Lista 02 CDI 3

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Cálculo Diferencial e Integral III 
 
Lista 01 – Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 
 
1) Dadas as funções a seguir, determine os pontos críticos e classifique-os 
a)   3 3, 3 3 4f x y x y x y     
b)   4 4, 2 2f x y x y x y    
c)   2
1 1, , 0, 0f x y xy x y
x y
     
d)  , sen( )f x y y x y  
e)    
2 2
, x yf x y e  
f)   2 2, 4
xf x y
x y

 
 
g)   2 2, 4 3 12 2 1f x y x xy y x y      
 
2) Determine máximo global e mínimo global da função dada, na região indicada. 
a)   3 3, 2 2 6 6 ;f x y x y x y    em   : , / 3D x y x y  
b)  , 2 ;f x y x y  no retângulo de vértices      1,2 , 1,2 1, 2 1, 2    
c)   2 2, 1;f x y x y   no círculo 2 2 1x y  
d)  , 1f x y xy x y    em   , / 0; 0;2 6x y x y x y    
e)   2 2, 2 2f x y x y x y    ; no triângulo de vértices em    0,0 ; 3,0 e  0,3 
f)   3 3, 3f x y y x xy   em   , / 1 1; 2 2x y x x      
 
3) A distribuição de temperatura em uma chapa circular 2 2 1x y  é 
2 2( , ) 2 5 10T x y x y x y     
Calcule as temperaturas máxima e mínima da chapa 
 
4) Encontre os pontos críticos no interior de ( , ) sin( ) sin( ) sin( )f x y x y x y    , 0 x   e 
0 y   classifique-os 
5) Seja  
2 2
, x yf x y xye  a função que determina a temperatura sobre um plano, determine a 
menor temperatura em ºC na região do plano   2 2, / 2; 0; 0x y x y x y    
 
 
 
 
Respostas: 
1 
a) (1,1) min local, (-1,-1) max local, (-1,1) e (1,-1) pontos de Sela 
b) 
c) 
d)  1,k e  1,k são pontos de Sela 
e)  0,0 é ponto de mínimo 
f) (2,0) é ponto de máximo e (-2,0) é ponto de mínimo. 
g) 18 20,
7 7
  
 
é ponto de mínimo 
2 
a) (1,1) é ponto de mínimo global e o valor mínimo é -8 
(3,0) e (0,3) são pontos de máximo global e o valor máximo é 36 
b) (-1,-2) é ponto de mínimo e o valor mínimo é -5; 
(1,2) é ponto de máximo e o valor máximo é igual a 5. 
c) (0,0) é ponto de mínimo da função e o valor mínimo é igual 1; 
Os pontos da fronteira são pontos de máximo são pontos de máximo e o valor máximo é
2 
d) (0,6) é ponto de mínimo global e o valor mínimo é -5 
(7/4;5/2) é ponto de máximo global e o valor máximo é 9/8 
 
e) (3/2;3/2) é ponto de mínimo global e o valor mínimo é -3/2 
(0,3),(3,0) são pontos de máximos globais e o valor máximo é 3 
 
f) (-1,-2) é ponto de mínimo e o valor mínimo é -13 
(-1,2) é ponto de máximo e o valor máximo é 15 
 
 
3 9 29  é a temperatura máxima e 9 29  é a temperatura mínima 
 
4 
 , , ,
3 3
 
    
 
, nada se pode afirmar e ponto de máximo, respectivamente. 
5) 1
2
oC
e