: tendo em vista apenas a 
informação de que chegam, em média, três carros a cada 
10 segundos ao posto, será possível saber a probabilidade 
de que cheguem cinco carros em um dado intervalo de 10 
segundos?
A distribuição de Poisson supõe uma certa unidade de 
exposição na qual há uma certa ocorrência média de um 
evento ou de uma variável aleatória.
No nosso exemplo, a unidade de exposição é o intervalo 
de 10 segundos, e a variável aleatória é o número de 
carros que chegam ao posto.
Precisamos de duas hipóteses adicionais:
• É constante a probabilidade de a variável aleatória tomar 
qualquer dado valor na unidade de exposição;
• As observações são independentes entre si.
Ao conjunto formado pelos valores da variável nessa 
situação e suas respectivas probabilidades, dá-se o nome 
de distribuição de Poisson.
Tendo kcomo variável aleatória representando o número de 
eventos raros, então a probabilidade destes k eventos 
ocorrerem em algum intervalo de tempo especificado (ou 
espaço) é dado pela fórmula: 
𝑃 𝑘 =
𝜇𝑘𝑒−𝜇
𝑘!
onde temos:
𝑃 𝑘 - probabilidade de a variável assumir o valor k por unidade 
de exposição;
𝜇 – valor médio da variável por unidade de exposição;
e – base do sistema de logaritmos naturais (2,7183...).
O desvio padrão de uma distribuição de Poisson é facilmente 
obtido, pois liga-se de forma simples à média:
𝜎 = 𝜇
Retomemos o caso do posto de pedágio, em que chegam, 
em média, três carros a cada 10 segundos. Calculemos as 
probabilidades de que cheguem 0, 1, 2, 3, ... carros em um 
certo intervalo de 10 segundos.
Repare-se de imediato que, em princípio, o número de 
carros que podem chegar em um certo intervalo de 10 
segundos pode ser muito grande, mas a probabilidade de 
chegarem números maiores vai diminuindo rapidamente.
Solução: 
Para k=0:
P 0 =
30e−3
0!
= 0,04979
Da mesma forma, calculamos para os demais valores de k, 
obtendo a seguinte tabela:
Solução:
Como o valor da probabilidade diminui rapidamente, para 
um número de carros maior que 13 já não é mais possível 
calcular a probabilidade dentro da faixa de precisão da 
tabela.
Nº de carros a 
cada 10 
segundos (k)
Probabilidad
e P(k)
Nº de carros a 
cada 10 segundos 
(k)
Probabilidade 
P(k)
0 0,04979 7 0,02161
1 0,14937 8 0,00810
2 0,22406 9 0,00270
3 0,22406 10 0,00081
4 0,16804 11 0,00022
5 0,10082 12 0,00001
6 0,05041 13 0,00001
1. Qual é a probabilidade de que, num determinado minuto,
exatamente dois clientes irão chegar na agência bancária,
sabendo que: no horário de almoço, de 12 às 13 horas, chegam
em média 180 clientes?
2. No problema 1, qual seria a chance de mais de dois clientes
chegarem em um dado minuto?
3. Um processo de produção produz 10 itens defeituosos por hora.
Encontre a probabilidade de que 4 ou mais itens sejam defeituosos
em uma retirada aleatória por hora.
Respostas:
1. 0,2240
2. 0,5768
3. 0,0292
4. Em média há 2 chamadas por hora num certo telefone.
a) Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3
chamadas em 2 horas.
b) Calcular a probabilidade de nenhuma chamada em 90
minutos.
Solução:
a) 𝑃 𝑋 ≤ 3, 2ℎ = 𝑃 𝑋 = 0, 2ℎ + 𝑃 𝑋 = 1, 2ℎ + 𝑃(𝑋 =
• Barbetta, P. A.; Reis, M. M.; Bornia, A. C. Estatística para 
cursos de engenharia e informática. 3 ed. São Paulo, Atlas, 
2010. 
• Fonseca, J. S.; Martins, G. A. Curso de Estatística. 6 ed. São 
Paulo, 1996.
• Levine, D. M. [et al.]. Estatística: teoria e aplicações: usando 
Microsoft Excel em português. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
• Magalhães, Marcos N.; Lima, Antonio P. Noções de 
Probabilidade e Estatística. 6 ed. São Paulo: EDUSP, 2004.
• Walpole, R. E.; Myers, R. H.; Myers, S. L.; Ye, K. 
Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São 
Paulo: Pearson, 2009.