Exercicios Interpolação polinomial

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Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o - Interpolac¸a˜o Polinomial
Prof. Dr. Rafael Alves Bonfim de Queiroz∗
Universidade Federal de Juiz de Fora, UFJF, Juiz de Fora - MG, Brasil
Abstract. Abaixo seguem exerc´ıcios para voceˆ aplicar os conceitos aprendidos em sala
de aula. Divirta-se! Procure-me na minha sala no meu hora´rio de atendimento, local:
departamento de Cieˆncia da Computac¸a˜o, para esclarecer suas du´vidas ou traga na aula
seus questionamentos para discutirmos ou envie-me e-mail (responderei em no ma´ximo
24 horas, mas na˜o leio/respondo e-mails no final de semana).
Tema 5: Interpolac¸a˜o Polinomial
1. Dados os pares de pontos: (-1,15); (0,8); (3,1), determinar o polinoˆmio de inter-
polac¸a˜o para a func¸a˜o definida por este conjunto de pares de pontos.
2. Conhecendo-se a seguinte tabela:
x -1 0 3
f(x) 15 8 -1
a) Determine o polinoˆmio de interpolac¸a˜o na forma de Lagrange.
b) Calcule uma aproximac¸a˜o para f(1), usando o item a).
3. Considere a tabela
x 1 3 4 5
f(x) 0 6 24 60
a) Determine o polinoˆmio de interpolac¸a˜o, na forma de Lagrange, sobre todos os
pontos.
b) Calcule uma aproximac¸a˜o para f(3.5), usando o item a).
4. Construir o polinoˆmio de interpolac¸a˜o, na forma de Lagrange, para a func¸a˜o y=
sen(pix), escolhendo os pontos: x0=0;x1=
1
6 ;x2=
1
2 .
∗Correspondeˆncia. Email: rafael.bonfim@ice.ufjf.br (Rafael Bonfim)
Curso: DCC008 Ca´lculo Nume´rico
2
5. Conhecendo-se a seguinte tabela:
x -1 0 3
f(x) 15 8 -1
a) Determine o polinoˆmio de interpolac¸a˜o na forma de Newton.
b) Calcule uma aproximac¸a˜o para f(1), usando o item a).
6. Seja a func¸a˜o f(x) mostrada na tabela abaixo:
x -2 -1 1 2
f(x) 0 1 -1 0
a) determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o de Newton.
b) calcular f(0,5).
7. Dada a func¸a˜o f(x) mostrada na tabela a seguir e considerando que necessito desco-
brir o valor de f(x) em x=0,5.
x 0 1 1,5 2,5 3,0
f(x) 1,0 0,5 0,4 0,286 0,25
a) determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o de Newton sobre 2 pontos (interpolac¸a˜o
linear),
b) determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o de Newton sobre 3 pontos (interpolac¸a˜o
quadra´tica),
c) calcular f(0,5), usando o item a) e o item b).
Gabarito - Tema 5: Interpolac¸a˜o Polinomial
1. P2(x)=
7
6x
2− 356 x+8.
2. a) P2(x)=x
2−6x+8;
b) f(1)≈P2(1)=3.
3. a) P3(x)=x
3−3x2+2x;
b) f(3.5)≈P3(3,5)=13,125.
4. P2(x)=−3x2+3,5x.
5. a) P2(x)=x
2−6x+8;
b) f(1)≈P2(1)=3.
3
6. a) P3(x)=x+2− 23(x+2)(x+1)+ 13(x+2)(x+1)(x−1);
b) f(0,5)≈P3(0,5)=−0,625.
7. a) Tomando os pontos: x0=0 e x1=1⇒P1(x)=−0,5x+1.
b) Acrescentando o ponto x2 = 1.5, obtemos: P2(x)=P1(x)+(x
2−x)0,2⇒P2(x)=
0,2x2−0,7x+1.
c) f(0,5)≈P1(0,5)=0,75, f(0,5)≈P2(0,5)=0,7