FLEXÃO NORMAL COMPOSTA EM PILARES DE CONCRETO ARMADO 3.

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Resistência dos Materiais Avançada
Capítulo 1
FLEXÃO NORMAL COMPOSTA 
Profº MSc. Valdi Henrique Spohr
Março/2012
2.0 Flexão normal composta (F.N.C.)
• A flexão composta é a ação combinada de força 
normal e momentos fletores;
• Os momentos fletores podem decorrer da 
excentricidade, com relação ao eixo do 
elemento, de força atuando na direção elemento, de força atuando na direção 
longitudinal.
• Podemos ter a ocorrência da Flexão normal 
composta, em vigas, vigas protendidas, pilares, 
eixos assimétricos, etc.
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• F.N.C. em vigas:
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• F.N.C. em vigas protendidas:
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• F.N.C. em pilares curtos
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• F.N.C. em pilares curtos
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2.1 conceituação de flexão normal composta
A distribuição de tensões na seção 
transversal de uma viga sob 
carregamento axial pode ser 
considerada uniforme somente 
quando a linha de ação das cargas 
passa pelo centróide da seção 
transversal.
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Carregamento excêntrico
PdM
PF
=
=
transversal.
( ) ( )
I
My
A
P
x
flexãoxxx
+=
+=
σ
σσσ
centrada
2.2 solução geral
a) Diagrama de tensões
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Obs.: Os resultados obtidos são válidos somente 
quando satisfeitas as condições de aplicabilidade da 
superposição, ou seja, as tensões envolvidas não 
devem ultrapassar o limite de proporcionalidade do 
material.
2.2 solução geral
b) Equação da linha neutra
Pode ser determinada igualando-se a tensão na 
linha neutra igual a zero. Por meio da equação 
geral escrevemos:
MyP 0+=σ
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I
My
A
P
x
0+=σ
M
I
A
Py
I
My
A
P
.
0
0
0
−=
+=⇒= 0xσ
• Exemplo : Traçar diagrama de σx para uma 
seção do pilar, admitindo-se e=20,0 cm.
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solução:
1. Características da seção:
2. Esforços solicitantes em todas as seções:
410
3
1041,3
12
.
cmx
hbIz
 6400 cm² 80 x 80 A 
=
==
2. Esforços solicitantes em todas as seções:
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cm80.000kN4000x20M
4000kNN
.=−=
−=
3. Equação da Tensão Normal (σx):
y
y
x
y
Iz
Mz
A
P
x
x
x
.02344,0625,0
.
1041,3
)80000(
6400
4000
.
10
−−=
−
+
−
=
±=
σ
σ
σ
• Analisando essa equação, observa-se que σx só 
depende de y.
• y = distância do ponto onde se quer calcular a tensão 
até o eixo z que passa pelo centróide da seção
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yx .02344,0625,0 −−=σ
4. Cálculo da Tensão Normal (σx):
Para y = +40 cm, tem-se:
Para y = - 40 cm, tem-se:
MPa
cm
kN
x
x
63,15563,1
)40.(02344,0625,0
2 −=−=
+−−=
σ
σ
Para y = - 40 cm, tem-se:
13Resistência dos Materiais Avançada
MPa
cm
kN
x
x
13,3313,0
)40.(02344,0625,0
2 +=+=
−−−=
σ
σ
5. Posição da Linha Neutra:
• Como a linha neutra é o lugar geométrico dos 
pontos onde σx= 0, tem-se que:
y
y
yx
625,0
.02344,0625,00
.02344,0625,0
−
=
−−=
−−=σ
14Resistência dos Materiais Avançada
cmy
y
67,26
02344,0
625,0
−=
−
=
6. Diagrama de Tensão Normal (σx):
15Resistência dos Materiais Avançada
Exercício 1: Uma pequena coluna de 120 mm x 180 mm 
suporta três cargas axiais mostradas. Sabendo-se que a 
seção ABD é suficientemente afastada das cargas, para 
que permaneça plana, determinar a tensão no: (a) canto A; 
(b) canto B. x
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y
Exercício 2: para o muro de 
tijolos mostrados na figura 
abaixo, determinar as tensões 
normais máximas que ocorrem 
na seção da base do muro, 
considerando o peso próprio 
da alvenaria com peso 
especifico de 1800kgf/m³. 
Sabendo que o empuxo da Sabendo que o empuxo da 
areia é 16.200 kgf/m.
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Exercício 3: sabendo que a magnitude da força P é igual a 
2kN, determine a tensão no ponto A e no ponto B.
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