lista04_CalculoNumerico_Interpolacao_Polinomial

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LISTA 4 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
Prof. Cassius 
 
QUESTÃO 1: Considere a tabela a seguir, referente à função 𝑦 = 𝑒3𝑥. 
 
𝒙 𝟎 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟕𝟓 𝟏 
𝒚 1 4.482 9.488 20.086 
 
(a) Utilizando todos os pontos da tabela, determine uma aproximação para o valor 
de 𝑦 quando 𝑥 = 0.65 através de um polinômio interpolador 𝑝(𝑥); 
 
(b) Calcule o erro absoluto, neste caso, dado por: 
 
|𝑦(0.65) − 𝑝(0.65)| 
 
(c) Esboce o gráfico das funções 𝑦, do polinômio 𝑝 e dos pontos da tabela no 
mesmo plano cartesiano 
 
QUESTÃO 2: Para um tanque de água são fornecidos os valores da temperatura 𝑇 
em função da profundidade 𝑇, conforme a tabela a seguir: 
 
𝑷(𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔) 𝟏. 𝟎 𝟏. 𝟓 𝟐. 𝟎 𝟐. 𝟓 𝟑. 𝟎 
𝑻(𝑪𝒐) 𝟔𝟔 𝟓𝟐 𝟏𝟖 𝟏𝟏 𝟏𝟎 
 
Sabe-se que a uma determinada profundidade 𝑥, a segunda derivada 𝑇 muda de 
sinal. O ponto que indica esta mudança é o ponto em que a segunda derivada se 
anula, ou seja, 
 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
= 0 
 
(a) Determine um polinômio interpolador utilizando todos os pontos da tabela 
 
(b) Estime a profundidade deste ponto através da interpolação polinomial 
 
(c) Esboce o gráfico do polinômio interpolador com os pontos da tabela 
 
(d) Esboce o gráfico do polinômio interpolador de da função que representa sua 
segunda derivada 
Cálculo Numérico Prof. Cassius 
 
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QUESTÃO 3: Sabendo que a intensidade do campo elétrico do ar de um ponto em 
relação a uma carga puntiforme de 650 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 varia com a distância de acordo 
com a tabela abaixo: 
 
𝒅(𝒄𝒎) 𝟓. 𝟎 𝟕. 𝟓 𝟏𝟎. 𝟎 𝟏𝟐. 𝟓 𝟏𝟓. 𝟎 
𝑬(𝑪) 𝟐𝟔. 𝟎 𝟏𝟏. 𝟓𝟔 𝟔. 𝟓𝟎 𝟒. 𝟏𝟔 𝟐. 𝟖𝟖 
 
(a) Construa um polinômio interpolador utilizando todos os pontos da tabela; 
 
(b) Determine uma aproximação para a intensidade do campo elétrico situado a 
8.5 𝑐𝑚 da carga; 
 
(c) Esboce o gráfico do polinômio interpolador e dos pontos de interpolação 
 
 
 
QUESTÃO 4: Seja 𝑓(𝑥) = 7𝑥5 − 3𝑥2 − 1 
 
(a) Determine 𝑓(𝑥) nos pontos 𝑥 = 0, 𝑥 = ±1, 𝑥 = ±2 e 𝑥 = ±3 
 
(b) Construa um polinômio interpolador que passe pelos pontos 𝑥 = −2, 𝑥 = −1, 
𝑥 = 0 e 𝑥 = 1 
 
(c) Esboce o gráfico do polinômio interpolador e dos pontos de interpolação 
 
(d) Determine um limitante superior para o erro na interpolação no ponto 𝑥 = 0.5 
 
 
 
QUESTÃO 5: A tabela a seguir é referente a função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
𝒙 𝟏. 𝟐 𝟏. 𝟑 𝟏. 𝟒 𝟏. 𝟓 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝟎. 𝟗𝟑𝟐 𝟎. 𝟗𝟔𝟒 𝟎. 𝟗𝟖𝟓 𝟎. 𝟗𝟗𝟕 
 
(a) Construa um polinômio interpolador utilizando todos os pontos da tabela 
 
(b) Determine através deste polinômio uma aproximação para 𝑠𝑒𝑛(1.35) 
 
(c) Determine um limitante superior para o erro em 𝑥 = 1.35 
 
(d) Esboce o gráfico do polinômio, da função 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e dos pontos no mesmo plano 
cartesiano. 
 
 
Cálculo Numérico Prof. Cassius 
 
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QUESTÃO 6: Uma maneira de se calcular o valor da derivada de uma função 
tabelada 𝑓 em um ponto 𝑥0 é construir um polinômio interpolador 𝑝 que utiliza todos 
os pontos da função tabelada 𝑓 e então avaliar a derivada deste polinômio no ponto 
𝑥 = 𝑥0. Assim, dada a tabela: 
 
𝒙 𝟎. 𝟑𝟓 𝟎. 𝟒𝟎 𝟎. 𝟒𝟓 𝟎. 𝟓𝟎 𝟎. 𝟓𝟓 𝟎. 𝟔𝟎 𝟎. 𝟔𝟓 
𝒇(𝒙) −𝟏. 𝟓𝟐 𝟏. 𝟓𝟏 𝟏. 𝟒𝟗 𝟏. 𝟒𝟕 𝟏. 𝟒𝟒 𝟏. 𝟒𝟐 𝟏. 𝟑𝟗 
 
(a) Determine um polinômio interpolador para a função tabelada 𝑓, utilizando 
todos os pontos da tabela; 
 
(b) Determine uma estimativa para 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 através da derivada do polinômio 
interpolador; 
 
(c) Esboce o gráfico do polinômio, da função 𝑓 da derivada 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 e dos pontos de 
interpolação no mesmo plano cartesiano. 
 
 
QUESTÃO 7: A raiz ou zero de uma função pode ser aproximada através do cálculo 
da raiz de seu polinômio interpolador. Assim, determine o polinômio interpolador para 
a seguinte função tabelada e em seguida determine uma aproximação 𝑥𝑘 para um 
zero, se existir, deste polinômio, utilizando o método da secante. 
 
𝒙 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 
𝒇(𝒙) 𝟎. 𝟖𝟒𝟏 𝟎. 𝟗𝟎𝟗 𝟎. 𝟏𝟒𝟏 −𝟎. 𝟕𝟓𝟕 −𝟎. 𝟗𝟓𝟗 −𝟎. 𝟐𝟕𝟗 
 
 
QUESTÃO 8: A tabela a seguir, é referente a função 𝑦 = 𝑥𝑒
𝑥
2 
 
𝒙 𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 𝟐. 𝟓 𝟐. 𝟕𝟓 𝟑. 𝟎 
𝒙𝒆
𝒙
𝟐
 
 𝟐. 𝟕𝟏 𝟑. 𝟎𝟖 𝟑. 𝟒𝟗 𝟑. 𝟗𝟔 𝟒. 𝟒𝟖 
 
(a) Determine um polinômio interpolador para a função tabelada 𝑓, utilizando 
todos os pontos da tabela; 
(b) Determine, através do polinômio interpolador, uma estimativa para o valor de 
𝑓(2.43) 
(c) Determine um limitante superior para o erro em 𝑥 = 2.43 
(d) Esboce o gráfico do polinômio interpolador 𝑝, da função 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒
𝑥
2 e dos 
pontos da tabela no mesmo plano cartesiano.