Ficha prática 8 - Métodos numéricos EDO

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Instituto Politécnico de Leiria
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Matemática Aplicada EGI 2020/2021
Ficha prática 8 - Métodos numéricos para EDO
1. Considere o seguinte problema de valor inicial y
′ = 4− 2x
y(0) = 2
, 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Determine o valor de y′(0) e y′′(0).
(b) Determine um valor aproximado da solução da equação diferencial para y(1) usando o método de Euler com
passos h = 0.5 e h = 0.25.
(c) Faça uma representação gráfica contendo os resultados obtidos na alı́nea anterior para h = 0.25 e compare-os
com a solução exata y(x) = −x2 + 4x+ 2.
2. Considere o problema de valor inicial y
′ = 1− x+ 4 y
y(0) = 1
, 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Determine um valor aproximado da solução da equação diferencial para y(0.2) usando o método de Euler
com passo h = 0.1.
(b) Determine um valor aproximado da solução da equação diferencial para y(0.2) usando o método de Runge-
Kutta de ordem 2 ou método de Heun com passo h = 0.1.
(c) Mostre que y(x) =
x
4
− 3
16
+
19
16
e4x é a solução exata deste PVI. Calcule o valor exato de y(0.2) e compare-o
com o valor aproximado obtido nas alı́neas (a) e (b).
(d) Nas duas tabelas e nos dois gráficos seguintes são apresentados os valores aproximados da solução do PVI
no intervalo [0, 1], obtidos por aplicação dos métodos de Euler e de Heun com diferentes passos. Comente os
resultados obtidos.
1
k x(k) exato Euler Euler Euler Euler
y(xk) h = 0.1 h = 0.05 h = 0.025 h = 0.0125
0 0 1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 0.1 1.6090 1.5 1.5475 1.5761 1.5920
2 0.2 2.5053 2.19 2.3249 2.4080 2.4547
3 0.3 3.8301 3.146 3.4334 3.6144 3.7173
4 0.4 5.7942 4.4744 5.0185 5.3690 5.5709
5 0.5 8.7120 6.3242 7.2902 7.9264 8.2975
6 0.6 13.0525 8.9038 10.5504 11.6591 12.3140
7 0.7 19.5155 12.5054 15.2340 17.1124 18.2363
8 0.8 29.1449 17.5375 21.9675 25.0851 26.9743
9 0.9 43.4979 24.5725 31.6527 36.7463 39.8723
10 1 64.8978 34.4115 45.5884 53.8079 58.9167
k x(k) exato Heun Heun Heun Heun
y(xk) h = 0.1 h = 0.05 h = 0.025 h = 0.0125
0 0 1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 0.1 1.6090 1.5950 1.6050 1.6079 1.6088
2 0.2 2.5053 2.4636 2.4932 2.5021 2.5045
3 0.3 3.8301 3.7371 3.8030 3.8228 3.8282
4 0.4 5.7942 5.6099 5.7404 5.7797 5.7905
5 0.5 8.7120 8.3697 8.6117 8.6849 8.7050
6 0.6 13.0525 12.4422 12.8733 13.0040 13.0399
7 0.7 19.5155 18.4574 19.2039 19.4311 19.4936
8 0.8 29.1449 27.3480 28.6141 29.0011 29.1075
9 0.9 43.4979 40.4941 42.6082 43.2566 43.4352
10 1 64.8978 59.9382 63.4247 64.4979 64.7938
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
10
20
30
40
50
60
x
Solução do PVI y ′=1−x+4y com y(0)=1
y
 
 
Solução exata
Euler (h=0.1)
Euler (h=0.05)
Euler (h=0.025)
Euler (h=0.0125)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
10
20
30
40
50
60
x
Solução do PVI y ′=1−x+4y com y(0)=1
y
 
 
Solução exata
Heun (h=0.1)
Heun (h=0.05)
Heun (h=0.025)
Heun (h=0.0125)
(e) Nos dois gráficos seguintes são apresentados valores do erro absoluto correspondentes à aplicação dos métodos
de Euler e Heun com diferentes passos. Comente os resultados obtidos.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
20
25
30
35
x
er
ro
 a
b
so
lu
to
 
 
Euler (h=0.1)
Euler (h=0.05)
Euler (h=0.025)
Euler (h=0.0125)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x
er
ro
 a
b
so
lu
to
 
 
Heun (h=0.1)
Heun (h=0.05)
Heun (h=0.025)
Heun (h=0.0125)
(f) Observe as tabelas seguintes onde são apresentados alguns quocientes de erro da forma Eh/2Eh em alguns pontos.
Complete as tabelas utilizando os dados fornecidos na alı́nea (d) e comente os resultados obtidos.
x Euler
eh=0.05
eh=0.1
Euler
eh=0.025
eh=0.05
Euler
eh=0.0125
eh=0.025
0.2 0.5722 0.5206
0.5 0.5954 0.5525
0.8
1 0.5743 0.5393
3
x Heun
eh=0.05
eh=0.1
Heun
eh=0.025
eh=0.05
Heun
eh=0.0125
eh=0.025
0.2 0.2904 0.2596
0.5 0.2703 0.2598
0.8 0.2954
1 0.2714
3. Considere o seguinte problema  y
′ = t y2
y(1) = 2
, 1 ≤ t <
√
2.
(a) Determine um valor aproximado da solução da equação diferencial para y(1.1), usando o método de Heun,
com espaçamento h = 0.05.
(b) Sabendo que y(t) =
2
2− t2
é a solução exata deste problema, determine o erro absoluto cometido na
aproximação calculada na alı́nea anterior.
(c) Usando o método de Runge-Kutta (RK) de ordem 4 com passo h = 0.1 complete a tabela seguinte (utilize 6
casas decimais nos cálculos intermédios).
i ti yi k1 k2 k3 k4 y(t) exato |y(t)− yi|
|y(t)− yi|
|y(t)|
0 1.0 2.0 4 7.060496 0 0
1 1.1 7.049759 10.418077 2.531646
2 1.2 — — — — 3.571429
(d) Indique o valor lógico da seguinte afirmação: ”Se no método RK de ordem 4 o passo h diminuir para metade
então o erro absoluto num ponto da malha diminui cerca de quatro vezes.”
(e) Sem aplicar o método RK indique qual será o erro absoluto e o erro relativo que se pode prever para y(1.2)
com h = 0.05.
4. Considere o problema de valor inicial  y
′ = −t y
y(0) = 1
, 0 ≤ t ≤ 1.
(a) Determine um valor aproximado de y(1.5) usando o método de Euler considerando o espaçamento h = 0.5.
(b) Determine um valor aproximado de y(1.5) usando o método de Heun considerando o espaçamento h = 0.5.
(c) Determine um valor aproximado de y(1.5) usando o método de Runge-Kutta de ordem 4 considerando o
espaçamento h = 0.5.
4
(d) Mostre que y(t) = e−
t2
2 é a solução exata deste PVI.
(e) Tendo em conta a alı́nea anterior calcule o valor exato de y(1.5) e compare este valor com os valores aproxi-
mados obtidos nas alı́neas (a), (b) e (c), calculando os erros absolutos e relativos.
(f) Atendendo à ordem de convergência de cada método numérico indique qual será o erro absoluto que se pode
prever para y(1.5) quando se considera h = 0.125 no método de Euler, no método de Heun e no método RK
de ordem 4.
5. Use o método de Euler para determinar soluções aproximadas dos seguintes problemas de valor inicial:
(a)
 y
′ = e−y
y(0) = 1
, 0 ≤ x ≤ 1 e h = 0.1;
(b)

y′ =
(y
x
)2
+
(y
x
)
y(1) = 1
, 1 ≤ x ≤ 1.2 e h = 0.1;
(c)

y′ = −x y +
(
4x
y
)
y(0) = 1
, 0 ≤ x ≤ 1 e h = 0.25.
5
Soluções
1. (a) Como y′ = 4− 2x então y′(0) = 4 e como y′′ = −2 então y′′(0) = −2.
(b)
i xi yi
0 0 2
1 0.5 4
2 1 5.5
Utilizando o método de Euler
com passo h = 0.5 obtemos
y(1) ≈ 5.5.
i xi yi
0 0 2
1 0.25 3
2 0.5 3.875
3 0.75 4.625
4 1 5.25
Utilizando o método de Euler
com passo h = 0.25 obtemos
y(1) ≈ 5.25.
(c) Substituindo na solução exata x = 1 vem y(1) = 5. Em baixo apresentamos a representação gráfica da
solução e da aproximação nos intervalos [0, 1] e [0, 3].
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
x
 
y
 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
x
 
y
 
 
Solução exata
Euler h=0.5
Euler h=0.25
Solução exata
Euler h=0.5
Euler h=0.25
2. (a)
i xi yi
0 0 1
1 0.1 1.5
2 0.2 2.19
Utilizando o método de Euler
obtemos y(0.2) ≈ 2.19.
6
(b)
i xi yi
0 0 1
1 0.1 1.595
2 0.2 2.4636
Utilizando o método de Heun
obtemos y(0.2) ≈ 2.4636.
(c) y(0.2) =
0.2
4
− 3
16
+
19
16
e4×0.2 = 2.5053.
Método de Euler: ey2 = 0.3153 e %δy2 = 12.59%.
Método de Heun: ey2 = 0.0417 e %δy2 = 1.66%.
(d) A solução numérica obtida pelo método de Heun é mais precisa do que a solução numérica obtida pelo método
de Euler. Quando o passo h diminui, a aproximação da solução é melhor em ambos os métodos.
(e) O erro absoluto global da aproximação pelo método de Euler é maior do que o obtido pelo método de Heun
(para o mesmo passo). Quando o passo h diminui o erro diminui. Note-se que o erro varia com a posição dos
pontos da malha sendo o erro maior perto do extremo final do intervalo de aproximação.
(f)
x Euler
eh=0.05
eh=0.1
Euler
eh=0.025
eh=0.05
Euler
eh=0.0125
eh=0.025
0.2 0.5722 0.5394 0.5206
0.5 0.5954 0.5525 0.5276
0.8 0.6183 0.5656 0.5347
1 0.6334 0.5743 0.5393
Atendendo à ordem do erro absoluto global do método de Euler, o valor aproximado dos quocientes do erro
absoluto calculados,
eh/2
eh
, deve estar próximo de1
2
, especialmente para passos mais pequenos. Isso de facto
acontece. Os valores dos quocientes mais afastados do valor
1
2
acontecem em pontos mais perto do extremo
final do intervalo de aproximação.
x Heun
eh=0.05
eh=0.1
Heun
eh=0.025
eh=0.05
Heun
eh=0.0125
eh=0.025
0.2 0.2904 0.2696 0.2596
0.5 0.2929 0.2703 0.2598
0.8 0.2954 0.2710 0.2600
1 0.2970 0.2714 0.2601
Atendendo à ordem do erro global do método de Heun, o valor aproximado dos quocientes do erro absoluto
calculados,
eh/2
eh
, deve estar próximo de
1
4
, especialmente para passos mais pequenos. Isso de facto acontece.
7
Os valores dos quocientes mais afastados do valor
1
4
acontecem em pontos mais perto do extremo final do
intervalo de aproximação.
3. (a)
i ti yi
0 1 2
1 1.05 2.2271
2 1.1 2.5275
Utilizando o método de Heun
com passo h = 0.05 obtemos
y(1.1) ≈ 2.5275.
(b) |y(1.1)− y2| = |2.5316− 2.5275| = 0.0041.
(c)
i ti yi k1 k2 k3 k4 y(t) exato |y(t)− yi|
|y(t)− yi|
|y(t)|
0 1.0 2 4 5.082 5.335015 7.060496 2 0 0
1 1.1 2.531575 7.049759 9.565492 10.418077 15.322879 2.531646 7.1× 10−5 2.804500× 10−5
2 1.2 3.570571 — — — — 3.571429 8.58× 10−4 2.402400× 10−4
(d) A afirmação é falsa porque no método RK de ordem 4 se o passo h diminui para metade então o erro absoluto
num ponto da malha diminui com o fator
(1
2
)4
=
1
16
, ou seja, o erro diminui cerca de 16 vezes.
(e) Temos a seguinte relação:
h2
h1
=
0.05
0.1
=
1
2
=⇒ eh2(y(1.2))
eh1(y(1.2))
≈
(1
2
)4
=
1
16
.
Então podemos prever que o erro absoluto de y(1.2) no espaçamento h2 = 0.05 é aproximadamente igual a:
eh2(y(1.2)) ≈
1
16
× eh1(y(1.2)) =
1
16
× 8.58× 10−4 = 5.3625× 10−5.
Para o erro relativo temos a seguinte razão:
δh2(y(1.2))
δh1(y(1.2))
=
eh2 (y(1.2))
|y(1.2)|
eh1 (y(1.2))
|y(1.2)|
=
eh2(y(1.2))
eh1(y(1.2))
≈ 1
16
.
Logo, o erro relativo de y(1.2) no espaçamento h2 = 0.05 é aproximadamente igual a:
δh2(y(1.2)) ≈
1
16
× δh1(y(1.2)) =
1
16
× 2.402400× 10−4 = 1.5015× 10−5.
8
4. (a) Utilizando o método de Euler com passo h = 0.5 obtemos a aproximação y(1.5) ≈ y3 = 0.375
i 0 1 2 3
ti 0 0.5 1.0 1.5
yi 1 1 0.75 0.375
(b) Utilizando o método de Heun com passo h = 0.5 obtemos a aproximação y(1.5) ≈ y3 = 0.338379
i 0 1 2 3
ti 0 0.5 1.0 1.5
yi 1 0.875 0.601563 0.338379
(c) Utilizando o método RK de ordem 4 com passo h = 0.5 obtemos a aproximação y(1.5) ≈ y3 = 0.324015
i 0 1 2 3
ti 0 0.5 1.0 1.5
yi 1 0.882487 0.606494 0.324914
(d)
(e) y(1.5) = e−
(1.5)2
2 = 0.324652.
Método de Euler: ey3 = 0.050348 , δy3 = 0.155083.
Método de Heun: ey3 = 0.013727 , δy3 = 0.042282.
Método RK: ey3 = 2.62× 10−4 , δy3 = 8.07018× 10−4.
(f) Temos que
h = 0.125
h = 0.5
=
1
4
então para h = 0.125 podemos prever os seguintes erros absolutos de y(1.5)
Método de Euler: ey(1.5) ≈
1
4
× 0.050348 = 0.012587
Método de Heun: ey(1.5) ≈
1
42
× 0.013727 = 8.579375× 10−4
Método RK: ey(1.5) ≈
1
44
× 2.62× 10−4 = 1.023438× 10−6
5.
(a)
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 1 1.0368 1.0722 1.1065 1.1395 1.1715 1.2025 1.2326 1.2617 1.2900 1.3176
9
(b)
i xi yi
0 1 1
1 1.1 1.2
2 1.2 1.4281
(c)
i xi yi
0 0 1
1 0.25 1
2 0.5 1.1875
3 0.75 1.4601
4 1 1.7
10