Transformada de Laplace

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ADL 01 
Transformada de Laplace 
 
Um sistema representado por uma equação diferencial é difícil de modelar como diagrama de 
blocos. Assim, vamos deixar agora o trabalho de base para transformada de Laplace. A Transformada de 
Laplace é definida como: 
 
 
(2.1) 
 
em que .s = � + j� é uma variável complexa. Assim, conhecendo-se f(t) e sabendo que a integral da 
equação (2.1) existe, é possível obter uma função, F(s), chamada Transformada de Laplace de f(t). 
 
 
 
 
Fig. 2.1 a. Representação em diagrama de blocos de um sistema; b. representação em diagrama de blocos de uma 
interconexão de subsistemas 
 
 
 
 
Usando a Eq. (2.1), é possível deduzir uma tabela relacionando f(t) a F(S) para casos específicos. 
Teoremas das transformadas de Laplace 
 
 
Tabela 2.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
Transformada de Laplace inversa 
 
Problema: Obter a transformada de Laplace inversa de Ft(s) = l/(s + 3)2. 
Solução: Teorema do deslocamento em freqüência, 
Transformada de Laplace de f(t) = tu{t). 
Se a Transformada de Laplace inversa de F(s) = 1/s2 é . tu(t)., 
Transformada de F(s + a) = 1/(s + a)2 é e-atu(t). 
Então: f1(t) = e-3t. tu(t). 
Expansão em Frações Parciais 
 
Por exemplo, se: 
 
 
(2.4)
 
Deve-se efetivar a divisão indicada até obter : 
 
 
 
(2.5) 
 
 
Tomando a Transformada de Laplace Inversa, utilizando a propriedade 1 da Tabela 2.1, juntamente 
com o Teorema da derivação e o Teorema da linearidade da Tabela 2.2, obtém-se: 
 
 
 
(2.6) 
 
 
Caso 1: Raízes do denominador de F(s) reais e distintas 
 
 
(2.8) 
 
Para obter K2 multiplica-se primeiro a equação (2.8) por (S + 1), isolando K1. Assim: 
 
 
 
(2.9) 
Fazendo s tender a 1 elimina-se o último termo, resultando K1 = 2. De modo semelhante, obtém K2 =-2. 
 Portanto: 
 
 
(2.10)
 
Em geral: 
 
 
 
 
(2.11) 
 
 
 
 
 
 
Assim, se quisermos obter Km, multiplicamos a equação (2.11) por (s + pm) e obtemos: 
 
 
 
 
 
(2.12) 
 
 
 
Se fizermos s tender a - pm: 
 
 
 
 
(2.13) 
Solução de equação diferencial com Transformada de Laplace 
 
Problema: Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y(t) se todas as condições iniciais forem zero. 
 
 
 
 
 
 
(2.14)
 
 
Solução: Substituir o correspondente F(s) de cada um dos termos na equação (2.14) usando a propriedade 2 da 
Tabela 2.l ,os itens 7 e 8 da Tabela 2.2 e as condições iniciais de v(f) e dy(t)/dt, dadas por y(0-) = 0 e y(0~) = 
0, respectivamente. Portanto, a Transformada de Laplace da equação (2.14) é: 
 
 
 
 
Obtendo a solução para Y(s), resulta em: 
 
 
 
 
 
 
 
Expansão em frações parciais: 
 
 
 
 
 
 
em que: 
 
 
 
 pela Tabela 2.1: 
 
 
 
 
 
Para Casa: 
 
- Revisar o caso com raízes do denominador reais repetidas; 
- Revisar o caso com raízes do denominador complexas.