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FACULDADE PARAÍSO - CE
CONCRETO ARMADO I
Mayco Velasco de Sousa
Engenheiro Civil – Mestre em Engenharia Civil
1
Aula 14: Armadura Transversal
CONSIDERAÇÕES GERAIS
CONCRETO ARMADO I
Considere-se a viga biapoiada, submetida a duas forças F iguais e
eqüidistantes dos apoios, armada com barras longitudinais tracionadas com
estribos, para resistir os esforços de flexão e de cisalhamento,
respectivamente.
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CONSIDERAÇÕES GERAIS
CONCRETO ARMADO I
Para pequenos valores da força F, enquanto a tensão de tração for inferior à
resistência do concreto à tração na flexão, a viga não apresenta fissuras, ou
seja, as suas seções permanecem no Estádio I. Nessa fase, origina-se um
sistema de tensões principais de tração e de compressão.
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CONSIDERAÇÕES GERAIS
CONCRETO ARMADO I
Com o aumento do carregamento, no trecho de momento máximo (entre as
forças), a resistência do concreto à tração é ultrapassada e surgem as primeiras
fissuras de flexão (verticais). Nas seções fissuradas a viga encontra-se no
Estádio II e a resultante de tração é resistida exclusivamente pelas barras
longitudinais. No início da fissuração da região central, os trechos junto aos
apoios, sem fissuras, ainda se encontram no Estádio I.
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CONSIDERAÇÕES GERAIS
CONCRETO ARMADO I
Continuando o aumento do carregamento, surgem fissuras nos trechos entre as
forças e os apoios, as quais são inclinadas, por causa da inclinação das tensões
principais de tração σI (fissuras de cisalhamento). A inclinação das fissuras
corresponde aproximadamente à inclinação das trajetórias das tensões
principais, isto é, aproximadamente perpendicular à direção das tensões
principais de tração.
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CONSIDERAÇÕES GERAIS
CONCRETO ARMADO I
Com carregamento elevado, a viga, em quase toda sua extensão, encontra-se
no Estádio II. Em geral, apenas as regiões dos apoios permanecem isentas de
fissuras, até a ocorrência de ruptura.
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CONSIDERAÇÕES GERAIS
CONCRETO ARMADO I
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MODELO DE TRELIÇA 
CONCRETO ARMADO I
8
O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e Mörsch, no início do
século XX, e se baseia na analogia entre uma viga fissurada e uma treliça.
Considerando uma viga biapoiada de seção retangular, Mörsch admitiu que,
após a fissuração, seu comportamento é similar ao de uma treliça como a
indicada na figura abaixo, formada pelos elementos:
banzo superior → cordão de concreto 
comprimido; 
banzo inferior → armadura longitudinal de 
tração; 
diagonais comprimidas → bielas de concreto 
entre as fissuras; 
diagonais tracionadas → armadura transversal 
(de cisalhamento). 
MODELO DE TRELIÇA 
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Essa analogia de treliça clássica
considera as seguintes hipóteses
básicas:
• fissuras, e portanto as bielas de compressão, com inclinação de 45°;
• banzos paralelos;
• treliça isostática; portanto, não há engastamento nos nós, ou seja, nas
• ligações entre os banzos e as diagonais;
• armadura de cisalhamento com inclinação entre 45° e 90°
MODELO DE TRELIÇA 
CONCRETO ARMADO I
10
Porém, resultados de ensaios
comprovam que há imperfeições na
analogia de treliça clássica. Isso se
deve principalmente a três fatores:
• a inclinação das fissuras é menor que 45°;
• os banzos não são paralelos; há o arqueamento do banzo comprimido, 
principalmente nas regiões dos apoios; 
• a treliça é altamente hiperestática; ocorre engastamento das bielas no banzo 
comprimido, e esses elementos comprimidos possuem rigidez muito maior que 
a das barras tracionadas. 
MODELO DE TRELIÇA 
CONCRETO ARMADO I
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Porém, resultados de ensaios
comprovam que há imperfeições na
analogia de treliça clássica. Isso se
deve principalmente a três fatores:
• a inclinação das fissuras é menor que 45°;
• os banzos não são paralelos; há o arqueamento do banzo comprimido, 
principalmente nas regiões dos apoios; 
• a treliça é altamente hiperestática; ocorre engastamento das bielas no banzo 
comprimido, e esses elementos comprimidos possuem rigidez muito maior que 
a das barras tracionadas. 
MODELO DE TRELIÇA 
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Para um cálculo mais refinado, tornam-se necessários modelos que
considerem melhor a realidade do problema.
Por esta razão, como modelo teórico padrão, adota-se a analogia de treliça,
mas a este modelo são introduzidas correções, para levar em conta as
imprecisões verificadas.
MODOS DE RUÍNA
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Numa viga de concreto armado submetida a flexão simples, vários tipos de
ruína são possíveis, entre as quais:
• ruínas por flexão;
• ruptura por falha de ancoragem no apoio;
• ruptura por esmagamento da biela;
• ruptura da armadura transversal;
• ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento;
• ruína por flexão localizada da armadura longitudinal.
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014
A NBR 6118 considera a hipótese básica da analogia de viga fissurada com
uma treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes
complementares.
A norma dividiu o cálculo segundo dois modelos, os Modelos de Cálculo I e
II. O Modelo de Cálculo I admite a chamada treliça clássica, com ângulo de
inclinação das diagonais comprimidas (θ) fixo em 45°.
Já o Modelo de Cálculo II considera a chamada treliça generalizada, onde o
ângulo de inclinação das diagonais comprimidas pode variar entre 30° e 45°.
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014
Nos dois modelos, devem ser consideradas as etapas de cálculo:
• verificação de compressão na biela;
• cálculo da armadura transversal;
• deslocamento al do diagrama de força no banzo tracionado.
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo I
No Modelo de Cálculo I a NBR 6118 (item 17.4.2.2) adota a treliça clássica de
Ritter-Mörch, ao admitir o ângulo θ de 45o entre as diagonais comprimidas de
concreto (bielas de compressão) e o eixo longitudinal do elemento estrutural, e
a parcela complementar Vc tem valor constante, independentemente da força
cortante solicitante VSd.
Vc é a parcela de força cortante absorvida por
mecanismos complementares ao da treliça não
considerados no modelo de treliça tradicional, e
difíceis de serem quantificados, sendo por isso
adotados valores empíricos.
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo I
1. Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto
Independente da taxa de armadura transversal, deve ser verificada a condição:
( )
( )
2
f Sk
Sd Sd,face
2
é a força cortante solicitante de cálculo γ V ; 
na região de apoio, é ovalor na respectiva face V =V ;
é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína da biela;
no mo
Sd Rd
Sd
Rd
V V
V
V
≤
−
−
( )
2 2
2
2
delo I item 17.4.2.2 da NBR 6118, 2014 : 
0.27
1
25
Rd v cd w
ck
v ck
V f b d
f f emkN cm
α
α
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 = − 
 
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo I
2. Cálculo da armadura transversal:
Além da verificação da compressão na biela, deve ser satisfeita a condição:
3
3 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por traçãodiagonal; 
é parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementaresao de 
treliça resistência ao ci
Sd Rd c sw
Rd
c
V V V V
V
V
≤ = +
−
−
( )salhamento da seção sem armaduratransversal ; 
é a parcela de força absorvida pela armadura transversal.wV −
No cálculo da armadura transversal considera-se VRd3 = VSd, resultando: 
sw Sd cV V V= −
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo I
2. Cálculo daarmadura transversal - Cálculo de VSd
Prescrições da NBR 6118 (2003), item 17.4.1.2.1, para o cálculo da armadura
transversal no trecho junto ao apoio, no caso de apoio direto (carga e reação de
apoio em faces opostas, comprimindo-as):
• para carga distribuída, VSd = VSd,d/2 , igual à força cortante na seção distante
d/2 da face do apoio;
• a parcela da força cortante devida a uma carga concentrada aplicada à distância
a < 2d do eixo teórico do apoio pode ser reduzida multiplicando-a por a/(2d).
Nesses casos, considerar VSd=VSd,face (ou VSd=VSd,eixo) está a favor da segurança.
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo I
2. Cálculo da armadura transversal - Cálculo de Vc
Para modelo I, na flexão simples (item 17.4.2.2.b da NBR 6118, 2014):
( )
0
,inf
2 3 2 3
,inf ,
0.6
0.7 0.7 0.3 0.21
em MPa item 8.2.5 da NBR 6118, 2003
c c ctd w
ctd ctk c
ctk ct m ck ck
ck
V V f b d
f f
f f f f
f
γ
= = ⋅ ⋅ ⋅
=
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo I
2. Cálculo da armadura transversal – Área de aço
De acordo com o modelo I (item 17.4.2.2 da NBR 6118, 2014):
( ) ( ) ( )( )0.9 sen cos
é a área de todos os ramos da armadura transversal; 
é o espaçamento da armadura transversal;
é a tensão na armadura transversal;
 é o ângulo de inclinação da arm
w sw ywd
sw
ywd
V A s d f
A
s
f
α α
α
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
=
=
=
= ( )adura transversal 45° α 90°≤ ≤
( )
( ) ( )( )0.9 sen cos
sw
sw
ywd
VA s
d f α α
=
⋅ ⋅ ⋅ +
A tensão máxima imposta pela norma refere-se ao aço CA-50, pois fyd = 50/1,15 = 435 MPa.
No caso do dimensionamento do estribo ser feito com o aço CA-60, esta tensão máxima
também deve ser obedecida, ou seja, deve-se calcular como se o aço fosse o CA-50.
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo II
No Modelo de Cálculo II a NBR 6118 (item 17.4.2.3) admite que o ângulo de
inclinação das diagonais de compressão (θ) varie livremente entre 30o e 45o e
que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd. Ao
admitir ângulos θ inferiores a 45° a norma adota a chamada “treliça
generalizada”.
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo II
1. Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto
Independente da taxa de armadura transversal, deve ser verificada a condição:
( ) ( ) ( )( )
2
2
2 2
2
2
0.54 sen cotg cotg
1
25
Sd Rd
Rd v cd w
ck
v ck
V V
V f b d
f f emkN cm
α θ α θ
α
≤
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
 = − 
 
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo II
2. Cálculo da armadura transversal - Cálculo de Vc
Para modelo I, na flexão simples (item 17.4.2.2.b da NBR 6118, 2014):
( )
2
1 0
2 0
0
,inf
2 3 2 3
,inf ,
onde:
0.6
0.7 0.7 0.3 0.21
em MPa item 8.2.5 da NBR 6118, 2003
Rd Sd
c c c
Rd c
c ctd w
ctd ctk c
ctk ct m ck ck
ck
V VV V V
V V
V f b d
f f
f f f f
f
γ
−
= =
−
= ⋅ ⋅ ⋅
=
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
MODELOS DE CÁLCULO
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• NBR 6118:2014 – Modelo de Cálculo I
2. Cálculo da armadura transversal – Área de aço
De acordo com o modelo I (item 17.4.2.2 da NBR 6118, 2014):
( )
( ) ( )( ) ( )
sw
o o
0.9 cotg cotg sen
s = espaçamento dos estribos;
A rea de todos os ramos verticais do estribo;
= ângulo de inclinacao dos estribos, o 45 90 ;
 = ângulo de inclinacao das bielas de
sw
sw
ywd
VA s
d f
á
α θ α
α α
θ
=
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
=
≤ ≤
( )
o o
ywd
 compressão,o 30 45 ;
f = tensão máxima no estribo 435MPa para qualquer tipodeaço .
α≤ ≤
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• Armadura Transversal Mínima
Para garantir ductilidade à ruína por cisalhamento, a armadura transversal deve ser
suficiente para suportar o esforço de tração resistido pelo concreto na alma, antes
da formação de fissuras de cisalhamento.
Segundo o item 17.4.1.1.1 da NBR 6118 (2014), a armadura transversal mínima
deve ser constituída por estribos, com taxa geométrica:
( )
( )2 3
ywk
0.2
0.3 item 8.2.5 da NBR 6118, 2014 ;
f = é resistência característica de escoamento da armadura transversal. 
sw ctm
sw
w ywk
ctm ck
A f
b s sen f
f f
ρ
α
= ≥ ⋅
⋅ ⋅
= ⋅
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• Armadura Transversal Mínima
Portanto, a taxa mínima ρsw,min da armadura transversal depende das resistências
do concreto e do aço. Os valores de ρsw,min são dados por:
A armadura mínima é calculada por meio da equação: 
,min ,min
sw
sw sw w
Aa b
s
ρ= = ⋅ ,min ,min 0,9sw sw ywdV b d fρ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Força cortante relacionada 
à taxa mínima de estribos.
,min 0 ,minSd c swV V V= +
MODELOS DE CÁLCULO
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• Diâmetro mínimo e diâmetro máximo
O diâmetro dos estribos devem estar no intervalo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10.
Quando a barra for lisa, φt ≤ 12mm.
• Espaçamento longitudinal mínimo e máximo
O espaçamento mínimo entre estribos, na direção longitudinal da viga, deve ser
suficiente para a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento.
Para que não ocorra ruptura por cisalhamento nas seções entre os estribos, o
espaçamento máximo deve atender às seguintes condições:
2
2
0.67 0.6 300
0.67 0.3 200
Sd Rd máx
Sd Rd máx
V V s d mm
V V s d mm
≤ ⋅ → = ⋅ ≤
> ⋅ → = ⋅ ≤
MODELOS DE CÁLCULO
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• Número de ramos por estribos
O número de ramos dos estribos deve ser calculado em função do espaçamento
transversal máximo, entre ramos sucessivos dos estribos:
2 ,
2 ,
0.20 800
0.20 0,6 350
Sd Rd t máx
Sd Rd t máx
V V s d mm
V V s d mm
≤ ⋅ → = ≤
> ⋅ → = ⋅ ≤
EXEMPLO 1
CONCRETO ARMADO I
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A figura abaixo mostra uma viga biapoiada sob flexão simples, para a qual deve-
se calcular e detalhar a armadura transversal, composta por estribos verticais.
São conhecidos:
concreto C20 ; 
aço CA-50;
γc = γf = 1,4;
γs = 1,15; 
d = 46 cm; 
c = 2,0 cm.
EXEMPLO 1 – Detalhamento
CONCRETO ARMADO I
31
55
DOBRA DO ESTRIBO
CONCRETO ARMADO I
32
“A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou 
barras longitudinais soldadas.” (NBR 6118, item 9.4.6)
Os ganchos dos estribos, conforme a NBR 6118 (item 9.4.6.1), podem ser (ver Figura
5.25): “
a) semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento
igual a 5 φt , porém não inferior a 5 cm;
b) b) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 φt , porém
não inferior a 7 cm (este tipo de gancho não pode ser utilizado para barras e fios
lisos).”
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao valor
apresentado na tabela a seguir:
EXEMPLO 1 – Detalhamento
CONCRETO ARMADO I
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EXEMPLO 2
CONCRETO ARMADO I
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Calcular e detalhar a armadura transversal composta por estribos verticais para as
forças cortantes máximas da viga esquematizada na Figura 5.40. São conhecidos:
C25, CA-50, γs = 1,15, c = 2,5 cm, γc = γf = 1,4, d = 80 cm. A altura da viga
transversal é de 60 cm, responsável pela força de 150 kN.
EXEMPLO 2
CONCRETO ARMADO I
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ARMADURA DE SUSPENSÃO
CONCRETO ARMADO I
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Segundo a NBR 6118 (item 18.3.6), “Nas proximidades de cargas concentradas
transmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiam ao longo
ou em parte de sua altura, ou fiquem nela pendurados, deve ser colocada armadura de
suspensão”.
ARMADURA DE SUSPENSÃO
CONCRETO ARMADO I
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1. Vigas com faces inferiores no mesmo nível
,sup
d
s
yd
VAf
=
A armadura de suspensão As,susp deve ficar distribuída na região próxima ao encontro das
duas vigas, conforme as distâncias indicadas na figura da esquerda. Pode-se considerar
30 % de As,susp colocada na viga apoiada e o restante 70 % na viga que serve de apoio.
ARMADURA DE SUSPENSÃO
CONCRETO ARMADO I
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2. Face inferior da viga apoiada acima da face inferior da viga de apoio
,sup
a d
s
apoio yd
h VA
h f
= ⋅
A armadura de suspensão As,susp deve ficar distribuída na região próxima ao encontro das
duas vigas, conforme as distâncias indicadas na figura da esquerda. Pode-se considerar
30 % de As,susp colocada na viga apoiada e o restante 70 % na viga que serve de apoio.
ARMADURA DE SUSPENSÃO
CONCRETO ARMADO I
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1. Face inferior da viga apoiada abaixo da face inferior da viga de apoio
,sup
d
s
yd
VA
f
=
Na viga que serve de apoio deve ser colocada uma armadura transversal para reforçar a
região que recebe a força da viga apoiada pendurada, com área de armadura:
,sup 2
d
s
yd
VA
f
=
⋅
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