TESTE DE HIPÓTESE PARA COMPARAÇÃO DE MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES COM AMOSTRAS INDEPENDENTES E DADOS EMPARELHADOS

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TESTE DE HIPÓTESE PARA COMPARAÇÃO DE MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES COM 
AMOSTRAS INDEPENDENTES E DADOS EMPARELHADOS 
 
1. (P2 2012.1) Se desejamos testar a igualdade de médias de duas populações diferentes com 
um tamanho de amostra pequena e variância populacional desconhecida, deveremos: 
(A) utilizar a distribuição t-student. 
(B) realizar antes um teste para checar a igualdade da variância de duas populações para só 
então decidirmos se poderemos usar a t-student ou não. 
(C) usar a estatística F, mas não a t-student. 
(D) usar a distribuição qui-quadrado. 
(E) usar a distribuição normal padronizada. 
Resposta: Utiliza-se o teste t de variância agrupada para determinar a existência de diferença 
significativa entre as médias aritméticas de duas populações. 
 
2. (P2 2016.1) Um pesquisador está interessado em investigar se existe diferença entre a idade 
média dos egressos do mestrado profissional e mestrado acadêmico no Brasil. O teste 
estatístico que o pesquisador deve utilizar para esse propósito é o: 
(A) Teste de independência. 
(B) Teste de qui-quadrado. 
(C) Teste F. 
(D) Teste Z. 
(E) Teste de hipótese para comparação de médias de duas populações com amostras 
independentes. 
Resposta: Por se tratar de duas populações diferentes esse o mestrado profissional e mestrado 
acadêmico no Brasil, são independentes contudo seu H0 = mestrado profissional = mestrado 
acadêmico no Brasil. 
 
 
3. (PS 2016.1) Os gastos médios com cinema da população do Rio de Janeiro são maiores que 
os da população de São Paulo. Supondo que seja realizado um teste de comparação para 
amostras independentes, as hipóteses nula e alternativa são respectivamente: 
(A) 𝐻𝑜: μ𝑆𝑃 − μ𝑅𝐽 = 0; 𝐻𝑎: μ𝑆𝑃 − μ𝑅𝐽 >0. 
(B) 𝐻𝑜: μ𝑆𝑃 = μ𝑅𝐽; 𝐻𝑎: μ𝑆𝑃 ≠ μ𝑅𝐽. 
(C) 𝐻𝑜: μ𝑆𝑃 ≥ μ𝑅𝐽; 𝐻𝑎: μ𝑆𝑃 < μ𝑅𝐽. 
(D) 𝐻𝑜: μ𝑆𝑃 < μ𝑅𝐽; 𝐻𝑎: μ𝑆𝑃 ≥ μ𝑅𝐽. 
(E) 𝐻𝑜: μ𝑆𝑃 > μ𝑅𝐽; 𝐻𝑎: μ𝑆𝑃 < μ𝑅𝐽 
Resposta: Os gastos médios do Rio de Janeiro são maiores do que os gastos médios de São 
Paulo, por se tratar de amostras independentes dizemos que é maior ou igual, já a hipótese 
alternativa é que os gastos médio do Rio de Janeiro são menores do que o de São Paulo, caso 
as hipóteses não fossem iguais, diríamos que RJ diferente de SP. 
4. (PS 2014.1) Suponha uma amostra de tamanho n1 = 8, com média aritmética da amostra 
correspondente a 42 e desvio padrão igual a 4, e uma outra amostra independente, de 
tamanho n2 = 15, extraída de uma outra população, com uma média aritmética de amostra 
correspondente a 34 e um desvio padrão igual a 5. Qual o valor aproximado da estatística do 
teste t (estat.) de variância agrupada, para testar a hipótese nula de que µ1 = µ2? 
(A) t = 2,5485 
(B) t = 1,9673 
(C) t = 2,5246 
(D) t = 4,002 
(E) t = 3,8959 
Memória de Cálculo: 
 N1= 8 
 Média 1 = 42 
 Desvio padrão 1 = 4 
 N2= 15 
 Média 2 = 34 
 Desvio-padrão = 5 
Cálculo: 
 
( ) ( ) 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
 √
 
 
 
 
 
 
( ) 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: o valor aproximado da estatística do teste t (estat.) de variância agrupada, para testar 
a hipótese nula de que µ1 = µ2 é t = 3,8962. 
5. (P2 2012.2) Considere o seguinte teste de hipótese: 
H0 : µ1 = µ2 
Ha : µ1 ≠ µ2 
Em que: 
µ1 = escolaridade média de todos os residentes no estado de São Paulo. 
µ2 = escolaridade média de todos os residentes no estado do Rio de Janeiro. 
Para testar essas hipóteses, coletou-se uma amostra aleatória e independente de indivíduos de 
ambos os estados. A tabela a seguir resume os resultados dessa pesquisa: 
Estatística descritiva SP RJ 
Média 7,0 6,2 
Desvio-padrão 1 1 
N 61 61 
Diante das informações fornecidas, considerando a existência de homogeneidade de variâncias 
entre as amostras coletadas e um nível de significância de 5%, aponte o resultado do teste de 
hipótese. 
(A) Não se rejeita a hipótese nula, uma vez que a estatística de teste t foi de aproximadamente 
4,42 e o t crítico foi de 1,98. 
(B) Rejeita-se a hipótese nula, uma vez que a estatística do teste t foi de aproximadamente 4,42 
e o t crítico foi de 1,98. 
(C) Não se rejeita a hipótese nula, uma vez que a estatística do teste t foi de aproximadamente 
1,35 e o t crítico foi de 1,98. 
(D) Rejeita-se a hipótese nula, uma vez que a estatística do teste t foi de aproximadamente 1,35 
e o t crítico foi de 2,00. 
(E) Rejeita-se a hipótese nula, uma vez que a estatística do teste t foi de aproximadamente 3,35 
e o t crítico foi de 1,98. 
Memória de Cálculo: 
 N1= 61 
 Média 1 = 7 
 Desvio padrão 1 = 1 
 N2= 61 
 Média 2 = 6,2 
 Desvio-padrão = 1 
Cálculo: 
 
( ) ( ) 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
 √
 
 
 
 
 
 
( ) 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
Resposta: Rejeita-se a hipótese nula, uma vez que a estatística do teste t foi de 
aproximadamente 4,42 e o t crítico foi de 1,98. 
 
 
 
6. (PS 2014.1) A Secretaria de Ação Social de um município no estado de Minas Gerais 
pretende lançar um programa de qualificação de jovens para o mercado de trabalho. Então, 
resolveu pesquisar se a idade de jovens do sexo masculino que ingressam no mercado de 
trabalho é maior que a idade de jovens do sexo feminino. Para isso, foram coletadas duas 
amostras aleatórias, a primeira composta por 99 jovens do sexo masculino, com idade média 
de 17,6 anos e desvio padrão de 1,92 ano. E a segunda amostra com 120 jovens do sexo 
feminino com idade média de 16,5 anos e desvio padrão de 1,80 ano. Com 95% de 
confiança, é possível afirmar que a idade média dos jovens do sexo masculino em relação 
aos jovens do sexo feminino é estatisticamente: 
(A) maior, uma vez que a estatística t observável é 3,3426 e o t crítico é 1,645. 
(B) menor, uma vez que a estatística t observável é – 3,1986 e o t crítico é – 1,645. 
(C) igual, uma vez que a estatística t observável é 1,3395 e o t crítico é 1,960. 
(D) maior, uma vez que a estatística t observável é 4,3671 e o t crítico é 1,645. 
(E) menor, uma vez que a estatística t observável é – 3,1986 e o t crítico é – 1,960. 
Memória de Cálculo: 
 N1= 99 
 Média 1 = 17,6 
 Desvio padrão 1 = 1,92 
 N2= 120 
 Média 2 = 16,5 
 Desvio-padrão = 1,8 
Cálculo: 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
 √
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
Resposta: é possível afirmar que a idade média dos jovens do sexo masculino em relação aos 
jovens do sexo feminino é estatisticamente maior, uma vez que o t estudado é 4,36. 
 
7. (PS 2016.1) Uma fabricante de lâmpadas afirma que a vida útil de suas lâmpadas (em horas) 
é maior que a do concorrente (o líder de mercado). Você realiza um estudo com 14 dessas 
lâmpadas e 16 do líder de mercado selecionados aleatoriamente. Os resultados do fabricante 
são: 𝑥1 = 1.275; 𝑠1 = 45; 𝑛1 = 14; e do concorrente são 𝑥2 = 1.250; 𝑠2 = 30; 𝑛2 = 16. Ao um 
nível de significância de 5%, há evidência suficiente para confirmar a alegação do fabricante? 
Assuma que as variâncias são desconhecidas, mas supostamente iguais. 
(A) Rejeita-se a hipótese nula e há evidência para aceitar alegação do fabricante. 
(B) Aceita-se a hipótese nula e não há evidência para aceitar alegação do fabricante. 
(C) Rejeita-se a hipótese alternativa e não há evidência para aceitar alegação do fabricante. 
(D) Rejeita-se a hipótese alternativa e há evidência para aceitar alegação do fabricante. 
(E) Rejeita-se a hipótese nula e não há evidência para aceitaralegação do fabricante. 
Memória de Cálculo: 
 N1= 14 
 Média 1 = 1.275 
 Desvio padrão 1 = 45 
 N2= 16 
 Média 2 = 1.250 
 Desvio-padrão = 30 
Cálculo: 
 
( ) ( ) 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
 √
 
 
 
 
 
 
( ) 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: T estudado > t crítico, portanto rejeita a hipótese nula, ou seja e há evidência para 
aceitar alegação do fabricante. 
 
 
8. (P2 2012.1) Um estudo direcionado a medir o valor da hora-aula dos professores 
universitários utilizou duas regiões metropolitanas. Na região A, aferiu um valor médio de R$ 
85,00 com desvio-padrão de R$ 20,00. Na região B, o valor da hora-aula foi de R$ 65,00 com 
desvio-padrão de R$ 10,00. Foram entrevistados 40 professores na região A e 50 na região 
B. Utilizando um nível de significância α = 0,01, é correto afirmar que: 
(A) há indícios de que as médias populacionais das regiões A e B são diferentes. 
(B) não há indícios de que as médias populacionais das regiões A e B são diferentes. 
(C) não é possível afirmar se as médias populacionais são iguais. 
(D) as médias amostrais são iguais. 
(E) a estatística de teste a ser utilizada é nula. 
Memória de Cálculo: 
 N1= 40 
 Média 1 = 85 
 Desvio padrão 1 = 20 
 N2=50 
 Média 2 = 65 
 Desvio-padrão = 10 
Cálculo: 
 
( ) ( ) 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
 √
 
 
 
 
 
 
( ) 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
Resposta: t estudado < t crítico, portanto aceita a hipótese nula, afirmando que são diferentes. 
 
9. (PS 2014.1) Um laboratório de análises químicas quer verificar se compostos químicos de 
marcas comerciais possuem tempos médios de reação (minutos) diferentes, quando 
submetidos a duas temperaturas (50 e 60 0C). Dos testes estatísticos apresentados a seguir, 
o indicado para tal situação é: 
(A) Comparação de médias para amostras pareadas. 
(B) ANOVA. 
(C) Teste de hipótese para igualdade de variância. 
(D) Comparação de médias para amostras independentes. 
(E) Regressão linear simples. 
Resposta: O laboratório deseja realizar uma análise onde compara as marcas em reação em 
duas temperaturas diferentes, ou seja, os dados da primeira temperatura de todas as marcas 
estarão pareados. 
10. (PS 2012.2) Qual a condição para que o valor crítico de um Teste t para 95% de confiança 
seja menor (em módulo) que o valor crítico de um Teste Z, nas mesmas condições de 
confiança, média e desvio-padrão? 
(A) Que as amostras sejam pareadas. 
(B) Que a distribuição de Student contenha poucas amostras. 
(C) Que o desvio-padrão seja menor que a media. 
(D) Que as variâncias sejam equivalentes. 
(E) Não existe possibilidade de o valor crítico para o Teste t ser menor (em módulo) que o do 
Teste Z. 
Resposta: Para qualquer valor do gl para o teste T não existe a possibilidade de ser menor em 
módulo que o do teste Z, pois o Z é só 1,96. 
11. (P2 2014.2) Uma pesquisa teve por objetivo verificar se a renda dos trabalhadores aumentou 
após sua participação em uma política pública de qualificação profissional. O estatístico que 
testou tal hipótese apresentou os seguintes resultados: 
· Foi coletada a renda de 25 trabalhadores antes e após a participação na política pública. 
· O desvio-padrão da diferença entre as médias foi de R$65,30. 
· A estatística do teste t foi de 10,9. 
· O grau de confiança do teste foi de 95%. 
Com base nas informações disponíveis, é correto afirmar que, na amostra, após a participação 
na política pública, a renda dos trabalhadores: 
(A) incrementou, em média, R$142,35. 
(B) incrementou, em média, R$342,89. 
(C) incrementou, em média, R$711,77. 
(D) diminuiu, em média, R$150,77. 
(E) diminuiu, em média, R$334,77. 
Cálculo: 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
Resposta: é correto afirmar que, na amostra, após a participação na política pública, a renda 
dos trabalhadores incrementou, em média, R$142,35. 
 
 
 
12. (PS 2016.1) Uma empresa de engenharia de alimentos quer verificar se compostos químicos 
de marcas comerciais possuem tempo médio de reação (minutos) diferentes, quando 
submetidos a duas temperaturas (50 e 60ºC). Dos testes estatísticos apresentados a seguir, 
o teste indicado para a análise é: 
(A) Comparação de médias para amostras independentes. 
(B) Regressão linear simples. 
(C) Comparação de médias para amostras pareadas. 
(D) ANOVA. 
(E) Teste de hipótese para igualdade de variância. 
Resposta: A empresa deseja realizar uma verificação onde compara compostos químicos em 
reação em duas temperaturas diferentes, ou seja, os dados da primeira temperatura de todas os 
compostos químicos estarão pareados. 
 
 
13. (PS 2016.1) Como controle de qualidade na usina sucroalcooleira são realizados diversos 
testes físico-químicos e microbiológicos da matéria-prima, do produto em processo e do 
produto final. De acordo com a Portaria n. 152 de 6 de dezembro de 2013 do MAPA 
(Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento), o controle da pol (porcentagem 
aparente de sacarose ºZ) do açúcar tipo branco cristal deve ser de no mínimo 99,5ºZ. Para 
observar a variabilidade da pol do açúcar, um estudante de graduação coletou dados do 
laboratório industrial de duas usinas (A e B) da região noroeste do Estado de São Paulo, 
conforme consta na Tabela 1. Sabe-se que para a determinação da média e desvio-padrão, 
foram coletados os resultados de 30 análises de cada unidade industrial realizada ao longo 
de um dia da safra. 
Tabela 1 – Resultados obtidos dos laboratórios industriais das usinas A e B 
 
Usina A Usina B 
N 31 31 
Média da Pol do açúcar branco cristal (ºZ) 99,7 99,6 
Desvio-padrão 0,3 0,4 
 
Com 5% de significância, pode-se concluir que: 
(A) aceita-se H1 ao nível de significância de 5%, as variâncias são significativamente iguais. 
(B) rejeita-se H0 ao nível de significância de 5%, conclui-se que as variâncias são diferentes na 
população. 
(C) rejeita-se H0 ao nível de significância de 2,5%, conclui-se que as variâncias são diferentes na 
população. 
(D) não se rejeita H0 ao nível de significância de 2,5%, conclui-se que as variâncias são iguais na 
população. 
(E) não se rejeita H0 ao nível de significância de 5%, conclui-se que as variâncias são iguais na 
população. 
Memória de Cálculo: 
 N1= 31 
 Média 1 = 99,7 
 Desvio padrão 1 = 0,3 
 N2=31 
 Média 2 = 99,6 
 Desvio-padrão = 0,4 
 
Cálculo: 
 
( ) ( ) 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
 √
 
 
 
 
 
 
( ) 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
Resposta: T estudado < T crítico, portanto não rejeita H0 a um nível de significância de 5% 
 
O ENUNCIADO ABAIXO SERÁ UTILIZADO PELAS SEIS PRÓXIMAS QUESTÕES. 
(P2 2018.2) A diretoria de marketing de uma cadeia de lojas de produtos para o público feminino 
deseja descobrir se os valores médios das compras realizadas nas suas lojas A, B e C podem 
ser considerados iguais. Para realizar o estudo, foi tirada, de cada loja, uma amostra aleatória de 
50 compras. O resultado foi o seguinte: 
 
Loja Valor médio Desvio padrão 
A R$ 140,00 R$ 38,00 
B R$ 185,00 R$ 54,00 
C R$ 192,00 R$ 58,00 
 
15. De acordo com os dados, o erro padrão do valor das compras realizadas na loja B é de, 
aproximadamente: 
(A) R$1,08. 
(B) R$10,98. 
(C) R$0,36. 
(D) R$7,64. 
(E) R$4,41. 
Cálculo: 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
Resposta: o erro padrão do valor das compras realizadas na loja B é de, aproximadamente 
7,64. 
16. Considerando que as variâncias populacionais dos valores das compras realizadas nas lojas 
A e B sejamconhecidas, num teste de igualdade entre as médias dessas lojas a estatística 
de teste será, aproximadamente, de: 
(A) 8,67. 
(B) 0,74. 
(C) 1,82. 
(D) 10,41. 
(E) 4,82. 
 
Cálculo: 
 
( ) ( ) 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
( ) ( )
 √
 
 
 
 
 
 
( ) 
 √
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: num teste de igualdade entre as médias dessas lojas a estatística de teste será, 
aproximadamente de 4,82. 
17. No caso de um teste de hipóteses de igualdade de variâncias, a estatística de teste a ser 
usada segue a distribuição: 
(A) poisson. 
(B) binomial. 
(C) normal. 
(D) F. 
(E) student 
Resposta: Utilizamos o teste F, para teste de hipóteses que são homocedasticidade, ou seja, 
igualdade de variância. 
18. Num teste de hipóteses de igualdade das variâncias dos valores das compras realizadas nas 
lojas A e C, o valor da estatística de teste é, aproximadamente, de: 
(A) 1,01. 
(B) 2,33. 
(C) 0,96. 
(D) 5,28. 
(E) 3,54. 
Cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: o valor da estatística de teste é, aproximadamente, de 2,33. 
19. Caso não seja conhecido, o estimador do desvio padrão populacional do valor das compras 
realizadas na loja B será igual a: 
(A) R$54,00. 
(B) R$2.916,00. 
(C) R$0,30. 
(D) R$7,40. 
(E) R$3,40. 
Resposta: R$ 54, pois o exercício já disponibiliza essa informação. 
20. A diretoria encomendou um teste de hipóteses para verificar se o valor médio das compras 
realizadas na loja A pode ser considerado igual a R$150,00. Nesse caso, a estatística de 
teste é, aproximadamente, de: 
(A) -1,86. 
(B) 0,40. 
(C) 3,15. 
(D) -3,15. 
(E) 2,15. 
Cálculo: 
 
 
 
√ 
 
Resposta: a estatística de teste é, aproximadamente, de -1,86. 
O ENUNCIADO ABAIXO SERÁ UTILIZADO PELAS CINCO PRÓXIMAS QUESTÕES. 
(PS 2018.2) Uma chocolateria possui uma loja em dois shoppings da cidade, as lojas A e B. Um 
levantamento sobre o faturamento diário dessas lojas utilizou amostras de 25 dias, escolhidos 
aleatoriamente, e o resultado foi o seguinte: 
 Loja A Loja B 
Faturamento médio R$ 4.380,00 R$ 3.950,00 
Desvio padrão R$ 840,00 R$ 761,00 
Tamanho da amostra 25 25 
 
21. Caso a chocolateria queira fazer um teste de hipóteses para comparação de variâncias 
populacionais do faturamento diário das lojas A e B, encontrará estatística de teste de, 
aproximadamente: 
(A) 0,32. 
(B) 1,22. 
(C) 1,98. 
(D) 1,10. 
(E) 2,12. 
Cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: encontrará estatística de teste de, aproximadamente 1,22. 
22. Tendo-se em conta que as variâncias amostrais dos faturamentos diários das lojas A e B 
possam ser consideradas iguais, a estimativa agrupada da variância populacional será de, 
aproximadamente: 
(A) 802.400. 
(B) 342.630. 
(C) 807.000. 
(D) 669.000. 
(E) 642.361. 
Cálculo: 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a estimativa agrupada da variância populacional será de, aproximadamente 642,361. 
23. É correto dizer que, no caso de a variância populacional não ser conhecida, o estimador da 
variância populacional do faturamento diário da loja B é igual a: 
(A) 308.774. 
(B) 28. 
(C) 761. 
(D) 147. 
(E) 579.121 
Cálculo: 
 
Resposta: o estimador da variância populacional do faturamento diário da loja B é igual a 
579.121. 
24. O gerente da loja B precisa saber se o faturamento diário da sua loja pode ser considerado, 
pelo menos, igual a R$4.200,00. Nesse caso, a estatística de teste a ser obtida no teste de 
hipóteses a ser feito é de, aproximadamente: 
(A) 2,58. 
(B) -3,12. 
(C) -0,15. 
(D) -1,64. 
(E) 1,96. 
Cálculo: 
 
 
 
√ 
 
Resposta: a estatística de teste a ser obtida no teste de hipóteses a ser feito é de, 
aproximadamente -1,64. 
 
25. (PS 2018.2) Um levantamento sobre o faturamento diário de um restaurante da cidade 
utilizou uma amostra de 30 dias, escolhidos aleatoriamente. O resultado foi o seguinte: 
Média = R$4.320,00. 
Desvio padrão = R$980,00. 
É correto dizer que o desvio padrão das médias amostrais (erro padrão) é, aproximadamente, 
de: 
(A) R$566,00. 
(B) R$716,00. 
(C) R$49,00. 
(D) R$289,00. 
(E) R$179,00. 
Cálculo: 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
Resposta: É correto dizer que o desvio padrão das médias amostrais (erro padrão) é, 
aproximadamente de 178,92.