Física Experimental A - Estudo da flexão de barras pelo método científico

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Universidade Federal de São Carlos
Prática experimental nº5
“Estudo da flexão de barras pelo método científico”
Gustavo Ferreira Santos RA: 761031
Taylor Ferreira Alcamin RA: 759839
Washington Neves Silva RA: 743276
Disciplina: Física Experimental A
Docente: Flávio Paulo Milton
Resumo
O experimento foi realizado com o intuito de observar o comportamento elástico de barras de secção transversal circular a partir de múltiplas variáveis intrínsecas (força exercida sobre a barra, medida do diâmetro e comprimento (L) da barra). Com os dados coletados, foram construídos 3 gráficos em papel di-log - flexão em função da massa, flexão em função do diâmetro da barra e flexão em função do comprimento da barra, medido entre os pontos de apoio - para que fosse possibilitada a análise e a verificação empírica da lei de Hooke. Em posse de tais resultados foi possível determinar a equação empírica do módulo de Young e, também, o valor do mesmo para as barras, com o qual, ao ser comparado com a literatura, possibilitou a identificação da composição das mesmas.
Objetivos
Determinar, através do método visual, os coeficientes de gráficos di-log, a equação empírica, pelo método científico, com a qual seja possível descrever a deformação elástica, por flexão, de barras de seção transversal circular e realizar a identificação do material com o qual são feitas as barras, através da determinação do módulo de Young.
Fundamentos Teóricos [1. ; 2]
Todos os materiais podem ser deformados quando submetidos a uma carga externa e possuem um limite de carga para comportamento elástico (dividido entre linear e não-linear, quando o sólido tem a capacidade de voltar à sua forma inicial), comportamento plástico (quando o sólido perde a capacidade de voltar à sua forma inicial) e ruptura do material. Um corpo homogêneo de comprimento L e secção transversal uniforme S, submetido a uma força F, sofrerá uma elongação ΔL. No caso da flexão de uma barra, observa-se um alargamento em suas partes convexas e uma contração nas côncavas. Assim, o comportamento da barra está definido por suas dimensões, carga aplicada e o módulo de Young (coeficiente elástico envolvido na deformação da flexão) do material. 
Como as barras estudadas possui uma seção transversal circular, a equação a ser usada é:
 (1)
Onde r é o raio da seção transversal da barra, F é a força aplicada, L é o comprimento da barra (medido entre os pontos de apoio) e E é o módulo de Young do material da barra (expresso em ).
Nesse experimento foi empregado o método da Teoria dos Erros, com a qual é feita a manipulação de dados experimentais tendo por finalidade obter a estimativa precisa de tais dados assim como minimizar o seu erro. Assim, para cada barra:
Foram realizadas as medições diretas dos diâmetros () e suas respectivas incertezas (), dada pela equação (2),
 (2)
cálculos dos valores médios de diâmetro para cada uma das barras dados pela equação (3),
 (3)
os desvios padrões estatísticos referentes às medidas dos diâmetros das barras, equação (4),
 (4) 
assim como as respectivas incertezas padrões combinadas concernentes aos valores de diâmetros das barras, equação (5),
 (5)
Foram realizadas medições indiretas da flexão (h) obtidas pela equação (6), 
 
 (6)
onde e representam, respectivamente, a flexão final da(s) barras sob ação da força peso e a flexão inicial, e sua respectiva incerteza padrão combinada pela equação (7),
 (7)
onde e são ambos os valores da incerteza do micrômetro (0,005mm).
Para determinação dos coeficientes k,n e j da equação (1), foi necessário linearizá-la segundo exemplo de linearização de funções de várias variáveis:
Seja f uma função:
onde e são constantes a serem determinadas e e são variáveis a serem controladas, considera-se a função com apenas um parâmetro independente, por exemplo, o parâmetro “x” e considera-se todo o resto constante:
onde .
Aplicando-se então a função logarítmica em obtemos:
Assim, o valor do coeficiente da variável independente é obtido através da inclinação da reta, equação (8):
 (8)
O emprego do Teorema de Bridgman [3. ] Foi imprescindível para obtenção do coeficiente p do módulo de Young (E).
O valor do módulo de Young foi obtido através da manipulação algébrica da equação (1) quanto já são de conhecimento os valores dos coeficientes k,n e j. A nova equação, portanto, foi escrita como:
 
 (9)
Para apresentação de resultados foram empregadas as regras de arredondamento segundo (FÍSICA..., 2018, p.22).
Materiais Utilizados
Sistema para medir flexão de barras
Paquímetro Kingtools (150x0,02 mm/6”)
Micrômetro Kingtools (0-25x0,01 mm)
Barras metálicas cilíndricas
Massas para suspensão
Balança (Máximo 1610 g e Mínimo 4g / Modelo: Balanças JB – 007/ Precisão: 0,2g)
Papel Di-log
Papel milimetrado
Procedimento Experimental
Realizou-se as medições dos valores dos diâmetros () das cinco barras em cinco pontos distintos. Determinou-se o valor médio (〈d〉) e sua respectiva incerteza padrão combinada u(〈d〉) para cada barra. As barras foram enumeradas de 1 a 5 em ordem crescente de diâmetro.
Ajustou-se a distância dos pontos de apoio para 50cm, posicionou-se um valor fixo de massa de aproximadamente 1030g no ponto médio das barras para flexioná-las, realizou-se a medição da variação da flexão h para cada uma das barras e efetuou-se as estimativas das incertezas de medição.
Com a barra de número 3, foi ajustado, primeiramente, a distância entre os apoios (L) em 30cm e, utilizando , foi obtida a flexão (h). Foi repetida a flexão da mesma barra, mantendo o peso e apenas variando a distância entre os apoios, em intervalos de 10cm, até a distância final, igual a 70cm.
Utilizando a barra n° 3 e mantendo a distância entre os pontos de apoio L fixada em L= (50±0,5) cm, foi medida a flexão h da barra para 5 valores distintos de massa.
Foram construídos os gráficos (h) x (d), (h) x (L) e (h) x (m).
Determinou-se os valores dos coeficientes k,n e j da equação (1).
Determinou-se o valor do coeficiente p.
Reescreveu-se a equação empírica da flexão de barras de seção transversal com os valores dos coeficientes conhecidos.
Foi determinado, a partir de dados experimentais, o valor do módulo de Young.
Foi realizada a identificação do material constituinte das barras estudadas.
Resultados
Com o paquímetro foram realizadas as medições diretas dos diâmetros das diferentes barras metálicas em 5 pontos distintos, sua incerteza dada pela equação (2) e os valores foram classificados de forma crescente, conforme Tabela 1:
Tabela 1: Diâmetro (d) das barras
	Barra
	d1 ± 0,01
	 d2 ± 0,01
	d3 ± 0,01
	d4 ± 0,01
	d5 ± 0,01
	
	[mm]
	[mm]
	[mm]
	[mm]
	[mm]
	1
	4,80
	4,82
	4,82
	4,82
	4,80
	2
	6,40
	6,40
	6,38
	6,40
	6,40
	3
	7,96
	7,98
	7,96
	7,98
	7,98
	4
	9,50
	9,50
	9,50
	9,52
	9,50
	5
	12,70
	12,72
	12,72
	12,70
	12,70
Para dispor os valores do diâmetro médio (〈d〉) das barras, conforme apresentados na Tabela 2, empregou-se a equação (3). Sua incerteza padrão combinada (u(〈d〉)) foi determinada pela equação (5), onde o desvio padrão s foi obtido através da equação (4). Fixou-se a distância entre os pontos de apoio (L) em 50,0cm, posicionou-se uma massa fixa (m) de, aproximadamente, 1030,0g no ponto médio de cada uma das barras e observou-se a flexão (h), conforme Tabela 2:Tabela 2: Medições das flexões (h) em função do diâmetro
médio (〈d〉) mantendo a distância entre os pontos de apoio
fixo em L ± μ(L) e a massa fixa m ± μ(m)
	Barra
	1
	2
	3
	4
	5
	<d> ± μ<d> 
[mm]
	4,81±
	6,4
	7,97
	9,5
	12,71
	h ± μ(h)
[mm]
	6,090 ± 0,007
	1,800 ± 0,007
	0,750 ± 0,007
	0,395 ± 0,007
	0,150 ± 0,007
Onde μ(h) foi determinado pela equação (7).
Os dados da Tabela 2 foram plotados numa folha di-log e foi traçado o Gráfico 1 da flexão (h) em função do diâmetro médio (〈d〉). Gráfico anexo
Com a barra de número 3, foi ajustado, primeiramente, a distância entre pontos de apoio (L) em 30cm e, usando a mesma massa (m) de 1030,0g, obteve-se obtida a flexão (h). Repetiu-se a flexão da mesma barra, mantendo a massa fixa e apenas variando a distância entre os pontos de apoio, em intervalos de 10cm, até a distância final, cujo valor foi 70cm. Foram obtidos os dados da Tabela 3:
Tabela 3: Medições das flexões (h) em função da distância entre os pontos de apoio (L), mantendo o diâmetro da barra fixo em 
(〈d3〉 ± μ〈d3〉) e a massa fixa m ± μ(m)
	Barra nº 3
	L  ± μ(L)
[cm]
	30,0 ± 0,1
	40,0 ± 0,1
	50,0 ± 0,1
	60,0 ± 0,1
	70,0 ± 0,1
	h ± μ(h)
[mm]
	0,220 ± 0,007
	0,450 ± 0,007
	0,730 ± 0,007
	1,380 ± 0,007
	1,980 ± 0,007
Onde μ(L) é a incerteza do instrumento (trena do sistema de flexão, incerteza igual a 0,1cm). 
Os dados da Tabela 3 foram plotados numa folha di-log e foi traçado o Gráfico 2 da flexão (h) em função do comprimento das barras (L), o qual é medido entre os pontos de apoio. Gráfico anexo
Ajustou-se a distância entre os pontos de apoio (L) em 50cm e realizou-se a medição de flexão (h) da barra de número 3 com massas distintas variando entre 419,0g a 1183,0g, em intervalos de, aproximadamente 200g entre cada medição. Foram obtidos os resultados da Tabela 4
Tabela 4: Medições das flexões (h) em função da massa suspensa (m), mantendo o diâmetro da barra fixo em (〈d3〉 ± μ〈d3〉) e
a distância entre os pontos de apoio fixa L ±μ(L)
	Barra nº 3
	m  ± μ(m)
[g]
	419,0 ± 0,2
	615,0 ± 0,2
	840,0 ± 0,2
	1009,0 ± 0,2
	1183,0 ± 0,2
	h  ± μ(h)
[mm]
	0,330 ± 0,007
	0,460 ± 0,007
	0,590 ± 0,007
	0,690 ± 0,007
	0,820 ± 0,007
onde μ(m) é a incerteza da balança utilizada (incerteza igual a 0,2g).
Os dados da Tabela 4 foram plotados numa folha di-log e foi traçado o Gráfico 4 da flexão (h) em função dos valores das massas (m) suspensas. Gráfico anexo.
Efetuando a linearização da equação (1) para cada parâmetro independente, os coeficientes k,n e j da equação (1) foram obtidos através da equação (8), aplicada para cada um dos três gráficos. Os valores dos coeficientes obtidos foram:
Coeficiente k=-4;
Coeficiente n=3;
Coeficiente j= 1;
Portanto, a equação (1) foi reescrita como:
 
O único coeficiente não determinado foi o p. Através da análise dimensional, utilizando o Teorema de Bridgman, o determinamos:
Onde é força e é comprimento.
1 = - 4 + 3 - 2p
P = -1
A equação empírica obtida para a flexão de barras de seção transversal circular foi:
Utilzando as coordenadas de um dos gráficos cuja abscissa se aproxima mais de 1, temos que: L = 0,5m, F = 11,9462N, r = 3,838×10-3m, h = 0,82×10-3m, calcula-se:
Logo, considerando que o módulo de Young obtido se aproxima mais do módulo de Young do aço, o material da barra é o aço.
 
Conclusão
Foram realizados um grande número de testes com diferentes pesos e barras para determinamos quais foram as suas variações de flexão nas cinco barras as quais foram submetidos os experimentos. Percebe-se que a depender do diâmetro da barra as variações são diferentes mesmo colocando o mesmo peso em todas. Observou-se também que quanto mais distantes estavam os pontos de apoio, houve uma flexão maior da barra se comparado a flexão com os pontos de apoio mais próximos. Logo, as barras apresentadas na prática obedecem a Lei de Hooke, pois, estas barras quando submetidas a uma força (os pesos) sofrem deformações assumindo assim deslocamentos diferentes. Para que o experimento seja válido, dentro da Lei de Hooke, é necessário que as forças exercidas sobre as barras não assumam valor superior ao limite elástico de tal barra, para que não causem uma deformação permanente na barra nem sua ruptura.
Questões
1. O que garante que as barras são feitas do mesmo material?
	O resultado do cálculo, utilizando a equação apresentada na Introdução e melhor explorada posteriormente, determina o módulo de Young para determinada barra. Este resultado, independe da barra utilizada, dependendo, apenas, de seu material. Logo, a garantia de que as barras possuam o mesmo material é o módulo de Young calculado.
2. Através de análise gráfica de dados experimentais, obtidos seguindo o método científico, é possível determinar a relação funcional entre duas variáveis? Considere que os dados desta prática estivessem sido representados em gráficos lineares. Seria possível obter a relação funcional entre as diferentes variáveis? 
Sim, é possível determinar a relação funcional entre duas variáveis, como se pode verificar nos gráficos (h) x (d), (h) x (L) e (h) x (m). Entretanto, somente o gráfico (h) x (m) pode ser representado de maneira linear.
3. Se, ao invés de utilizar as barras metálicas fornecidas para esta prática, fossem utilizadas barras de plástico os expoentes k, n, j ou p calculados seriam alterados? Justificar esta resposta.
	Os expoentes calculados seriam os mesmos, pois estes fazem referência à uma lei natural, que descreve o comportamento da flexão de um material, independendo de seu formato, comprimento, diâmetro, força aplicada ou tipo de material. Tais expoentes determinam uma razão observável em toda e qualquer flexão. Logo, o material não altera os expoentes. 
Bibliografia
MILTON, Flávio Paulo. Teoria de Erros. [Projeção Virtual]. [2018]. 35 Dispositivos.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS. Física Experimental A. [Apostila] [2018]
MILTON, Flávio Paulo. Análise dimensional. [2018].