Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: b(2, p) e Y: b(4, p). Se P(X = 2) = 32/81, qual ...

Para encontrar o valor de P(Y = 2), podemos usar a fórmula da distribuição binomial. Sabemos que Y segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 4 e p. Portanto, podemos escrever P(Y = 2) como: P(Y = 2) = C(4, 2) * p^2 * (1 - p)^(4 - 2) Onde C(4, 2) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de 4 elementos tomados 2 a 2. Nesse caso, C(4, 2) = 6. Agora, temos a informação de que P(X = 2) = 32/81. Sabemos que X segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 2 e p. Portanto, podemos escrever P(X = 2) como: P(X = 2) = C(2, 2) * p^2 * (1 - p)^(2 - 2) Onde C(2, 2) = 1. Igualando as duas probabilidades, temos: C(4, 2) * p^2 * (1 - p)^(4 - 2) = C(2, 2) * p^2 * (1 - p)^(2 - 2) Simplificando, temos: 6 * p^2 * (1 - p)^2 = 1 * p^2 * 1^0 6 * p^2 * (1 - p)^2 = p^2 Dividindo ambos os lados por p^2, temos: 6 * (1 - p)^2 = 1 Expandindo o quadrado, temos: 6 * (1 - 2p + p^2) = 1 Simplificando, temos: 6 - 12p + 6p^2 = 1 6p^2 - 12p + 5 = 0 Agora, podemos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de p. Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos: p = (-(-12) ± √((-12)^2 - 4 * 6 * 5)) / (2 * 6) p = (12 ± √(144 - 120)) / 12 p = (12 ± √24) / 12 Simplificando, temos: p = (12 ± 2√6) / 12 p = 1 ± √6 / 6 Portanto, temos duas soluções para p: p1 = (1 + √6) / 6 e p2 = (1 - √6) / 6. Agora, podemos calcular P(Y = 2) para cada valor de p: Para p1 = (1 + √6) / 6: P(Y = 2) = C(4, 2) * ((1 + √6) / 6)^2 * (1 - (1 + √6) / 6)^(4 - 2) Para p2 = (1 - √6) / 6: P(Y = 2) = C(4, 2) * ((1 - √6) / 6)^2 * (1 - (1 - √6) / 6)^(4 - 2) Calculando essas expressões, encontramos: P(Y = 2) ≈ 0,2963 para p1 = (1 + √6) / 6 P(Y = 2) ≈ 0,7037 para p2 = (1 - √6) / 6 Portanto, o valor de P(Y = 2) é aproximadamente 0,2963 quando p = (1 + √6) / 6 e aproximadamente 0,7037 quando p = (1 - √6) / 6.