6 - Potenciais_Unidimensionais

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Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS
UNIDIMENSIONAIS
FÍSICA MODERNA I
Você deve estar espantado simplesmente porque o elétron é uma partícula 
material. Com a luz, isso parece normal: estamos acostumados a vê-la atravessar 
paredes de vidro e até de material opaco, desde que sejam bem finas. Isso 
acontece porque a luz é uma onda eletromagnética. Aí está a chave do segredo: o 
elétron pode atravessar um material opaco porque, em determinadas 
circunstâncias, deixa de ser uma partícula para se tornar uma onda. – Prof. Carlos 
Alberto dos Santos (UFRGS)
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger em uma dimensão
1. INTRODUÇÃO
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Vamos agora resolver alguns problemas simples 
envolvendo a Equação de Schrödinger.
As situações mais simples envolvem problemas em uma 
dimensão em casos estacionários (independentes do tempo).
Neste caso, a Equação de Schrödinger é escrita na forma
( ) ( ) ( ) ( )xExxUx
dx
d
m
Ψ⋅=Ψ⋅+Ψ
⋅
− 2
22
2
h
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger em uma dimensão
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Lembremos que resolver a Equação de Schrödinger
significa, dado uma energia potencial U(x), encontrar a 
função de onda ΨΨΨΨ(x) que satisfaz a equação diferencial e que 
descrevem a dinâmica da partícula.
Eventualmente, as energias destas partículas também 
são encontradas quando da solução desta equação 
diferencial.
Com as funções de onda (auto-funções) e com as 
energias (auto-valores) teremos determinado todas as 
propriedades da partícula (auto-estados).
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Problemas a serem abordados
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1) Potencial degrau:
2) Barreira de potencial: uma partícula quântica sob a 
ação de uma potencial constante que atua numa região finita 
do espaço.
- uma partícula quântica sob a ação de um potencial 
constante a partir de uma dada posição.
- objetivo: comparação com a situação clássica.
- objetivo: discussão do efeito de tunelamento.
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Problemas a serem abordados...
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3) Poço de potencial: uma partícula quântica ligada a um 
“poço” de energia potencial.
4) Oscilador harmônico: uma partícula quântica sob a 
ação de um potencial do tipo “sistema massa-mola”.
- objetivo: determinar os níveis de energia discretos que 
a partícula pode admitir.
- objetivo: aplicar a solução para compreender como um 
elétron está ligado a uma molécula (ligação química – modos 
vibracionais).
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
O potencial degrau
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se propagando na direção +x, e que encontra um 
potencial definido como mostra a Figura 1.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( )



>
<
=
0
00
0 xU
x
xU
Seja também a situação em que U0 > 0 e que E > U0.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x < 0
Para a região definida por x < 0 (U = 0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) ( )
22
22
d x
E x
m dx
Ψ
− = ⋅Ψ
⋅
h ( ) ( )
2
2 2
2 0
d x m E
x
dx
Ψ ⋅ ⋅
+ ⋅Ψ =
h
A solução geral desta equação diferencial é
21
2
h
Emk ⋅⋅=( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Interpretação da solução geral
Esta solução mostra que para x < 0 temos a propagação 
de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A⋅⋅⋅⋅exp( i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude A, número de onda k1 e 
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
B⋅⋅⋅⋅exp(-i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude B, número de onda k1 e 
que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa o degrau.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Emk ⋅⋅
⋅⋅=
⋅
=
2
22
2
1
1
h
pi
piλ
( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x > 0
Para a região definida por x > 0 (U = U0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução geral desta equação diferencial é
( ) ( ) ( )xExU
dx
xd
m
Ψ⋅=Ψ⋅+Ψ
⋅
− 02
22
2
h ( ) ( ) ( ) 02 022
2
=Ψ⋅−⋅+Ψ xUEm
dx
xd
h
( )
2
0
2
2
h
UEmk −⋅⋅=( ) xkixki eDeCx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 222
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Interpretação da solução geral
Esta solução mostra que para x > 0 temos a propagação 
de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
C⋅⋅⋅⋅exp(i⋅⋅⋅⋅k2⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude C, número de onda k2 e 
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅⋅⋅⋅k2⋅⋅⋅⋅x)
Mas, observe que neste caso a onda de matéria não tem 
onde se refletir, pois não uma outra barreira após x > 0.
Logo, necessariamente, temos que D = 0, pois a onda de 
matéria se propaga apenas na direção +x.
( ) xkieCx ⋅⋅⋅=Ψ 22
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa o degrau.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( )0
2
2
2 2
22
UEmk −⋅⋅
⋅⋅=
⋅
=
h
pi
piλ
2121 λλ <⇒> kk
( ) xkieCx ⋅⋅⋅=Ψ 22
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Analogia entre Óptica e Mecânica Quântica
O problema de uma onda de matéria incidindo sobre um 
campo que produz uma determinada energia potencial é
similar ao da luz incidindo sobre uma região de índice de 
refração constante muito espessa.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
No caso da Óptica, calculamos a percentagem de luz 
refletida pelo meio de índice de refração constante.
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Existe aqui, mais uma vez, uma clara analogia entre a 
Mecânica Quântica e a Óptica.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
No caso da onda de matéria faremos um procedimento 
similar.
Fazemos isto simplesmente calculando a razão entre as 
amplitudes das ondas de matéria refletida e incidente.
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Neste caso, vamos calcular a razão entre a intensidade 
do feixe de partículas que é refletido (pelo degrau de energia 
potencial) e a intensidade do feixe incidente.
Analogia entre Óptica e Mecânica Quântica
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Definição do coeficiente de reflexão
Para a definição do coeficiente de reflexão (refletância) 
associado ao degrau, vamos partirda solução geral da onda 
de matéria.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Neste caso, definimos o coeficiente de reflexão ou 
simplesmente a refletância R, como sendo
2
A
BR =
( )




≥⋅
≤⋅+⋅
=Ψ
⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅
0
0
2
11
xeC
xeBeA
x
xki
xkixki
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Condições de contorno do problema
Para determinar R, devemos impor as condições de 
contorno para a função de onda ΨΨΨΨ.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Lembremos que ΨΨΨΨ deve ser uma função contínua em 
todo o espaço.
( ) ( )+− =Ψ==Ψ 00 21 xx ( ) ( )+− =Ψ==Ψ 0'0' 21 xx
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Assim, da definição de continuidade de uma função 
temos que ΨΨΨΨ deve satisfazer
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Solução do sistema
Obtemos então as seguintes equações
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Uma simples manipulação destas equações nos leva a
CBA =+ ( ) CkBAk ⋅=−⋅ 21
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
1
1
1
2
=+⋅
=−
A
B
A
C
k
k
A
B
A
C
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Solução do sistema
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Temos então um sistema de duas equações e duas 
incógnitas (B/A e C/A), cuja solução é
1
2
1
2
1
1
k
k
k
k
A
B
+
−
=
1
21
2
k
kA
C
+
=
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Expressão da solução em termos da energia e da diferença 
de potencial
É mais conveniente escrever a razão B/A termos da 
energia E e da energia potencial U0.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Após alguma manipulação matemática, 
obtemos então para B/A a expressão
E
U
k
k 0
1
2 1−=
E
U
E
U
A
B
0
0
11
11
−+
−−
=
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Para isto, escrevemos a razão entre k2 e k1.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Determinação da refletância em termos da razão E/U0
Após um exaustivo cálculo matemático, obtemos então 
finalmente a refletância R como sendo
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
E
U
E
U
E
U
E
U
A
BR
00
00
2
112
112
−








−+⋅
−








−−⋅
==
Reflectância para Potencial Degrau - E 
> U0
0
0,4
0,8
1,2
0 5 10
E/U0
R
2. O POTENCIAL DEGRAU (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
O potencial degrau
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se propagando na direção +x, e que encontra um 
potencial definido como mostra a Figura 2.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Seja agora a situação em que E < U0.
( )



>
<
=
0
00
0 xU
x
xU
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x < 0
Para a região definida por x < 0 (U = 0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) ( )
22
22
d x
E x
m dx
Ψ
− = ⋅Ψ
⋅
h ( ) ( )
2
2 2
2 0
d x m E
x
dx
Ψ ⋅ ⋅
+ ⋅Ψ =
h
A solução geral desta equação diferencial é
21
2
h
Emk ⋅⋅=( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Interpretação da solução geral
Esta solução mostra que para x < 0 temos a propagação 
de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
A⋅⋅⋅⋅exp(i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude A, número de onda k1 e 
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
B⋅⋅⋅⋅exp(-i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude B, número de onda k1 e 
que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa o degrau.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Emk ⋅⋅
⋅⋅=
⋅
=
2
22
2
1
1
h
pi
piλ
( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x > 0
Para a região definida por x > 0 (U = U0) temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução geral desta equação diferencial é
( ) ( ) ( )xExU
dx
xd
m
Ψ⋅=Ψ⋅+Ψ
⋅
− 02
22
2
h
( )
2
02
h
EUm −⋅⋅
=ρ
( ) ( ) ( ) 02 022
2
=Ψ⋅−⋅−Ψ xEUm
dx
xd
h
( ) xx eDeCx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ2
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Lembremos que uma condição de existência para a 
função de onda é que ela não pode apresentar singularidades 
para qualquer valor de x.
Para que esta condição seja obedecida, necessariamente 
temos que fazer com que C = 0, pois caso contrário 
apareceria um ∞ em ΨΨΨΨ2(x).
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Isto significa, por exemplo, que a função de onda não 
pode apresentar valores infinitos para qualquer valor de x.
( ) xx eDeCx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ2
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
Esta solução mostra que para x > 0 temos a propagação 
de uma onda chamada evanescente.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
D⋅⋅⋅⋅exp(-ρ⋅ρ⋅ρ⋅ρ⋅x): onda evanescente de amplitude D e constante de 
amortecimento ρρρρ.
Assim, a solução passa a ser
( ) xeDx ⋅−⋅=Ψ ρ2
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa o degrau.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) xeDx ⋅−⋅=Ψ ρ2
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Analogia entre Óptica e Mecânica Quântica
Desta forma, podemos repetir aqui todo o procedimento 
já feito no caso E > U0 e calcular também o coeficiente de 
reflexão associado ao degrau.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Novamente existe aqui, mais uma vez, uma clara analogia 
entre a Mecânica Quântica e a Óptica.
Como na situação E > U0, fazemos isto simplesmente 
calculando a razão entre as amplitudes das ondas de matéria
refletida e incidente.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Definição do coeficiente de reflexão
Para a definição do coeficiente de reflexão (refletância) 
associado ao degrau, vamos partir da solução geral da onda 
de matéria.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Também neste caso, definimos o coeficiente de reflexão
ou simplesmente a refletância R, como sendo
2
A
BR =
( )




≥⋅
≤⋅+⋅
=Ψ
⋅−
⋅⋅−⋅⋅
0
011
xeD
xeBeA
x
x
xkixki
ρ
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Condições de contorno do problema
Para determinar R, devemos impor as condições de 
contorno para a função de onda ΨΨΨΨ.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Lembremos que ΨΨΨΨ deve ser uma função contínua em 
todo o espaço.
( ) ( )+− =Ψ==Ψ 00 21 xx ( ) ( )+− =Ψ==Ψ 0'0' 21 xx
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Assim, da definição de continuidade de uma função 
temos que ΨΨΨΨ deve satisfazer, como anteriormente
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Solução do sistema
Obtemos então as seguintes equações
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Umasimples manipulação destas equações nos leva a
DBA =+ ( ) DBAki ⋅−=−⋅⋅ ρ1
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
1
1
1
=+⋅
⋅
=−
A
B
A
D
k
i
A
B
A
D
ρ
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Solução do sistema
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Temos então um sistema de duas equações e duas 
incógnitas (B/A e C/A), cuja solução é
1
1
1
1
k
i
k
i
A
B
ρ
ρ
⋅
+
⋅
−
=
1
1
2
k
iA
D
ρ⋅
+
=
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Determinação do coeficiente de reflexão
De posse da razão B/A, podemos determinar o coeficiente 
de reflexão R.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1






+






+
=
⋅
+
⋅
−
=
⋅
+
⋅
−
==
k
k
k
i
k
i
k
i
k
i
A
BR
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
1=R⇒
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Determinação da refletância 
Obtemos então finalmente a refletância R como sendo
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
01 UER <∀=
Reflectância para Potencial Degrau - 
E < U0
0
0,6
1,2
0 0,6 1,2
E/U0
R
2. O POTENCIAL DEGRAU (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Determinação da refletância para qualquer energia
Reunimos os resultados da refletância para todos os 
valores da razão E/U0, e obtemos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS









>
−





−+⋅
−





−−⋅
<
=
0
00
00
0
112
112
1
UE
E
U
E
U
E
U
E
U
UE
R
Reflectância para Potencial Degrau
0
0,4
0,8
1,2
0 4 8
E/U0
R
2. O POTENCIAL DEGRAU
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Partículas clássicas:
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
a) se a energia da partícula for menor do que a “altura”
do degrau ela só é encontrada no lado x < 0;
b) se a energia da partícula for maior do que a “altura”
do degrau ela só é encontrada no lado x > 0.
2. O POTENCIAL DEGRAU
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Partículas quânticas:
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
a) se a energia da partícula for menor do que a “altura”
do degrau a onda de matéria é totalmente refletida, pois 
neste caso R = 1;
b) se a energia da partícula for maior do que a “altura”
do degrau a onda de matéria é parcialmente refletida, pois 
neste caso R < 1.
2. O POTENCIAL DEGRAU
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Comparação entre partículas clássicas e quânticas:
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
- no caso da energia da partícula ser menor do que a 
“altura” do degrau, partículas clássicas e quânticas têm 
comportamento análogo;
2. O POTENCIAL DEGRAU
- em ambos os casos as partículas são encontradas 
apenas do lado esquerdo do degrau.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Comparação entre partículas clássicas e quânticas:
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
- no caso da energia da partícula ser maior do que a 
“altura” do degrau, partículas clássicas e quânticas NÃO
apresentam comportamento análogo;
2. O POTENCIAL DEGRAU
- neste caso, NÃO são observadas partículas clássicas 
do lado esquerdo da barreira, enquanto que existe uma 
probabilidade diferente de zero de encontrarmos partículas 
quânticas do lado esquerdo do degrau.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Vamos então analisar estes resultados graficamente.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Refletância - Comportamento 
Quântico
0
0,6
1,2
0 3 6
E/U0
R
"Refletância" - Comportamento 
Clássico
-0,6
0
0,6
1,2
0 3 6
E/U0
R
2. O POTENCIAL DEGRAU
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A barreira de potencial
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se propagando na direção +x, e que encontra um 
potencial definido como mostra a Figura 3.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Seja agora a situação em que E > U0.
( )





>
<<
<
=
ax
axU
x
xU
0
0
00
0
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x < 0
Para a região definida por x < 0 (U = 0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) ( )
22
22
d x
E x
m dx
Ψ
− = ⋅Ψ
⋅
h ( ) ( )
2
2 2
2 0
d x m E
x
dx
Ψ ⋅ ⋅
+ ⋅Ψ =
h
A solução geral desta equação diferencial é
21
2
h
Emk ⋅⋅=( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
Esta solução mostra que para x < 0 temos a propagação 
de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A⋅⋅⋅⋅exp(i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude A, número de onda k1 e 
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
B⋅⋅⋅⋅exp(-i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude B, número de onda k1 e 
que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa a barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Emk ⋅⋅
⋅⋅=
⋅
=
2
22
2
1
1
h
pi
piλ
( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para 0 < x < a
Para a região definida por 0 < x < a (U = U0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução geral desta equação diferencial é
( ) ( ) ( )xExU
dx
xd
m
Ψ⋅=Ψ⋅+Ψ
⋅
− 02
22
2
h ( ) ( ) ( ) 02 022
2
=Ψ⋅−⋅+Ψ xUEm
dx
xd
h
( )
2
0
2
2
h
UEmk −⋅⋅=( ) xkixki eDeCx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 222
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
Esta solução mostra que para 0 < x < a temos a 
propagação de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
C⋅⋅⋅⋅exp(i⋅⋅⋅⋅k2⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude C, número de onda k2 e 
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅⋅⋅⋅k2⋅⋅⋅⋅x)
D⋅⋅⋅⋅exp(-i⋅⋅⋅⋅k2⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude D, número de onda k2 e 
que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅⋅⋅⋅k2⋅⋅⋅⋅x)
( ) xkixki eDeCx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 222
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa a barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( )0
2
2
2 2
22
UEmk −⋅⋅
⋅⋅=
⋅
=
h
pi
piλ
( ) xkixki eDeCx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 222
2121 λλ <⇒> kk
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x > a
Para a região definidapor x > a (U = 0) temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) ( )
22
22
d x
E x
m dx
Ψ
− = ⋅Ψ
⋅
h ( ) ( )
2
2 2
2 0
d x m E
x
dx
Ψ ⋅ ⋅
+ ⋅Ψ =
h
A solução geral desta equação diferencial é
21
2
h
Emk ⋅⋅=( ) xkixki eGeFx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 113
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Interpretação da solução geral
Esta solução mostra que para x > 0 temos a propagação 
de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
F⋅⋅⋅⋅exp(i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude F, número de onda k1 e 
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
Mas, observe que neste caso a onda de matéria não tem 
onde se refletir, pois não uma outra barreira após x > a.
Logo, necessariamente, temos que G = 0, pois a onda de 
matéria se propaga apenas na direção +x.
( ) xkieFx ⋅⋅⋅=Ψ 13
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa a barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Emk ⋅⋅
⋅⋅=
⋅
=
2
22
2
1
1
h
pi
piλ
( ) xkieFx ⋅⋅⋅=Ψ 13
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Analogia entre Óptica e Mecânica Quântica
Desta forma, podemos repetir aqui todo o procedimento 
já feito no caso do potencial degrau e calcular também o 
coeficiente de reflexão associado ao degrau.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Ainda mais uma vez existe aqui uma clara analogia entre 
a Mecânica Quântica e a Óptica.
Como naquele caso, fazemos isto simplesmente 
calculando a razão entre as amplitudes das ondas de matéria
refletida e incidente.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Além disso, neste caso podemos calcular também o 
coeficiente de transmissão associado à barreira de potencial.
Fazemos isto simplesmente calculando a razão entre as 
amplitudes das ondas de matéria transmitida e incidente.
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Analogia entre Óptica e Mecânica Quântica
Podemos fazer isso pois a onda de matéria se propaga 
também para x > a.
Isto significa que a onda de matéria é transmitida além da 
barreira de potencial.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Definição do coeficiente de reflexão e de transmissão
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( )





≥⋅
≤≤⋅+⋅
≤⋅+⋅
=Ψ
⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅
axeF
axeDeC
xeBeA
x
xki
xkixki
xkixki
1
22
11
0
0
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Para a definição do coeficiente de reflexão (refletância) e 
do coeficiente de transmissão (transmitância) associado ao 
degrau, vamos partir da solução geral da onda de matéria.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Definição do coeficiente de reflexão e de transmissão
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Neste caso, definimos o coeficiente de reflexão ou 
simplesmente a refletância R e o coeficiente de transmissão 
ou simplesmente transmitância T como sendo, 
respectivamente
2
A
BR =
( )





≥⋅
≤≤⋅+⋅
≤⋅+⋅
=Ψ
⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅
axeF
axeDeC
xeBeA
x
xki
xkixki
xkixki
1
22
11
0
0
2
A
FT =
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Condições de contorno do problema
Para determinar R ou T devemos impor as condições de 
contorno para a função de onda ΨΨΨΨ.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Lembremos que ΨΨΨΨ deve ser uma função contínua em todo 
o espaço.
( ) ( )+− =Ψ==Ψ 00 21 xx ( ) ( )+− =Ψ==Ψ 0'0' 21 xx
( ) ( )+− =Ψ==Ψ axax 32 ( ) ( )+− =Ψ==Ψ axax '' 32
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Assim, da definição de continuidade de uma função 
temos que ΨΨΨΨ deve satisfazer
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Equações oriundas das condições de contorno
Obtemos então as seguintes equações
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
DCBA +=+ ( ) ( )DCkBAk −⋅=−⋅ 21
FeDeCe akiakiaki ⋅=⋅+⋅ ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅ 122 ( ) FekDeCek akiakiaki ⋅⋅=⋅−⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅ 122 12
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Uma simples manipulação destas equações nos leva a
1
1
1
2
1
2
=⋅−⋅+
=++−
A
D
k
k
A
C
k
k
A
B
A
D
A
C
A
B
0
0
122
122
1
2
1
2
=⋅−⋅⋅+⋅⋅
=⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅
A
F
e
A
D
e
k
k
A
C
e
k
k
A
F
e
A
D
e
A
C
e
akiakiaki
akiakiaki
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Sistema de equações na forma matricial
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Temos então um sistema de quatro equações e quatro 
incógnitas (B/A, C/A, D/A e F/A), portanto este problema 
apresenta solução.
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Podemos escrever este sistema de equações na forma 
matricial.














=














⋅
















−⋅⋅
−
−
−
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅
0
0
1
1
/
/
/
/
0
0
01
0111
122
122
1
2
1
2
1
2
1
2
AD
AD
AC
AB
ee
k
k
e
k
k
eee
k
k
k
k
akiakiaki
akiakiaki
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Solução do sistema
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A resolução deste sistema de equações nos leva a
( ) ( ) ( )ak
kk
kki
ak
e
A
F aki
⋅
⋅
+
⋅−⋅
=
⋅⋅−
2
21
2
2
2
1
2 sin2
cos
2
( ) ( )
( ) ( ) ( )ak
kk
kki
ak
ak
kk
kki
A
B
⋅
⋅
+
⋅−⋅
⋅
⋅
−
=
2
21
2
2
2
1
2
2
21
2
1
2
2
sin
2
cos
sin
2
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Determinação da refletância e da transmitância
A partir das razões F/A e B/A, e após um exaustivo 
cálculo matemático, obtemos T e R em termos da razão E/U0
como sendo
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+
==
12sin141
1
0
2
2
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
EA
FT
h














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
==
12sin141
12sin14
0
2
2
02
00
0
2
2
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
E
U
EaUm
U
E
U
E
A
BR
h
h
1=+TR
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
⇒
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
O parâmetro característico da barreira
Observe que tanto R quanto T dependem de um 
parâmetro adimensional, que depende das características da 
barreira U0 e a, além da massa da partícula m.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2
2
02
h
aUm ⋅⋅⋅
=α
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Vamos definir este parâmetro adimensional αααα como 
sendo
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Algumas soluções para R e T em termos de αααα
A partir das razões F/A e B/A, encontramos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+
==
12sin141
1
0
2
2
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
EA
FT
h














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
==
12sin141
12sin14
0
2
2
02
00
0
22
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
E
U
EaUm
U
E
U
E
A
BR
h
h
1=+TR
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Algumas soluções para R e T em termos de αααα
A partir das razões F/A e B/A, encontramos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+
==
12sin141
1
0
2
2
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
EA
FT
h














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
==
12sin141
12sin14
0
2
2
02
00
0
2
2
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
E
U
EaUm
U
E
U
E
A
BR
h
h
1=+TR
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A barreira de potencial
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se propagando na direção +x, e que encontra um 
potencial definido como mostra a Figura 4.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Seja agora a situação em que E < U0.
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
( )





>
<<
<
=
ax
axU
x
xU
0
0
00
0
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x < 0
Para a região definida por x < 0 (U = 0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) ( )
22
22
d x
E x
m dx
Ψ
− = ⋅Ψ
⋅
h ( ) ( )
2
2 2
2 0
d x m E
x
dx
Ψ ⋅ ⋅
+ ⋅Ψ =
h
A solução geral desta equação diferencial é
21
2
h
Emk ⋅⋅=( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
Esta solução mostra que para x < 0 temos a propagação 
de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A⋅⋅⋅⋅exp(i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude A, número de onda k1 e 
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
B⋅⋅⋅⋅exp(-i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude B, número de onda k1 e 
que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa a barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Emk ⋅⋅
⋅⋅=
⋅
=
2
22
2
1
1
h
pi
piλ
( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 111
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para 0 < x < a
Para a região definida por 0 < x < a (U = U0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução geral desta equação diferencial é
( ) ( ) ( )xExU
dx
xd
m
Ψ⋅=Ψ⋅+Ψ
⋅
− 02
22
2
h ( ) ( ) ( ) 02 022
2
=Ψ⋅−⋅−Ψ xEUm
dx
xd
h
( )
2
02
h
EUm −⋅⋅
=ρ( ) xx eDeCx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ2
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
Esta solução mostra que para 0 < x < a temos a 
propagação de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
C⋅⋅⋅⋅exp(ρ⋅ρ⋅ρ⋅ρ⋅x): onda evanescente crescente de amplitude C e 
constante de crescimento ρρρρ.
D⋅⋅⋅⋅exp(-ρ⋅ρ⋅ρ⋅ρ⋅x): onda evanescente decrescente de amplitude D e 
constante de amortecimento ρρρρ.
( ) xx eDeCx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ2
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa a barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) xx eDeCx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ2
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x > a
Para a região definida por x > a (U = 0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) ( )
22
22
d x
E x
m dx
Ψ
− = ⋅Ψ
⋅
h ( ) ( )
2
2 2
2 0
d x m E
x
dx
Ψ ⋅ ⋅
+ ⋅Ψ =
h
A solução geral desta equação diferencial é
21
2
h
Emk ⋅⋅=( ) xkixki eGeFx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ 113
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Interpretação da solução geral
Esta solução mostra que para x > 0 temos a propagação 
de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
F⋅⋅⋅⋅exp(i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude F, número de onda k1 e 
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅⋅⋅⋅k1⋅⋅⋅⋅x)
Mas, observe que neste caso a onda de matéria não tem 
onde se refletir, pois não uma outra barreira após x > a.
Logo, necessariamente, temos que G = 0, pois a onda de 
matéria se propaga apenas na direção +x.
( ) xkieFx ⋅⋅⋅=Ψ 13
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa a barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Emk ⋅⋅
⋅⋅=
⋅
=
2
22
2
1
1
h
pi
piλ
( ) xkieFx ⋅⋅⋅=Ψ 13
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Analogia entre Óptica e Mecânica Quântica
Desta forma, podemos repetir aqui todo o procedimento 
já feito no caso E > U0 e calcular também o coeficiente de 
reflexão associado à barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Ainda mais uma vez existe aqui uma clara analogia entre 
a Mecânica Quântica e a Óptica.
Como naquele caso, fazemos isto simplesmente 
calculando a razão entre as amplitudes das ondas de matéria
refletida e incidente.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Além disso, também neste caso podemos calcular 
também o coeficiente de transmissão associado à barreira de 
potencial.
Fazemos isto simplesmente calculando a razão entre as 
amplitudes das ondas de matéria transmitida e incidente.
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Analogia entre Óptica e Mecânica Quântica
Como já explicamos antes, podemos fazer isso pois a 
onda de matéria se propaga também para x > a.
Isto significa que a onda de matéria é transmitida além da 
barreira de potencial.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Definição do coeficiente de reflexão e de transmissão
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( )





≥⋅
≤≤⋅+⋅
≤⋅+⋅
=Ψ
⋅⋅
⋅−⋅
⋅⋅−⋅⋅
axeF
axeDeC
xeBeA
x
xki
xx
xkixki
1
11
0
0
ρρ
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Para a definição do coeficiente de reflexão (refletância) e 
do coeficiente de transmissão (transmitância) associados à
barreira, vamos partir da solução geral da onda de matéria.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Definição do coeficiente de reflexão e de transmissão
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Neste caso, definimos o coeficiente de reflexão ou 
simplesmente a refletância R e o coeficiente de transmissão 
ou simplesmente transmitância T como sendo, 
respectivamente
2
A
BR =
( )





≥⋅
≤≤⋅+⋅
≤⋅+⋅
=Ψ
⋅⋅
⋅−⋅
⋅⋅−⋅⋅
axeF
axeDeC
xeBeA
x
xki
xx
xkixki
1
11
0
0
ρρ
2
A
FT =
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
FísicaModerna I - Potenciais 
Unidimensionais
Condições de contorno do problema
Para determinar R ou T devemos impor as condições de 
contorno para a função de onda ΨΨΨΨ.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Lembremos que ΨΨΨΨ deve ser uma função contínua em todo 
o espaço.
( ) ( )+− =Ψ==Ψ 00 21 xx ( ) ( )+− =Ψ==Ψ 0'0' 21 xx
( ) ( )+− =Ψ==Ψ axax 32 ( ) ( )+− =Ψ==Ψ axax '' 32
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Assim, da definição de continuidade de uma função 
temos que ΨΨΨΨ deve satisfazer
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Equações oriundas das condições de contorno
Obtemos então as seguintes equações
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
DCBA +=+ ( ) ( )DCBAki −⋅=−⋅⋅ ρ1
FeDeCe akiaa ⋅=⋅+⋅ ⋅⋅⋅−⋅ 1ρρ ( ) FekiDeCe akiaa ⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅ ⋅⋅⋅−⋅ 11ρρρ
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Uma simples manipulação destas equações nos leva a
1
1
11
=⋅
⋅
+⋅
⋅
−
=++−
A
D
k
i
A
C
k
i
A
B
A
D
A
C
A
B
ρρ0
0
1
1
11
=⋅−⋅⋅
⋅
+⋅⋅
⋅
−
=⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅−⋅
⋅⋅⋅−⋅
A
F
e
A
D
e
k
i
A
C
e
k
i
A
F
e
A
D
e
A
C
e
akiaa
akiaa
ρρ
ρρ
ρρ
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Sistema de equações na forma matricial
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Temos então um sistema de quatro equações e quatro 
incógnitas (B/A, C/A, D/A e F/A), portanto este problema 
apresenta solução.
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Podemos escrever este sistema de equações na forma 
matricial.














=














⋅
















−⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅⋅
−
−
⋅⋅⋅−⋅
⋅⋅⋅−⋅
0
0
1
1
/
/
/
/
0
0
01
0111
1
1
11
11
AD
AD
AC
AB
ee
k
i
e
k
i
eee
k
i
k
i
akiaa
akiaa
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Solução do sistema
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A resolução deste sistema de equações nos leva a
( ) ( ) ( )ak
kk
kki
ak
e
A
F aki
⋅
⋅
+
⋅−⋅
=
⋅⋅−
2
21
2
2
2
1
2 sin2
cos
2
( ) ( )
( ) ( ) ( )ak
kk
kki
ak
ak
kk
kki
A
B
⋅
⋅
+
⋅−⋅
⋅
⋅⋅
−
=
2
21
2
2
2
1
2
2
21
2
1
2
2
sin
2
cos
sin
2
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Determinação da refletância e da transmitância
A partir das razões F/A e B/A, e após um exaustivo 
cálculo matemático, obtemos T e R em termos da razão E/U0
como sendo
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+
==
12sin141
1
0
2
2
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
EA
FT
h














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
==
12sin141
12sin14
0
2
2
02
00
0
2
2
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
E
U
EaUm
U
E
U
E
A
BR
h
h
1=+TR
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
⇒
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
O parâmetro característico da barreira
Observe que tanto R quanto T dependem novamente de 
um parâmetro adimensional, que depende das características 
da barreira U0 e a, além da massa da partícula m.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
2
2
02
h
aUm ⋅⋅⋅
=α
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E > Uo)
Já definimos este parâmetro adimensional αααα
anteriormente como sendo
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Algumas soluções para R e T em termos de αααα
A partir das razões F/A e B/A, encontramos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+
==
12sin141
1
0
2
2
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
EA
FT
h














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
==
12sin141
12sin14
0
2
2
02
00
0
2
2
02
00
2
U
EaUm
U
E
U
E
U
EaUm
U
E
U
E
A
BR
h
h
1=+TR
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Algumas soluções para R e T em termos de αααα
A partir das razões F/A e B/A, encontramos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+
==
0
2
2
02
00
2
12sinh141
1
U
EaUm
U
E
U
EA
FT
h
1=+TR
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
==
0
2
2
02
00
0
2
2
02
00
2
12sinh141
12sinh14
U
EaUm
U
E
U
E
U
EaUm
U
E
U
E
A
BR
h
h
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Determinação da refletância para qualquer energia
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
0
0
2
2
02
00
0
2
2
02
00
2
12sinh141
12sinh14
UE
U
EaUm
U
E
U
E
U
EaUm
U
E
U
E
A
BR <














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
==
h
h
0
0
2
2
02
00
0
2
2
02
00
2
12sin141
12sin14
UE
U
EaUm
U
E
U
E
U
EaUm
U
E
U
E
A
BR >














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
==
h
h
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Reunimos os resultados da refletância para todos os 
valores da razão E/U0, e obtemos
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
0
0
2
2
02
00
2
12sinh141
1 UE
U
EaUm
U
E
U
EA
FT <














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+
==
h
0
0
2
2
02
00
2
12sin141
1 UE
U
EaUm
U
E
U
EA
FT >














−
⋅⋅⋅
⋅





−⋅
⋅
+
==
h
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Reunimos os resultados da transmitância para todos os 
valores da razão E/U0, e obtemos
Determinação da transmitância para qualquer energia
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Partículas clássicas:
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
a) se a energia da partícula for menor do que a “altura”
do degrau ela só é encontrada no lado x < 0;
b) se a energia da partícula for maior do que a “altura”
do degrau ela só é encontrada no lado x > 0.
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Partículas quânticas:
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
a) se a energia da partícula for menor do que a “altura”
da barreira, a onda de matéria é parcialmente refletida (e 
parcialmente transmitida), dependendo do valor da razão E/U.
b) se a energia da partícula for maior do que a “altura”
da barreira,a onda de matéria é parcialmente refletida (e 
parcialmente transmitida), dependendo do valor da razão E/U.
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Comparação entre partículas clássicas e quânticas:
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
- no caso da energia da partícula ser menor do que a 
“altura” da barreira, partículas clássicas e quânticas NÃO
têm comportamento análogo;
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
- no caso da energia da partícula ser maior do que a 
“altura” do degrau, partículas clássicas e quânticas também 
NÃO apresentam comportamento análogo;
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Comparação entre partículas clássicas e quânticas:
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
- já no caso de partículas quânticas, existe uma 
probabilidade diferente de zero de encontrarmos partículas 
quânticas do lado esquerdo e direito da barreira, dependendo 
do valor da razão E/U0.
- as partículas clássicas são encontradas apenas em um 
lado da barreira, dependendo do valor da razão E/U0;
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Interpretação do efeito de tunelamento
Observe que mesmo que uma partícula tenha energia 
menor do que a “altura” da barreira, existe uma 
probabilidade diferente de zero (T ≠≠≠≠ 0) dela ser encontrada do 
outro lado da barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
3. A BARREIRA DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Comparação entre o comportamento de partículas 
quânticas e clássicas
Análise gráfica.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Reflectância - Comportamento 
Clássico
-0,6
0
0,6
1,2
0 3 6
E/U0
R
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
O poço de potencial
4. O POÇO DE POTENCIAL
Seja uma partícula quântica de massa m e energia E
(constante), se “propagando” na direção +x, e que encontra 
um potencial definido como mostra a Figura 5.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Seja a situação em que temos um estado ligado com 
energias entre 0 e – U0, isto é, – U0 < E < 0.
( )





>
<<−
<
=
ax
axU
x
xU
0
0
00
0
Poço de Potencial
-130
-80
-30
20
70
120
-15
x (nm)
U
 
(
m
e
V
)
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x < 0
Para a região definida por x < 0 (U = 0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução geral desta equação diferencial é
( ) ( )xE
dx
xd
m
Ψ⋅−=Ψ
⋅
− 2
22
2
h
2
2
h
Em ⋅⋅
=ρ
( ) ( ) 02 22
2
=Ψ⋅
⋅⋅
−
Ψ
x
Em
dx
xd
h
( ) xx eBeAx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ1
4. O POÇO DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
Esta solução mostra que para x < 0 temos a propagação 
de duas ondas evanescentes.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A⋅⋅⋅⋅exp(ρ⋅ρ⋅ρ⋅ρ⋅x): onda evanescente crescente de amplitude A e 
constante de crescimento ρρρρ.
B⋅⋅⋅⋅exp(-ρ⋅ρ⋅ρ⋅ρ⋅x): onda evanescente decrescente de amplitude B e 
constante de amortecimento ρρρρ.
( ) xx eBeAx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ1
4. O POÇO DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A⋅⋅⋅⋅exp(ρ⋅ρ⋅ρ⋅ρ⋅x): onda evanescente de amplitude A, e 
constante de crescimento ρρρρ.
Mas, observe que a função de onda não pode apresentar 
valores infinitos, pois ela necessariamente deve ser uma 
função “bem comportada”.
Isto obriga que B = 0, pois caso contrário teremos a 
situação ΨΨΨΨ(x = - ∞∞∞∞) = ∞∞∞∞.
( ) xeAx ⋅⋅=Ψ ρ1
4. O POÇO DE POTENCIAL
( ) xx eBeAx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ1
Temos então que
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa o poço de potencial.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) xeAx ⋅⋅=Ψ ρ1
4. O POÇO DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para 0 < x < a
Para a região definida por 0 < x < a (U = – U0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução geral desta equação diferencial é
( ) ( ) ( )xExU
dx
xd
m
Ψ⋅−=Ψ⋅−Ψ
⋅
− 02
22
2
h ( ) ( ) ( ) 02 022
2
=Ψ⋅−⋅+Ψ xEUm
dx
xd
h
( )
2
02
h
EUm
k
−⋅⋅
=
( ) xkixki eDeCx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ2
4. O POÇO DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
Esta solução mostra que para 0 < x < a temos a 
propagação de duas ondas planas.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
C⋅⋅⋅⋅exp(i⋅⋅⋅⋅k⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude C, número de onda k e 
que se propaga da esquerda para a direita (+i⋅⋅⋅⋅k⋅⋅⋅⋅x)
D⋅⋅⋅⋅exp(-i⋅⋅⋅⋅k⋅⋅⋅⋅x): onda plana de amplitude D, número de onda k e 
que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅⋅⋅⋅k⋅⋅⋅⋅x)
( ) xkixki eDeCx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ2
4. O POÇO DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa a barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( )EUmk −⋅⋅⋅⋅=
⋅
=
0
2
2
22 hpipiλ
( ) xkixki eDeCx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ2
4. O POÇO DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para x > a
Para a região definida por x > a (U = 0), temos
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução geral desta equação diferencial é
( ) ( )xE
dx
xd
m
Ψ⋅−=Ψ
⋅
− 2
22
2
h
2
2
h
Em ⋅⋅
=ρ
( ) ( ) 02 22
2
=Ψ⋅
⋅⋅
−
Ψ
x
Em
dx
xd
h
( ) xx eGeFx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ3
4. O POÇO DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução geral
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
G⋅⋅⋅⋅exp(-ρ⋅ρ⋅ρ⋅ρ⋅x): onda evanescente de amplitude G, e 
constante de amortecimento ρρρρ.
Mas, observe que a função de onda não pode apresentar 
valores infinitos, pois ela necessariamente deve ser uma 
função “bem comportada”.
( ) xeGx ⋅−⋅=Ψ ρ3
4. O POÇO DE POTENCIAL
( ) xx eGeFx ⋅−⋅ ⋅+⋅=Ψ ρρ3
Isto obriga que F = 0, pois caso contrário teremos a 
situação ΨΨΨΨ(x = - ∞∞∞∞) = ∞∞∞∞.
Temos então que
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Representação gráfica da solução geral
Esta solução geral pode ser representada graficamente, 
superpondo-a sobre o gráfico da energia potencial que 
representa a barreira.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) xeGx ⋅−⋅=Ψ ρ3
4. O POÇO DE POTENCIAL
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Os estados ligados
Observe que este problema é bastante similar ao da 
partícula em uma “caixa”.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Logo, podemos concluir que a partícula fica praticamente 
confinada e ligada ao poço de potencial.
Neste confinamento a partícula quantiza seus níveis de 
energia, admitindo apenas alguns valores discretos para a 
energia.
4. O POÇO DE POTENCIAL
No caso deste poço de potencial, a energia da partícula é
negativa (E < 0), porém maior que – U0.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Os estados ligados
Neste caso, seremos capazes de calcular quais as 
possíveis energias que a “onda de matéria” pode admitir 
dentro do poço de potencial.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Paraeste cálculo, vamos incialmente escrever a função 
de onda que representa a partícula em todo o espaço.
4. O POÇO DE POTENCIAL
( )





≥⋅
≤≤⋅+⋅
≤⋅
=Ψ
⋅−
⋅⋅−⋅⋅
⋅
axeG
axeDeC
xeA
x
x
xkixki
x
ρ
ρ
0
0
11
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Condições de contorno do problema
Para resolver o problema, devemos impor as condições 
de contorno para a função de onda ΨΨΨΨ.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Lembremos que ΨΨΨΨ deve ser uma função contínua em todo 
o espaço.
( ) ( )+− =Ψ==Ψ 00 21 xx ( ) ( )+− =Ψ==Ψ 0'0' 21 xx
( ) ( )+− =Ψ==Ψ axax 32 ( ) ( )+− =Ψ==Ψ axax '' 32
4. O POÇO DE POTENCIAL
Assim, da definição de continuidade de uma função 
temos que ΨΨΨΨ deve satisfazer
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Equações oriundas das condições de contorno
Obtemos então as seguintes equações
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
DCA += ( )DCkiA −⋅⋅=⋅ρ
GeDeCe aakiaki ⋅=⋅+⋅ ⋅−⋅⋅−⋅⋅ ρ ( ) GeDeCeki aakiaki ⋅=⋅−⋅⋅⋅ ⋅−⋅⋅−⋅⋅ ρ
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Uma simples manipulação destas equações nos leva a
0
0
=⋅⋅+⋅⋅−⋅
=−−
DkiCkiA
DCA
ρ 0
0
=⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
=⋅−⋅+⋅
⋅−⋅⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅−⋅⋅
GeDekiCeki
GeDeCe
aakiaki
aakiaki
ρ
ρ
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Sistema de equações na forma matricial
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Temos então um sistema de quatro equações e quatro 
incógnitas (A, C, D e G), portanto este problema apresenta 
solução.
3. A BARREIRA DE POTENCIAL (E < Uo)
Podemos escrever este sistema de equações na forma 
matricial.














=














⋅














⋅⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−
−−
⋅−⋅⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅−⋅⋅
0
0
0
0
0
0
0
0111
G
D
C
A
eekieki
eee
kiki
aakiaki
aakiaki
ρ
ρ
ρ
ρ
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
O sistema linear homogêneo
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Como vemos, trata-se de um sistema linear homogêneo
(SLH).
4. O POÇO DE POTENCIAL














=














⋅














⋅⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−
−−
⋅−⋅⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅−⋅⋅
0
0
0
0
0
0
0
0111
G
D
C
A
eekieki
eee
kiki
aakiaki
aakiaki
ρ
ρ
ρ
ρ
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
O sistema linear homogêneo
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
4. O POÇO DE POTENCIAL
Uma solução matematicamente possível para qualquer 
SLH é a chamada solução trivial.
Esta solução é aquela na qual temos A = C = D = G = 0.
Porém, embora seja matematicamente possível, ela é
fisicamente indesejável, pois ela conduz a uma função de 
onda nula em todo o espaço.
Além da solução trivial, um SLH apresenta uma outra 
solução possível quando det(M) = 0, onde M é a matriz 
associada ao SLH.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Condição de existência de solução
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
0
0
0
0
0111
=
⋅⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−
−−
⋅−⋅⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅−⋅⋅
aakiaki
aakiaki
eekieki
eee
kiki
ρ
ρ
ρ
ρ
4. O POÇO DE POTENCIAL
Desta forma, para que o problema tenha uma solução 
diferente da trivial, temos
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Determinação da condição de existência da solução
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Após um exaustivo cálculo deste determinante, obtemos 
uma condição que relaciona as constantes k e ρρρρ.
4. O POÇO DE POTENCIAL
Observe que as constantes k e ρρρρ trazem em seu bojo a 
energia E.
Desta forma, ao obtermos uma expressão que relaciona 
as constantes k e ρρρρ, no fundo estaremos obtendo uma 
expressão para determinarmos a energia E.
( )
2
02
h
EUm
k
−⋅⋅
=
2
2
h
Em ⋅⋅
=ρ
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Determinação da relação entre k e ρρρρ
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução desta equação fornece os valores possíveis 
para as energias da partícula sujeita ao poço de potencial.
( ) .2 22 ρ
ρ
−
⋅⋅
=⋅
k
k
aktg
4. O POÇO DE POTENCIAL
O cálculo exaustivo leva à seguinte equação
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Alguns truques para a obtenção da energia E
Multiplicamos o lado direito desta equação por a2, tanto 
no numerador quanto no denominador.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) ( ) ( )( ) ( ) .
2
22
aak
aak
aktg
⋅−⋅
⋅⋅⋅⋅
=⋅
ρ
ρ
.12
0
2
2
0








−
⋅⋅⋅
=⋅
U
EaUm
ak
h
Observemos que usando o vetor de onda k, uma pequena 
manipulação leva a
( )
2
02
h
EUm
k
−⋅⋅
=
4. O POÇO DE POTENCIAL
⇒
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Fazemos o mesmo tratamento para a constante ρρρρ.
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Em ambos os termos aparece o parâmetro característico 
do poço de potencial.
.
2
0
2
2
0








⋅⋅⋅
=⋅
U
EaUm
a
h
ρ
2
2
h
Em ⋅⋅
=ρ
2
2
02
h
aUm ⋅⋅⋅
=α
4. O POÇO DE POTENCIAL
⇒
Alguns truques para a obtenção da energia E
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Por fim, definimos a variável adimensional u, tal que
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Com todos os truques descritos acima, obtemos uma 
equação transcendental na variável u.
.
0U
E
u =
[ ] ( ) .
21
121
u
uu
utg
⋅−
−⋅⋅
=−⋅α
4. O POÇO DE POTENCIAL
Alguns truques para a obtenção da energia E
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Obtenção de uma solução numérica para a variável u
Reescrevemos esta equação anterior na forma
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) [ ] ( )( ) [ ].1cos121sin21 uuuuu −⋅⋅−⋅⋅=−⋅⋅⋅− αα
Poço de Potencial
-1
0
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
-E/U0
f
(
x
)
( ) [ ]uu −⋅⋅⋅− 1sin21 α ( )( ) [ ]uuu −⋅⋅−⋅⋅ 1cos12 α 245,162 2
2
0
=
⋅⋅⋅
=
h
aUm
α
Parâmetros utilizados:
m = 9,1××××10-31 kg U0 = 100 meV
a = 10 nm
2
2
02
h
aUm ⋅⋅⋅
=α
4. O POÇO DE POTENCIAL
αααα = 16,245
⇓
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Obtenção das soluções para a variável u
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Poço de Potencial
-1
0
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
-E/U0
f
(
x
)
( ) [ ]uu −⋅⋅⋅− 1sin21 α ( )( ) [ ]uuu −⋅⋅−⋅⋅ 1cos12 α 245,162 2
2
0
=
⋅⋅⋅
=
h
aUm
α
u1 = 0,0260
u5 = 0,8815
u6 = 0,9705
u2 = 0,2885
u3 = 0,5355
u4 = 0,7362
4. O POÇO DE POTENCIAL
Soluções para o caso considerado:
αααα = 16,245
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Obtenção das soluções para a energias Ei
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Poço de Potencial
-1
0
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
-E/U0
f
(
x
)
( ) [ ]uu −⋅⋅⋅− 1sin21 α ( )( ) [ ]uuu −⋅⋅−⋅⋅ 1cos12 α 245,162 2
2
0
=
⋅⋅⋅
=
h
aUm
α E1 = - 2,60 meV
E5 = - 88,15 meV
E6 = - 97,05 meV
E2 = - 28,85 meV
E3 = - 53,55 meV
E4 = - 73,62 meV
4. O POÇO DE POTENCIAL
u1 = 0,0260
u2 = 0,2885
u3 = 0,5355
u4 = 0,7362
u5 = 0,8815
u6 = 0,9705
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Obtenção da função de onda para o estado fundamental
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Função de Onda
Estado Fundamental
-6
0
6
-5 0 5 10 15
x (nm)
P
S
I
 
(
1
0
3
 
m
-
1
/
2
)
( ) ( ) ( )[ ]
( )






≥⋅×
≤≤⋅×⋅+⋅×⋅×
≤⋅×
=Ψ
−×−⋅×−
⋅×
axe
axxx
xe
x
x
x
EF
98
8
10101000,163
883
1000,163
10729,1
010790,2sin736,510790,2cos10668,1
010668,1
4. O POÇO DE POTENCIAL
Física Moderna I- Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
1. Introdução
2. O Potencial Degrau
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
3. A Barreira de Potencial
a. Situação em que E > U0
b. Situação em que E < U0
4. O Poço de Potencial
5. O Oscilador Harmônico Simples
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
O oscilador harmônico simples
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Seja uma partícula quântica de massa m em movimento 
harmônico simples (MHS).
Por exemplo, esta partícula pode estar presa a uma 
“mola” de constante elástica k.
Desta forma, a partícula executa um movimento periódico 
de freqüência angular ωωωω dada por
m
k
=ω
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A energia potencial elástica
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
( ) 2
2
1
xkxU ⋅=
A energia potencial à qual a partícula quântica está
sujeita é mostrada na Figura 6.
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A energia potencial elástica
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Às vezes é útil escrever esta energia potencial em termos 
da freqüência angular ωωωω associada ao MHS.
Como vimos, temos que
( ) 22
2
1
xmxU ⋅⋅= ω
m
k
=ω
Daí, isto nos leva a reescrever U(x) na forma
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
2ω⋅= mk⇒
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
A Equação de Schrödinger para o MHS
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Para esta energia potencial a Equação de Schrödinger é
dada por
Reescrevemos esta equação e obtemos
( ) ( ) ( )xExxmx
dx
d
m
Ψ⋅=Ψ⋅⋅⋅+Ψ
⋅
−
22
2
22
2
1
2
ω
h
( ) ( ) 0
2
12 22
22
2
=Ψ⋅





⋅⋅−
⋅
+Ψ xxmEmx
dx
d
ω
h
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Solução da Equação de Schrödinger para o MHS
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução desta equação diferencial é obtida apenas pelo 
método das séries de potências.
A solução do problema do Oscilador Harmônico Quântico
é apresentada no Capítulo 7 deste livro, pgs. 267-282.
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Uma boa fonte de consulta para entender o método das 
séries de potências para solução deste problema é o livro 
Equações Diferenciais aplicadas à Física de Kleber Daum
Machado, 2a Edição.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Solução da Equação de Schrödinger para o MHS
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Com esta solução, obtemos o estado da partícula em 
oscilação harmônica.
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Dada a complexidade do processo de solução, não a 
desenvolveremos aqui, deixando a cargo do estudante o 
interesse pela procura da solução.
Assim, vamos apenas apresentar as soluções para as 
energias En e suas respectivas funções de onda ΨΨΨΨn.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
O estado da partícula quântica em MHS: a energia
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
As energias de um oscilador quântico são dadas por
ω⋅⋅





+= h
2
1
nEn
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Por sua vez, as funções de onda associadas a estas 
energias são dadas por
( ) 






⋅
⋅





⋅
⋅⋅
−⋅





⋅
⋅
⋅
=Ψ xmHxmm
n
x nnn
hhh
ωω
pi
ω
2
exp
!2
1 24/1
ω⋅⋅





+= h
2
1
nEn
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
O estado da partícula quântica em MHS: a função de onda
x
m
⋅
⋅
=
h
ωξ
Hn(ξξξξ): polinômios de 
Hermite de ordem n.
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Abaixo, apresentamos a solução para o estado 
fundamental (n = 0) para a partícula quântica em MHS.
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
n = 0 ω⋅= h
2
1
0E
( ) 20
22 x
ex
⋅
−
⋅=Ψ
ξ
pi
ξ
h
ωξ ⋅= m Função par
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
n = 1
Abaixo, apresentamos a solução para o primeiro estado 
excitado (n = 1) para a partícula quântica em MHS.
( ) ( ) 21
22
2
2
x
exx
⋅
−
⋅⋅⋅⋅
⋅
=Ψ
ξ
ξ
pi
ξ
ω⋅= h
2
3
1E
h
ωξ ⋅= m
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
Função ímpar
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
n = 2
Abaixo, apresentamos a solução para o segundo estado 
excitado (n = 2) para a partícula quântica em MHS.
( ) ( )[ ] 222
22
42
8
x
exx
⋅
−
⋅⋅⋅−⋅
⋅
=Ψ
ξ
ξ
pi
ξ
ω⋅= h
2
5
2E
h
ωξ ⋅= m
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
Função par
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
n = 3
Abaixo, apresentamos a solução para o terceiro estado 
excitado (n = 3) para a partícula quântica em MHS.
( ) ( ) ( )[ ] 233
22
812
48
x
exxx
⋅
−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅
=Ψ
ξ
ξξ
pi
ξ
ω⋅= h
2
7
3E
h
ωξ ⋅= m
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
Função ímpar
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
n = 4
Abaixo, apresentamos a solução para o quarto estado 
excitado (n = 4) para a partícula quântica em MHS.
( ) ( ) ( )[ ] 2424
22
164812
384
x
exxx
⋅
−
⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅
⋅
=Ψ
ξ
ξξ
pi
ξ
ω⋅= h
2
9
4E
h
ωξ ⋅= m
Algumas soluções para a partícula quântica em MHS
Função par
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Análise da solução
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
Observe que mesmo no estado fundamental a partícula 
admite uma energia diferente de zero.
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
Física Moderna I - Potenciais 
Unidimensionais
Escrevendo a Equação de Schrödinger...
POTENCIAIS UNIDIMENSIONAIS
A solução desta equação diferencial é obtida apenas pelo 
método das séries de potências.
5. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES