3 2+–Teste+de+Médias Testes+Bilaterais 2018

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3.2 –Teste de 
Médias. Testes 
Bilaterais. 
T
E
S
T
E
S
 P
A
R
A
M
É
T
R
IC
O
S
São testes de hipótese que impõe
exigências, tais como:
 igualdade de variância das populações,
 distribuição normal das variâncias e
 a escala de mensuração da variável de
ser no mínimo intervalar.
Relembrando 
a aula passada
 O teste será feito de tal forma que deverá sempre
concluir na rejeição (ou não) de H0.
 Como estamos tomando uma decisão com base em
informações de uma amostra, estaremos sujeitos a
cometer dois tipos de erros.
Hipótese Nula (H0): 
• E a hipótese a ser testada.
Hipótese Alternativa (H1):
• E a hipótese a ser confrontada com H0. 
Teste para a média
 O objetivo do teste de significância
para médias é avaliar afirmações
feitas a respeito de médias
populacionais.
 Há basicamente TRÊS tipos de
afirmação que se podem fazer a cerca
das médias populacionais e cada tipo
requer um tipo diferente de avaliação.
https://blog.opinionbox.com/amostra-como-definir-quantas-entrevistas-fazer-em-uma-pesquisa-de-
mercado/
Te
st
e 
p
ar
a 
a 
m
éd
ia
 Uma afirmação pode dizer respeito a média de uma única
população; a avaliação envolve então um teste de uma
amostra.
 Ou pode-se afirmar que a média de duas populações são
iguais; tem-se então um teste de duas amostras.
 Finalmente pode-se afirmar que a as médias de mais de
duas populações são iguais, o que envolve um teste de K
amostras (Análise de Variância) que será visto em um
capítulo aparte.
Teste para a média (exemplo)
 Uma máquina de encher embalagens
de café está funcionando
adequadamente se colocar 500g em
cada embalagem.
 Para verificar a calibração da
máquina, uma empresa coletou uma
amostra de 40 embalagens, que
resultou em uma média de 498 g.
 Sabe-se que o desvio-padrão do
enchimento da máquina é de 10 g.
 Testar a hipótese de o peso médio das
embalagens na população ser 700 g,
com um nível de significância de 5%.
https://www.comprerural.com/cooperativa-mineira-dobra-producao-mensal-de-cafe/
Teste para a média (exemplo)
 Uma certa máquina produzia arruelas que
tinham a espessura de 0.05 polegadas.
 Para se verificar se a máquina está
trabalhando adequadamente escolheu-se
uma amostra de 10 arruelas cuja a espessura
média foi de 0.053 polegadas e cujo o desvio-
padrão foi de 0.003 polegadas.
 É possível Testar a hipótese da máquina
estar trabalhando adequadamente, usando
𝛼=0.01.
https://www.cimm.com.br/portal/produtos/exibir/26140-arruela-lisa-normalizadas-ou-especiais
Te
st
e 
p
ar
a 
a 
m
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 (e
xe
m
p
lo
)
 Os registros dos últimos anos de uma faculdade,
atestam para os calouros admitidos a nota média 5
na prova de cálculo 1.
 Para testar a hipótese de que a média da nova
turma é a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra
de 20 notas, obtendo-se a média 4,3 e S=0,80.
 Podemos então testar se a nota média dos calouros
em cálculo I é igual a 5.
http://www.jrmcoaching.com.br/blog/coaching-para-universitarios/
Teste de Hipóteses para a media populacional 
(𝜎conhecido)
 Definição das hipóteses:
 ቊ
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻1:𝜇 ≠ 𝜇0
ቊ
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻1: 𝜇 < 𝜇0
ቊ
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻1: 𝜇 > 𝜇0
 Fixar o nível de significância α.
 Definir a estatística de teste:
𝑍 =
ത𝑋 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
∽ 𝑁(0,1)
D
ef
in
ir
 a
 re
g
iã
o
 c
rí
ti
ca
 d
o
 te
st
e 
(R
C
):
 ቊ
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻1:𝜇 ≠ 𝜇0
ቊ
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻1: 𝜇 < 𝜇0
ቊ
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻1: 𝜇 > 𝜇0
Te
st
e 
p
ar
a 
a 
m
éd
ia
 Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor da 
Estatística de teste Z : 
 Se𝑧𝑐 ∈ 𝑅𝐶 ⇒ rejeitar H0 (aceitar H1). 
 Se 𝑧𝑐 ∉ RC ⇒ não rejeitar H0 (não aceitar H1).
 Concluir sobre a decisão tomada no passo anterior
𝑧𝑐 =
ത𝑋 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
∽ 𝑁(0,1)
Teste para a média – Exercício
 Os sistemas de escapamento de uma aeronave
funcionam devido a propelente sólido. A taxa
de queima desse propelente é uma
característica importante do produto. As
especificações requerem que a taxa media de
queima tem de ser 50 centímetros por
segundo.
 Sabemos que a taxa de queima é
normalmente distribuída com desvio padrão
de σ = 2 centímetros por segundo.
 O experimentalista seleciona uma amostra
aleatória de tamanho 25 e obtém uma taxa
media amostral igual a 51,3 centímetros por
segundo.
 Que conclusões poderiam ser tiradas ao nível
de significância, de 0, 05?
http://megaseg.adm.br/index.php/produtos/seguro-de-aeronaves/
Teste para a 
média 
Exercício
As hipóteses que queremos testar são:
H0 : µ = 50 contra H1 : µ diferente de 50. 
Fixamos α = 0, 05; 
A estatística de teste é :
A região crítica é do tipo:
𝑧𝑐 =
ത𝑋 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
∽ 𝑁(0,1)
onde z = zα/2 = z0,025 = 1, 96 (tabela da distribuição 
normal padrão).
Teste para a 
média 
Exercício
 A partir dos dados amostrais temos que:
 Temos que 𝑍𝑐 ∈ 𝑅𝐶 𝑝𝑜𝑖𝑠 3, 25 > 1, 96 ,
portanto, rejeitamos a hipótese nula.
 Baseados nos dados amostrais, podemos
concluir, ao nível de 5% de significância, que
a taxa medita de queima difere de 50
centímetros por segundo.
𝑧𝑐 =
51,3 − 50
2/ 25
= 3,25
Teste para a 
média 
Exercício
 Uma máquina de encher embalagens de
biscoito está funcionando adequadamente
se colocar 700 g em cada embalagem. Para
verificar a calibração da máquina, uma
empresa coletou uma amostra de 40
embalagens, que resultou em uma média de
698 g. Sabe-se que o desvio-padrão do
enchimento da máquina é de 10 g.
 Teste a hipótese de o peso médio das
embalagens na população ser 700 g, com
um nível de significância de 5%.
https://melepimenta.com/2018/01/biscoito-amanteigado-caseiro.html
Teste para a 
média 
Exercício
 A partir dos dados amostrais temos que:
 Temos que 𝑍𝑐 ∈ 𝑅𝐶 𝑝𝑜𝑖𝑠 − 1,265 < − 1, 96 ,
portanto, NÃO rejeitamos a hipótese nula.
𝑧𝑐 =
698 − 700
10/ 40
=
−2
1,581
= −1,2650
Teste para a média Exercício
 Um fabricante de garrafas plásticas
introduz um novo material em sua
fabricação e acredita que aumentará a
resistência média de seu produto, que é de
206 kg.
 A resistência das garrafas plásticas tem
distribuição normal com desvio-padrão de
12 kg.
 Retirou-se uma amostra de 30 garrafas, e
obteve-se uma média amostral de 210 kg.
Ao nível de 10%, o fabricante pode afirmar
que a resistência média de suas garrafas
aumentou?
http://www.mobilizadores.org.br/entrevistas/ao-contrario-do-que-acredita-o-senso-comum-plasticos-
podem-trazer-beneficios/
Teste para a média Exercício
 Um fabricante de garrafas plásticas introduz 
um novo material em sua fabricação e acredita 
que aumentará a resistência média de seu 
produto, que é de 206 kg. 
 A resistência das garrafas plásticas tem 
distribuição normal com desvio-padrão de 12 
kg.
 Retirou-se uma amostra de 30 garrafas, e 
obteve-se uma média amostral de 210 kg. Ao 
nível de 10%, o fabricante pode afirmar que a 
resistência média de suas garrafas aumentou?
 valor critico: 1.2816
 estatística de teste (unilateral): 1.8257 
 decisão: "rejeita H0"
Teste de Hipóteses para a media populacional 
(𝜎desconhecido)
Usamos a distribuição t como estatística de teste, dada por :
com (n − 1) graus de liberdade, e onde 𝜇0é o valor de teste na hipótese nula.
𝑇𝑐 =
ത𝑋 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
Teste de Hipóteses para a media populacional 
(𝜎desconhecido)
▪ Definir a hipótese nula (H0) e a alternativa (H1) ;
▪ Definir um nível de significância α (ex.: α = 0, 05), que irá determinar o
nível de confiança 100(1 − α)% do teste;
▪ Determinar a região de rejeição com base no nível de significância → Tc
(com gl = n − 1) ;▪ Calcular a estatística de teste, sob a hipótese nula :
▪ Rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste calculada estiver dentro
da região de rejeição (|tcalc | > |tcrit|).
𝑇𝑐 =
ത𝑋 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
Teste de Hipóteses para a media 
populacional (𝜎 desconhecido)
A vida média das lâmpadas produzidas por
uma empresa era de 1.120 horas.
Uma amostra de 8 lâmpadas extraída
recentemente apresentou a vida média de
1070 horas, com desvio-padrão de 125 horas, e
distribuição próxima da normal.
Testar a hipótese de que a vida média das
lâmpadas não tenha se alterado, ao nível de
1% de significância.
http://sonharsignificado.blogspot.com.br/2016/08/sonho-com-lampadas-o-que-significa.html
Teste de Hipóteses para a media 
populacional (𝜎desconhecido)
valor critico (tabela) -3.4995 ; 3.4995
estatística de teste -1.1314 
Decisão: não rejeita H0
𝑇𝑐 =
1.070−1.120
125/ 8
=
−50
44,1945
= −1,1314
EXERCÍOS -Teste 
de Hipóteses para 
a media 
populacional (𝜎
desconhecido)
Um fabricante afirma que seus cigarros
contém não mais que 30 mg de nicotina.
Uma amostra de 25 cigarros fornece média
de 31,5 mg e desvio padrão de 3 mg (com
distribuição normal). Ao nível de 5%, os
dados refutam ou não a afirmação do
fabricante?
https://noticias.uol.com.br/saude/ultimas-noticias/redacao/2018/02/01/stf-julga-proibicao-de-cigarros-com-sabor.htm
EXERCÍOS -Teste 
de Hipóteses para 
a media 
populacional 
(𝜎desconhecido)
Um fabricante afirma que seus cigarros contém não
mais que 30 mg de nicotina.
Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 31,5
mg e desvio padrão de 3 mg (distribuição normal). Ao
nível de 5%, os dados refutam ou não a afirmação do
fabricante?
valor critico (tabela) : 1,711
estatística de teste -1.1314 
Decisão: Rejeita-se H0, ou seja, há evidências de que os cigarros contenham mais de 
30g de nicotina.
𝑇𝑐 =
31,5−30
3/25
=
1,5
0,6
= 2,5
EXERCÍCIOS -Teste de Hipóteses 
para a media populacional (𝜎
desconhecido)
 Uma máquina é projetada para fazer
esferas de aço de 1 cm de raio. Uma
amostra de 10 esferas é produzida, e
tem raio médio de 1,004 cm, com s = 0,
003.
 Há razões para suspeitar que a
máquina esteja produzindo esferas
com raio maior que 1 cm? (Use um
nível de significância de 10%, n=10).
https://produto.mercadolivre.com.br/MLB-951129921-esfera-de-aco-cromo-2mm-100-esferas-_JM
 Uma máquina é projetada para
fazer esferas de aço de 1 cm de
raio. Uma amostra de 10 esferas é
produzida, e tem raio médio de
1,004 cm, com s = 0, 003.
 Há razões para suspeitar que a
máquina esteja produzindo
esferas com raio maior que 1 cm?
(Use um nível de significância de
10%).
O que eu quero testar?
Teste unicaudal.
ቊ
𝐻0: 𝜇 = 1 𝑐𝑚
𝐻1:𝜇 > 1𝑐𝑚
EXERCÍOS -Teste de Hipóteses 
para a media populacional (𝜎
desconhecido)
 Uma máquina é projetada para fazer 
esferas de aço de 1 cm de raio. Uma 
amostra de 10 esferas é produzida, e 
tem raio médio de 1,004 cm, com s = 0, 
003.
 Há razões para suspeitar que a máquina 
esteja produzindo esferas com raio 
maior que 1 cm? (Use um nível de 
significância de 10%).
 valor critico 1.383 
 estatística de teste: 4.2164 
 decisão rejeita H0
Teste para a 
diferença de duas 
médias
Teste para a 
diferença de 
duas médias
 Neste teste podemos comparar a
eficácia de 2 tratamentos diferentes ou
testar a eficácia de uma nova terapia em
relação a um método terapêutico
atualmente em uso.
 Ao grupo que se aplica o novo método,
novo medicamento chamaremos grupo
experimental enquanto que ao grupo
que recebe o método comum ou
medicamentos usuais, chamaremos
GRUPO CONTROLE.
Teste para a diferença de duas 
médias (exemplo)
 Uma máquina automática enche latas com
base no peso líquido com um desvio-padrão
de 5 gr.
 Duas amostras retiradas em dois períodos
de trabalho consecutivo de 10 e 20 latas,
forneceram pesos líquidos médios de 184,6
e 188,9 gr. respectivamente.
 Desconfia-se que a regulagem da máquina,
quanto ao peso médio fornecido possa Ter
sido modificado entre a coleta das duas
amostras. Qual a conclusão a um nível de
1%?
http://savametais.com.br/latas-de-aluminio
Teste para a diferença de duas 
médias (exemplo)
 Um fabricante de pneus faz dois tipos.
Para o tipo A, 𝜃 = 25.00 milhas, e para o
tipo B, 𝜃 = 3.000 milhas.
 Um táxi testou 50 pneus do tipo A e 40
do tipo B, obtendo 24.000 milhas e
26.000 milhas de duração média dos
respectivos tipos.
 Adotando-se um risco , testar a hipótese
de que a vida média dos dois tipos é a
mesma.
Teste de significância para a diferença entre duas médias 
populacionais independentes.
 Amostras grandes n >30 e/ou desvios padrões conhecidos.
 Para a realização do teste exige que as duas amostras sejam
independentes, uma de cada população.
 Duas amostras são independentes se a amostra extraída de
uma das populações não tem qualquer relação com a
amostra extraída da outra.
Teste de significância para a diferença entre duas médias 
populacionais independentes.
Esses testes são frequentemente usados para comparar:
 dois métodos de ensino,
 duas marcas,
 duas cidades,
 dois distritos escolares,
 e outros casos análogos.
Teste de significância para a diferença entre duas médias 
populacionais independentes.
Ao testar as hipóteses para diferença entre duas médias
supõe-se que:
 As duas amostras são independentes;
 O tamanho das duas amostras são grandes n1 > 30 e
n2 > 30 e/ou as variâncias são conhecidas.
Teste de significância para a diferença entre 
duas médias populacionais independentes.
De acordo com o teorema do limite
central quando o tamanho da amostra
for maior do que 30 a distribuição
normal constitui aproximação razoável
da distribuição das médias amostrais.
Teste de significância para a diferença entre duas médias 
populacionais independentes.
Por raciocínio análogo os valores de 𝑋1 − 𝑋2 também
tendem para uma distribuição normal com media 𝜇1−𝜇2.
Quando ambas as amostras são grandes, a propriedade
seguinte das variâncias leva-nos a concluir que os valores
de 𝑥1 − 𝑥2 tem um desvio padrão dado por:
𝐷𝑃𝑥1−𝑥2 =
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
Teste de significância para a diferença entre duas médias 
populacionais independentes.
A variância da diferença entre duas variáveis aleatórias
independentes é igual a soma das variâncias destas
variáveis.
Assim, como Z é um score padronizado que corresponde
a:
𝑍 =
(𝑋1 − 𝑋2) − ( 𝜇1−𝜇2)
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑍 =
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
Teste de significância para a diferença entre duas médias 
populacionais independentes.
Quanto às hipóteses temos que:
A hipótese nula pode ser de que as duas populações tem
médias iguais.
ቊ
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1:𝜇1 ≠ 𝜇2
ቊ
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2
ቊ
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2
Exercício
 Um fabricante de pneus faz
dois tipos. Para o tipo A, 𝜎𝐴
= 2.500 milhas, e para o
tipo B, 𝜎𝐵= 3.000 milhas.
 Um táxi testou 50 pneus do
tipo A e 40 do tipo B,
obtendo 24.000 milhas e
26.000 milha de duração
média dos respectivos
tipos.
 Adotando-se um risco
𝛼=4%, testar a hipótese de
que a vida média dos dois
tipos é a mesma.
https://osabio.com.br/suspeito-vai-de-taxi-para-assalto-e-paga-com-dinheiro-roubado/
Exercício
 ቊ
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 ⟹ 𝜇1 − 𝜇2 = 0
𝐻1:𝜇1 ≠ 𝜇2
 𝛼 = 0,04/2 ⟹ 0,02
 Aceita-se H0 se −𝑍𝛼
2
< 𝑍 < 𝑍𝛼
2
 Rejeita-se H0 se Z ≤ −𝑍𝛼
2
< 𝑜𝑢 𝑍 ≥ −𝑍𝛼
2
 𝑍𝛼
2
=2,06 ou 2,05
Exercício
 ቊ
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 ⟹ 𝜇1 − 𝜇2 = 0
𝐻1:𝜇1 ≠ 𝜇2
 𝛼 =0,04/2 ⟹ 0,02
 Aceita-se H0 se −𝑍𝛼
2
< 𝑍 < 𝑍𝛼
2
 Rejeita-se H0 se Z ≤ −𝑍𝛼
2
< 𝑜𝑢 𝑍 ≥ −𝑍𝛼
2
 𝑍𝛼
2
=2,05
Exercício
Estuda-se o conteúdo de nicotina de duas marcas de
cigarros (A e B), obtendo-se os seguintes resultados.
 A: 17; 20; 23; 20
 B: 18; 20; 21; 22; 24
 Estatísticas (n, número de observações, ത𝑋 𝑒 ത𝑌 as
médias e S os as variâncias:
Admitindo que o conteúdo de nicotinas das duas
marcas tem distribuição normal e que as variâncias
populacionais são iguais, com 𝛼 =0,05, pode-se
afirmar que existe alguma diferença significativa no
conteúdo médio de nicotina nas duas marcas?
Exercício
Nosso interesse é testar as seguintes hipóteses:
Podemos agora substituir na fórmula!
𝑍 =
𝑋 − 𝑌
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2