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Análise Matematica I - Teoria e Exercícios - Ana Sá e Bento Louro

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I´ndice
1 Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es 1
1.1 Noc¸o˜es topolo´gicas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Induc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade 13
2.1 Generalidades sobre func¸o˜es reais de varia´vel real . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Limites. Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano . . 23
2.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial 37
3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. . . . . . . . 46
3.3 Indeterminac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Aplicac¸o˜es da fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o 67
4.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Primitivac¸a˜o por partes e por substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral 95
5.1 Integral de Riemann: Definic¸a˜o e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Classes de func¸o˜es integra´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 A´reas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5 Integrais impro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
ii I´NDICE
6 Exerc´ıcios 139
6.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 Noc¸o˜es Topolo´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 Induc¸a˜o Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4 Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.6 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . 157
6.8 Fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.9 Estudo de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.10 Primitivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.11 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.12 Ca´lculo de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.13 Integrais Impro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Cap´ıtulo 1
Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o
Matema´tica e Sucesso˜es
1.1 Noc¸o˜es topolo´gicas em R
Definic¸a˜o 1.1.1 Sejam a ∈ R, ε > 0. Chama-se vizinhanc¸a ε de a ao conjunto Vε(a) =
]a− ε, a+ ε[.
Definic¸a˜o 1.1.2 Sejam a ∈ R e A um conjunto de nu´meros reais. Diz-se que a e´ inte-
rior a A se existir uma vizinhanc¸a de a contida em A. Diz-se que a e´ fronteiro a A se
toda a vizinhanc¸a de a intersecta A e R \A. Diz-se que a e´ exterior a A se existir uma
vizinhanc¸a de a contida em R \ A.
NOTA: Um ponto e´ exterior a A se, e so´ se, e´ interior a R \ A.
Definic¸a˜o 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e repre-
senta-se por int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e
representa-se por ext(A). O conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira de
A e representa-se por fr(A).
NOTA: Qualquer que seja A ⊂ R tem-se: int(A) ∩ ext(A) = ∅, int(A) ∩ fr(A) = ∅,
fr(A) ∩ ext(A) = ∅ e int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A) = R.
EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. Enta˜o int(A) =
int(B) = int(C) = int(D) =]0, 1[, fr(A) = fr(B) = fr(C) = fr(D) = {0, 1}, ext(A) =
ext(B) = ext(C) = ext(D) =]−∞, 0[∪]1,+∞[.
EXEMPLO 2: Seja A =
{
1
n
, n ∈ N
}
. Enta˜o int(A) = ∅, ext(A) = R \ (A ∪ {0}) e
fr(A) = A ∪ {0}.
EXEMPLO 3: Seja A = Q. Enta˜o int(A) = ext(A) = ∅, fr(A) = R.
2 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
Definic¸a˜o 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e´ aberto se A = int(A).
Definic¸a˜o 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou adereˆncia de A ao
conjunto A = A ∪ fr(A). Diz-se que x e´ aderente a A se x ∈ A. A diz-se fechado se
A = A.
NOTAS:
1. Das definic¸o˜es, conclui-se facilmente que A = int(A) ∪ fr(A).
2. A e´ fechado se, e so´ se, fr(A) ⊂ A.
3. A e´ fechado se, e so´ se, R \ A e´ aberto, isto e´, R \ A = int(R \ A) = ext(A).
EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B e´ fechado, D e´
aberto, A e C na˜o sa˜o fechados nem abertos.
EXEMPLO 2: A =
{
1
n
, n ∈ N
}
na˜o e´ fechado nem aberto (note que fr(A) = A ∪ {0}).
EXEMPLO 3: A =
{
1
n
, n ∈ N
}
∪ {0} e´ fechado.
Definic¸a˜o 1.1.6 Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que a e´ ponto de
acumulac¸a˜o de A se toda a vizinhanc¸a de a intersecta A \ {a}. Ao conjunto dos pontos
de acumulac¸a˜o de A chama-se derivado de A. Diz-se que a e´ ponto isolado de A se
a ∈ A e existe uma vizinhanc¸a de a que na˜o intersecta A \ {a}.
EXEMPLO 1: Seja A =
{
1
n
, n ∈ N
}
. 0 e´ ponto de acumulac¸a˜o de A. Todos os pontos
de A sa˜o isolados.
EXEMPLO 2: Seja A = [0, 1[∪{2}. O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de A e´ [0, 1].
2 e´ ponto isolado de A.
NOTA: Se a ∈ int(A), enta˜o a e´ ponto de acumulac¸a˜o de A.
Definic¸a˜o 1.1.7 Sejam x ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x e´ majorante de
A se x ≥ a, ∀a ∈ A. Diz-se que x e´ minorante de A se x ≤ a, ∀a ∈ A.
Definic¸a˜o 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e´ majorado se admitir
majorantes. Diz-se que A e´ minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e
minorado, diz-se que A e´ limitado.
1.1 Noc¸o˜es topolo´gicas em R 3
EXEMPLO 1: A = {x ∈ R : x2 < 1} e´ limitado.
EXEMPLO 2: ]−∞, 1[ e´ majorado.
EXEMPLO 3: [1,+∞[ e´ minorado.
EXEMPLO 4: A = {x ∈ R : |x| > 1} na˜o e´ majorado nem minorado.
Teorema 1.1.1 A e´ limitado se, e so´ se, ∃M > 0, |x| ≤M, ∀x ∈ A.
Demonstrac¸a˜o: Se A for limitado, sejam ν um minorante de A e µ um majorante de A; se
M for o maior dos dois nu´meros |ν| e |µ|, enta˜o |x| ≤M, ∀x ∈ A (se µ = ν = 0, toma-se
M > 0, qualquer).
Reciprocamente, se ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A, isto e´, −M ≤ x ≤ M, ∀x ∈ A, enta˜o M
e´ majorante de A e −M e´ minorante de A.
Definic¸a˜o 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que β e´ o supremo de
A se β for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto e´, se β
for o menor dos majorantes de A); representa-se por β = sup(A). Se β, supremo de A,
pertencer a A, diz-se que β e´ o ma´ximo de A; neste caso, representa-se por β = max(A).
Definic¸a˜o 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que α e´ o ı´nfimo de
A se α for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto e´, se
α for o maior dos minorantes de A); representa-se por α = inf(A). Se α, ı´nfimo de A,
pertencer a A, diz-se queα e´ o mı´nimo de A; neste caso, representa-se por α = min(A).
EXEMPLO 1: Seja A = {x ∈ R : x2 < 1}. Enta˜o inf(A) = −1 e sup(A) = 1. A na˜o tem
ma´ximo nem mı´nimo.
EXEMPLO 2: Seja A =]− 1, 1]. Enta˜o inf(A) = −1 e sup(A) = max(A) = 1.
EXEMPLO 3: sup(]−∞, 1[) = 1. Na˜o existe ı´nfimo deste conjunto.
Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto mino-
rado tem ı´nfimo.
Na˜o daremos aqui a demonstrac¸a˜o do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais
profundo do conjunto dos nu´meros reais, que na˜o esta´ nos propo´sitos deste curso.
Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Enta˜o β = sup(A) se, e so´ se, β e´ majo-
rante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Analogamente, α = inf(A) se, e so´ se, α e´
minorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < α + ε.
4 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
Demonstrac¸a˜o: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ı´nfimo proceder-
-se-ia de modo ana´logo.
Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) enta˜o β e´ majorante de A e
∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Fa´-lo-emos pela contra-rec´ıproca, isto e´, negando a
tese chegaremos a` negac¸a˜o da hipo´tese (trata-se da bem conhecida proposic¸a˜o da lo´gica
formal A⇒ B equivalente a ∼ B ⇒ ∼ A). Se β na˜o for majorante de A, β na˜o e´ o supre-
mo de A (definic¸a˜o de supremo) e o problema fica resolvido. Se ∃ε > 0, ∀x ∈ A, x ≤ β−ε,
enta˜o β na˜o e´ o supremo de A visto que β − ε e´ majorante de A e β − ε < β.
Reciprocamente, vamos mostrar que se β e´ majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x >
β−ε, enta˜o β = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rec´ıproca. Se β na˜o for o supremo de
A, enta˜o ou na˜o e´ majorante ou e´ majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de
A menor que β. No u´ltimo caso, seja γ esse majorante. Enta˜o, fazendo ε = β − γ (> 0)
temos ∀x ∈ A, x ≤ γ = β − ε, que e´ a negac¸a˜o da hipo´tese.
1.2 Induc¸a˜o matema´tica 5
1.2 Induc¸a˜o matema´tica
Para demonstrar que certas propriedades sa˜o va´lidas no conjunto dos nu´meros natu-
rais, N, usa-se o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica que passamos a enunciar:
Uma propriedade e´ va´lida para todos os nu´meros naturais se:
1. A propriedade e´ va´lida para n = 1,
2. Para todo o n natural, se a propriedade e´ va´lida para n, enta˜o ela e´ va´lida para
n+ 1.
EXEMPLO 1:Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, a fo´rmula da
soma de uma progressa˜o geome´trica:
se a 6= 1 enta˜o
n∑
p=1
ap = a
1− an
1− a , ∀n ∈ N
1. Se n = 1, a fo´rmula e´ trivial: a = a1 = a
1− a
1− a .
2. Se admitirmos que a propriedade e´ va´lida para n, enta˜o:
n+1∑
p=1
ap =
n∑
p=1
ap + an+1 = a
1− an
1− a + a
n+1 = a
(
1− an
1− a + a
n
)
=
= a
1− an + an − an+1
1− a = a
1− an+1
1− a
EXEMPLO 2: Usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, vamos demonstrar a seguinte
igualdade (Bino´mio de Newton):
(a+ b)n =
n∑
p=0
nCp a
n−p bp, ∀a, b ∈ R, ∀n ∈ N
1) Se n = 1, a propriedade e´ va´lida: a+ b = 1C0 a+
1C1 b.
2) Vamos agora admitir que a propriedade e´ va´lida para n; enta˜o
(a+ b)n+1 = (a+ b) (a+ b)n = (a+ b)
n∑
p=0
nCp a
n−p bp =
=
n∑
p=0
nCp a
n+1−p bp +
n∑
p=0
nCp a
n−p bp+1 =
(fazendo p+ 1 = s)
=
n∑
p=0
nCp a
n+1−p bp +
n+1∑
s=1
nCs−1 an−s+1 bs =
6 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
(como s e´ varia´vel muda, podemos substitu´ı-la por p)
=
n∑
p=0
nCp a
n+1−p bp +
n+1∑
p=1
nCp−1 an−p+1 bp =
= an+1 +
n∑
p=1
nCp a
n+1−p bp + bn+1 +
n∑
p=1
nCp−1 an−p+1 bp =
= an+1 + bn+1 +
n∑
p=1
( nCp +
nCp−1) an+1−p bp =
= an+1 + bn+1 +
n∑
p=1
n+1Cp a
n+1−p bp =
=
n+1∑
p=0
n+1Cp a
n+1−p bp
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 7
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais
Definic¸a˜o 1.3.1 Chama-se sucessa˜o de nu´meros reais a toda a aplicac¸a˜o de N em R. Os
elementos do contradomı´nio chamam-se termos da sucessa˜o. Ao contradomı´nio chama-se
conjunto dos termos da sucessa˜o.
NOTA: E´ usual designarem-se os termos da sucessa˜o por un, em detrimento da notac¸a˜o
u(n), habitual para as aplicac¸o˜es em geral.
Definic¸a˜o 1.3.2 A expressa˜o designato´ria que define a sucessa˜o chama-se termo geral
da sucessa˜o.
EXEMPLO 1: un = n
2
EXEMPLO 2: un = cos(n).
NOTA: Podem-se definir sucesso˜es sem explicitar o termo geral. E´ o caso da definic¸a˜o
por recorreˆncia. Exemplo: u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + un (sucessa˜o dos nu´meros de
Fibonacci).
Por vezes da˜o-se apenas alguns termos da sucessa˜o que induzem o leitor a “inferir” os
restantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . .
Definic¸a˜o 1.3.3 Uma sucessa˜o diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus
termos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for
minorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado.
EXEMPLO 1: un = n
2 e´ limitada inferiormente, mas na˜o superiormente.
EXEMPLO 2: un = −n e´ limitada superiormente, mas na˜o inferiormente.
EXEMPLO 3: un = (−n)n na˜o e´ limitada superiormente nem inferiormente.
EXEMPLO 4: un = cos(n) e´ limitada.
Definic¸a˜o 1.3.4 Dadas duas sucesso˜es de nu´meros reais u e v, chama-se soma, dife-
renc¸a e produto de u e v a`s sucesso˜es u+v, u−v e uv de termos gerais, respectivamente,
un + vn, un − vn e un vn. Se vn 6= 0, ∀n ∈ N, chama-se sucessa˜o quociente de u e v a`
sucessa˜o u/v de termo geral un/vn.
Definic¸a˜o 1.3.5 Uma sucessa˜o u diz-se crescente se un ≤ un+1, ∀n ∈ N; diz-se estri-
tamente crescente se un < un+1, ∀n ∈ N; diz-se decrescente se un ≥ un+1, ∀n ∈ N;
diz-se estritamente decrescente se un > un+1, ∀n ∈ N; diz-se mono´tona se for cres-
cente ou decrescente; diz-se estritamente mono´tona se for estritamente crescente ou
estritamente decrescente.
8 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
EXEMPLO 1: un = n
2 e´ estritamente crescente.
EXEMPLO 2: un = −n e´ estritamente decrescente.
EXEMPLO 3: un = (−n)n na˜o e´ mono´tona.
Dadas duas sucesso˜es u e v, se v e´ uma sucessa˜o de nu´meros naturais, a composic¸a˜o
u ◦ v ainda e´ uma sucessa˜o, de termo geral uvn . Por exemplo, se u e´ a sucessa˜o 1, 2, 1,
3, 1, 4, . . . e vn = 2n− 1, enta˜o uvn = 1; se zn = 2n, enta˜o uzn = n + 1; se sn = 4, enta˜o
usn = 3.
Definic¸a˜o 1.3.6 Dadas duas sucesso˜es u e w, dizemos que w e´ subsucessa˜o de u se
existir v, sucessa˜o de nu´meros naturais, estritamente crescente, tal que w = u ◦ v.
EXEMPLOS: Das sucesso˜es consideradas anteriormente, u ◦ v e u ◦ z sa˜o subsucesso˜es de
u, mas u ◦ s na˜o e´ subsucessa˜o de u.
NOTAS:
1. Toda a subsucessa˜o de uma sucessa˜o limitada e´ limitada.
2. Uma sucessa˜o pode na˜o ser limitada e ter subsucesso˜es limitadas. Exemplo:
un =
{
n, se n par
1
n
, se n ı´mpar
3. Toda a subsucessa˜o de uma sucessa˜o mono´tona e´ mono´tona.
Definic¸a˜o 1.3.7 Diz-se que a sucessa˜o u e´ um infinitamente grande (ou que tende
para +∞), e representa-se un → +∞, se
∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ un > L.
Diz-se que u e´ um infinitamente grande em mo´dulo se |un| → +∞, isto e´,
∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ |un| > L.
Diz-se que u tende para −∞, e representa-se un → −∞, se
∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ un < −L.
EXEMPLO 1: un = n
2 → +∞.
EXEMPLO 2: un = −n→ −∞.
EXEMPLO 3: Seja un = (−n)n. Enta˜o |un| = nn → +∞.
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 9
NOTAS:
1. Se u e´ tal que un → +∞, un → −∞ ou |un| → +∞ enta˜o u e´ na˜o limitada. A
rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. Por exemplo, a sucessa˜o
un =
{
n, se n par
1
n
, se n ı´mpar
e´ na˜o limitada e un 6→ +∞, un 6→ −∞, |un| 6→ +∞
2. O facto de un → +∞ na˜o implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem
a partir da qual seja crescente). Exemplo: un = n+ (−1)n.
Das definic¸o˜es, conclui-se imediatamente que
Teorema 1.3.1 Sejam u e v sucesso˜es tais que, a partir de certaordem, un ≤ vn. Enta˜o,
a) un → +∞⇒ vn → +∞,
b) vn → −∞⇒ un → −∞.
Definic¸a˜o 1.3.8 Sejam u uma sucessa˜o e a ∈ R. Diz-se que u converge para a (ou
tende para a ou, ainda, que o limite da sucessa˜o e´ a), e representa-se un → a, se
∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ |un − a| < ε.
EXEMPLO: un =
1
n
→ 0. De facto, seja ε > 0, qualquer; se tomarmos p = Int
(
1
ε
)
(se
x ∈ R, chamamos parte inteira de x ao maior inteiro menor ou igual a x e representamo-la
por Int(x)) enta˜o, para n > p tem-se
1
n
≤ 1
p+ 1
< ε.
NOTAS:
1. Em linguagem de vizinhanc¸as, a definic¸a˜o e´ equivalente a:
∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ un ∈ Vε(a).
2. Poder´ıamos escrever ainda, de forma equivalente,
∀ε > 0 ∃p ∈ N : |un − a| < ε, ∀n > p.
3. Consideremos o conjunto R = R∪{−∞,+∞}, em que −∞ e +∞ sa˜o dois objectos
matema´ticos, na˜o reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto,
a relac¸a˜o de ordem:
i) se x, y ∈ R, x < y em R se, e so´ se, x < y em R.
ii) −∞ < x < +∞, ∀x ∈ R.
10 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
O conjunto R, com esta relac¸a˜o de ordem, designa-se por recta acabada.
Podemos estender a noc¸a˜o de vizinhanc¸a a R. Seja ε ∈ R, ε > 0. Se a ∈ R, chama-
-se vizinhanc¸a ε de a ao conjunto Vε(a) =]a − ε, a + ε[ (que coincide, pois, com a
vizinhanc¸a em R). Chama-se vizinhanc¸a ε de +∞ ao conjunto Vε(+∞) =
]
1
ε
,+∞].
Chama-se vizinhanc¸a ε de −∞ ao conjunto Vε(−∞) =
[−∞,−1
ε
[
.
Com as definic¸o˜es dadas atra´s, podemos unificar, do ponto de vista formal, as defi-
nic¸o˜es 1.3.7 e 1.3.8:
xn → a (a ∈ R) se, e so´ se, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ un ∈ Vε(a).
Definic¸a˜o 1.3.9 Diz-se que a sucessa˜o u e´ um infinite´simo se un → 0.
NOTA: E´ evidente, a partir das definic¸o˜es, que un → a e´ equivalente a un − a e´ um
infinite´simo.
Teorema 1.3.2 (Unicidade do limite) Se un → a e un → b enta˜o a = b.
Teorema 1.3.3 Se un → 0 e v e´ uma sucessa˜o limitada, enta˜o un vn → 0.
Demonstrac¸a˜o: Seja M > 0 tal que |vn| ≤M, ∀n ∈ N. Dado δ > 0, qualquer, seja p ∈ N,
tal que |un| < δ/M, ∀n > p. Enta˜o |un vn| < δ, ∀n > p.
Teorema 1.3.4 Toda a sucessa˜o convergente e´ limitada.
NOTA: A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. Por exemplo, a sucessa˜o un = cos(npi) e´ limitada,
mas na˜o e´ convergente.
Teorema 1.3.5 (Teorema das sucesso˜es enquadradas) Se un → a, vn → a e, a partir de
certa ordem, un ≤ wn ≤ vn, enta˜o wn → a.
Demonstrac¸a˜o: Seja ε > 0, qualquer. Enta˜o
∃p1 ∈ N : n > p1 ⇒ a− ε < un < a+ ε,
∃p2 ∈ N : n > p2 ⇒ a− ε < vn < a+ ε,
∃p3 ∈ N : n > p3 ⇒ un ≤ wn ≤ vn.
Seja p = max{p1, p2, p3}. Se n > p, enta˜o
a− ε < un ≤ wn ≤ vn < a+ ε.
Teorema 1.3.6 Toda a subsucessa˜o de uma sucessa˜o convergente e´ convergente para o
mesmo limite.
Teorema 1.3.7 Sejam u e v duas sucesso˜es convergentes, un → a, vn → b. Enta˜o u+ v,
u − v e uv sa˜o convergentes e un + vn → a + b, un − vn → a − b e un vn → a b. Se
vn 6= 0, ∀n ∈ N e b 6= 0, enta˜o u/v e´ convergente e un/vn → a/b.
Teorema 1.3.8 Um conjunto X ⊂ R e´ fechado se, e so´ se, todos os limites das sucesso˜es
convergentes, de elementos de X, pertencem a X.
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 11
Teorema 1.3.9 Toda a sucessa˜o mono´tona limitada e´ convergente.
NOTA: A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira, isto e´, ha´ sucesso˜es na˜o mono´tonas que sa˜o con-
vergentes. Exemplo: a sucessa˜o un = (−1)n 1
n
converge para 0 e na˜o e´ mono´tona.
Teorema 1.3.10 Toda a sucessa˜o limitada tem subsucesso˜es convergentes.
Definic¸a˜o 1.3.10 Diz-se que a ∈ R e´ sublimite da sucessa˜o u se existir uma subsucessa˜o
de u que converge para a.
EXEMPLO: −1 e 1 sa˜o sublimites da sucessa˜o un = (−1)n + 1
n
.
NOTAS: Seja S o conjunto dos sublimites da sucessa˜o u.
1. Pelo Teorema 1.3.10, se u e´ limitada, S 6= ∅;
2. S pode ser vazio; exemplo: un = n;
3. Se u for convergente, S e´ um conjunto singular (isto e´, so´ com um elemento).
4. S pode ser singular e u na˜o ser convergente; exemplo:
un =
{ 1
n
, se n par
n, se n ı´mpar.
5. S pode ser um conjunto infinito; por exemplo, dada a sucessa˜o
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
enta˜o S = N.
Teorema 1.3.11 O conjunto dos sublimites de uma sucessa˜o limitada tem ma´ximo e
mı´nimo.
Definic¸a˜o 1.3.11 Sejam u uma sucessa˜o limitada e S o conjunto dos sublimites de u.
Chama-se limite ma´ximo ou limite superior de u ao ma´ximo de S e representa-se
lim un = lim sup un = max(S). Chama-se limite mı´nimo ou limite inferior de u
ao mı´nimo de S e representa-se lim un = lim inf un = min(S). Se u na˜o for limitada
superiormente, define-se lim un = +∞. Se u na˜o for limitada inferiormente, define-se
lim un = −∞. Se un → +∞ define-se lim un = lim un = +∞. Se un → −∞ define-se
lim un = lim un = −∞.
Teorema 1.3.12 Uma sucessa˜o limitada e´ convergente se, e so´ se, lim un = lim un.
12 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
Definic¸a˜o 1.3.12 Uma sucessa˜o u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se
∀ε > 0 ∃p ∈ N : m,n > p⇒ |un − um| < ε.
EXEMPLO: un =
1
n
e´ sucessa˜o de Cauchy. De facto, sejam m,n > p; enta˜o
∣∣ 1
n
− 1
m
∣∣ ≤
1
n
+
1
m
<
1
p
+
1
p
=
2
p
. Seja ε > 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p >
2
ε
.
NOTA: Na definic¸a˜o de sucessa˜o convergente, introduzimos um elemento externo a` su-
cessa˜o, o limite. A sucessa˜o converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos da
sucessa˜o “esta˜o perto” do limite. Na definic¸a˜o de sucessa˜o de Cauchy apenas comparamos
os elementos da sucessa˜o uns com os outros. Dizemos que a sucessa˜o e´ de Cauchy se, a
partir de certa ordem, todos os elementos da sucessa˜o “esta˜o perto” uns dos outros.
Teorema 1.3.13 Uma sucessa˜o real e´ convergente se, e so´ se, for de Cauchy.
NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucessa˜o e´ convergente sem ter que
calcular o seu limite. Consideremos a sucessa˜o:
un = 1 +
1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; enta˜o
|un − um| =
∣∣ 1
(m+ 1)2
+
1
(m+ 2)2
+ · · ·+ 1
n2
∣∣ = 1
(m+ 1)2
+
1
(m+ 2)2
+ · · ·+ 1
n2
≤
≤ 1
m(m+ 1)
+
1
(m+ 1)(m+ 2)
+ · · ·+ 1
(n− 1)n =
=
(
1
m
− 1
m+ 1
)
+
(
1
m+ 1
− 1
m+ 2
)
+ · · ·
(
1
n− 1 −
1
n
)
=
1
m
− 1
n
≤ 1
m
Se p >
1
ε
e n ≥ m > p, obtemos |un − um| < ε pelo que a sucessa˜o e´ de Cauchy, portanto
convergente.
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real:
Limites e Continuidade
2.1 Generalidades sobre func¸o˜es reais de varia´vel real
Definic¸a˜o 2.1.1
a) Dados dois conjuntos A e B chama-se func¸a˜o definida em A com valores em B, a
toda a correspondeˆncia entre A e B que a cada elemento de A fac¸a corresponder um
e um so´ elemento de B. Ao conjunto A chama-se domı´nio da func¸a˜o.
b) Representa-se a func¸a˜o por y = f(x) em que x e´ a varia´vel independente e toma
valores em A (x ∈ A) e y e´ a varia´vel dependente, pois os seus valores dependem
dos valores que toma a varia´vel x, que toma valores em B (y ∈ B).
c) A` expressa˜o ou fo´rmula que traduz o modo como a varia´vel y depende da varia´vel x
chama-se expressa˜o anal´ıtica ou representac¸a˜o anal´ıtica da func¸a˜o f .
d) Uma func¸a˜o f diz-se real de varia´vel real quando A ⊂ R e B ⊂ R.
Definic¸a˜o 2.1.2 Seja f uma func¸a˜o real de varia´vel real.
a) Chama-se domı´nio de definic¸a˜o ou de existeˆncia de f ao conjunto dos valores
reais que teˆm imagem pela func¸a˜o f , isto e´, ao conjunto dos nu´meros reais para os
quais a expressa˜o anal´ıtica de f esta´ bem definida.
b) Chama-se contradomı´nio de f ao conjunto dos valores reais que sa˜o imagem pela
func¸a˜o f dos elementos do domı´nio.
Definic¸a˜o 2.1.3 Dada uma func¸a˜o f : D ⊂ R → R, chama-se gra´fico da func¸a˜o f ao
conjunto
{(x, y) : x ∈ D, y ∈ R, y = f(x)}.
14 2. Func¸o˜esReais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
Definic¸a˜o 2.1.4 Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → R diz-se:
a) crescente se x < y =⇒ f(x) ≤ f(y).
b) estritamente crescente se x < y =⇒ f(x) < f(y).
c) decrescente se x < y =⇒ f(x) ≥ f(y).
d) estritamente decrescente se x < y =⇒ f(x) > f(y).
Definic¸a˜o 2.1.5 Uma func¸a˜o diz-se
a) mono´tona se e´ crescente ou decrescente.
b) estritamente mono´tona se e´ estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Definic¸a˜o 2.1.6 Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → R diz-se:
a) par se f(x) = f(−x), ∀x ∈ D.
b) ı´mpar se f(x) = −f(−x), ∀x ∈ D.
Definic¸a˜o 2.1.7 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f(c) e´ um ma´ximo de f
se f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de ma´ximo.
Definic¸a˜o 2.1.8 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f(c) e´ um mı´nimo de f
se f(x) ≥ f(c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de mı´nimo.
Estes valores teˆm a designac¸a˜o comum de extremos de f . A Figura 2.1 ilustra as
definic¸o˜es anteriores.
Figura 2.1: Extremos de uma func¸a˜o.
2.1 Generalidades sobre func¸o˜es reais de varia´vel real 15
Definic¸a˜o 2.1.9 Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → R diz-se limitada se
∃M ∈ R+ : |f(x)| ≤M, ∀x ∈ D.
Por outras palavras, f e´ func¸a˜o limitada se o seu contradomı´nio e´ um conjunto limi-
tado.
Definic¸a˜o 2.1.10 Chamam-se zeros da func¸a˜o f os elementos x do domı´nio tais que
f(x) = 0.
Definic¸a˜o 2.1.11 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. A restric¸a˜o de f a A, designada
por f|A, e´ a aplicac¸a˜o de A em R tal que f|A(x) = f(x) para cada x ∈ A.
Definic¸a˜o 2.1.12 Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → B ⊂ R diz-se:
a) injectiva se x 6= y =⇒ f(x) 6= f(y).
b) sobrejectiva se ∀y ∈ B, ∃x ∈ D : f(x) = y.
c) bijectiva se e´ injectiva e sobrejectiva.
16 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
2.2 Limites. Limites relativos
Definic¸a˜o 2.2.1 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao domı´nio de f . Diz-se
que b e´ limite de f no ponto a (ou quando x tende para a), e escreve-se lim
x→a
f(x) = b,
se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ |f(x)− b| < δ.
Em termos de vizinhanc¸as:
lim
x→a
f(x) = b⇔ ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a) ∩D ⇒ f(x) ∈ Vδ(b).
A Figura 2.2 sugere a interpretac¸a˜o geome´trica de lim
x→a
f(x) = b.
x
y
a
b-δ
b+δ
b
a-ε a+ε
Figura 2.2: Interpretac¸a˜o geome´trica de lim
x→a
f(x) = b.
Definic¸a˜o 2.2.2 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D na˜o e´ majorado. Diz-se que
o limite de f quando x→ +∞ e´ b se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x > 1
ε
⇒ |f(x)− b| < δ
e escreve-se lim
x→+∞
f(x) = b.
Definic¸a˜o 2.2.3 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D na˜o e´ minorado. Diz-se que
o limite de f quando x→ −∞ e´ b se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x < −1
ε
⇒ |f(x)− b| < δ
e escreve-se lim
x→−∞
f(x) = b.
2.2 Limites. Limites relativos 17
Definic¸a˜o 2.2.4 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao domı´nio de f . Diz-se
que o limite de f em a e´ +∞ se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ f(x) > 1
δ
e escreve-se lim
x→a
f(x) = +∞.
Definic¸a˜o 2.2.5 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao domı´nio de f . Diz-se
que o limite de f em a e´ −∞ se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ f(x) < −1
δ
e escreve-se lim
x→a
f(x) = −∞.
NOTA: As definic¸o˜es de lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→−∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
f(x) = −∞ e
lim
x→−∞
f(x) = −∞, podem dar-se de forma ana´loga. Em todo o caso, se tivermos em
conta a definic¸a˜o de vizinhanc¸a em R (ver pa´gina 9), podemos unificar todas as definic¸o˜es
do seguinte modo: se a, b ∈ R, diz-se que lim
x→a
f(x) = b se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a) ∩D ⇒ f(x) ∈ Vδ(b).
Teorema 2.2.1 Se f : D ⊂ R → R e a ∈ R e´ um ponto aderente a D, enta˜o lim
x→a
f(x) = b
se, e so´ se, para cada sucessa˜o (xn) de limite a, (xn) ⊂ D, a sucessa˜o (f(xn)) tem por
limite b.
NOTA: Observe-se que na˜o exigimos que a seja ponto de acumulac¸a˜o de D. Se a e´ ponto
isolado de D enta˜o f tem limite igual a f(a) quando x→ a. De facto, as u´nicas sucesso˜es
de pontos do domı´nio que tendem para a sa˜o as sucesso˜es que, a partir de certa ordem,
sa˜o constantemente iguais a a.
Teorema 2.2.2 O limite de f em a, quando existe, e´ u´nico.
NOTAS:
1. Este teorema permite-nos usar a expressa˜o “b e´ o limite de f(x) quando x tende
para a”, em vez de “b e´ limite de f(x) quando x tende para a” e permite que se use
a notac¸a˜o lim
x→a
f(x) = b.
2. Se a ∈ D (isto e´, f esta´ definida em a), o limite b, se existe, coincide com f(a).
Com efeito, neste caso, a verifica as condic¸o˜es a ∈ D e |a − a| < ε ∀ε > 0, o que
implica que |f(a)− b| < δ, ∀δ > 0, ou seja, f(a) = b.
EXEMPLO: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por
f(x) =
{
x2, se x 6= 0
1, se x = 0
(ver Figura 2.3).
18 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
Figura 2.3
Na˜o existe lim
x→0
f(x). Como o domı´nio de f e´ R o limite, se existisse teria de ser igual
a f(0), como vimos na observac¸a˜o anterior. Ter´ıamos enta˜o de provar que
∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x| < ε⇒ |f(x)− 1| < δ.
Mas, se δ = 1
2
, qualquer que seja ε > 0, existe sempre x tal que |x| < ε e f(x) < 1
2
, o
que implica que |f(x)− 1| > 1
2
.
Teorema 2.2.3 Se lim
x→a
f(x) = b e lim
x→a
g(x) = c enta˜o:
a) lim
x→a
[f(x) + g(x)] = b+ c;
b) lim
x→a
[f(x)− g(x)] = b− c;
c) lim
x→a
[f(x)g(x)] = b c;
d) Se c 6= 0, lim
x→a
f(x)
g(x)
=
b
c
.
Teorema 2.2.4 Se lim
x→a
f(x) = 0 e g e´ uma func¸a˜o limitada numa vizinhanc¸a de a enta˜o
lim
x→a
[f(x)g(x)] = 0.
NOTA: O facto de g ser limitada e´ essencial. Por exemplo, se f(x) = x e g(x) =
1
x
,
lim
x→0
f(x)g(x) = 1 6= 0, o que na˜o contradiz o teorema, visto g na˜o ser limitada.
Teorema 2.2.5 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se
lim
x→a
g(x) = b e lim
x→b
f(x) = c enta˜o lim
x→a
(f ◦ g)(x) = c.
2.2 Limites. Limites relativos 19
Definic¸a˜o 2.2.6 Sejam f : D ⊂ R → R e B um subconjunto pro´prio de D (isto e´,
B ⊂ D e B 6= D). Suponhamos que a e´ um ponto aderente a B. Diz-se que f tem limite
b, quando x tende para a, segundo B, ou que b e´ o limite relativo a B de f quando x
tende para a, se o limite da restric¸a˜o de f a B quando x tende para a e´ b. Designa-se
este limite por
lim
x → a
x ∈ B
f(x) = b ou lim
x→a, x∈B
f(x) = b.
Sa˜o importantes os limites relativos que se seguem:
1. B = D \ {a}. Diz-se enta˜o que f(x) tende para b quando x tende para a por
valores diferentes de a:
lim
x → a
x 6= a
f(x) = b.
2. B = {x : x ∈ D ∧ x < a}. Neste caso escreve-se
lim
x → a
x < a
f(x) = b ou lim
x→a−
f(x) = b ou f(a−) = b
e diz-se limite a` esquerda de f no ponto a.
3. B = {x : x ∈ D ∧ x > a}. Neste caso escreve-se
lim
x → a
x > a
f(x) = b ou lim
x→a+
f(x) = b ou f(a+) = b
e diz-se limite a` direita de f no ponto a.
Os limites a` esquerda e a` direita recebem a designac¸a˜o comum de limites laterais.
Para se poderem definir estes limites, o ponto a tem que ser ponto de acumulac¸a˜o de B.
NOTAS:
1. lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = b ⇔ lim
x → a
x 6= a
f(x) = b. Mas pode existir so´ um dos limites
laterais (ou os dois com valores distintos) sem que exista lim
x → a
x 6= a
f(x).
2. lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = b na˜o implica que lim
x→a
f(x) = b a na˜o ser que f(a) = b. No
exemplo da pa´gina 17, f(0−) = f(0+) = 0 e f(0) = 1.
3. lim
x → a
x 6= a
f(x) na˜o se distingue de lim
x→a
f(x) quando a 6∈ D, devendo enta˜o a ser ponto
de acumulac¸a˜o de D.
20 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por
f(x) =
{
0, se x < 2
1, se x ≥ 2
(ver Figura 2.4)
Figura 2.4
Verifica-se que lim
x→2−
f(x) = 0 e lim
x→2+
f(x) = 1. Portanto, lim
x → 2
x 6= 2
f(x) na˜o existe, e
consequentemente, tambe´m na˜o existelim
x→2
f(x).
Se a < 2 enta˜o lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = lim
x→a
f(x) = lim
x → a
x 6= a
f(x) = 0.
Se a > 2 enta˜o lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = lim
x→a
f(x) = lim
x → a
x 6= a
f(x) = 1.
EXEMPLO 2: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por
f(x) =
{ |x− 4|, se x 6= 4
2, se x = 4
(ver Figura 2.5)
Figura 2.5
2.2 Limites. Limites relativos 21
Verifica-se que lim
x→4−
f(x) = 0 e lim
x→4+
f(x) = 0. Portanto, lim
x → 4
x 6= 4
f(x) = 0, mas na˜o
existe lim
x→4
f(x) porque f(4) = 2 6= 0.
EXEMPLO 3: Em R temos:
a) lim
x→a−
1
x− a = −∞ e limx→a+
1
x− a = +∞; limx→a
1
x− a na˜o existe.
b) lim
x→a−
1
(x− a)2 = +∞ e limx→a+
1
(x− a)2 = +∞; limx→a
1
(x− a)2 = +∞.
c) lim
x→+∞
1
x
= 0 = lim
x→−∞
1
x
.
d) lim
x→0+
(1 + x)
1
x = lim
y→+∞
(
1 +
1
y
)y
= e.
Teorema 2.2.6 Seja f : D ⊂ R → R uma func¸a˜o mono´tona limitada. Enta˜o existem os
limites laterais f(a−) e f(a+) em todo o ponto a onde esses limites possam ser definidos.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos, por exemplo, que f e´ crescente. Seja
A = {x : x ∈ D ∧ x < a}.
Se a ∈ A queremos provar que existe f(a−), isto e´, queremos provar que existe um
b ∈ R tal que ∀δ > 0 ∃ε > 0 |x−a| < ε ∧ x < a⇒ |f(x)−b| < δ. Como, por hipo´tese, f
e´ limitada, isto e´, f(D) e´ um conjunto limitado e A ⊂ D, temos que f(A) e´ um conjunto
limitado. Pelo Teorema 1.1.2, f(A) tem supremo. Seja b = sup f(A) = sup
x∈A
f(x). Pelo
Teorema 1.1.3,
∀δ > 0 ∃x0 ∈ A : f(x0) > b− δ.
Como f e´ crescente
f(x) ≥ f(x0) > b− δ ∀x ∈]x0, a[ ∩A.
Podemos enta˜o escrever
|f(x)− b| < δ ∀x : x ∈ A ∧ |x− a| < a− x0.
Fazendo ε = a− x0, conclu´ımos que
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ A ∧ |x− a| < ε⇒ |f(x)− b| < δ,
isto e´, lim
x→a−
f(x) = b.
Para provar que existe f(a+) considera-se o inf
x ∈ D
x > a
f(x) e conclui-se que f(a+) =
inf
x ∈ D
x > a
f(x).
22 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
Teorema 2.2.7 E´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que f tenha limite finito no ponto
a que
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ Vε(a) |f(x)− f(y)| < δ.
2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 23
2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ı-
nuas. Teorema de Bolzano
Definic¸a˜o 2.3.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Diz-se que f e´ cont´ınua em a se
existir lim
x→a
f(x).
Como vimos anteriormente, o facto de a ∈ D implica que lim
x→a
f(x) = f(a). Podemos
escrever f e´ cont´ınua em a se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ |f(x)− f(a)| < δ,
ou, em termos de vizinhanc¸as
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a) ∩D ⇒ f(x) ∈ Vδ(f(a)).
Os pontos em que uma func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua dizem-se pontos de descontinuidade.
Definic¸a˜o 2.3.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D.
a) f e´ cont´ınua a` esquerda em a se f(a−) = lim
x→a−
f(x) = f(a).
b) f e´ cont´ınua a` direita em a se f(a+) = lim
x→a+
f(x) = f(a).
NOTAS:
1. Se f for cont´ınua a` esquerda e a` direita no ponto a enta˜o f e´ cont´ınua em a.
2. Se a for um ponto isolado, resulta da definic¸a˜o que f e´ cont´ınua em a.
Teorema 2.3.1 Toda a func¸a˜o constante e´ cont´ınua em todos os pontos do seu domı´nio.
Do Teorema 2.2.3, conclui-se facilmente:
Teorema 2.3.2 Se f e g sa˜o cont´ınuas no ponto a enta˜o f + g, f − g e fg sa˜o cont´ınuas
nesse ponto; se g(a) 6= 0 enta˜o tambe´m f
g
e´ cont´ınua em a.
Analogamente, do Teorema 2.2.5 se deduz:
Teorema 2.3.3 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se g e´
cont´ınua no ponto t0 e f e´ cont´ınua no ponto x0 = g(t0), enta˜o f ◦ g e´ cont´ınua em t0.
Definic¸a˜o 2.3.3 Uma func¸a˜o f diz-se cont´ınua no conjunto B ⊂ D se e´ cont´ınua
em todos os pontos de B.
24 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
Teorema 2.3.4 (Teorema do valor interme´dio de Bolzano)
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua num intervalo I, a e b dois pontos de I tais que f(a) 6=
f(b). Enta˜o, qualquer que seja o nu´mero k estritamente compreendido entre f(a) e f(b),
existe pelo menos um ponto c, estritamente compreendido entre a e b, tal que f(c) = k.
Demonstrac¸a˜o: Podemos supor, sem perda de generalidade, que a < b. Consideremos o
intervalo [a, b]. Como f(a) 6= f(b) teremos f(a) < f(b) ou f(a) > f(b). Admitamos que
f(a) < f(b). Seja k tal que f(a) < k < f(b).
Seja o conjunto C = {x : x ∈ [a, b] ∧ f(x) < k}. Como f(a) < k, a ∈ C, pelo que
C 6= ∅. Visto que b e´ um majorante de C podemos afirmar, pelo Teorema 1.1.2 que existe
c = supC. Como C ⊂ [a, b], c ∈ [a, b]. Dado que f e´ cont´ınua em [a, b] e c e´ aderente a
C, existem todos os limites relativos tendo-se, em particular,
lim
x→c
f(x) = lim
x → c
x ∈ C
f(x) = f(c).
Mas se x ∈ C, f(x) < k, o que implica que lim
x→c
f(x) = lim
x → c
x ∈ C
f(x) ≤ k, donde
f(c) ≤ k (2.1)
Por outro lado, c e´ um ponto aderente a [a, b] \C. Como b ∈ [a, b] \C este conjunto e´
na˜o vazio e
lim
x→c
f(x) = lim
x → c
x ∈ [a, b] \ C
f(x) = f(c).
Mas se x ∈ [a, b] \ C, enta˜o f(x) ≥ k, o que implica que
lim
x→c
f(x) = lim
x → c
x ∈ [a, b] \ C
f(x) ≥ k,
donde
f(c) ≥ k. (2.2)
De (2.1) e (2.2) conclui-se que f(c) = k.
NOTA: Se f na˜o for cont´ınua em [a, b], pode existir k ∈ [f(a), f(b)] tal que 6 ∃c ∈ [a, b] :
f(c) = k (ver Figura 2.6).
EXEMPLO: Seja f(x) = x3 − x2 + x. Usando o teorema anterior podemos provar que
existe c tal que f(c) = 10. De facto, como f e´ cont´ınua em R podemos considerar a sua
restric¸a˜o ao intervalo [0, 3] e facilmente se verifica que f(0) = 0 < 10 < f(3) = 21.
2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 25
xba
f(a)
f(b)
k
y
Figura 2.6
Corola´rio 1 Se f e´ cont´ınua em [a, b] e f(a) · f(b) < 0, enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que
f(c) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Podemos supor, sem perda de generalidade, que f(a) < 0 e f(b) > 0.
Enta˜o f(a) < 0 < f(b). Como f e´ cont´ınua em [a, b], o teorema anterior permite afirmar
que ∃c ∈]a, b[: f(c) = 0.
Corola´rio 2 A imagem de um intervalo, por uma func¸a˜o cont´ınua, e´ tambe´m um inter-
valo.
Demonstrac¸a˜o: Seja f : I ⊂ R → R. Se f(x) = c, ∀x ∈ I, isto e´, se f e´ constante, o seu
contradomı´nio reduz-se a um ponto, intervalo do tipo [c, c], na˜o havendo, portanto, nada
mais a provar.
Como facilmente se verifica, um conjunto J que contenha, pelo menos, dois pontos, e´
um intervalo se, e so´ se, verifica a propriedade:
α, β ∈ J ∧ α < β =⇒ [α, β] ⊂ J
que e´ ainda equivalente a:
α, β ∈ J ∧ α < k < β =⇒ k ∈ J.
Suponhamos que f na˜o e´ constante, que α, β ∈ f(I) e α < k < β; por definic¸a˜o,
existem a, b ∈ I tais que α = f(a) < k < f(b) = β. Pelo Teorema de Bolzano existe c,
estritamente compreendido entre a e b (portanto, c ∈ I), tal que f(c) = k, isto e´, k ∈ f(I).
NOTA: O intervalo f(I) pode ser de tipo diferente do intervalo I como se pode ver nos
seguintes exemplos:
26 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
1) f :]−∞,+∞[→ [−1, 1], f(x) = sen(x)
2) f :]−∞,+∞[→]0, 1], f(x) = 1
x2 + 1
3) f :]− pi
2
, pi
2
[→]−∞,+∞[, f(x) = tg(x)
Teorema 2.3.5 (Teorema de Weierstrass)
Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua num intervalo fechado e limitado I, enta˜o f(I) e´ tambe´m
um intervalo fechado e limitado.
Demonstrac¸a˜o: Pelo Corola´rio 2 do Teorema de Bolzano sabemos que f(I) e´ um intervalo.
Resta-nos enta˜o provar que e´ fechado e limitado. Dividimos a demonstrac¸a˜o em duas
partes.
2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 27
a) f(I) e´ limitado.
b) f(I) e´ fechado.
a) Suponhamos que f(I) na˜o e´ limitado. Enta˜o para cada n ∈ N existe xn ∈ I tal que
|f(xn)| ≥ n. Como I e´ limitado a sucessa˜o (xn) tambe´m e´ limitada, portanto, (xn) tem
uma subsucessa˜o (xnk) convergente (Teorema 1.3.10). Seja x = limn
f(xnk); x∈ I porque
I e´ fechado. Visto que f e´ cont´ınua, lim
n
f(xnk) = f(x), mas esta conclusa˜o e´ incompat´ıvel
com a suposic¸a˜o |f(xn)| ≥ n ∀n ∈ N (Teorema 1.3.4)
b) Temos de provar que existem x0 e x1 ∈ I tais que f(x0) = sup
x∈I
f(x) e f(x1) =
inf
x∈I
f(x).
Suponhamos que na˜o existe x0 ∈ I tal que f(x0) = sup
x∈I
f(x), isto e´, L = sup
x∈I
f(x) na˜o
e´ atingido. Enta˜o L− f(x) 6= 0, ∀x ∈ I. Portanto,
g(x) =
1
L− f(x)
e´ uma func¸a˜o cont´ınua em I. Prova´mos em a) que toda a func¸a˜o cont´ınua num intervalo
limitado e´ limitada o que implica que g e´ limitada.
Pelo Teorema 1.1.3 temos que
∀δ > 0 ∃c ∈ I : f(c) > L− δ
⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : L− f(c) < δ
⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : g(c) = 1
L− f(c) >
1
δ
o que contradiz o facto de g ser limitada. Analogamente, se prova a existeˆncia de x1 ∈ I
tal que f(x1) = inf
x∈I
f(x). Portanto, f(I) e´ fechado.
Corola´rio 1 Toda a func¸a˜o cont´ınua num intervalo fechado e limitado tem, nesse inter-
valo, um ma´ximo e um mı´nimo.
NOTAS:
1. Os dois resultados anteriores manteˆm-se va´lidos se substituirmos “intervalo fechado
limitado” por “conjunto fechado limitado na˜o vazio”.
2. A hipo´tese intervalo (ou conjunto) fechado e´ necessa´ria como se pode ver pelos
exemplos seguintes:
1) Seja f(x) = x. f e´ cont´ınua em ]− 1, 1[ e na˜o tem nesse intervalo ma´ximo nem
mı´nimo.
2) A func¸a˜o g(x) =
{ 1
x
, se x 6= 0
0, se x = 0
e´ cont´ınua em ]0, 1], mas na˜o tem ma´ximo
nesse intervalo.
28 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
3) A func¸a˜o h(x) =
1
x
sen
(
1
x
)
e´ cont´ınua em ]0, 1] e na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo
nesse intervalo.
Teorema 2.3.6 Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua e injectiva num intervalo I, enta˜o a func¸a˜o
inversa e´ tambe´m cont´ınua.
Definic¸a˜o 2.3.4 Sejam F e f duas func¸o˜es de domı´nios DF e Df , respectivamente. Diz-
-se que F e´ um prolongamento de f se Df ⊂ DF e F (x) = f(x), ∀x ∈ Df .
Definic¸a˜o 2.3.5 Seja a um ponto aderente a D (domı´nio de f). Diz-se que f e´ pro-
longa´vel por continuidade ao ponto a se existir um prolongamento F de f , com
domı´nio D ∪ {a}, sendo F cont´ınua em a.
Teorema 2.3.7 Para que uma func¸a˜o f seja prolonga´vel por continuidade ao ponto a, e´
necessa´rio e suficiente que tenha limite nesse ponto.
Existindo o limite, o prolongamento por continuidade e´ a func¸a˜o
g : Df ∪ {a} → R
g(x) =
{
f(x), se x ∈ Df
lim
x→a
f(x), se x = a
EXEMPLO: Consideremos a func¸a˜o f : R \ {0} → R definida por f(x) = sen(x)
x
(ver
Figura 2.7). Sabemos que lim
x→0
f(x) = 1.
Figura 2.7
Pelo teorema anterior f e´ prolonga´vel por continuidade ao ponto 0 e o prolongamento
e´ a func¸a˜o g : R → R definida por:
g(x) =
{
sen(x)
x
, se x 6= 0
1, se x = 0
Definic¸a˜o 2.3.6 Diz-se que f tem uma descontinuidade remov´ıvel no ponto a se
existir uma func¸a˜o g cont´ınua em a, que apenas difere de f em a.
2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 29
EXEMPLO: Seja
f(x) =


x2 − 2x− 3
x− 3 , se x 6= 3
3, se x = 3
Como lim
x → 3
x 6= 3
f(x) = 4, f tem uma descontinuidade remov´ıvel em x = 3. A func¸a˜o
g(x) =


x2 − 2x− 3
x− 3 , se x 6= 3
4, se x = 3
e´ cont´ınua no seu domı´nio.
30 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
2.4 Continuidade uniforme
Seja f uma func¸a˜o definida e cont´ınua em D ⊂ R. Por definic¸a˜o de continuidade sabemos
que para cada x0 ∈ D se tem
∀δ > 0 ∃ε > 0 x ∈ D ∧ |x− x0| < ε⇒ |f(x)− f(x0)| < δ.
Sabemos tambe´m que para um δ > 0 e x0 ∈ D o ε > 0 que existe na˜o e´ u´nico, pois se
0 < ε1 < ε enta˜o |x− x0| < ε1 ⇒ |x− x0| < ε e, portanto,
|x− x0| < ε1 ⇒ |f(x)− f(x0)| < δ.
Seja δ > 0 um nu´mero fixo. Consideremos o subconjunto de D formado pelos
pontos x1, x2, . . . , xk. Por definic¸a˜o de continuidade sabemos que existe um conjunto
{ε1, ε2, . . . , εk}, εi > 0, ∀i = 1, 2, . . . , k, tais que
x ∈ D ∧ |x− x1| < ε1 ⇒ |f(x)− f(x1)| < δ
x ∈ D ∧ |x− x2| < ε2 ⇒ |f(x)− f(x2)| < δ
...
x ∈ D ∧ |x− xk| < εk ⇒ |f(x)− f(xk)| < δ.
Dado que e´ finito, o conjunto {ε1, ε2, . . . , εk} tem mı´nimo ε > 0. Para este valor sa˜o
verdadeiras as implicac¸o˜es:
x ∈ D ∧ |x− xi| < ε⇒ |f(x)− f(xi)| < δ, i = 1, 2, . . . , k,
isto e´, conseguimos arranjar vizinhanc¸as “uniformes” (de amplitude 2ε) dos pontos x1,
x2, . . . , xk de tal modo que as imagens dos pontos dessas vizinhanc¸as esta˜o a uma distaˆncia
inferior a δ do f(xi) correspondente.
E se o conjunto dos pontos escolhido fosse infinito? Seria ainda poss´ıvel, dado δ > 0,
escolher um nu´mero ε > 0 nas condic¸o˜es anteriores? A resposta e´, em geral, negativa.
Vejamos um exemplo.
Seja f(x) =
1
x
e D =]0, 2[ (veja-se a Figura 2.8).
Figura 2.8
2.4 Continuidade uniforme 31
Figura 2.9
32 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
Consideremos o conjunto {xn : xn = 1
n
, n = 1, 2, 3, . . .} e seja δ > 0. Observando
a definic¸a˜o de limite, para cada n, o maior εn que podemos tomar e´ εn =
δ
n(n+ δ)
(Figura 2.9). Ora inf{εn : εn = δ
n(n+ δ)
} = 0, pelo que na˜o existe ε > 0 tal que
|x− xn| < ε⇒ |f(x)− f(xn)| < δ, n = 1, 2, 3, . . .
Conclu´ımos assim que dado δ > 0 na˜o podemos escolher ε > 0 que, na definic¸a˜o de
limite, seja va´lido simultaneamente para todos os xi, i = 1, 2, 3, . . ..
Definic¸a˜o 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f e´ uniformemente
cont´ınua em A se
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ A, |x− y| < ε⇒ |f(x)− f(y)| < δ.
EXEMPLO 1: A func¸a˜o f(x) = sen(x) e´ uniformemente cont´ınua em R, isto e´, e´ verda-
deira a proposic¸a˜o
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x− y| < ε⇒ |sen(x)− sen(y)| < δ.
De facto, sendo δ > 0 bastara´ escolher ε = δ e sabendo que |sen(x)| ≤ |x| ∀x ∈ R
temos:
|sen(x)− sen(y)| =
∣∣∣∣2 cos
(
x+ y
2
)
sen
(
x− y
2
)∣∣∣∣
= 2
∣∣∣∣cos
(
x+ y
2
)∣∣∣∣
∣∣∣∣sen
(
x− y
2
)∣∣∣∣
≤ 2
∣∣∣∣sen
(
x− y
2
)∣∣∣∣
≤ 2
∣∣∣∣x− y2
∣∣∣∣ = |x− y|.
EXEMPLO 2: A func¸a˜o f(x) =
1
x
na˜o e´ uniformemente cont´ınua em ]0, 2[, como vimos
atra´s.
EXEMPLO 3: A func¸a˜o f(x) = x2 (Figura 2.10) na˜o e´ uniformemente cont´ınua em R,
isto e´, e´ falsa a proposic¸a˜o
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x− y| < ε⇒ |x2 − y2| < δ.
Da igualdade |x2 − y2| = |x − y||x + y| podemos concluir que x e y podem estar ta˜o
pro´ximos quanto se queira e a diferenc¸a entre as suas imagens ser arbitrariamente grande
2.4 Continuidade uniforme 33
Figura 2.10
(basta pensar em pontos x e y cuja diferenc¸a seja sempre inferior a ε, mas que estejam
arbitrariamente longe da origem).
Os gra´ficos da Figura 2.11 procuram ilustrar esta situac¸a˜o.
Figura 2.11
34 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
EXEMPLO 4: Provemos, a partir da definic¸a˜o, que a func¸a˜o f(x) = 7 − x2 e´ uniforme-
mente cont´ınua em [−10, 1], isto e´, que e´ verdadeira a proposic¸a˜o
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ [−10, 1], |x− y| < ε⇒ |7− x2 − (7− y2)| < δ.
Seja δ > 0. Como
|7− x2 − (7− y2)| = | − x2 + y2| = |x− y||x+ y| ≤ 20|x− y|,
teremos
|x− y| < ε⇒ |7− x2 − (7− y2)| < δ
se ε <
δ
20
.
Definic¸a˜o 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f e´ lipschitziana em A
se
∃M > 0 : |f(x)− f(y)| ≤M |x− y|, ∀x, y ∈ A.
Teorema 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Se f e´ lipschitziana em A, enta˜o f e´
uniformemente cont´ınua em A.
Demonstrac¸a˜o: Usando a definic¸a˜o, basta tomar ε =
δ
M
.
EXEMPLO 1: A func¸a˜o f(x) = x2 e´ lipschitziana em [0, 1]. De facto,
|x2 − y2| = |x+ y| |x− y| ≤ (|x|+ |y|) |x− y| ≤ 2 |x− y| ∀x, y ∈ [0, 1].
A func¸a˜o e´ pois uniformemente cont´ınua em [0, 1]. Vimos atra´s que f(x) = x2 na˜o e´
uniformemente cont´ınua em R.
O facto da func¸a˜o ser uniformemente cont´ınua depende do conjunto. E´ claro que se
uma func¸a˜o for uniformementecont´ınua num conjunto C e´ uniformemente cont´ınua em
todos os subconjuntos de C.
EXEMPLO 2: Os ca´lculos efectuados atra´s permitem-nos concluir que f(x) = 7 − x2 e´
lipschitziana em [−10, 1].
Teorema 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. f e´ uniformemente cont´ınua em A se,
e so´ se, para quaisquer sucesso˜es (xn) e (yn) de elementos de A tais que lim
n
(xn− yn) = 0
se tem tambe´m lim
n
(f(xn)− f(yn)) = 0.
EXEMPLO 1: Consideremos novamente a func¸a˜o f(x) =
1
x
no intervalo ]0, 1]. Sejam
xn =
1
n
e yn =
1
2n
, n ∈ N. Sa˜o sucesso˜es de elementos do intervalo ]0, 1] e lim(xn − yn)
2.4 Continuidade uniforme 35
= lim
(
1
n
− 1
2n
)
= lim
1
2n
= 0. No entanto, lim(f(xn) − f(yn)) = lim(n − 2n) =
lim(−n) = −∞, o que implica, pelo teorema anterior, que f na˜o e´ uniformemente cont´ınua
no intervalo considerado.
EXEMPLO 2: Seja f(x) = x2. Considerando as sucesso˜es de nu´meros reais xn =
√
n+ 1
e yn =
√
n temos
lim(xn − yn) = lim(
√
n+ 1−√n)
= lim
(
√
n+ 1−√n)(√n+ 1 +√n)
(
√
n+ 1 +
√
n)
= lim
n+ 1− n√
n+ 1 +
√
n
= 0
e
lim(f(xn)− f(yn)) = lim
(
(
√
n+ 1)2 − (√n)2)
= lim (n+ 1− n) = 1,
portanto, f na˜o e´ uniformemente cont´ınua em R como t´ınhamos visto.
E´ evidente que se f e´ uniformemente cont´ınua em A enta˜o a restric¸a˜o de f a A e´
cont´ınua em A. A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira, tendo-se, no entanto, o seguinte teorema:
Teorema 2.4.3 (Teorema de Cantor)
Toda a func¸a˜o cont´ınua num conjunto fechado limitado e´ uniformemente cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que f e´ cont´ınua, mas na˜o uniformemente cont´ınua, em X,
fechado limitado. Sendo falsa a proposic¸a˜o
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ X, |x− y| < ε⇒ |f(x)− f(y)| < δ
podemos afirmar que existe δ > 0 tal que, para qualquer ε > 0, existem x, y ∈ X, para
os quais se verifica
|x− y| < ε ∧ |f(x)− f(y)| ≥ δ.
Fixemos ε nos valores ε1 = 1, ε2 =
1
2
, . . . , εn =
1
n
. Teremos enta˜o
∃x1, y1 ∈ X : |x1 − y1| < 1⇒ |f(x1)− f(y1)| ≥ δ
∃x2, y2 ∈ X : |x2 − y2| < 12 ⇒ |f(x2)− f(y2)| ≥ δ
. . .
∃xn, yn ∈ X : |x2 − y2| < 1n ⇒ |f(xn)− f(yn)| ≥ δ.
Como (xn) e´ uma sucessa˜o de elementos de X e este conjunto e´ limitado podemos
concluir que (xn) e´ limitada. Pelo Teorema 1.3.10, (xn) tem uma subsucessa˜o (xnk)
36 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade
convergente para um certo x ∈ R; ale´m disso, x ∈ X porqueX e´ fechado. Mas |xnk−ynk | <
1
nk
, o que implica que ynk → x. Como f e´ cont´ınua em X temos
lim f(xnk) = lim f(ynk) = f(x),
o que implica que
lim (f(xnk)− f(ynk)) = 0,
o que contradiz
|f(xnk)− f(ynk)| ≥ δ > 0.
EXEMPLO: Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em R. Provemos que f e´ uniformemente
cont´ınua em todo o subconjunto limitado de R.
Seja A ⊂ R um conjunto limitado. Se A for fechado, estamos nas condic¸o˜es do Teorema
de Cantor. Suponhamos que A na˜o e´ fechado e l = inf(A) e L = sup(A). Consideremos o
intervalo [l, L]. E´ um subconjunto fechado limitado de R. Como f e´ cont´ınua em R, f e´
cont´ınua em [l, L]. Pelo Teorema de Cantor, f e´ uniformemente cont´ınua nesse intervalo,
sendo, portanto, uniformemente cont´ınua em A ⊂ [l, L].
Cap´ıtulo 3
Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real:
Ca´lculo Diferencial
3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada
de f no ponto a ao limite, se existir (em R),
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
ou, fazendo x− a = h, lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
·
Designa-se a derivada de f no ponto a por f ′(a) ou
df
dx
(a). Se f tem derivada finita no
ponto a, diz-se que f e´ diferencia´vel em a.
Designando por P e Qi, i = 1, 2, 3, 4, respectivamente, os pontos do gra´fico de f que
teˆm abcissas a e xi, a raza˜o
f(xi)− f(a)
xi − a
e´ o declive da recta PQi, secante ao gra´fico de f (veja-se a Figura 3.1).
Se f e´ diferencia´vel no ponto a, chama-se tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a))
a` recta que passa por este ponto e tem declive igual a f ′(a); a recta tangente tera´ enta˜o
a equac¸a˜o:
y = f(a) + f ′(a)(x− a).
Definic¸a˜o 3.1.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada
a` esquerda de f no ponto a ao limite, se existir (em R),
lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a
38 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
Figura 3.1: Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada.
ou, fazendo x− a = h,
lim
h→0−
f(a+ h)− f(a)
h
,
e designa-se por f ′(a−).
Chama-se derivada a` direita de f no ponto a ao limite, se existir (em R),
lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a
ou, fazendo x− a = h,
lim
h→0+
f(a+ h)− f(a)
h
,
e designa-se por f ′(a+).
NOTA: E´ evidente que f ′(a) existe se, e so´ se, existem e sa˜o iguais f ′(a+) e f ′(a−).
EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por
f(x) = |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
cujo gra´fico se apresenta na Figura 3.2.
f ′(0+) = lim
x→0+
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0+
x
x
= 1;
f ′(0−) = lim
x→0−
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0−
−x
x
= −1.
Como f ′(0+) 6= f ′(0−), f na˜o tem derivada no ponto 0.
3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. 39
Figura 3.2
EXEMPLO 2: A func¸a˜o f : R → R definida por
f(x) =
{
x sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
na˜o tem derivadas laterais em x = 0 (ver Figura 3.3). De facto, a func¸a˜o definida por
f(x)− f(0)
x− 0 =
x sen
(
1
x
)
x
= sen
(
1
x
)
na˜o tem limite quando x→ 0, na˜o existindo sequer limites laterais.
Figura 3.3
EXEMPLO 3: A func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = 3√x (ver Figura 3.4) tem derivada
+∞ em x = 0, pois
40 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
f ′(0+) = lim
x→0+
3
√
x
x
= lim
x→0+
3
√
x
x3
= lim
x→0+
1
3
√
x2
= +∞
f ′(0−) = lim
x→0−
3
√
x
x
= lim
x→0−
3
√
x
x3
= lim
x→0−
1
3
√
x2
= +∞
f na˜o e´, pois, diferencia´vel em 0.
Figura 3.4
EXEMPLO 4: A func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = 3√x2, e cujo gra´fico se apresenta
na Figura 3.5, na˜o tem derivada em 0. De facto,
f ′(0+) = lim
x→0+
3
√
x2
x
= lim
x→0+
3
√
x2
x3
= lim
x→0+
1
3
√
x
= +∞
f ′(0−) = lim
x→0−
3
√
x2
x
= lim
x→0−
3
√
x2
x3
= lim
x→0−
1
3
√
x
= −∞
Figura 3.5
3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. 41
Teorema 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Se f e´ diferencia´vel
no ponto a, enta˜o f e´ cont´ınua em a.
Demonstrac¸a˜o: Podemos escrever f(x) = f(a) + (x− a) f(x)− f(a)
x− a ∀x ∈ D \ {a}.
Enta˜o
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
(
f(a) + (x− a) f(x)− f(a)
x− a
)
= f(a) + 0.f ′(a) = f(a),
ou seja, f e´ cont´ınua no ponto a.
NOTAS:
1. Uma func¸a˜o pode ser cont´ınua num dado ponto e na˜o ter derivada nesse ponto (ver
o exemplo anterior).
2. Se a derivada for infinita, a func¸a˜o pode na˜o ser cont´ınua.
Teorema 3.1.2 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em a, enta˜o f + g e f · g sa˜o func¸o˜es
diferencia´veis em a, e
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)
(f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a).
Se, ale´m disso, g(a) 6= 0, enta˜o f/g e´ diferencia´vel em a e(
f
g
)′
(a) =
f ′(a) · g(a)− f(a) · g′(a)
(g(a))2
.
Demonstrac¸a˜o: Sendo finitas as derivadas f ′(a) e g′(a), teremos no caso da soma:
(f + g)′(a) = lim
x→a
(f + g)(x)− (f + g)(a)
x− a
= lim
x→a
f(x) + g(x)− f(a)− g(a)
x− a
= lim
x→a
(
f(x)− f(a)
x− a +
g(x)− g(a)
x− a
)
= lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a + limx→a
g(x)− g(a)
x− a
= f ′(a) + g′(a)
o que mostra que f + g e´ diferencia´vel em a.
42 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
Para o produto, temos
(f · g)′(a) = lim
x→a
(f · g)(x)− (f · g)(a)
x− a
= lim
x→a
f(x) · g(x)− f(a) · g(a)
x− a
= lim
x→af(x) · g(x)− f(a) · g(x) + f(a) · g(x)− f(a) · g(a)
x− a
= lim
x→a
(f(x)− f(a)) · g(x) + f(a) · (g(x)− g(a))
x− a
= lim
x→a
(
g(x) · f(x)− f(a)
x− a + f(a) ·
g(x)− g(a)
x− a
)
= lim
x→a
g(x) · lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a + f(a) · limx→a
g(x)− g(a)
x− a
= g(a) · f ′(a) + f(a) · g′(a)
onde se usou o facto de a diferenciabilidade de g em a implicar a sua continuidade no
mesmo ponto.
Finalmente, para o quociente podemos comec¸ar por considerar o caso particular de f
ser a func¸a˜o constante com o valor 1 em todos os pontos do seu domı´nio. Obtemos enta˜o:
(
1
g
)′
(a) = lim
x→a
(
1
g
)
(x)−
(
1
g
)
(a)
x− a = limx→a
1
g(x)
− 1
g(a)
x− a
= lim
x→a
g(a)− g(x)
g(x) · g(a)
x− a = limx→a
g(x)− g(a)
x− a ·
(
− 1
g(x) · g(a)
)
= − 1
g(a)
· lim
x→a
1
g(x)
· lim
x→a
g(x)− g(a)
x− a = −
1
g(a)
· 1
g(a)
· g′(a)
= − g
′(a)
(g(a))2
.
Portanto, notando que
f
g
= f · 1
g
, temos:
3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. 43
(
f
g
)′
(a) = f ′(a) ·
(
1
g
)
(a) + f(a) ·
(
1
g
)′
(a)
=
f ′(a) · g(a)− f(a) · g′(a)
(g(a))2
.
Corola´rio 1 Se f1, f2, . . . , fp sa˜o func¸o˜es diferencia´veis no ponto a, a sua soma e o seu
produto tambe´m o sa˜o e verificam-se as igualdades:
(f1 + f2 + · · ·+ fp)′(a) = f ′1(a) + f ′2(a) + · · ·+ f ′p(a)
(f1 · f2 · · · fp)′(a) =
p∑
i=1
f1(a) · · · f ′i(a) · · · fp(a).
Em particular, se p ∈ N e f e´ diferencia´vel em a tambe´m o e´ a func¸a˜o h(x) = (f(x))p
e tem-se
h′(a) = p · (f(a))p−1 · f ′(a).
Teorema 3.1.3 Se g : E → R e´ diferencia´vel no ponto a e f : D → R e´ diferencia´vel no
ponto b = g(a), enta˜o f ◦ g e´ diferencia´vel em a e
(f ◦ g)′(a) = f ′(b) · g′(a) = f ′(g(a)) · g′(a).
Teorema 3.1.4 Sejam I um intervalo, f : I → R uma func¸a˜o estritamente mono´tona e
cont´ınua, g : J = f(I) → R a sua inversa. Se f e´ diferencia´vel no ponto a e f ′(a) 6= 0,
enta˜o g e´ diferencia´vel em b = f(a) e
g′(b) =
1
f ′(a)
=
1
f ′(g(b))
.
EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o g(x) = arc sen(x), func¸a˜o inversa da func¸a˜o f(x) =
sen(x) no intervalo [−pi
2
, pi
2
]. Teremos enta˜o
g′(x) =
1
f ′(g(x))
=
1
cos(g(x))
=
1
cos(arc sen(x))
=
1√
1− sen2(arc sen(x)) =
1√
1− x2 .
EXEMPLO 2: Consideremos a func¸a˜o g(x) = arc cos(x), func¸a˜o inversa da func¸a˜o f(x) =
cos(x) no intervalo [0, pi]. Teremos enta˜o
g′(x) =
1
f ′(g(x))
= − 1
sen(g(x))
= − 1
sen(arc cos(x))
= − 1√
1− cos2(arc cos(x)) = −
1√
1− x2 .
44 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
De forma ana´loga se pode mostrar que
(arc tg(x))′ =
1
1 + x2
e
(arc cotg(x))′ = − 1
1 + x2
.
Se f : D ⊂ R → R e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em todos os pontos de A ⊂ D, podemos
definir a func¸a˜o que a cada x de A faz corresponder f ′(x). Obtemos, assim, uma nova
func¸a˜o, de domı´nio A, que representamos por f ′ e a que chamamos func¸a˜o derivada (ou
apenas derivada) de f em A.
De modo ana´logo, se f ′ for diferencia´vel em A, definimos f ′′ = (f ′)′ (segunda derivada);
se f ′′ for diferencia´vel em A, definimos f ′′′ = (f ′′)′, . . . se f (n−1) (derivada de ordem n−1)
for diferencia´vel em A, definimos f (n) = (f (n−1))′, derivada de ordem n de f em A.
Definic¸a˜o 3.1.3 Se f ′ for cont´ınua em A, dizemos que f e´ de classe C1 em A e
representamos por f ∈ C1(A).
Se n ∈ N e f (n) e´ cont´ınua em A, dizemos que f e´ de classe Cn em A e representamos
por f ∈ Cn(A).
Se f ∈ Cn(A), ∀n ∈ N, dizemos que f e´ de classe C∞ e representamos por f ∈
C∞(A).
EXEMPLO 1: As func¸o˜es f(x) = cos(x), g(x) = sen(x) e h(x) = ex sa˜o de classe C∞ em
R.
EXEMPLO 2: A func¸a˜o
f(x) =

 x
2 sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
e´ diferencia´vel em R,
f ′(x) =

 2x sen
(
1
x
)
− cos
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
e f ′ na˜o e´ cont´ınua em 0. Temos, assim, f /∈ C1(R).
EXEMPLO 3: Se f (n)(x) e g(n)(x) existem, tem-se obviamente,
(f + g)(n)(x) = f (n)(x) + g(n)(x).
3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. 45
EXEMPLO 4: A derivada de ordem n do produto de duas func¸o˜es obte´m-se pela fo´rmula
de Leibnitz:
(f g)(n)(x) =
n∑
p=0
nCp f
(p)(x) g(n−p)(x),
onde se convenciona f (0)(x) = f(x). A demonstrac¸a˜o desta propriedade faz-se facilmente,
por induc¸a˜o em n, usando a regra de derivac¸a˜o do produto.
Definic¸a˜o 3.1.4 Seja f : D ⊂ R → R, diferencia´vel num ponto a interior a D. Chama-
se diferencial da func¸a˜o f no ponto a a` aplicac¸a˜o linear df(a) : R → R dada por
df(a)(h) = f ′(a) · h.
Teorema 3.1.5 Sejam f e g duas func¸o˜es diferencia´veis. Enta˜o:
a) d(f + g) = df + dg
b) d(f g) = g df + f dg
c) d(fn) = n fn−1 df
d) d(
f
g
) =
g df − f dg
g2
e) d((g ◦ f)(x)) = g′(f(x)) · df(x)
46 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, La-
grange e Cauchy.
Definic¸a˜o 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R.
a) Diz-se que f tem um mı´nimo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f(a) e´ um
mı´nimo local, ou relativo, de f) se existir uma vizinhanc¸a V de a tal que f(x) ≥
f(a), ∀x ∈ V ∩D.
b) Diz-se que f tem um ma´ximo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f(a) e´ um
ma´ximo local, ou relativo, de f) se existir uma vizinhanc¸a V de a tal que f(x) ≤
f(a), ∀x ∈ V ∩D.
Aos ma´ximos e mı´nimos relativos da´-se a designac¸a˜o comum de extremos relativos
(ver Figura 3.6).
Figura 3.6: Extremos relativos.
Teorema 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R. Se f(a) for mı´nimo relativo e existirem derivadas
laterais em a, enta˜o f ′(a−) ≤ 0 e f ′(a+) ≥ 0. Se f for diferencia´vel em a, enta˜o f ′(a) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Se f(a) e´ um mı´nimo relativo enta˜o, por definic¸a˜o, ∃ε > 0 : f(x) ≥ f(a)
∀x ∈ Vε(a) ∩ D. Mas
f(x)− f(a)
x− a ≤ 0 ∀x ∈]a− ε, a[ ∩ D,
o que implica que
lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a ≤ 0,
isto e´, f ′(a−) ≤ 0.
3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 47
Analogamente,
f(x)− f(a)
x− a ≥ 0 ∀x ∈]a, a+ ε[ ∩ D,
o que implica que
lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a ≥ 0,
isto e´, f ′(a+) ≥ 0.
Teorema 3.2.2 Se f(a) for ma´ximo relativo e existirem derivadas laterais em a, enta˜o
f ′(a−) ≥ 0 e f ′(a+) ≤ 0. Se f for diferencia´vel em a, enta˜o f ′(a) = 0.
NOTA: Se f e´ diferencia´vel, a condic¸a˜o f ′(a) = 0 e´ necessa´ria, mas na˜o suficiente para
que f tenha um extremo em a. Consideremos, por exemplo, a func¸a˜o f(x) = x3; f ′(0) = 0
e f na˜o tem extremo em 0.
Teorema 3.2.3 (Teorema de Rolle)
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferencia´vel em
]a, b[. Se f(a) = f(b), enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Pelo Teorema de Weierstrass, a func¸a˜o f , cont´ınua no intervalo [a, b], tem
ma´ximo M e mı´nimo m neste intervalo. Se M = m enta˜o f e´ constante em [a, b] e,
portanto, f ′(x) = 0 ∀x ∈]a, b[, na˜o havendo mais nada a provar.
Se M 6= m, a hipo´tese f(a) = f(b) implica que ou o ma´ximo ou o mı´nimo e´ atingido
num ponto c ∈]a, b[. Enta˜o, pelos teoremas anteriores, f ′(c) = 0.
Geometricamente, o teorema afirma que na representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o ha´ pelo
menos um ponto em que a tangente e´ paralela ao eixo dos xx (ver Figura 3.7).
Figura 3.7: Interpretac¸a˜o geome´trica do Teorema de Rolle.
Corola´rio 1 Entre dois zeros de uma func¸a˜o diferencia´vel num intervalo ha´, pelo menos,
um zero da sua derivada.
48 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
Corola´rio 2 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma func¸a˜o diferencia´vel num
intervalo existe, no ma´ximo, um zero da func¸a˜o.
Teorema 3.2.4 (Teorema de Darboux)
Seja I ⊂ R um intervalo aberto, f : I → R uma func¸a˜o diferencia´vel em I. Se
existirem a, b ∈ I, a < b, taisque f ′(a) 6= f ′(b) enta˜o, para todo o k entre f ′(a) e f ′(b),
existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = k.
Demonstrac¸a˜o: Comec¸amos por fazer a demonstrac¸a˜o num caso especial e, usando este,
passaremos ao caso geral.
Suponhamos que
f ′(a) < k = 0 < f ′(b). (3.1)
Como f e´ diferencia´vel em I, e´ cont´ınua em I, pelo que e´ cont´ınua em [a, b] e, portanto,
f tem um ponto de mı´nimo em [a, b]. Visto que f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a < 0, existe
ε1 > 0 tal que
f(x)− f(a)
x− a < 0, ∀x ∈]a, a + ε1[, pelo que f(x) < f(a), ∀x ∈]a, a + ε1[.
Analogamente se mostra que existe ε2 > 0 tal que f(x) < f(b), ∀x ∈]b−ε2, b[. Conclui-se,
assim, que nem a nem b sa˜o ponto de mı´nimo de f em [a, b], isto e´, existe c ∈]a, b[ onde f
atinge o seu mı´nimo em [a, b]; como f e´ diferencia´vel, f ′(c) = 0. Fica assim demonstrado
o teorema no caso especial de (3.1).
Obviamente, a demonstrac¸a˜o no caso
f ′(a) > k = 0 > f ′(b) (3.2)
seria semelhante (mostrar-se-ia, neste caso, que existe um ponto de ma´ximo diferente de
a e b).
Passemos ao caso geral. Suponhamos que
f ′(a) < k < f ′(b). (3.3)
A func¸a˜o g(x) = f(x)−kx e´ diferencia´vel em I (g′(x) = f ′(x)−k) e g′(a) = f ′(a)−k <
0 < f ′(b)−k; estamos assim nas condic¸o˜es do caso (3.1): existe c ∈]a, b[ tal que g ′(c) = 0,
isto e´, f ′(c) = k.
O caso
f ′(a) > k > f ′(b) (3.4)
resolve-se com a mesma te´cnica, usando (3.2).
3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 49
NOTAS:
1. Apenas com a condic¸a˜o de diferenciabilidade no intervalo (na˜o se pede que a derivada
seja cont´ınua!), mostra-se que a derivada verifica uma propriedade semelhante a` do
Teorema de Bolzano.
2. A derivada pode na˜o ser cont´ınua. Por exemplo, a func¸a˜o:
f(x) =

 x2 sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
e´ diferencia´vel em R:
f ′(x) =

 2 x sen
(
1
x
)
− cos
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
e f ′ na˜o e´ cont´ınua em 0.
Teorema 3.2.5 (Teorema de Lagrange)
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferencia´vel em
]a, b[. Enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a .
Demonstrac¸a˜o: A func¸a˜o
ϕ(x) = f(x)− f(b)− f(a)
b− a x
e´ cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em ]a, b[. Ale´m disso, ϕ(a) = ϕ(b). Pelo Teorema de
Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′(c) = 0. Mas
ϕ′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)
b− a ,
o que implica
ϕ′(c) = 0⇔ f ′(c)− f(b)− f(a)
b− a = 0⇔ f
′(c) =
f(b)− f(a)
b− a .
Geometricamente, o teorema anterior afirma que na representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o
ha´ pelo menos um ponto em que a tangente e´ paralela a` corda que une os pontos (a, f(a))
e (b, f(b)) (ver Figura 3.8).
NOTA: O Teorema de Rolle e´ um caso particular deste teorema. Trata-se do caso em
que f(a) = f(b).
50 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
Figura 3.8: Interpretac¸a˜o geome´trica do Teorema de Lagrange.
Corola´rio 1 Se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo, enta˜o e´ cons-
tante nesse intervalo.
Corola´rio 2 Se f e g sa˜o duas func¸o˜es diferencia´veis num intervalo I e se f ′(x) =
g′(x), ∀x ∈ I, enta˜o a diferenc¸a f − g e´ constante em I.
Corola´rio 3 Se I e´ um intervalo e f ′(x) ≥ 0 (respectivamente, f ′(x) ≤ 0), ∀x ∈ I,
enta˜o f e´ crescente (respectivamente, decrescente) em I; se f ′(x) > 0 (respectivamente,
f ′(x) < 0) ∀x ∈ I, enta˜o f e´ estritamente crescente (respectivamente, decrescente) em I.
Teorema 3.2.6 (Teorema do valor me´dio de Cauchy)
Se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em [a, b], diferencia´veis em ]a, b[ e g ′(x) na˜o se anula
em ]a, b[, enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que
f ′(c)
g′(c)
=
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) .
Demonstrac¸a˜o: Consideremos a func¸a˜o
ϕ(x) = f(x)− f(b)− f(a)
g(b)− g(a) g(x).
Pelo Teorema de Rolle, g(a) 6= g(b) visto que g′(x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[, pelo que ϕ esta´ bem
definida; ale´m disso, ϕ e´ cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em ]a, b[. Como ϕ(a) = ϕ(b),
pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′(c) = 0. Mas
ϕ′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)
g(b)− g(a) g
′(x)
o que implica
ϕ′(c) = 0⇔ f ′(c)− f(b)− f(a)
g(b)− g(a) g
′(c) = 0⇔ f ′(c) = f(b)− f(a)
g(b)− g(a) g
′(c).
3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 51
Como g′(x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[ e c ∈]a, b[ temos
f ′(c)
g′(c)
=
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) .
NOTA: O Teorema de Lagrange e´ um caso particular deste teorema com g(x) = x.
52 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
3.3 Indeterminac¸o˜es
A partir do Teorema de Cauchy pode-se demonstrar a seguinte regra que e´ muito usada
no ca´lculo do limite de um quociente
f
g
quando assume a forma
0
0
ou
∞
∞ .
Teorema 3.3.1 (Regra de Cauchy)
Sejam f e g duas func¸o˜es diferencia´veis em ]a, b[ (a < b) tais que
a) g′(x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[,
b) lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0 ou lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = +∞;
enta˜o, se existir lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
, tambe´m existe lim
x→a
f(x)
g(x)
e estes limites sa˜o iguais.
Corola´rio 1 Sejam I um intervalo aberto, c ∈ I, f e g duas func¸o˜es diferencia´veis em
I \ {c}. Se g′(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {c}, e lim
x→c
f(x) = lim
x→c
g(x) = 0 ou lim
x→c
f(x) = lim
x→c
g(x) =
+∞, enta˜o
lim
x→c
x6=c
f(x)
g(x)
= lim
x→c
x6=c
f ′(x)
g′(x)
sempre que o segundo limite exista (em R).
NOTA: Conve´m notar que pode existir lim
x→a
f(x)
g(x)
e na˜o existir lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
. E´ o que
acontece com as func¸o˜es
f(x) = x2 cos
(
1
x
)
, g(x) = x.
De facto, lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
x cos
(
1
x
)
= 0 e
f ′(x)
g′(x)
= 2x cos
(
1
x
)
+ sen
(
1
x
)
pelo que na˜o
existe lim
x→0
f ′(x)
g′(x)
.
EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o h definida por
sen(x)
x
. Ao calcular lim
x→0
h(x) en-
contramos a indeterminac¸a˜o
0
0
. Sendo f(x) = sen(x) e g(x) = x, estamos nas condic¸o˜es
da regra de Cauchy. Como
lim
x→0
f ′(x)
g′(x)
= lim
x→0
cos(x) = 1,
podemos concluir que lim
x→0
h(x) = 1.
3.3 Indeterminac¸o˜es 53
EXEMPLO 2: Seja h(x) =
ex − 1
x
. No ca´lculo de lim
x→0
ex − 1
x
surge a indeterminac¸a˜o
0
0
.
Tomando f(x) = ex − 1 e g(x) = x estamos nas condic¸o˜es da regra de Cauchy. Como
lim
x→0
(ex − 1)′
(x)′
= lim
x→0
ex = 1
podemos concluir que lim
x→0
ex − 1
x
= 1.
EXEMPLO 3: Ao calcular lim
x→pi
2
h(x) = lim
x→pi
2
tg(x)− 5
sec(x) + 4
obtemos a indeterminac¸a˜o
∞
∞·
Considerando f(x) = tg(x) − 5 e g(x) = sec(x) + 4, estamos nas condic¸o˜es da regra de
Cauchy. Como
lim
x→pi
2
f ′(x)
g′(x)
= lim
x→pi
2
sec2(x)
sec(x) tg(x)
= lim
x→pi
2
sec(x)
tg(x)
= lim
x→pi
2
1
sen(x)
= 1,
podemos concluir que
lim
x→pi
2
tg(x)− 5
sec(x) + 4
= 1.
EXEMPLO 4: Seja h(x) =
3x − 2x
x
. Ao calcular lim
x→0
3x − 2x
x
encontramos a indetermi-
nac¸a˜o
0
0
. Considerando f(x) = 3x − 2x, g(x) = x e aplicando a regra de Cauchy obtemos
lim
x→0
3x − 2x
x
= log
(
3
2
)
,
pois
lim
x→0
f ′(x)
g′(x)
= lim
x→0
(3x log(3)− 2x log(2)) = log(3)− log(2) = log
(
3
2
)
.
EXEMPLO 5 : A indeterminac¸a˜o 0×∞ surge ao calcularmos lim
x→0+
h(x) = lim
x→0+
xα log(x),
com α > 0. Como
lim
x→0+
h(x) = lim
x→0+
xα log(x) = lim
x→0+
log(x)
1
xα
e
lim
x→0+
(log(x))′(
1
xα
)′ = lim
x→0+
1
x
− α
xα+1
= − lim
x→0+
xα
α
= 0,
podemos concluir que lim
x→0+
h(x) = 0.
54 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
NOTAS:
1. Pode-se demonstrar a partir da Regra de Cauchy o seguinte resultado, u´til quando se
pretende estudar a diferenciabilidade de uma func¸a˜o: Sejam f uma func¸a˜ocont´ınua
num intervalo I e a um ponto de I. Se f e´ diferencia´vel num intervalo ]a, b[⊂ I e
existe lim
x→a+
f ′(x) enta˜o f tem derivada a` direita no ponto a e f ′(a+) = lim
x→a+
f ′(x).
Para tal basta notar que f ′(a+) = lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a e aplicar a regra de Cauchy.
Obviamente, existe um resultado ana´logo para a derivada a` esquerda.
2. Os s´ımbolos 0×∞ e ∞−∞ que podem surgir no ca´lculo do limite de um produto
f · g ou de uma soma f + g reduzem-se a 0
0
ou
∞
∞ pelas transformac¸o˜es:
f · g = f
1
g
=
g
1
f
e f + g =
1
f
+
1
g
1
f · g
Outra regra importante no estudo de limites, mas que e´ aplica´vel somente ao s´ımbolo
0
0
, e´ a seguinte:
Teorema 3.3.2 (Regra de l’Hospital)
Sejam f e g duas func¸o˜es definidas num intervalo I, diferencia´veis em a ∈ I e
g(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {a}. Se f(a) = g(a) = 0 e g′(a) 6= 0, enta˜o f(x)
g(x)
tem limite
no ponto a e
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
f ′(a)
g′(a)
.
As indeterminac¸o˜es 1∞, 00 e∞0 surgem do ca´lculo de limites de func¸o˜es f g e reduzem-
se a`s indeterminac¸o˜es do tipo 0×∞ fazendo:
f g = e log(f)
g
= e g · log(f).
Da continuidade da func¸a˜o exponencial conclui-se que:
lim
x→a
[
(f(x)) g(x)
]
= e
lim
x→a g(x) · log(f(x)).
EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o h(x) = xx. A indeterminac¸a˜o que surge ao calcular
lim
x→0+
h(x) e´ do tipo 00 que podemos converter numa do tipo 0×∞:
3.3 Indeterminac¸o˜es 55
lim
x→0+
xx = e
lim
x→0+
x log(x)
= e0 = 1,
tendo em conta o que mostra´mos atra´s (exemplo 5 da pa´gina 53).
EXEMPLO 2: Vimos num exemplo anterior que lim
x→0
sen(x)
x
= 1, portanto, ao calcular
lim
x→0
(
sen(x)
x
) 1
x2 surge a indeterminac¸a˜o 1∞.
lim
x→0
(
sen(x)
x
) 1
x2 = e
lim
x→0
1
x2
log
(
sen(x)
x
)
;
neste u´ltimo limite surge a indeterminac¸a˜o 0×∞ que podemos converter em 0
0
fazendo
e
lim
x→0
1
x2
log
(
sen(x)
x
)
= e
lim
x→0
log
(
sen(x)
x
)
x2 .
Como
e
lim
x→0
(
log
(
sen(x)
x
))′
(x2)′ = e
lim
x→0
(
sen(x)
x
)′
sen(x)
x
2x = e
lim
x→0
x cos(x)−sen(x)
x2
x
sen(x)
2x = e
lim
x→0
x cos(x) − sen(x)
2x2sen(x) ,
temos novamente a indeterminac¸a˜o
0
0
. Considerando f(x) = x cos(x) − sen(x) e g(x) =
2x2sen(x) obtemos
lim
x→0
f ′(x)
g′(x)
= lim
x→0
−sen(x)
4 sen(x) + 2x cos(x)
aparecendo ainda a indeterminac¸a˜o
0
0
. Tendo em conta que
lim
x→0
(−sen(x))′
(4 sen(x) + 2x cos(x))′
= lim
x→0
− cos(x)
6 cos(x)− 2x sen(x) = −
1
6
,
podemos concluir que
lim
x→0
(
sen(x)
x
) 1
x2
= e−
1
6 .
56 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
EXEMPLO 3: No ca´lculo de lim
x→0+
(
1
x
)tg(x)
surge a indeterminac¸a˜o ∞0. Como
lim
x→0+
(
1
x
)tg(x)
= e
lim
x→0+
tg(x) log
(
1
x
)
= e
lim
x→0+
log
(
1
x
)
cotg(x)
e neste limite a indeterminac¸a˜o e´ primeiro do tipo 0×∞ e depois do tipo ∞∞ temos que
o limite pedido e´ 1 pois
e
lim
x→0+
(
log
(
1
x
))′
(cotg(x))′ = e
lim
x→0+
−1
x
cosec2(x) = e
lim
x→0+
−sen
2(x)
x = e0 = 1.
3.4 Teorema de Taylor 57
3.4 Teorema de Taylor
Teorema 3.4.1 (Teorema de Taylor)
Seja f uma func¸a˜o definida num intervalo [a, b] (a < b), com derivadas cont´ınuas ate´
a` ordem n − 1 em [a, b] e com derivada de ordem n definida em ]a, b[. Enta˜o, existe um
ponto c ∈]a, b[ tal que
f(b) = f(a)+(b−a) f ′(a)+(b− a)
2
2!
f ′′(a)+· · ·+(b− a)
n−1
(n− 1)! f
(n−1)(a)+
(b− a)n
n!
f (n)(c) (∗)
Demonstrac¸a˜o: Consideremos a func¸a˜o
ϕ(x) = f(b)− [f(x) + (b− x)f ′(x) + (b− x)
2
2!
f ′′(x)+
+ · · ·+ (b− x)
n−1
(n− 1)! f
(n−1)(x) +
(b− x)n
n!
A],
sendo A uma constante escolhida por forma que ϕ(a) = 0.
ϕ esta´ nas condic¸o˜es do Teorema de Rolle: por construc¸a˜o, e´ uma func¸a˜o cont´ınua em
[a, b], diferencia´vel em ]a, b[ e ϕ(a) = 0 = ϕ(b). Enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′(c) = 0.
Mas
ϕ′(x) = −[ f ′(x)− f ′(x) + (b− x)f ′′(x)− (b− x)f ′′(x) + · · · − (b− x)
n−2
(n− 2)! f
(n−1)(x)+
+
(b− x)n−1
(n− 1)! f
(n)(x)− (b− x)
n−1
(n− 1)! A ]
= −
[
(b− x)n−1
(n− 1)! f
(n)(x)− (b− x)
n−1
(n− 1)! A
]
=
(b− x)n−1
(n− 1)!
[
A− f (n)(x)]
Enta˜o
ϕ′(c) = 0⇔ (b− c)
n−1
(n− 1)!
[
A− f (n)(c)] = 0⇔ (b− c)n−1 = 0 ∨ f (n)(c)− A = 0.
Como c ∈]a, b[ vem f (n)(c) = A. Por construc¸a˜o de ϕ temos ϕ(a) = 0, portanto,
0 = ϕ(a) = f(b)− [f(a) + (b− a)f ′(a) + (b− a)
2
2!
f ′′(a)+
+ · · ·+ (b− a)
n−1
(n− 1)! f
(n−1)(a) +
(b− a)n
n!
f (n)(c)],
e obtemos assim (∗).
58 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial
NOTA: A hipo´tese a < b e´ desnecessa´ria, como facilmente se observa na demonstrac¸a˜o.
Apenas foi introduzida para facilitar o enunciado.
A expressa˜o (∗) chama-se fo´rmula de Taylor de ordem n de f . Fazendo no
enunciado do teorema b = a+ h, vem
f(a+ h) = f(a) + h f ′(a) +
h2
2!
f ′′(a) + · · ·+ h
n−1
(n− 1)! f
(n−1)(a) +
hn
n!
f (n)(a+ θh),
sendo 0 < θ < 1.
Ao termo
hn
n!
f (n)(a+θh) ou
(b− a)n
n!
f (n)(c) chama-se resto de Lagrange da fo´rmula
de Taylor.
No caso em que a = 0, a fo´rmula de Taylor e´ conhecida por fo´rmula de MacLaurin:
f(x) = f(0) + f ′(0) x+ f ′′(0)
x2
2!
+ · · ·+ f (n−1)(0) x
n−1
(n− 1)! + f
(n)(c)
xn
n!
,
sendo 0 < c < x ou x < c < 0.
EXEMPLO 1: Vamos escrever a fo´rmula de MacLaurin, com resto de ordem 4, da func¸a˜o
f(x) = ex sen(x).
Como f e´ uma func¸a˜o de classe C∞(R) podemos escrever a sua fo´rmula de MacLaurin de
qualquer ordem. Em particular, para n = 4 existe c entre 0 e x tal que
f(x) = f(0) + f ′(0) x+ f ′′(0)
x2
2!
+ f ′′′(0)
x3
3!
+ f (IV )(c)
x4
4!
.
Calculemos as derivadas de f .
f ′(x) = ex (sen(x) + cos(x)) ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = 2ex cos(x) ⇒ f ′′(0) = 2
f ′′′(x) = 2ex(cos(x)− sen(x)) ⇒ f ′′′(0) = 2
f (4)(x) = −4exsen(x) ⇒ f (4)(c) = −4ecsen(c)
Logo,
exsen(x) = x+ 2
x2
2!
+ 2
x3
3!
− 4ecsen(c) x
4
4!
= x+ x2 +
x3
3
− ecsen(c) x
4
6
com c entre 0 e x.
EXEMPLO 2: Calculemos, usando a fo´rmula de Taylor, o limite
lim
x→pi
log(| cos(x)|) + (x− pi)
2
2
(x− pi)2 ·
3.4 Teorema de Taylor 59
Consideremos a func¸a˜o f(x) = log(| cos(x)|). E´ uma func¸a˜o de classe C∞ em D =
{x ∈ R : cos(x) 6= 0}. Como pi ∈ D, podemos escrever a fo´rmula de Taylor de ordem 3 de
f em poteˆncias de x− pi: existe c entre x e pi tal que
f(x) = f(pi) + f ′(pi) (x− pi) + f ′′(pi) (x− pi)
2
2!
+ f ′′′(c)
(x− pi)3
3!
Como f(pi) = 0 e
f ′(x) = −sen(x)
cos(x)
= −tg(x) ⇒ f ′(pi) = 0
f ′′(x) = − 1
(cos(x))2
⇒ f ′′(pi) = −1
f ′′′(x) = − 2 sen(x)
(cos(x))3
⇒ f ′′′(c) = − 2 sen(c)
(cos(c))3
temos
f(x) = −(x− pi)
2
2!
− 2 sen(c)
(cos(c))3
· (x− pi)
3
3!
= −(x− pi)
2
2
− sen(c)
(cos(c))3
· (x− pi)
3
3
Calculemos o limite pedido.
lim
x→pi
log(| cos(x)|) + (x− pi)
2
2
(x− pi)2 = limx→pi
−(x− pi)
2
2
− sen(c)
(cos(c))3
· (x− pi)
3
3
+
(x− pi)2
2
(x− pi)2
= lim
x→pi
− sen(c)
(cos(c))3
· (x− pi)
3
3
(x− pi)2 = limx→pi
(
− sen(c)
(cos(c))3
· x− pi
3
)
= − sen(pi)
(cos(pi))3
· pi − pi
3
= 0
visto que quando x→ pi tambe´m c→ pi.
EXEMPLO 3: Escrevamos a fo´rmula de Taylor de ordem 2 da func¸a˜o
f(x) =
1
1 + log(x)
em torno do ponto 1 e mostremos que
f(x) < 1− (x− 1) + 3 (x− 1)
2
2
∀x > 1.
A func¸a˜o f e´ de classe C∞ em D = {x ∈ R+ : 1 + log(x) 6= 0}. Como 1 ∈ D podemos
escrever a fo´rmula de Taylor de ordem 2 de f em poteˆncias de x− 1: existe c entre x e 1
tal que
f(x) = f(1) + f ′(1) (x− 1) + f ′′(c) (x− 1)
2

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