EDO CÁLCULO NUMÉRICO

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Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Resoluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es
Diferenciais Ordina´rias (EDO)
Ivanovitch Medeiros Dantas da Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Engenharia de Computac¸a˜o e Automac¸a˜o
DCA0399 - Me´todos Computacionais para Engenharia Civil
Natal, 09 de novembro de 2011
Ivanovitch Silva Resoluc¸a˜o Nume´rica de EDOs
Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Me´todo de Euler
3 Me´todos de Runge-Kutta
Ivanovitch Silva Resoluc¸a˜o Nume´rica de EDOs
Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Me´todo de Euler
3 Me´todos de Runge-Kutta
Ivanovitch Silva Resoluc¸a˜o Nume´rica de EDOs
Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Equac¸o˜es Diferenciais
Uma Equac¸a˜o Diferencial e´ uma equac¸a˜o que envolve
derivadas de uma ou mais func¸o˜es.
Elas servem para descrever o comportamento de sistemas
dinaˆmicos e possuem enorme aplicac¸a˜o
Engenharia - comportamento de um circuito ele´trico ou do
movimento oscilato´rio de estruturas
Biologia - crescimento de populac¸o˜es de bacte´rias
Economia - aplicac¸o˜es financeiras
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Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Equac¸o˜es Diferenciais
Classificac¸a˜o
Equac¸o˜es diferenciais sa˜o classificadas de acordo com o
seu tipo, ordem ou grau.
Equac¸a˜o diferencial ordina´ria - se uma equac¸a˜o
diferencial envolve derivadas de uma func¸a˜o de uma u´nica
varia´vel independente.
F (x , y ,
dy
dx
,
d2y
dx
, . . . ,
dny
dx
)
Equac¸a˜o diferencial parcial - se uma equac¸a˜o diferencial
envolve derivadas parciais de uma func¸a˜o com duas ou
mais varia´veis independentes.
F (x1, . . . , xn, y ,
∂y
x1
, . . . ,
∂y
xn
,
∂2y
x1
, . . . ,
∂2y
xn
, . . .)
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Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Equac¸o˜es Diferenciais
Significado gra´fico
Suponha um polinoˆmio de quarto grau
y = −0.5x4 + 4x3 − 10x + 8.5x + 1
Derivando-o, obtemos uma EDO
dy/dx = −2x3 + 12x2 − 10
Essa equac¸a˜o tambe´m descreve o comportamento de
polinoˆmio, sendo que de uma maneira diferente. Ao inve´s
de descrever explicitamente o valor de y para cada valor
de x, ela fornece a taxa de variac¸a˜o de y com relac¸a˜o a x.
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Equac¸o˜es Diferenciais
Significado gra´fico
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Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Equac¸o˜es Diferenciais
Embora possamos determinar uma equac¸a˜o diferencial
dada a func¸a˜o original, o objetivo aqui e´ determinar a
func¸a˜o original, dada a equac¸a˜o diferencial.
A func¸a˜o original e´ a soluc¸a˜o do nosso problema.
No exemplo anterior, podemos calcular a func¸a˜o original
analiticamente
y =
∫
(−2x3 + 12x2 − 10)dx
= −0.5x4 + 4x3 − 10x + 8.5x + C
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Equac¸o˜es Diferenciais
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Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Equac¸o˜es Diferenciais
Exemplo
Problema: ana´lise de um corpo de massa m que cai com
velocidade v(t). Este corpo sofre uma forc¸a de resisteˆncia
do ar na forma Fr = c · v(t), onde c e´ o coeficiente de
resisteˆncia.
A forc¸a que leva o corpo para
baixo
F = P − Fr
Sabendo que, P = m · g,
F = m · a(t) e a(t) = dv(t)dt
dv(t)
dt
= g − c
m
v(t)
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Equac¸o˜es Diferenciais
Resoluc¸a˜o
A soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial consiste em
encontrar uma func¸a˜o que satisfac¸a a equac¸a˜o diferencial.
A func¸a˜o na˜o deve conter derivadas nem diferenciais e ela
pode ser uma soluc¸a˜o geral ou particular.
Uma soluc¸a˜o geral de ordem n e´ uma soluc¸a˜o contendo n
constantes de integrac¸a˜o independentes
v(t) = d1e
ct
m +
gm
c
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Equac¸o˜es Diferenciais
Resoluc¸a˜o
Uma soluc¸a˜o particular e´ obtida a partir da soluc¸a˜o geral,
dando-se valores especı´ficos a`s constantes
f (x0) = y0
f ′(x1) = y1
f ′′(x2) = y2
...
f (n−1)(n − 1) = yn−1
Se x0 = x1 = x2 = . . . = xn enta˜o o problema e´ dito ser de
valor inicial, caso contra´rio e´ dito ser de contorno.
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Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Equac¸o˜es Diferenciais
Porque usar me´todos nume´ricos?
A busca de uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial
ordina´ria com problema de valor inicial apresenta alguns
problemas.
Os procedimentos para a busca de uma soluc¸a˜o analı´tica
na˜o e´ trivial.
Muitas questo˜es pra´ticas na˜o possuem soluc¸a˜o conhecida.
Os coeficientes ou as func¸o˜es existentes na equac¸a˜o
diferencial sa˜o dados somente na forma de um conjunto
tabelado de informac¸o˜es experimentais, o que torna
impossı´vel o uso de um procedimento analı´tico para
determinar a soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
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Equac¸o˜es Diferenciais
Me´todos nume´ricos
Sera˜o tratados os me´todos nume´ricos de resoluc¸a˜o de
equac¸o˜es diferenciais ordina´rias (EDO) com o problema
do valor inicial (PVI). Esses me´todos apresentam a
seguinte forma geral:{
dy(x)
dx = f (x , y(x))
y(x0) = y0
Me´todo de Euler
Me´todo de Runge-Kutta
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Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Me´todo de Euler
3 Me´todos de Runge-Kutta
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Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Me´todo de Euler
Introduc¸a˜o
Dado uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de primeira ordem
com problema de valor inicial{
dy(x)
dx = f (x , y(x))
y(x0) = y0
e um conjunto de pontos x ∈ [a,b], pode-se aproximar a func¸a˜o
y(x) (soluc¸a˜o desejada) por um polinoˆmio da se´rie de Taylor em
torno de um valor xk pertencente ao intervalo [a,b].
y(x) = y(xk ) + y ′(xk )
(x − xk )
1!
+ y ′′(xk )
(x − xk )2
2!
+ . . .
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Introduc¸a˜o Me´todo de Euler Me´todos de Runge-Kutta
Me´todo de Euler
Introduc¸a˜o
Truncando a se´ria no segundo termo e fazendo x = xk+1
y(xk+1) ≈ y(xk ) + y ′(xk )(xk+1 − xk )
Pore´m, xk+1 − xk = h e y ′(xk ) = f (xk , y(xk ))
y(xk+1) = y(xk ) + h · f (xk , y(xk ))
yk+1 = yk + h · f (xk , yk )
onde k = 0, 1, 2, . . ., n-1. n e´ o nu´mero de subintervalos.
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Me´todo de Euler
Exemplo
Resolver a seguinte EDO, onde x ∈ [0,1] e h = 0.25{
dy(x)
dx = y − 2xy
y(0) = 1
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Me´todo de Euler
Exemplo
Primeiramente devemos encontrar a variac¸a˜o do ı´ndice k
h =
b − a
n
⇒ n = 1− 0
0.25
= 4
Dessa forma, o ı´ndice k varia de 0 ate´ 3.
f (xk , y(xk )) = yk − 2xkyk
k = 0
x1 = x0 + h⇒ 0 + 0.25 = 0.25
f (x0, y0) = y0 − 2 · x0y0 ⇒ 1−
2 · 0
1
= 1
y1 = y0 + h · f (x0, y0)⇒ 1 + 0.25 · 1 = 1.25
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Me´todo de Euler
Exemplo
k = 1
x2 = x1 + h⇒ 0.25 + 0.25 = 0.5
f (x1, y1) = y1 − 2 · x1y1 ⇒ 1.25−
2 · 0.25
1.25
= 0.85
y2 = y1 + h · f (x1, y1)⇒ 1.25+ 0.25 · 0.85 = 1.4625
k = 2
x3 = x2 + h⇒ 0.5 + 0.25 = 0.75
f (x2, y2) = y2 − 2 · x2y2 ⇒ 1.4625−
2 · 0.5
1.4625
= 0.77874
y3 = y2 + h · f (x2, y2)⇒ 1.4625 + 0.25 · 0.77874 = 1.6572
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Me´todo de Euler
Exemplo
k = 3
x4 = x3 + h⇒ 0.75 + 0.25 = 1
f (x3, y3) = y3 − 2 · x3y3 ⇒ 1.6572−
2 · 0.75
1.6572
= 0.75222
y4 = y3 + h · f (x3, y3)⇒ 1.6572 + 0.25 · 0.75222 = 1.84526
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Me´todo de Euler
Exemplo
Resolver a seguinte EDO, onde x ∈ [0,2] e h = 0.5
{
dy(x)
dx = yx
2 − y
y(0) = 1
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Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Me´todo de Euler
3 Me´todos de Runge-Kutta
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Me´todos de Runge-Kutta
Introduc¸a˜o
Quanto menor o passo usado no me´todo de Euler menor o
erro de truncamento.
Muitas vezes o erro na˜o e´ satisfato´rio mesmo usando-se
um passo muito pequeno.
O me´todo de Euler na˜o e´ usado na pra´tica.
Utilizam-se me´todos mais precisos
Runge-Kutta de primeira ordem (me´todo de Euler)
Runge-Kutta de segunda ordem
Runge-Kutta de quarta ordem
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Me´todos de Runge-Kutta
Segunda ordem
Formato I (Euler melhorado)
K1 = f (xj , yj)
K2 = f (xj + h, yj + h · K1)
yj+1 = yj + h2(K1 + K2)
Formato II (Euler modificado)
K1 = f (xj , yj)
K2 = f (xj + h2 , yj +
h
2 · K1)
yj+1 = yj + h · K2
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Me´todos de Runge-Kutta
Quarta ordem
Dentre os me´todos de Runge-Kutta, e´ o mais popular
K1 = f (xj , yj)
K2 = f (xj + h2 , yj +
h
2 · K1)
K3 = f (xj + h2 , yj +
h
2 · K2)
K4 = f (xj + h, yj + h · K3)
yj+1 = yj + h6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4)
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Me´todos de Runge-Kutta
Exemplo
Resolver a EDO para x ∈ [0,1] e h = 0.1{
y ′ = x − y + 2
y(0) = 2
Calculando o nu´mero de subintervalos
h =
b − a
n
⇒ n = b − a
h
=
1− 0
0.1
= 10
Portanto, j varia de 0 ate´ 9
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Me´todos de Runge-Kutta
Exemplo
Para j = 0
K1 = f (x0, y0)
= x0 − y0 + 2
= 0− 2 + 2
= 0
K2 = f (x0 + h2 , y0 +
h
2K1)
= f (0 + 0.12 ,2 +
0.1
2 · 0)
= f (0.05,2)
= 0.05− 2 + 2
= 0.05
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Me´todos de Runge-Kutta
Exemplo
K3 = f (x0 + h2 , y0 +
h
2K2)
= f (0 + 0.12 ,2 +
0.1
2 · 0.05)
= f (0.05,2.0025)
= 0.05− 2.0025 + 2
= 0.0475
K4 = f (x0 + h, y0 + h · K3)
= f (0 + 0.1,2 + 0.1 · 0.0475)
= f (0.1,2.00475)
= 0.1− 2.00475 + 2
= 0.09525
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Me´todos de Runge-Kutta
Exemplo
y1 = y0 + h6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4)
= 2 + 0.16 (0 + 2 · 0.05 + 2 · 0.0475 + 0.09525)
= 2.0048375
Esse procedimento deve ser repetido ate´ j = 9, ou seja, ate´
encontrar o y10.
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