Exercícios - Algebra Linear

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EXERCÍCIOS.EXERCÍCIOS.EXERCÍCIOS.EXERCÍCIOS. 
 
 
AULA 01.AULA 01.AULA 01.AULA 01. 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201309030162) 
 
Sabendo que vale a soma das matrizes: 
[x1-5y]+[41-53]=[32-106] 
Determinar os valores de x e y, respectivamente: 
 
 -3 e 1 
 -1 e -3 
 3 e -1 
 1 e -3 
 -1 e 3 
 
 2a Questão (Ref.: 201309030169) 
 
Seja A = [124-3] determinar f(A), onde f(x) = 2x3 ¿ 4x + 5. 
 
 [-1352117-117] 
 [-1352104-117] 
 [-103502104-117] 
 [-35104-117] 
 [-1050104-117] 
 
3a Questão (Ref.: 201309072362) 
Nas matrizes 
A1=[223552181520411442] e A2=[273161405043213719], 
 cada elemento aij da matriz Ap representa o número de alunos que um 
professor iaprovou numa turma j durante o ano p. Assim, durante os dois anos considerados, 
quantos alunos o professor 2 aprovou da turma 3? 
 
 66 
 51 
 43 
 61 
 63 
 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201309030170) 
 
Determine os valores de x, y de forma que a igualdade se verifique [x2x-1y-2y2-3]=I 
 
 x=1 e y=2 
 x=2 e y=1 
 x=1 e y=1 
 x=0 e y=0 
 x=2 e y=2 
 
 5a Questão (Ref.: 201309030165) 
 
Uma confecção vai fabricar 3 modelos de vestidos utilizando materiais diferentes. 
Considere a matriz A = aij, em que aij representa quantas unidades do material j 
serão empregadas para fabricar um modelo de vestido do tipo i. 
A = [502013421] 
Qual é a quantidade total de unidades do material 3 que será empregada para fabricar três 
vestidos do tipo 2? 
 
 12 
 20 
 6 
 9 
 18 
 
 6a Questão (Ref.: 201309030164) 
 
Na tabela abaixo temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas de português, matemática, 
física e química. 
 
 Português Matemática Física Química 
João 8 3 6 5 
Maria 7 5 4 3 
José 5 7 8 2 
Denotando a matriz A com colunas referentes às disciplinas e as linhas referentes aos alunos, 
determine a soma dos elementos a12, a22,a32 da matriz A. 
 
 10 
 20 
 15 
 12 
 18 
 
 
 
AULA 02.AULA 02.AULA 02.AULA 02. 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030128) 
 
Dizemos que uma matriz XXXX é uma Raiz Quadrada de uma matriz AAAA se X . X = AX . X = AX . X = AX . X = A .... 
Sendo A =A =A =A = [2009] , temos: 
 
 duas matrizes XXXX1111 e XXXX2222 distintas 
 quatro matrizes XXXX1111 , XXXX2222 , XXXX3333 e XXXX4444 coincidentes duas a duas 
 a matriz XXXX inexistente 
 quatro matrizes XXXX1111 , XXXX2222 , XXXX3333 e XXXX4444 distintas 
 uma única matriz XXXX 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029764) 
 
O cálculo de AAAA x BBBB , sendo AAAA = [1 2 3] e BBBB = [-3 0 -2]t , é obtido por: 
 
 (1-3)(2+0)(3-2) = -4 
 [1x(-3) + 2x0 + 3x(-2)] = [ -9] = -9 
 (1-2)(2+0)(3-3) = 0 
 [(1-3) (2-0) (3-2)] = [-2 2 1]t 
 [1x (-3) 2x0 3x(-2)] = [-3 0 -6] 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309072655) 
 
Seja A a matriz A=[2-12yx0z-1432]. 
Considere que A é uma matriz simétrica. 
 Determine uma matriz X sabendo que X+2At = 3I, onde At é a transposta da matriz A e I é 
a matriz identidade de ordem 3. 
 
 [34-123-6-2-33] 
 [-12-823-6-8-6-4] 
 [12-823-6-8-6-3] 
 [-1-2-823-6-8-6-4] 
 [-3-2-82-1-6-8-6-3] 
 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030172) 
Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas matrizes. 
[2013] [-1102] 
 
 2 
 0 
 5 
 7 
 6 
 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030175) 
 
Suponha que tenhamos dois alunos X e Y que obtiveram as seguintes notas nos meses de 
março e abril: 
março Português Matemática Física 
Aluno X 7 6 6 
Aluno Y 6 4 5 
Podemos ter matrizes representativas das notas de cada aluno nos dois meses: A e B, 
respectivamente. Determinando a matriz que representa as médias de cada aluno em cada 
uma das matérias, obtemos: 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 6,5 4 5 
Aluno Y 5,5 4 5,5 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 6,5 4,5 5 
Aluno Y 5,5 4,5 5,5 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 6,5 4,5 5 
Aluno Y 5 4,5 5 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 7,5 4,5 5 
Aluno Y 5,5 5 5,5 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 6 4 5 
Aluno Y 5,5 4,5 5,5 
 
 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070871) 
Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram modelados 
segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada em Bauru e a 
matriz M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes são referentes 
ao custo de produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha 
representa o produto A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes M1 e M2 fornecem 
o custo total de produção e transporte de cada produto. Com base nessas informações, pode-se 
afirmar que os custos de produção e transporte do produto B são respectivamente iguais a: 
 
 
 102 e 63 
 140 e 62 
 63 e 55 
 74 e 55 
 87 e 93 
AULA 03.AULA 03.AULA 03.AULA 03. 
1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030893) 
 
Considere as matrizes A=[abc532246] e B=[a51b32c23] de determinantes não nulos. 
Apresente uma relação entre os determinantes das matrizes A e B. 
 
 
 det A = det B 
 det A = 2 det B 
 det B = 2det A 
 det A = 3det B 
 det A = -det B 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070881) 
 
Para encontrar o valor referente ao número de pessoas que não possui automóvel, em 
pequeno município do estado de Goiás, um centro de pesquisa teve que resolver o 
determinante abaixo representado. Após a solução pela regra de Cramer, foi verificado que o 
número de habitantes que não possui automóvel é igual a : 
 
 
 1002 pessoas 
 102 pessoas 
 1020 pessoas 
 10 200 pessoas 
 12 000 pessoas 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030999) 
 
Dada a matriz [1000010000100012] calcule o valor de det (10A-1) 
 
 2 
 5 
 1/2 
 20 
 10 
 
 
 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030139) 
 
Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na origem e os vértices adjacentes 
nos pontos (1, 0, -2), (1, 2, 4) e (7, 1, 0) 
 
 c) 26 
 b) 24 
 a) 22 
 e) 30 
 d) 28 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030964) 
 
Alexandre Teophile Vandermonde foi um matemático francês do século XVIII. Foi, também, 
músico e químico. O seu nome está associado a uma matriz especial: a matriz de 
Vandermonde, que é uma matriz quadrada de ordem n, ou seja, com n linhas e n colunas, cujas 
linhas apresentam potências consecutivas. Assim: 
[[1,1,1,...],[a1,a2,a3,...,an],[a12,a22,a32,...,an2],[...],[a1n,a2n,a3n,...,ann]] 
[1 1 a b] é a matriz de Vandermonde de 2ª ordem ; 
[1 1 1 a b c a2 b2 c2] é a matriz de Vandermonde de 3ª ordem e assim sucessivamente. 
Resolva o determinante da matriz de Vandermonde de 3ª ordem. 
 
 (a-b-c)(b-c) 
 (c-a)(c-b)(b-c) 
 (a-b)(b-c)(c-a) 
 (b-a)(b-c) 
 (a-b)(a-c) 
 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030133) 
 
Calcule o determinante da matriz quadrada A dada abaixo: 
A= [9 1 9 9 9 9 0 9 9 2 4 0 0 5 0 9 0 3 9 0 6 0 0 7 0] 
 
 c) det A= 9 
 a) det A = 12 
 d) det A = 18 
 e) det A = -18 
 b) det A = -12 
 
 
 
 
 AULA 04.AULA 04.AULA 04.AULA 04. 
 1.1.1.1. 
 
 
Considere a matriz 3x3 A=[1 a 3 5 2 6 -2 -1 -3]. Determine o valor de a para que a 
matriz A não admita inversa. 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 12 
 
5 
 
4 
 
1 
 
3 
 2.2.2.2. 
 
 
As matrizes A=[1 m 1 3] e B=[p -2 -1 1] são inversas. Calcule os valores de m e p. Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
m=3 e p=2 
 
m=2 e p=3 
 
m=1 e p=2 
 
m=2 e p=1 
 
m=3 e p=1 
 3.3.3.3. 
 
 
Sejam A = [25-1-324] e B = [13110-1]. Calcule A.B e marque a alternativa 
correta. 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
A.B = I2 , sendo I2 a matriz identidade 2x2 . A é dita inversível, porém B não é a sua 
inversa, visto que B é uma matriz 2x3 
 
A.B = I2 , sendo I2 a matriz identidade 2x2 e A é dita inversível e B é a sua inversa 
 
A.B não existe 
 
 A.B = I2 , sendo I2 a matriz identidade 2x2 , porém, A não é dita inversível, visto que A é 
uma matriz 3x2 
 
A.B ≠ I2 , sendo I2 a matriz identidade 2x2 
 4.4.4.4. 
 
 
Considere as afirmações 
I - Se ABABABAB = IIII, então AAAA é inversível 
II - Se AAAA é inversível e kkkk é um número real diferente de zero, então (kA)(kA)(kA)(kA)----1111= kAkAkAkA----1111 
III - Se AAAA é uma matriz 3x3 e a equação AXAXAXAX = [100] tem solução única, então AAAA é 
inversìvel 
 
 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
 
 I é verdadeira, II e III são falsas 
 
 I e II são falsas, III é verdadeira 
 
 I, II e III são verdadeiras 
 
 I, II e III são falsas 
 
 I e III são verdadeiras, II é falsa 
 
 5.5.5.5. 
 
 
Diz-se que uma matriz A é não singular ou inversível se admite inversa. Verifique se 
a matriz quadrada A=[1a3526-2-1-3] é não singular. Caso seja, calcule a inversa. 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
A é não inversível 
 
A é não singular e sua inversa é A-1= [012-11-31313-23] 
 
A é não singular e sua inversa é A-1 = [012-1-1-31-1-2] 
 
A é não singular e sua inversa é A-1= [012-1-1-313-13-23] 
 
A é singular 
 6.6.6.6. 
 
 
Determinar a condição da variável K para que a Matriz abaixo seja inversível. 
[23-21K23-14] 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
K=0 
 
K≠67 
 
 K=67 
 
K≠-67 
 
K=-67 
 
 
 
 AULA 05.AULA 05.AULA 05.AULA 05. 
 1.1.1.1. 
 
Durante um ano, Vicente economizou parte do seu salário, o que totaliza 
R$100.000,00. Sendo um jovem com boa visão para os negócios, resolve investir 
suas economias em um negócio relacionado à área alimentícia que deverá resultar 
em um rendimento de R$9400,00, sobre seus investimentos anuais. A aplicação 
oferece um retorno de 4% ao ano e o título, 10%. O valor para ser investido é 
decidido pelo investidor e um valor y, obrigatório, é decidido pelo acionista 
principal da empresa. Com base nessas informações, é possível calcular os valores 
de x e y, resolvendo-se um sistema de duas equações dado por : 
 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
 
 
É correto afirmar que os valores de x e y são respectivamente iguais a: 
 
 
30.000 e 70.000 
 
10.000 e 90.000 
 
60.000 e 40.000 
 
65.000 e 35.000 
 
80.000 e 20.000 
 2.2.2.2. 
 
 
Para qual(is) valor(es) da constante KKKK o sistema, abaixo indicado, não tem solução. 
 xxxx ---- yyyy = 5= 5= 5= 5 
 2x 2x 2x 2x ---- 2y =2y =2y =2y = KKKK 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
K = 0K = 0K = 0K = 0 
 
KKKK ≠≠≠≠ 10101010 
 
KKKK ≠≠≠≠ ----10101010 
 
K = 10K = 10K = 10K = 10 
 
K = K = K = K = ----10101010 
 3.3.3.3. 
 
 
Um estudante de engenharia analisou um circuito elétrico e formulou o seu 
funcionamento por meio das três equações abaixo. Calcule o valor da corrente 
elétrica representada pela variável I2. 
 
I1 - 2I2 +3I3 = 6 
-2I1 – I2 + 2I3 = 2 
2I1 + 2I2 + I3 = 9 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
0 
 
1 
 
-1 
 
2 
 
-2 
 4.4.4.4. 
 
Durante um torneio de matemática, uma das questões propostas dizia que a soma 
das idades de duas pessoas totaliza 96 anos e que a diferença entre as idades dessas 
pessoas é igual a 20. Abaixo está representado o sistema referente a essa situação. É 
correto afirmar que a idade da pessoa mais velha corresponde a : 
 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
 
 
76 anos 
 
82 anos 
 
60 anos 
 
50 anos 
 
58 anos 
 5.5.5.5. 
 
 
(UERJ - 2000, adaptada) 
Uma indústria produz 3 tipos de cornetas. A tabela indica os preços praticados para 
uma produção total de 100 unidades 
 tipo 
 quantidade 
 produzida 
 custo de produção 
 por unidade 
 preço de venda 
 por unidade 
 1 xxxx 2,00 3,00 
 2 yyyy 4,00 5,00 
 3 zzzz 5,00 pppp 
 total 100 320,00 460,00 
As quantidades x,x,x,x, yyyy e zzzz são números naturais, diferentes de zero. Sendo pppp um 
número inteiro tal que 6 < p < 116 < p < 116 < p < 116 < p < 11 , os possíveis valores de pppp são: 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
 p =p =p =p = 7777 eeee p = 9p = 9p = 9p = 9 
 
 p = 7,p = 7,p = 7,p = 7, p = 8,p = 8,p = 8,p = 8, e p = 10p = 10p = 10p = 10 
 
 p = 7p = 7p = 7p = 7 
 
 7777 ≤≤≤≤ pppp ≤≤≤≤ 10101010 
 
 p = 8p = 8p = 8p = 8 eeee p = 10p = 10p = 10p = 10 
 
 
 6.6.6.6. 
 
 
(PUC-SP) 
A solução do Sistema 
(a(a(a(a----1)x1)x1)x1)x1111 + bx+ bx+ bx+ bx2222 = 1= 1= 1= 1 
(a+1)x(a+1)x(a+1)x(a+1)x1111 + 2bx+ 2bx+ 2bx+ 2bx2222 = 5= 5= 5= 5, são respectivamente: xxxx1111 = 1= 1= 1= 1 e xxxx2222 = 2= 2= 2= 2 . Logo, 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
a=1a=1a=1a=1 e b=0b=0b=0b=0 
 
a=1a=1a=1a=1 e b=2b=2b=2b=2 
 
a=0a=0a=0a=0 e b=0b=0b=0b=0 
 
a=0a=0a=0a=0 e b=1b=1b=1b=1 
 
a=2a=2a=2a=2 e b=0b=0b=0b=0 
 
 
 
 
 
 
 SIMULADO 01.SIMULADO 01.SIMULADO 01.SIMULADO 01. 
 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309022850) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Resolva a equação abaixo, sabendo que o elemento A é a matriz dada. 
X = A2 + 2(A.A) + A.A-1 
 1 0 -1 
A = -1 1 0 
 0 -2 1 
 
 
 4 7 2 
X = -6 1 9 
 0 -1 2 
 
 1 2 -3 
X = -1 4 3 
 0 -12 14 
 
 4 6 -6 
X = -6 4 3 
 2 -12 4 
 
 5 6 -8 
X = -3 3 3 
 -1 -12 10 
 
 5 7 -2 
X = -1 4 3 
 0 -12 14 
 
 
 
 
 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029952) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Considere as afirmações 
I - Se ABABABAB = IIII, então AAAA é inversível 
II - Se AAAA é inversível e kkkk é um número real diferente de zero, então (kA)(kA)(kA)(kA)----1111= kAkAkAkA----1111 
III - Se AAAA é uma matriz 3x3 e a equação AXAXAXAX = [100] tem solução única, então AAAA é inversìvel 
 
 I e III são verdadeiras, II é falsa 
 I, II e III são verdadeiras 
 I, II e III são falsas 
 I e II são falsas, III é verdadeira 
 I é verdadeira, II e III são falsas 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029764) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
O cálculo de AAAA x BBBB , sendo AAAA = [1 2 3] e BBBB = [-3 0 -2]t , é obtido por: 
 
 [(1-3) (2-0) (3-2)] = [-2 2 1]t 
 (1-3)(2+0)(3-2) = -4 
 (1-2)(2+0)(3-3) = 0 
 [1x(-3) + 2x0 + 3x(-2)]= [ -9] = -9 
 [1x (-3) 2x0 3x(-2)] = [-3 0 -6] 
 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029758) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Considere a matriz AAAA, nxnnxnnxnnxn, Se duas linhas (ou duas colunas) de AAAA forem proporcionais, então, 
o determinante da matriz AAAA é: 
 
 igual a zero 
 um número real diferente de zero e igual à constante de proporcionalidade 
 inexistente 
 um número real diferente de zero 
 igual ao número n 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026109) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Calcule o A.B. 
 
A=[10-12] B=[2-112] 
 
 
 [2-105] 
 [0-105] 
 [1-104] 
 [1-105] 
 [2-125] 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029891) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
 Se AAAA é uma matriz 2x3 e BBBB é uma matriz 3x4, então 
 
 BABABABA é uma matriz 4x2 
 ABABABAB é uma matriz 2x4 
 ABABABAB não está definida 
 BABABABA é uma matriz 3x3 
 ABABABAB é uma matriz 3x3 
 7777aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029799) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Calcule o determinante da matriz A, considerando que, α ε IR. 
 cos α sen α 
A = 
 sen α cos α 
 
 
 1 
 cos2 α - sen2 α 
 cos α x sen α 
 tg α 
 2cos α x sen α 
 8888aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029766) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
O determinante da matriz AAAA = [aaaaijijijij] , 3x3, onde: 
aaaaijijijij = i i i i ---- jjjj , se iiii <<<< jjjj e aaaaijijijij = iiii + j+ j+ j+ j , se iiii >>>> jjjj é igual a 
 
 34 
 -34 
 -26 
 26 
 0 
 9999aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309054462) 
Sendo A uma matriz, demonstre que se A é antissimétrica, então A2 é simétrica. 
 
 
Sua Resposta: 
Compare com a sua resposta: (A2)T = (A.A)T = AT.AT = (-A).(-A) = A2 
 
 10101010aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309053023) 
Calcule o determinante da matriz a seguir utilizando o desenvolvimento de Laplace. 
 
 
 
Sua Resposta: Det = -1. (-1)^5 . [2 -1 1 4] + 3.(-1)^4.[1 4 -2 3] = -1.(-1).(7) + 3.(1).(-5) = 7 - 
15 = -8 
Compare com a sua resposta: 
Escolhendo a terceira linha, temos: -2.(-1)4.[(-1).(-1)-3.4]+3.(-1)5.[2.(-1)-3.1]+0.(-1)6.[2.4-(-
1).1]=-2.(-11)-3.(-5)+0=22+15=37 
 
 
 
AULA 06.AULA 06.AULA 06.AULA 06. 
1.1.1.1. 
 
 
O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa 
que fabrica caixas de papelão. As caixas são fabricadas por máquinas de 
processamento que possuem velocidades de produção diferentes e são chamadas 
de X e Y e Z. A produção PE é dada de acordo com o sistema abaixo indicado. 
Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem, 
respectivamente, em 1 minuto as seguintes quantidades de caixas: 
 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
2, 3, 1 
 
1, 2, 3 
 
4, 5, 1 
 
2, 1, 3 
 
1, 4, 5 
 
 
 2.2.2.2. 
 
 
Resolva o sistema linear não homogêneo e determineo valor da soma das 
incógnitas : 
 x+2y+2z=-1 
x+3y+2z=3 
x+3y+z=4 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
3 
 
-4 
 
4 
 
-3 
 
10 
 
 
3.3.3.3. 
 
 
Sejam os vetores vvvv1111 =[13-1] , vvvv2222 =[-5-82] e bbbb =[3-5k] . Para que valores de k a 
equação, abaixo indicada, é possível e determinada? 
 x vx vx vx v1111 + y v+ y v+ y v+ y v2222 = b= b= b= b 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
K ∈ ℝ 
 
K = 0 
 
K ≠ 0 
 
K = 11 
 
K = -11 
 4.4.4.4. 
 
 
Considere o sistema abaixo indicado e marque a alternativa correta 
 x x x x ---- 6666 yyyy = 5= 5= 5= 5 
 y y y y ---- 4 z + w = 04 z + w = 04 z + w = 04 z + w = 0 
---- x + 6 y + z + 5 w = 3x + 6 y + z + 5 w = 3x + 6 y + z + 5 w = 3x + 6 y + z + 5 w = 3 
 ---- y + 5 z + 4 w = 0y + 5 z + 4 w = 0y + 5 z + 4 w = 0y + 5 z + 4 w = 0 
 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
o sistema é possível e determinado com solução: x = x = x = x = ----1;1;1;1; y = y = y = y = ----1;1;1;1; z = 1 e w = 5z = 1 e w = 5z = 1 e w = 5z = 1 e w = 5 
 
o sistema é possível e indeterminado 
 
o sistema é possível e determinado com solução: x = 5;x = 5;x = 5;x = 5; y = z =y = z =y = z =y = z = w =w =w =w = 0000 
 
o sistema é possível e determinado com solução: x = 5;x = 5;x = 5;x = 5; y = 0;y = 0;y = 0;y = 0; z = 1 e w = 4z = 1 e w = 4z = 1 e w = 4z = 1 e w = 4 
 
o sistema é impossível 
 5.5.5.5. 
 
 
Considere um sistema de equações lineares de coeficientes reais com n equações 
e n variáveis. Seja A a matriz dos coeficientes das variáveis deste sistema. 
Se detA = 0 então pode-se garantir que: 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
 Este sistema não tem solução 
 
 Este sistema não admite uma única solução 
 
 Este sistema admite uma única solução 
 
 Este sistema não tem infinitas soluções 
 
 Este sistema admite infinitas soluções 
 
 
 6.6.6.6. 
 
 
Considere um sistema de equações lineares de coeficientes reais com 3 equações 
e 3 variáveis (X, Y, Z). Seja A a matriz 3x3 dos coeficientes das variáveis deste 
sistema. Se o determinante de A for igual a 0 (det A= 0), então pode-se admitir 
que o referido sistema: 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
Possui três soluções distintas para cada variável 
 
Não possui solução real para qualquer das três variáveis 
 
Possui mais de uma solução para cada variável 
 
Possui duas soluções distintas para cada variável 
 
Possui uma única solução para cada variável 
 
 
AULA 07.AULA 07.AULA 07.AULA 07. 
 
1.1.1.1. 
 
 
Encontre as condições em X, Y, Z de modo que (x, y, z) є R3 pertença ao espaço 
gerado por r = (2, 1, 0), s= (1, -2, 2) e t = (0, 5, -4). 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
X + Y – Z = 0 
 
2X – 4Y – 5Z = 0 
 
2X – 3Y + 2Z ≠ 0 
 
2X - 3Y + 2Z = 0 
 
2X – 4Y – 5Z ≠ 0 
 2.2.2.2. 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 a) Se W e S são subconjuntos não vazios de um espaço vetorial V e W⊂S e W é 
linearmente independente, então, S também é linearmente independente (l.i.). 
b) Um conjunto unitário, cujo elemento é diferente de zero, é linearmente 
independente. (l.i.). 
c) A intercessão de dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial. 
d) A união de dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial. 
e) O subconjunto W={f : R=>R/f(1)=1} é um subespaço vetorial das funções 
reais de variável real. 
Assinale as afirmações verdadeiras: 
 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
a,b,c 
 
b,c,d 
 
a,c,e 
 
a,c,de 
 
b,c,e 
 3.3.3.3. 
 
 
Considere o subespaço W representado por: 
 {[2ca-bb -3ca+2b]} onde a, b e c pertencem aos reais. 
Determine uma base e a dimensão de W. 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
c) {(12-1-3),(-3014),(0010)} e a dim W =3 
 
a) {(12-1-3),(-3014)} e a dim W =2 
 
d) {(12-1-3),(-4507)} e a dim W =2 
 
e) {(12-1-3),(-3014)} e a dim W =4 
 
b) {(12-1),(-301)} e a dim W =2 
 4.4.4.4. 
 
 
Considere o espaço V = R2 munido das seguintes operações assim definidas: 
(a,b) + (c,d) = (ac,bd) e k.(a,b) = (ak,b), onde k é um escalar. 
Apresente os axiomas de espaço vetorial que são violados. 
(Lembrete: Axiomas de espaço vetorial: 
 S1:u+v=v+u , S2: u+(v+w)=(u+v)+w, S3: existe 0 tal que v+0=v , S4: para todo 
v existe (-v) tal que v+(-v)=0 , M1: (m+n).v = m.v+n.v , M2: k.(u+v) = k.u+k.v, 
M3: (m.n).v = m(n.v) , M4: 1.v = v) 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
S3 , S4 e M2 
 
M1 , M2 e M3 
 
S4 e M2 
 
S1 , S2 e M1 
 
S2 e M3 
 5.5.5.5. 
 
Considere V o espaço vetorial das matrizes 2x2 a coeficientes reais e sejam os 
seguintes subconjuntos de V: 
W1={A=[abcd]: det A≠0} 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
W2={A=[a0bc]} 
W3={A=[abcd]: det A=1} 
W4={A=[abcd]: a,b,c,d são números pares} 
W5={A=[abcd]: a,b,c,d são números racionais} 
Selecione os subespaços vetoriais de V 
 
 
W2 , W4 e W5 
 
W1, W2 e W4 
 
 W2 e W5 
 
W2 e W4 
 
W1, W2 e W5 
 6.6.6.6. 
 
 
Complete a afirmativa abaixo com a alternativa correta: 
Os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp em um Espaço Vetorial VVVV formam uma base para VVVV se .. 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
um dos vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp é o vetor nulo 
 
os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp geram VVVV e são linearmente independentes 
 
os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp formam um subespaço de VVVV 
 
os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp formam um subconjunto de VVVV 
 
os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp são linearmente dependentes 
 
AULA 08.AULA 08.AULA 08.AULA 08. 
1.1.1.1. 
 
 
Qual(is) vetore(s) é/são combinação(ões) linear(es) de u = (1,-1,3) e de v = 
(2,4,0): 
I - (3, 3, 3) 
 
II - (2, 4, 6) 
 
III - (1, 5, 6) 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
II - III 
 
I - III 
 
II 
 
I 
 
I - II - III 
 
2.2.2.2. 
 
 
Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) é combinação linear de u = (3, 0, 2) e 
de v = (2, -1, -5) 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
K = -10 
 
K = -2 
 
K = 0 
 
K = -12 
 
K = 8 
 3.3.3.3. 
 
 
Qual a condição para que o vetor x→=(x,y,z) seja combinação linear de v1=(1,-1) 
e v2=(1,0)? 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
x+2y=z 
 
x-y=z 
 
x+y=z 
 
-x+y=z 
 
x+y=-z 
 4.4.4.4. 
 
 
Dados os vetores: vvvv1111 = [22-1] , vvvv2222 = [341] , vvvv3333 = [121] e vvvv4444 = [284] , marque 
a alternativa correta 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
 vvvv2222 não é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 ,,,, vvvv3333 e vvvv4444 
 
 vvvv1111 não é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 , vvvv3333 e vvvv4444 
 
vvvv4444 não é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 , vvvv3333 e vvvv4444 
 
 vvvv4444 é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 e vvvv3333 
 
 vvvv4444 não é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 e vvvv3333 
 5.5.5.5. 
 
 
Escreva o vetor v = (5,-2) como combinação linear dos vetores v1=(1,-1) e 
v2=(1,0). 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
3v1+3v2 
 
3v1+2v2 
 
-2v1+3v2 
 
2v1+2v2 
 
2v1+3v2 
 6.6.6.6. 
 
 
Dado o conjunto de vetores SSSS = { ( 2, = { ( 2, = { ( 2, = { ( 2, ----5 ) , ( 5 ) , ( 5 ) , ( 5 ) , ( ----1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 ) }}}} e sendo WWWW o conjunto de 
todos os vetores gerados por combinação linear dos vetores ( 2, ( 2, ( 2, ( 2, ----5 )5 )5 )5 ) e ( e ( e ( e ( ----1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 ) , 
denotado por W = Span { S }W = Span { S }W = Span { S }W = Span { S } , marque a alternativa correta 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
 os vetores ( 2, ( 2, ( 2, ( 2, ----5 )5 )5 )5 ) e e e e ( ( ( ( ----1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 ) estão em WWWW 
 
 os vetores ( 2, ( 2, ( 2, ( 2, ----5 )5 )5 )5 ) e e e e ( ( ( ( ----1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 ) não estão em WWWW 
 
 WWWW possui 2 vetores 
 
o vetor nulo não está em WWWW 
 
 WWWW possui uma quantidade finita de vetores 
 
AULA 09.AULA 09.AULA 09.AULA 09. 
 
1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026030) 
 
Qual a condição para K, para que os vetores sejam Linearmente Independentes? v1 = (1, -2, 
K); v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, -1, -2). 
 
 K ≠ -2 
 K ≠ -1 
 K ≠ -5 
 K ≠ 0 
 K ≠ 5 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029917) 
 Considere as afirmações abaixo: 
I - Se vvvv1111, ... ,v, ... ,v, ... ,v, ... ,v4444 estão no RRRR4444 e vvvv3333 = 2 v= 2 v= 2 v= 2 v1111 + v+ v+ v+ v2222, então { vvvv1111 ,,,, vvvv2222 ,,,, vvvv3333,,,, vvvv4444 } é linearmente dependente. 
II - Se vvvv1111, ... ,v, ... ,v, ... ,v, ... ,v4444 estão no R4 e vvvv1111 não é múltiplo escalar de vvvv2222, então { vvvv1111 ,,,, vvvv2222 ,,,, vvvv3333,,,, vvvv4444} é 
linearmente independente 
III - Se vvvv1111, ... ,v, ... ,v, ... ,v, ... ,v4444 estão no R4 e { vvvv1111 ,,,, vvvv2222 ,,,, vvvv3333 } é linearmente dependente. então { vvvv1111 ,,,, vvvv2222 ,,,, vvvv3333,,,, 
vvvv4444 } é, também, linearmente dependente. 
 
 I, II e III são falsas 
 I e III são falsas, II é verdadeira 
 I, II e III são verdadeiras 
 I e II são falsas, III é verdadeira 
 I e III são verdadeiras, II é falsa 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309069815) 
 
Considere a seguinte base do ℝ 3: β= {(1, 2, 3), (1, 1, 1),(a ,b, c)}. Sabendo que as coordenadas 
do vetor (1, 4, 9), na base β são (1, 2, 2) , determine o valor de (a+b-c). 
 
 1 
 -3 
 -2 
 2 
 3 
 
 
4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030969) 
 
Considere os vetores do R3: u = (1,3,5) ; v = (2,-1,3) e w = (-3,2,-4). Resolva a equação 
vetorial x.u+y.v+z.w=0 e decida a dependência linear dos vetores (l.i. ou l.d.). 
 
 x=y=z=0 e os vetores são l.d. 
 x=-z/7 e y=11z/7 e os vetores são l.i. 
 x=-z/7 e y=11z/7 e os vetores são l.d. 
 x=y=z=0 e os vetores são l.i. 
 x=-1;y=11 e z=7 e os vetores são l.i. 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030117) 
 
Considere as assertivas abaixo: 
I - Se nenhum dos vetores de RRRR3333 no conjunto S = {vvvv1111, vvvv2222, vvvv3333} é um múltiplo escalar de um dos 
outros vetores, então S é um linearmente independente; 
II - Em alguns casos, é possível que quatro vetores gerem o RRRR5555; 
III - Se {uuuu, vvvv, wwww} é um conjunto linearmente independente, então uuuu, vvvv e wwww não estão no RRRR2222; 
IV- Sejam uuuu, vvvv e wwww vetores não nulos do RRRR5555, vvvv não é um múltiplo de uuuu , e wwww não é uma 
combinação linear de uuuu e v. Então {uuuu, vvvv, wwww} é linearmente independente. 
 
 As afirmações I e II são falsas e as afirmações III e IV são verdadeiras 
 As afirmações I e IV são verdadeiras e as afirmações II e III são falsas 
 As afirmações I e III são falsas e as afirmações II e IV são verdadeiras 
 As afirmações III e IV são falsas e as afirmações I e II são verdadeiras 
 As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e IV são falsas 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026775) 
Considere os vetores x, y, e z dos conjuntos I, II e III abaixo. Analise os mesmos quanto à 
dependência linear dentro de cada conjunto. 
I - x = (1, 1, -1), y = (2, -3, 1) , z = (8, - 7, 1); 
II - x = (1, -2, -3), y = (2, 3, -1), z = (3, 2, 1); 
III - x = (x1, x2), y = (y1, y2) , z = (z1, z2). 
Podemos afirmarque: 
 Os conjuntos I e II são linearmente dependentes 
 Os conjuntos I e III são linearmente dependentes 
 Os conjuntos II e III são linearmente dependentes 
 Somente o conjunto III é linearmente dependente 
 Todos os conjuntos I, II e III são linearmente dependentes 
 
 
AULA 10.AULA 10.AULA 10.AULA 10. 
 
1.1.1.1. 
 
 
Uma Transformação linear é um mapeamento de um espaço vetorial V para um 
espaço vetorial W. Qualquer transformação linear pode ser representada por 
uma matriz. Seja um vetor (x1 ,x2) e considere as transformações realizadas pelas 
matrizes abaixo. Quais as transformações sobre os pontos (x1 ,x2), no plano: 
A = [1 00-1] B = [-100-1] C = [0-11 0] D = [1000] 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2, x1), (x1, 0) 
 
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (0 , x2) 
 
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x1, x2), (x1, 0) 
 
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (-x1,x2) 
 
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (-x1,0) 
 2.2.2.2. 
 
 
Considere uma transformação linear T:R2=> R2 tal que [ T ]β=[1112] (a matriz 
associada à transformação em relação à base β) onde β = {(1,2) , (0,1)} é uma 
base de R2. Determine a lei da transformação linear. 
Lembrete: Para determinar a lei da transformação é preciso da matriz de T em 
relação à base canônicaα. 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
T(x,y)=(x+y,x+4y) 
 
T(x,y)=(-x-7y,x+4y) 
 
T(x,y)=(x-y,x+2y) 
 
T(x,y)=(-x+y,-7x+4y) 
 
T(x,y)=(-x+y,-7x+2y) 
 3.3.3.3. 
 
 
Dado o conjunto β={(-1,0,3),(1,1,1),(2,k,-2)}, seja k o menor inteiro positivo que 
torne β uma base do ℝ3, 
 determine as coordenadas do vetor v=(2,3,-2) na base β, ou seja, o vetor v] β 
 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
(-3,3,-2) 
 
(3,-3,2) 
 
(-3,0,-2) 
 
(1,1,1) 
 
(-2,3,2) 
 
 
 
4.4.4.4. 
 
 
 Dada a matriz A = [10-94-2] encontre o polinômio característico da matriz A. 
 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
λ2-16 
 
λ2-8λ+4 
 
λ2-4 
 
λ2-10λ+2 
 
λ2-8λ+16 
 5.5.5.5. 
 
 
Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo formam uma base do R3 Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
{( 1, 1, 2), (1, 2, 5), ( 5, 3, 4)} 
 
{(1, 2, 3),(1, 0, -1), (3, -1, 0) , (2, 1, -2)} 
 
{(0,0,1), (0, 1, 0)} 
 
{(1, 1, 1), ( 1, 2, 3), ( 2, -1, 1)} 
 
{(1, 1, 1), (1, -1, 5)} 
 6.6.6.6. 
 
 
Determine uma base para o subespaço W do RRRR3333 gerado pelos vetores 
vvvv1111=( 2-8 6), vvvv2222 = ( 3-7-1), vvvv3333=(-1 6-7) e a dimensão de W. 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
wwww1111=( 2 0 0), w2222 = ( 052) e a dim W= 2 
 
wwww1111=( 2-8 6), w2222 = ( 3-7-1), w3333=(-1 6-7) e a dim W=3 
 
wwww1111=( 2 0 0), w2222 = ( 300) e a dim W= 2 
 
wwww1111=( 20 0), w2222 = ( 350), w3333=(-1 20) e a dim W = 3 
 
wwww1111=( 2 0 0), w2222 = ( 352) e a dim W= 2