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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 1
AULA 4
MEDIDAS DE POSIÇÃO
	Uma Medida de Posição é um valor calculado para um grupo de dados, e usado,de alguma forma para descrever os dados. Tipicamente desejamos que o valor seja representativo de todos os valores do grupo.
		As Medidas de Posição mais importantes são as medidas de tendência central:
Média Aritmética
Moda
Mediana
		Temos ainda:
Média Geométrica 
Média Harmônica
		E as Separatrizes:
Mediana, Quartil, Decil e Percentil 
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA ARITMÉTICA 
	Média Aritmética Simples ou Média Aritmética ou Média é a soma dos resultados obtidos dividida pela quantidade de resultados.
	Representamos as observações por xi e a média aritmética por . Assim:
 
	
MÉDIA ARITMÉTICA
Ex: Oito alunos fizeram um teste e obtiveram os seguintes resultados: 9 – 6 – 5 – 8 – 4 – 7 – 3 – 10 
Qual é a média desses resultados?
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
	Quando os dados estão agrupado numa distribuição de frequências, usamos a média aritmética dos valores de xi ponderados pelas respectivas frequências absolutas fi. Essa é a Média Aritmética Ponderada.
 
	Ex: Calcule a média das idades representadas na distribuição de frequências da tabela abaixo:
	
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
IDADE
Fi
4
4
5
6
6
6
7
4
∑fi= 20
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
	
MÉDIA GEOMÉTRICA
		Dados n (n ≥ 2) números reais não negativos, x1, x2, ..., xn, define-se a média geométrica (G) desses valores pela relação:
Isto é, a média geométrica corresponde à raiz enésima do produto desses n números.
MÉDIA GEOMÉTRICA
Ex1: Calcular a média geométrica entre 2 e 8.
Ex2: Calcular a média geométrica entre 
MÉDIA GEOMÉTRICA
Ex3: A média geométrica entre 10, 2 e n é 5. Determine o valor de n.
			G = 5
20n = 125 
N = 6,25
MÉDIA GEOMÉTRICA
Ex4: Dada a PG (3, 9, 27), verifique que a2 é a média geométrica entre a1 e a3.
		Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer sequência de três termos consecutivos de uma PG.
MÉDIA GEOMÉTRICA
		Podemos verificar também que a média geométrica entre três termos consecutivos de uma PG será sempre o termo central.
Ex: dada a PG (2, 4, 8), mostre que 
 
MÉDIA HARMÔNICA
		Dado um conjunto de valores não nulos, x1, x2, ..., xn, define-se a média harmônica (H) desses valores pela relação:
Isto é, a média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos de x1, x2, ..., xn
MÉDIA HARMÔNICA
Ex1: Calcular a média harmônica entre 3 e 4
Ex2: Calcular a média harmônica entre 1, 2 e 3.
	A Mediana de um conjunto de dados é o valor que ocupa a posição central desses dados, desde que estejam colocados em um rol.
	Representamos a mediana por Md
	A quantidade de dados pode ser par ou ímpar.
MEDIANA
 		
		Se o número de dados for ímpar, o valor da mediana é o valor que está no centro da série.
	
		Se o número de dados for par, a mediana será a média aritmética dos dois valores que estão no centro da série.
MEDIANA
MEDIANA
Ex1: Calcule a mediana dos dados: 5 – 8 – 4 – 6 – 7 – 3 – 4 
Primeiro passo: Escrever o rol
	3 – 4 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 
2) Segundo Passo: verificar se a quantidade de dados é par ou ímpar
	Nesse caso é ímpar, a mediana é o termo central.
3) Terceiro passo: determinar a mediana.
	Nesse caso: Md = 5
MEDIANA
Ex2: Calcular a mediana dos dados: 8 – 0 – 7 – 4 – 7 – 10 – 6 – 5 
Rol: 0 – 4 – 5 – 6 – 7 – 7 – 8 – 10
A quantidade de dados é par.
MEDIANA
	Ex3: Observe a distribuição de frequência dada a seguir referente aos tamanhos de sapatos usados por 25 pessoas.
Sapato
fi
Fi
36
5
5
37
9
14
38
4
18
39
4
22
40
3
25
∑fi= 25
MEDIANA
		Os dados já estão ordenados e a quantidade de dados é ímpar, o termo central é o valor da Décima Terceira posição.
Md = 37
MODA
	A Moda é o valor que acontece com maior frequência. Chamamos também de Valor Modal. Representamos a moda por Mo.
	A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única.
	Uma distribuição com apenas uma moda é denominada unimodal. Com duas modas, bimodal, com mais de duas modas, multimodal.
MODA
	 E x: Para a distribuição abaixo:
Mo = 7
xi
fi
5
3
6
5
7
11
8
10
9
5
∑fi= 34
DADOS AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
		
		Vamos ver agora como se calcula a média, a mediana e a moda para dados agrupados em intervalos de classe:
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
	Ex: Calcule a média das idades representadas na distribuição de frequências da tabela abaixo:
IDADES
fi
[18, 21[
9
[21,24[
12
[24, 27[
12
[27,30[
17
[30, 33[
16
[33,36[
14
[36, 39[
11
[39, 42]
9
∑fi= 100
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
	Nesse caso a variável analisada está representada em intervalos de classes, os valores de xi são representados pelos pontos médios (pmi).	
	
	
EMPREGO DA MÉDIA
	A média é utilizada quando:
- Desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;
- Houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior (posterior). 
MEDIANA
		Se n for ímpar, buscaremos a classe onde está localizado o termo central.
		Se n for par, buscaremos a classe onde está localizado o termo n/2.
MEDIANA
	Ex: Considere a distribuição de frequências a seguir:
Notade Matemática
fi
Fi
[0, 2[
2
2
[2, 4[
7
9
[4, 6[
8
17
[6, 8[
6
23
[8, 10[
7
30
∑fi= 30
MEDIANA
	Para o caso de intervalos de classe como neste exemplo devemos seguir os seguintes passos:
Determinar n/2, no caso: 30/2 = 15 (onde está o décimo quinto termo?)
Identificar em que classe está a mediana: [4, 6[
Cálculo da mediana usando a fórmula: 
Li = Limite inferior da classe que contém a mediana = 4
n = tamanho da amostra = 30
 = soma das frequências anteriores à classe que contém a mediana = 9
h = amplitude da classe que contém a mediana = 2
 = Frequência da classe que contém a mediana = 8
MEDIANA
	
		Md = 5,5
EMPREGO DA MEDIANA
	Empregamos a mediana quando:
	- Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
	- Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;
	- A variável em estudo é salário. 
MODA
		Para dados agrupados em intervalos de classes, pode-se calcular a moda, de vários métodos diferentes, vejamos três tipos:
1 – O mais simples e também mais impreciso é considerar a moda como o ponto médio da classe que contém a moda (classe modal); esse valor chama-se moda bruta.
	(Não usaremos esse método)
MODA
2 – Método de King:
Em que:
Li = Limite inferior da classe modal
fpost = frequência da classe posterior à classe modal
fant = frequência da classe anterior à classe modal
h = amplitude da classe modal
(Este será o método a ser utilizado)
MODA
	3) Sendo conhecidas a média aritmética e a mediana de uma série, é possível obtermos o valor da moda pela aplicação da fórmula de Pearson.
	Fórmula de Pearson:
	Essa fórmula nos dá o valor aproximado da moda e só deve ser utilizado quando a distribuição apresentar razoável simetria em relação à média. 
	(Não usaremos esse método)
MODA
		Para calcular a moda em dados agrupados em intervalos de classe usaremos o Método de King
MODA
Ex: Calcular a moda da distribuição abaixo:
IDADES
fi
Fi
[18, 21[
9
9
[21,24[
12
21
[24, 27[
12
33
[27, 30[
17
50
[30, 33[
16
66
[33, 36[
14
80
[36, 39[
11
91
[39, 42]
9
100
∑fi= 100
MODA
Primeiro Passo: Identificar a classe modal. No caso a quarta classe.
2) Calcular a moda usando o método de King.
Mo = 28,7143 anos
EMPREGO DA MODA
		A moda é utilizada:
	- Quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;
	- Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição. 
POSIÇÕES RELATIVAS DA MÉDIA, MEDIANA E MODA
		
		Quando uma distribuição é simétrica, as três medidascoincidem. Porém a assimetria torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. Assim, em uma distribuição em forma de sino, temos:
POSIÇÕES RELATIVAS DA MÉDIA, MEDIANA E MODA
POSIÇÕES RELATIVAS DA MÉDIA, MEDIANA E MODA
ANÁLISE DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Moda
	Vantagens: Fácil de calcular; não é afetada pelos dados extremos da amostra; pode ser aplicada em qualquer escala: nominal, ordinal, intervalar e proporcional.
	Desvantagens: Pode estar afastada do centro dos dados; difícil de incluir em funções matemáticas; não utiliza todos os dados da amostra; a amostra pode ter mais de uma moda; algumas amostras podem não ter moda.
ANÁLISE DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Mediana
	Vantagens: Fácil de calcular; não é afetada pelos dados extremos da amostra; é um valor único; pode ser aplicada nas escalas: ordinal, intervalar e proporcional.
	Desvantagens: Difícil de incluir em funções matemáticas; não utiliza todos os dados da amostra.
ANÁLISE DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média
	Vantagens: Fácil de compreender e aplicar; utiliza todos os dados da amostra; é um valor único; fácil de incluir em funções matemáticas; pode ser aplicada nas escalas intervalar e proporcional.
	Desvantagens: É afetada pelos dados extremos da amostra; é necessário conhecer todos os dados da amostra.
EXERCÍCIOS
1 – Determine a média aritmética dos valores a seguir: 9 – 6 – 5 – 4 – 8 – 9 – 10 – 4 – 7 – 8 – 5 – 6 – 10
2 – Em uma pesquisa realizada em uma empresa quanto ao salário médio de seus funcionários, verificou-se o seguinte resultado:
EXERCÍCIOS
SALÁRIOS (R$)
fi
[240,00; 480,00[
15
[480,00;720,00[
22
[720,00; 960,00[
30
[960,00; 1200,00[
18
[1200,00; 1440,00]
15
∑100
Baseado nesta tabela, determine o salário médio.
EXERCÍCIOS
3 – Dados os valores a seguir: 9 – 6 – 5 – 4 – 8 – 9 – 10 – 4 – 7 – 8 – 5 – 6 – 10
Determine a mediana.
4 – Determine a mediana do exercício 2
5 – Determine a moda do exercício 2.
EXERCÍCIOS
6 – As exportações de determinado porto brasileiro registraram o seguinte movimento, em bilhões de reais, mês a mês, durante um ano:
Mês
R$
Janeiro
3,0
Fevereiro
2,4
Março
2,8
Abril
3,1
Maio
2,7
Junho
3,2
EXERCÍCIOS
Julho
2,6
Agosto
2,5
Setembro
3,4
Outubro
3,4
Novembro
3,3
Dezembro
3,6
∑
36,0
Qual foi a média mensal de exportações, em bilhões de reais?
EXERCÍCIOS
	7 – O comércio varejista de calçados registrou as seguintes encomendas, em milhares de pares, em uma determinada indústria calçadista, ao longo do semestre:
Mês
Pares Encomendados
Mês 1
48
Mês 2
60
Mês 3
42
Mês 4
50
Mês 5
64
Mês 6
66
∑
∑ 330
EXERCÍCIOS
Qual a média mensal de encomendas, em milhares de pares de calçados?
8 – Determine a média geométrica entre:
1 e 4
5, 5, 5 e 5
2, 3 e ¾
EXERCÍCIOS
9 – Calcule a média harmônica entre
10 – Uma curva simétrica se caracteriza pelo seguinte atributo:
É assimétrica à esquerda;
A moda é maior que a mediana e a média;
A moda, a mediana e a média são iguais;
O desvio padrão é maior que a mediana e a moda;
Os decis são equivalentes à média. 
RESPOSTAS
7
830,40
7
824
828
3
55
RESPOSTAS
8 – a) 2	b) 5 c) Rever resposta
9 – 
10 – Letra C