circuitos Segunda Ordem

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Circuitos de Segunda Ordem
Professor: Kennedy Reurison Lopes
Email: kenreurison@dca.ufrn.br
Departamento de Engenharia de Computac¸a˜o e Automac¸a˜o
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Teoria de Circuitos
Prof. Kennedy Lopes Circuitos de Segunda Ordem
Circuitos de Segunda Ordem
Circuitos de Segunda Ordem
Sa˜o circuitos que suas equac¸o˜es se caracterizam por equac¸o˜es de
diferenciais de segunda ordem. Estes circuitos sa˜o caracterizados por
um resistor em conjunto com dois outros dispositivos armazenadores
de energia.
d2i
dt2
+ R
L
di
dt
+ i
LC
= 0
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Exemplos de Circuitos de Segunda Ordem
Prof. Kennedy Lopes Circuitos de Segunda Ordem
Condic¸o˜es iniciais
Considere sempre que a corrente no indutor e´ uma func¸a˜o
cont´ınua e suave.
Considere sempre que a tensa˜o no capacitor e´ uma func¸a˜o
cont´ınua e suave.
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Exemplo 01
Determine a corrente e tensa˜o no indutor e capacitor
respectivamente no instante t = 0+. Considere que a chave estava
fechada por um bom tempo.
Verifique tambe´m os valores para as derivadas de corrente e tensa˜o
no indutor e capacitor.
Resposta:i
L
=2A,v
c
=4V
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Exemplo 01
Determine a corrente e tensa˜o no indutor e capacitor
respectivamente no instante t = 0+. Considere que a chave estava
fechada por um bom tempo.
Verifique tambe´m os valores para as derivadas de corrente e tensa˜o
no indutor e capacitor.
Resposta:i
L
=2A,v
c
=4V
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Exemplo 02
Fac¸a a os mesmos ca´lculos para o capacitor e indutor do circuito
abaixo.
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Circuito RLC - Se´rie
vR + vL + vc = 0
Ri + L didt +
1
C
∫
idt = 0
d2i
dt2 +
R
L
di
dt +
1
LC i = 0
i(t) = A1es1t + A2es2t
Substituindo a soluc¸a˜o na
equac¸a˜o diferencial:
A1es1t
(
s21 +
R
L s1 +
1
LC
)
+
+A2es2t
(
s22 +
R
L s2 +
1
LC
)
= 0
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Circuito RLC - Se´rie
Desta forma, uma poss´ıvel soluc¸a˜o para esse
u´ltimo polinoˆmio ocorre quando s1 e s2 sa˜o
ra´ızes de s2 + (R/L)s + (1/LC) = 0. Ou seja:
s1 = − R2L +
√( R
2L
)2
− 1LC = −α + β
s2 = − R2L −
√( R
2L
)2
− 1LC = −α− β
Sendo α = R/2L, β =
√
α2 − ω20 e
ω0 = 1/
√
LC .
α: Fator de amortecimento.
ω0: Frequeˆncia de ressonaˆncia.
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Circuito RLC - Se´rie
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Circuito RLC - Se´rie
Super-Amortecido:
α > ω0.
Criticamente
amortecido: α = ω0.
Sub-Amortecido:
α < ω0.
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Circuito RLC - Se´rie
Super-Amortecido:
α > ω0.
Criticamente
amortecido: α = ω0.
Sub-Amortecido:
α < ω0.
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Circuito RLC - Se´rie
Super-Amortecido:
α > ω0.
Criticamente
amortecido: α = ω0.
Sub-Amortecido:
α < ω0.
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Circuito RLC - Se´rie
Super-Amortecido:
α > ω0.
Criticamente
amortecido: α = ω0.
Sub-Amortecido:
α < ω0.
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Circuito RLC - Se´rie
Super-Amortecido:
α > ω0.
Criticamente
amortecido: α = ω0.
Sub-Amortecido:
α < ω0.
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Circuito Super-Amortecido (α > w0) - Se´rie
R = 200Ω
L = 0.1H
C = 13.33µF
Q0 = 2.67 mC
Neste caso, β e α sa˜o valores reais
positivos. Lembrando que:
s1 = −α + β
e
s2 = −α− β
Portanto:
i(t) = A1es1t + A2es2t
i(t) = A1e(−α+β)t + A2e(−α−β)t
i(t) = e−αt
(
A1eβt + A2e−βt
)
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Circuito Super-Amortecido (α > w0) - Se´rie
R = 200Ω
L = 0.1H
C = 13.33µF
Q0 = 2.67 mC
i(t) = e−αt
(
A1eβt + A2e−βt
)
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Circuito Criticamente-Amortecido (α = w0) - Se´rie
R = 200Ω
L = 0.1H
C = 10µF
Q0 = 2.67 mC
Neste caso, teremos duas soluc¸o˜es
iguais. Ja´ que β = 0. Portanto, de-
vemos ter uma nova soluc¸a˜o no for-
mato:
i(t) = e−αt (A1 + A2t)
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Circuito Criticamente-Amortecido (α = w0) - Se´rie
R = 200Ω
L = 0.1H
C = 10µF
Q0 = 2.67 mC
i(t) = e−αt (A1 + A2t)
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Circuito Sub-Amortecido (α < w0) - Se´rie
R = 200Ω
L = 0.1H
C = 1µF
Q0 = 2.67 mC
Neste caso, teremos duas soluc¸o˜es
complexas conjugadas. Ja´ que β ∈
C. Portanto, a soluc¸a˜o devera´ estar
no formato:
i(t) = e−αt
(
K1ejβt + K2e−jβt
)
Ou enta˜o:
i(t) = e−αt (A1cos(βt) + A2sen(βt))
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Circuito Sub-Amortecido (α < w0) - Se´rie
R = 200Ω
L = 0.1H
C = 1µF
Q0 = 2.67 mC
i(t) = e−αt (A1cos(βt) + A2sen(βt))
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Circuito RLC - Paralelo
iR + iL + ic = 0
v
R +
1
L
∫ t
0
vdt + C dvdt = 0
d2v
dt2 +
1
RC
dv
dt +
1
LC v = 0
v(t) = A1es1t + A2es2t
Substituindo a soluc¸a˜o na
equac¸a˜o diferencial:
A1es1t
(
s21 +
1
RC s1 +
1
LC
)
+
+A2es2t
(
s22 +
1
RC s2 +
1
LC
)
= 0
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Circuito RLC - Paralelo
Desta forma, uma poss´ıvel soluc¸a˜o para esse
u´ltimo polinoˆmio ocorre quando s1 e s2 sa˜o
ra´ızes de s2 + (1/RC)s + (1/LC) = 0. Ou seja:
s1 = − 12RC +
√( 1
2RC
)2
− 1LC = −α + β
s2 = − 12RC −
√( 1
2RC
)2
− 1LC = −α− β
Sendo α = 12RC , β =
√
α2 − ω20 e
ω0 = 1/
√
LC .
α: Fator de amortecimento.
ω0: Frequeˆncia de ressonaˆncia.
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Circuito RLC - Paralelo
Super-Amortecido:
α2 > ω20.
Criticamente
amortecido: α2 = ω20.
Sub-Amortecido:
α2 < ω20.
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Exemplo Resolvido
Um circuito paralelo RLC com R = 100Ω, C = 0.167µ F , L = 1H
tem tensa˜o inicial de V0 = 50V no capacitor. Determine v(t)
α = 12RC
α2 = 8.96 ∗ 106
ω0 =
1
LC = 5.99x10
6
s1 = −α +
√
α2 − ω20 = −1271
s2 = −α +
√
α2 − ω20 = −4717
Sabendo que V0 = 50 V :
V0 = A1 + A2
dv
dt
∣∣∣∣
t=0
= s1A1 + s2A2 = − V0RC
Resolvendo para A1 e A2, ob-
temos:
v(t) = 155.3e−1271t−105.3e−4717t
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Exemplo Resolvido
Super-Amortecido
v(t) = 155.3e−1271t − 105.3e−4717t
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