Aula 41 - Variáveis Aleatórias Menor

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Unidade 4 ± Variáveis Aleatórias Discretas 
Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 
Estatística I 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 1 
Variáveis Aleatórias Discretas 
Unidade 4 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 2 
‡ Definir variável aleatória. 
‡ Caracterizar variáveis aleatórias discretas e 
contínuas. 
‡ Determinar as características das variáveis 
aleatórias binomiais e de Poisson. 
‡ Determinar o valor esperado e a variância das 
principais variáveis aleatórias discretas. 
‡ Resolver problemas práticos utilizando as principais 
distribuições de probabilidade discretas. 
Objetivo da Unidade 4 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 3 
‡ Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias. 
‡ Aula 4.2 ± Distribuição Binomial. 
‡ Aula 4.3 ± Distribuição de Poisson. 
Aulas da Unidade 4 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 4 
Variáveis Aleatórias 
Aula 4.1 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 5 
‡ Ao final desta aula você deverá ser capaz de: 
± Definir variável aleatória. 
± Caracterizar variáveis aleatórias discretas e 
contínuas. 
± Caracterizar distribuições discretas de probabilidade. 
± Determinar o valor esperado e a variância de uma 
variável aleatória discreta. 
Objetivo 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 6 
‡ Conceito de variável aleatória 
± Variáveis aleatórias discretas 
± Variáveis aleatórias contínuas 
‡ Distribuições discretas de probabilidade 
‡ Valor esperado e variância 
Roteiro 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 7 
Conceito de Variável Aleatória 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 8 
Experimentos e seus resultados. 
Conceito de Variável Aleatória 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 9 
Experimento Resultados Possíveis 
Jogo de moeda Cara ou Coroa 
Inspeção de uma peça Defeituosa ou Não-defeituosa 
Lançamento de um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 
Jogo de futebol (para um time) Ganhar, perder ou empatar. 
Vamos atribuir valores numéricos aos resultados 
dos experimentos. 
Conceito de Variável Aleatória 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 10 
Experimento Resultados Possíveis Valores Numéricos 
Jogo de moeda Cara ou Coroa 
Cara: 0 
Coroa: 1 
Inspeção de uma peça 
Defeituosa ou Não-
defeituosa 
Defeituosa: 0 
Não defeituosa: 1 
Lançamento de um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 4, 5, 6 
Jogo de futebol 
(para um time) 
Ganhar, perder ou 
empatar. 
Ganhar: 1 
Empatar: 0 
Perder: -1 
‡ Definição: 
± Variável aleatória é uma descrição numérica do 
resultado de um experimento. 
Conceito de Variável Aleatória 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 11 
Exemplos de variáveis aleatórias. 
Conceito de Variável Aleatória 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 12 
Experimento Variáveis Aleatórias Valores Numéricos 
Jogo de moeda 
Resultado do jogo de 
moeda 
Cara: 0 
Coroa: 1 
Inspeção de uma peça Resultado da inspeção 
Defeituosa: 0 
Não defeituosa: 1 
Lançamento de um dado 
Número da face superior 
do dado 
1, 2, 3, 4, 5, 6 
Jogo de futebol 
(para um time) 
Resultado do jogo para 
um time 
Ganhar: 1 
Empatar: 0 
Perder: -1 
‡ Tipos de variáveis aleatórias: 
± discretas: quando os resultados são contáveis; 
± contínuas: caso os resultados não sejam contáveis. 
Conceito de Variável Aleatória 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 13 
Exemplo de variáveis aleatórias discretas. 
Conceito de Variável Aleatória 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 14 
Experimento Variável Aleatória (x) Valores Possíveis 
Contatar cinco clientes 
Número de clientes que 
colocam pedidos de compra 
0, 1, 2, 3, 4, 5 
Inspecionar um 
embarque de 50 rádios 
Número de rádios com defeito 0, 1, 2, ... , 49, 50 
Operar um restaurante 
durante um dia 
Número de clientes 0, 1, 2, 3, ... 
Vender um automóvel Gênero do cliente. 
Masculino: 0 
Feminino: 1 
Exemplo de variáveis aleatórias contínuas. 
Conceito de Variável Aleatória 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 15 
Experimento Variável Aleatória (x) Valores Possíveis 
Operar um caixa. 
Tempo em minutos entre 
chegada dos clientes. 
[�•�� 
Encher um copo de 
200 ml 
Quantidade de líquido no copo ��”�[�”���� 
Construir um prédio 
Porcentagem de conclusão do 
projeto após 3 meses. 
��”�[�”���� 
Testar um novo 
processo químico 
A temperatura quando ocorre 
a reação desejada (mín. 65ºC; 
máx: 100º C) 
��ž�”�[�”�100º 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 16 
‡ Distribuição de probabilidade de uma variável 
aleatória descreve como as probabilidades estão 
distribuídas sobre os valores da variável 
aleatória. 
‡ Para uma variável aleatória x, a distribuição de 
probabilidade é definida por uma função de 
probabilidade, denotada por f(x). 
‡ A função de probabilidade corresponde a cada 
um dos valores da variável aleatória. 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 17 
Seja um experimento que tenha quatro resultados 
como abaixo informado: 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 18 
Resultado do Experimento Probabilidade associada a cada resultado 
x = 1 f(1) = 0,1 
x = 2 f(2) = 0,2 
x = 3 f(3) = 0,3 
x = 4 f(4) = 0,4 
‡ Vantagem de definir uma função de 
probabilidade: 
± facilidade em determinar probabilidades de diversos 
eventos que seriam de interesse do tomador de 
decisões. 
‡ Exemplo: 
± Qual a probabilidade de, no experimento anterior, o 
resultado ser 1 ou 4? 
‡ Resposta: 
± P(1 ou 4) = f(1) + f(4) = 0,1 + 0,4 = 0,5 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 19 
‡ Condições necessárias para uma função de 
probabilidade discreta: 
± f(x) • 0 
± ¦ f(x) = 1 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 20 
‡ Podemos apresentar uma distribuição de 
probabilidade por tabelas e gráficos, como 
abaixo mostrado: 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 21 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1 2 3 4
f
(
x
)
 
x 
x f(x) 
x = 1 f(1) = 0,1 
x = 2 f(2) = 0,2 
x = 3 f(3) = 0,3 
x = 4 f(4) = 0,4 
‡ Em diversos casos é possível representar uma 
distribuição de probabilidade de uma variável 
aleatória através de uma função f(x) para cada 
valor de x. 
‡ Por exemplo: 
± Função probabilidade uniforme: 
9 f(x) = 1/n 
9 onde n é o número de resultados do experimento 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 22 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 23 
‡ Considere o experimento lançar um dado: 
± x = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
± n = 6 
± f(x) = 1/6 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
1 2 3 4 5 6
x f(x) 
x = 1 f(1) = 1/6 
x = 2 f(2) = 1/6 
x = 3 f(3) = 1/6 
x = 4 f(4) = 1/6 
x = 5 f(15 = 1/6 
x = 6 f(6) = 1/6 
Valor Esperado e Variância 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 24 
‡ Valor Esperado: 
± O valor esperado, ou média, de uma variável 
aleatória é a medida da posição central da variável 
aleatória, sendo dada por: 
± E(x) = P = ¦ x  f(x) 
Valor Esperado e Variância 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 25 
‡ Seja um experimento que tenha quatro 
resultados como abaixo informado. 
‡ Determine o valor médio da variável aleatória x. 
x f(x) [��I�[� 
x = 1 f(1) = 0,1 ������� ���� 
x = 2 f(2) = 0,2 ������� ���� 
x = 3 f(3) = 0,3 ������� ���� 
x = 4 f(4) = 0,4 ������� ���� 
E(x) = P = ¦ [�Â�I�[� 3 
Valor Esperado e Variância10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 26 
‡ Seja um experimento que tenha seis resultados como 
abaixo informado. 
‡ Determine o valor médio da variável aleatória x. 
Valor Esperado e Variância 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 27 
x f(x) [��I�[� 
x = 1 f(1) = 1/6 ������� ���� 
x = 2 f(2) = 1/6 ������� ���� 
x = 3 f(3) = 1/6 ������� ���� 
x = 4 f(4) = 1/6 ������� ���� 
x = 5 f(5) = 1/6 ������� ���� 
x = 6 f(6) = 1/6 ������� ���� 
E(x) = P = ¦ [�Â�I�[� 3,5 
‡ Variância 
± A variância de uma variável aleatória é uma medida 
da dispersão da referida variável, sendo dada por: 
± Var(x) = ı2 = ™ (x ± ȝ)2  f(x) 
‡ Desvio Padrão 
± O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da 
variância, sendo dada por: 
± ı = ¥ ı2 
Valor Esperado e Variância 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 28 
‡ Seja um experimento que tenha quatro 
resultados como abaixo informado. 
‡ Determine a variância e o desvio padrão da 
variável aleatória x. 
x f(x) [�Â�I�[� (x ± ȝ) (x ± ȝ)2 (x ± ȝ)2 Â�I�[� 
x = 1 f(1) = 0,1 ��Â����� ���� 1 ± 3 = - 2 4 ��Â����� ���� 
x = 2 f(2) = 0,2 ��Â����� ���� 2 ± 3 = - 1 1 �� 0,2 = 0,2 
x = 3 f(3) = 0,3 ��Â����� ���� 3 ± 3 = 0 0 ��Â����� ���� 
x = 4 f(4) = 0,4 ��Â����� ���� 4 ± 3 = 1 1 ��Â����� ���� 
E(x) = P = ¦ [�Â�I�[�� 3 ı2 = ™ (x ± ȝ)2 Â�I�[�� 1,0 
Valor Esperado e Variância 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 29 
‡ Seja um experimento que tenha seis resultados como abaixo 
informado. 
‡ Determine a variância e o desvio padrão da variável aleatória x. 
Valor Esperado e Variância 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 30 
x f(x) [�Â�I�[� (x ± ȝ) (x ± ȝ)2 (x ± ȝ)2 Â�I�[� 
x = 1 f(1) = 1/6 ��Â����� ���� 1 ± 3,5 = -2,5 6,25 �����Â����� ����� 
x = 2 f(2) = 1/6 ��Â����� ���� 2 ± 3,5 = -1,5 2,25 �����Â����� 0,38 
x = 3 f(3) = 1/6 ��Â����� ���� 3 ± 3,5 = -0,5 0,25 �����Â����� ����� 
x = 4 f(4) = 1/6 ��Â����� ���� 4 ± 3,5 = 0,5 0,25 �����Â����� ����� 
x = 5 f(15 = 1/6 ��Â����� ���� 5 ± 3,5 = 1,5 2,25 �����Â����� ����� 
x = 6 f(6) = 1/6 ��Â����� ���� 6 ± 3,5 = 2,5 6,25 �����Â����� ����� 
E(x) = P = ¦ [�Â�I�[� 3,5 ı2 = ™ (x ± ȝ)2 Â�I�[�� 1,46 
Exercícios 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 31 
‡ Ler Capítulos 5.1, 5.2 e 5.3 do livro ³(VWDWtVWLFD 
Aplicada à Administração e (FRQRPLD´ do 
Anderson, Sweeney e Williams. 
‡ Fazer exercícios da Lista 4.1. 
Exercícios 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 32 
‡ Considere o experimento de jogar uma moeda duas 
vezes. 
± Liste os resultados experimentais; 
± Defina uma variável aleatória que represente o número de 
coroas que ocorrem nos dois arremessos; 
± Mostre qual valor a variável aleatória assumiria para cada um 
dos resultados experimentais; 
± A variável aleatória é discreta ou contínua? 
Exercício 1 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 33 
‡ Resultados 
experimentais: 
± Cara, Cara (H, H) 
± Cara, Coroa (H, T) 
± Coroa, Cara (T, H) 
± Coroa, Coroa (T, T) 
‡ Variável aleatória que 
represente o número de 
coroas que ocorrem nos 
dois arremessos: 
± x = número de coroas nos 
dois arremessos 
‡ Valores da variável 
aleatória: 
± (H, H) ֜ x = 0 
± (H, T) ֜ x = 1 
± (T, H) ֜ x = 1 
± (T, T) ֜ x = 2 
‡ A variável aleatória é 
discreta ou contínua? 
± Discreta, podendo assumir 
os valores 0, 1 e 2. 
Resposta 1 
Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 34 10/11/2013 
‡ Considere o experimento de um trabalhador que monta 
um produto. 
± Defina uma variável aleatória que represente o tempo 
necessário em minutos para montar o produto; 
± Quais valores a variável aleatória pode assumir? 
± A variável aleatória é discreta ou contínua? 
Exercício 2 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 35 
‡ Variável aleatória que represente o tempo 
necessário em minutos para montar o produto: 
± x = tempo em minutos para montar o produto; 
‡ Valores a variável aleatória pode assumir: 
± x > 0 
‡ A variável aleatória é discreta ou contínua? 
± Contínua 
Resposta 2 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 36 
‡ Ao lado está a distribuição de probabilidade da 
variável aleatória x. Pergunta-se: 
± Essa distribuição de probabilidade é válida? 
± Qual é a probabilidade de x ser igual a 30? 
± Qual é a probabilidade de x ser menor ou igual a 25? 
± Qual é a probabilidade de x ser maior que 30? 
x f(x) 
20 0,20 
25 0,15 
30 0,25 
35 0,40 
Exercício 3 
Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 37 10/11/2013 
‡ Essa distribuição de probabilidade é válida? 
± Sim, é válida pois: 
± ™ f(x) = 1 
± f(x) • 0 
‡ Qual é a probabilidade de x ser igual a 30? 
± A probabilidade de x = 30 é f(30) = 0,25 
‡ Qual é a probabilidade de x ser menor ou igual a 25? 
± A probabilidade de x ” 25 é f(20) + f(25) = 0,20 + 0,15 = 0,35 
‡ Qual é a probabilidade de x ser maior que 30? 
± A probabilidade de x > 30 é f(35) = 0,40 
Resposta 3 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 38 
‡ A tabela ao lado apresenta uma 
distribuição de probabilidade 
referente à variável aleatória x. 
± Determine E(x), o valor esperado de x; 
± Calcule ı2, a variância de x; 
± Calcule ı, o desvio padrão de x. 
x f(x) 
3 0,25 
9 0,50 
6 0,25 
Exercício 4 
Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 39 10/11/2013 
x f(x) [�Â�I�[� (x ± ȝ) (x ± ȝ)2 (x ± ȝ)2 Â�I�[� 
3 0,25 0,75 -3,75 14,0625 3,515625 
9 0,50 4,50 2,25 5,0625 2,531250 
6 0,25 1,50 -0,75 0,5625 
0,140625
 
E(x) = P = ¦ [�Â�I�[�� 6,75 ı2 = ™ (x ± ȝ)2 Â�I�[�� 6,187500 
Resposta 4 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 40 
‡ Logo: 
± E(x) = 6,75 
± ı2 = 6,1875 
± ı = 2,4875 
‡ A tabela ao lado apresenta uma 
distribuição de probabilidade 
referente à variável aleatória y. 
± Determine E(y), o valor esperado de y; 
± Calcule ı2, a variância de y; 
± Calcule ı, o desvio padrão de y. 
x f(x) 
3 0,25 
4 0,30 
7 0,40 
8 0,10 
Exercício 5 
Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 41 10/11/2013 
Resposta 5 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 42 
‡ Logo: 
± E(y) = 5,55 
± ı2 = 3,787625 
± ı = 1,946182 
x f(x) [�Â�I�[� (x ± ȝ) (x ± ȝ)2 (x ± ȝ)2 Â�I�[� 
3 0,25 0,75 -2,55 6,0250 1,625625 
4 0,30 1,20 -1,55 2,4025 0,720750 
7 0,40 2,80 1,45 2,1025 0,841000 
8 0,10 0,80 2,45 6,0025 0,600250 
E(x) = P = ¦ [�Â�I�[�� 5,55 ı2 = ™ (x ± ȝ)2 Â�I�[�� 3,787625 
Fechamento 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 43 
‡ Nesta aula você aprendeu a: 
± Definir variável aleatória. 
± Caracterizar variáveis aleatórias discretas e contínuas. 
± Caracterizar distribuições discretas de probabilidade. 
± Determinar o valor esperado e a variância de uma variável 
aleatória discreta. 
‡ Na Aula 4.2 vamos aplicar os conceitos acima para 
trabalhar com a distribuição de probabilidade binomial. 
‡ Até a Aula 4.2! 
Fecho da Aula 4.1 
10/11/2013 Aula 4.1 ± Variáveis Aleatórias 44