AulaTeorica 08_Aplicações de Derivadas

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1
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
Aplicações da 
Derivada
2
Conteúdos da Aula
� Taxa de Variação;
� Regras de L’Hospital;
� Fórmula de Taylor.
2
3
� Compreender a aplicação da taxa de variação 
e situações práticas;
� Utilizar as regras de L’Hospital na resolução 
de limites de função;
� Reconhecer a importância em utilizar a 
Fórmula de Taylor.
Objetivos da aula
4
4
Problema
� Um tanque tem a forma de um cone 
invertido com 16 m de altura e uma base 
com 4 m de raio. A água flui no tanque a 
uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade 
o nível da água está se elevando quando 
sua profundidade for de 5 m?
3
5
Estratégias
� Efetuar um estudo nos princípios para 
resolução de problemas, conforme 
referência:
STEWART, J. Cálculo. Vol. 1; 6ª edição, 
Cengage Learning, São Paulo, 2009, p. 
65.
6
Estratégias
1. Leia cuidadosamente o problema;
2. Introduza uma notação. Atribua símbolos para 
todas as grandezas que são funções do 
tempo;
3. Introduza uma notação. Atribua símbolos para 
todas as grandezas que são funções do 
tempo;
4. Expresse a informação dada e a taxa pedida 
em termos das derivadas;
4
7
Estratégias
5. Escreva uma equação que relacione as várias 
grandezas do problema. Se necessário, use a 
geometria da situação para eliminar uma das 
variáveis por substituição;
6. Use a regra da cadeia para derivar ambos os 
lados da equação em relação a t;
7. Substitua a informação dada na equação 
resultante e resolva-a para determinar a taxa 
desconhecida.
8
Taxa de Variação
x
xfxxf
x
y
xfxxfy
∆
−∆+
=
∆
∆
−∆+=∆
)()(
:quociente O
).()(
� Dada uma função y = f(x), quando a variável 
independente varia de x e x + ∆x, a 
correspondente variação de y será:
� representa a taxa média de variação de y em 
relação a x.
5
9
Taxa de Variação
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)(
0
'
� A derivada:
� é a taxa instantânea de variação ou simplesmente 
taxa de variação de y em relação a x.
10
Exemplo 1:
� Sabemos que a área de um quadrado é função 
de seu lado. Determinar:
(a) A taxa de variação média da área de um quadrado 
em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m;
(b) A taxa de variação da área em relação ao lado 
quando este mede 4 m.
6
11
Exemplo 1:
� Resolvendo:
(a) A taxa de variação média da área de um quadrado 
em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m:
( )
( ) ( )
( ) ( )
5,23
5,23
2
−
−
=
∆
∆
∆
−∆+
=
∆
∆
⇒=
AA
l
A
l
lAllA
l
A
lAlA
12
Exemplo 1:
� Resolvendo:
(a) A taxa de variação média da área de um quadrado 
em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m:
( ) ( )
5,5
5,0
25,69
5,23
5,23
=
−
=
∆
∆
−
−
=
∆
∆
l
A
AA
l
A
7
13
Exemplo 1:
� Resolvendo:
(b) A taxa de variação da área em relação ao lado 
quando este mede 4 m:
( )
( ) ll
dl
d
dl
dA
lAlA
22
2
==
⇒=
14
Exemplo 1:
� Resolvendo:
(b) A taxa de variação da área em relação ao lado 
quando este mede 4 m:
( )
8 ou,
842
: temos,4 Quando
4
=
=⋅=
=
dl
dA
dl
dA
 l 
8
15
Exemplo 2:
� Um quadrado de lado l está se expandindo 
segundo a equação l = 2 + t2, onde na 
variável t representa o tempo. Determinar 
a taxa de variação da área desse quadrado 
no tempo t = 2.
16
Exemplo 2:
� Resolvendo:
( )
( )
?
2
e
 
2
2
=
⇒+=
⇒=
dt
dA
tltl
lA lA 
9
17
Exemplo 2:
� Resolvendo: Usando a regra da cadeia
( )
( )
( ) tempounid. / área unid. 482224
244
22
2
2
2
=⋅+⋅=
⋅+⋅==
⋅=⋅=
dt
dA
ttlt
dt
dA
tl
dt
dl
dl
dA
dt
dA
18
18
� Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e 
uma base com 4m de raio. A água flui no tanque a uma taxa de 
2m3/min. Com que velocidade o nível da água está se elevando 
quando sua profundidade for de 5m?
hrVcone
2
3
1
pi= Volume do cone, lembrando que
v, r e h são funções do tempo
2=
dt
dVcone
dt
dh
⇒eleva se água de nível o que com velocidade
dV
dh
dt
dV
dt
dh
.= ???
Exemplo 3:
10
19
19
� Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e 
uma base com 4m de raio. A água flui no tanque a uma taxa de 
2m3/min. Com que velocidade o nível da água está se elevando 
quando sua profundidade for de 5m?
32
48
1
.)
4
1(
3
1
4
1
16
4
h
r hVhhVhr conecone pipi =⇒=⇒=⇒=
Do cone temos que:
2
22 32
..
16
12..
16
1
hdt
dh
dt
dhh
dt
dhh
dt
dV
pi
pipi =⇒=⇒=
Como:
Quando h=5m
pi25
32
=
dt
dh
Exemplo 3:
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Regras de L’Hospital
� Proposição: Fórmula de Cauchy
Se f e g são duas funções contínuas em [a, b], 
deriváveis em (a, b) e se g’ (x) ≠ 0 para todo x ∈ (a, b), 
então existe um número z ∈ (a, b) tal que: 
)(
)(
)()(
)()(
'
'
zg
zf
agbg
afbf
=
−
−
11
21
Regras de L’Hospital
� Proposição: Regras de L’Hospital
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, 
exceto, possivelmente, em um ponto a ∈ I. 
Suponhamos que g’ (x) ≠ 0 para todo x ≠ a em I.
;)(
)(lim)(
)(lim então
,)(
)(lim e 0)(lim)(lim Se)(
'
'
'
'
L
xg
xf
xg
xf
L
xg
xf
xgxfi
axax
axaxax
==
===
→→
→→→
22
Regras de L’Hospital
� Proposição: Regras de L’Hospital
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, 
exceto, possivelmente, em um ponto a ∈ I. 
Suponhamos que g’ (x) ≠ 0 para todo x ≠ a em I.
;)(
)(lim)(
)(lim então
,)(
)(lim e )(lim)(lim Se)(
'
'
'
'
L
xg
xf
xg
xf
L
xg
xf
xgxfii
axax
axaxax
==
=∞==
→→
→→→
12
23
Exemplo 4:
2
sen lim
0
−+
−
−→ xxx ee
xx
� (i) – Determinar:
� (ii) – Determinar:
23
6lim 2
2
2 +−
−+
→ xx
xx
x
24
Exemplo 4:
5
322
122
 
32
12lim 
23
6lim
2
2
2
2
=
−⋅
+⋅
=
−
+
=
=
+−
−+
→
→
x
x
xx
xx
x
x
� Resolvendo:
13
25
Exemplo 4:
0
0
 
1 coslim 
2
sen lim
0
0
=
−
−
=
=
−+
−
−→
−→
xxx
xxx
ee
x
ee
xx
� Resolvendo:
26
Exemplo 4:
.0
2
0sen lim 
1 coslim 
2
sen lim
0
0
0
==
+
−
=
−
−
=
=
−+
−
−→
−→
−→
xxx
xxx
xxx
ee
x
ee
x
ee
xx
� Resolvendo:
14
27
Fórmula de Taylor
� Definição:
Seja f : I → IR uma função que admite derivadas 
até ordem n num ponto c do intervalo I. O 
polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto c, 
que denotamos por Pn(x), é dado por: 
).()( , Em
.)(
!
)(
...)(
!2
)())(()()(
)(
2
''
'
cfcPcx
cx
n
cf
cx
cf
cxcfcfxP
n
n
n
n
==
−++−+−+=
28
Exemplo 5:
� Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 
da função f(x) = ex no ponto c = 0.
).()( , Em
.)(
!
)(
...)(
!2
)())(()()(
)(
2
''
'
cfcPcx
cx
n
cf
cx
cf
cxcfcfxP
n
n
n
n
==
−++−+−+=
15
29
Exemplo 5:
� Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 
da função f(x) = ex no ponto c = 0.
.1)0(...)0()0(
assim e
.)(...)()(
0)('
)('
=====
====
efff
exfxfxf
iv
xiv
� Resolvendo:
30
Exemplo 5:
.1)0(...)0()0( 0)(' ===== efff iv
.)(
!)(
...)(
!2
)())(()()(
)(
2
''
' n
n
n cx
n
cf
cx
cf
cxcfcfxP −++−+−+=
� Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 
da função f(x) = ex no ponto c = 0.
� Resolvendo:
!4!3!2
1)( 
)0(
!4
1)0(
!3
1)0(
!2
1)0(11)(
432
4
432
4
xxx
xxP
xxxxxP
++++=
−+−+−+−+=
16
31
Fórmula de Taylor
32
Fórmula de Taylor
)()(
!
)(
...
)(
!2
)())(()()(
)(
2
''
'
xRcx
n
cf
cx
cf
cxcfcfxf
n
n
n
+−+
+−+−+=
)(oaproximaçã)(
)()()(
ou
)()()( Resto
xfxP
xRxPxf
xPxfxR
n
nn
nn
⇔⇔
+=
−=⇒
17
33
� Proposição: Fórmula de Taylor
Seja f: [a, b] → IR uma função definida num intervalo 
[a, b]. Suponhamos que as derivadas f’, f’’, ..., f(n)
existam e sejam contínuas em [a, b] e que f(n+1) exista 
em (a, b). Seja c um ponto qualquer fixado em [a, b]. 
Então, para cada x ∈ [a, b], x ≠ c, existe um ponto z
entre c e x tal que: 
( )
( )
1
)1()(
'
1
)1()(
'
!1
)(
!
)0(
...)0()0()(
: temos,0 Quando
)(
!1
)()(
!
)(
...
))(()()(
+
+
+
+
+
++++=
=
−
+
+−+
+−+=
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
zf
x
n
f
xffxf
 c 
cx
n
zf
cx
n
cf
cxcfcfxf
Fórmula de Mac-Laurin
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� Proposição: Fórmula de Taylor
Seja f: (a, b) → IR uma função derivável n vezes e 
cujas derivadas f’, f’’, ..., f(n) são contínuas em (a, b). 
Seja c ∈ (a, b) um ponto crítico de f tal que 
f’(c) = ... = f(n-1)(c) = 0 e f(n)(c) ≠ 0. Então,
inflexão. de ponto um é ímpar, é se )(
; em relativo mínimo 
um tem ,0)( epar é se )(
; em relativo máximo 
um tem ,0)( epar é se )(
)(
)(
cniii
c
fcfnii
c
fcfni
n
n
≥
≤