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I´ndice 1 Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es 1 1.1 Noc¸o˜es topolo´gicas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Induc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade 13 2.1 Generalidades sobre func¸o˜es reais de varia´vel real . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Limites. Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano . . 23 2.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial 37 3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. . . . . . . . 46 3.3 Indeterminac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Aplicac¸o˜es da fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o 67 4.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Primitivac¸a˜o por partes e por substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral 95 5.1 Integral de Riemann: Definic¸a˜o e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Classes de func¸o˜es integra´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4 A´reas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.5 Integrais impro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 ii I´NDICE 6 Exerc´ıcios 139 6.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Noc¸o˜es Topolo´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.3 Induc¸a˜o Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.4 Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.6 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . 157 6.8 Fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.9 Estudo de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.10 Primitivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.11 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.12 Ca´lculo de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.13 Integrais Impro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Cap´ıtulo 1 Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es 1.1 Noc¸o˜es topolo´gicas em R Definic¸a˜o 1.1.1 Sejam a ∈ R, ε > 0. Chama-se vizinhanc¸a ε de a ao conjunto Vε(a) = ]a− ε, a+ ε[. Definic¸a˜o 1.1.2 Sejam a ∈ R e A um conjunto de nu´meros reais. Diz-se que a e´ inte- rior a A se existir uma vizinhanc¸a de a contida em A. Diz-se que a e´ fronteiro a A se toda a vizinhanc¸a de a intersecta A e R \A. Diz-se que a e´ exterior a A se existir uma vizinhanc¸a de a contida em R \ A. NOTA: Um ponto e´ exterior a A se, e so´ se, e´ interior a R \ A. Definic¸a˜o 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e repre- senta-se por int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(A). O conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira de A e representa-se por fr(A). NOTA: Qualquer que seja A ⊂ R tem-se: int(A) ∩ ext(A) = ∅, int(A) ∩ fr(A) = ∅, fr(A) ∩ ext(A) = ∅ e int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A) = R. EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. Enta˜o int(A) = int(B) = int(C) = int(D) =]0, 1[, fr(A) = fr(B) = fr(C) = fr(D) = {0, 1}, ext(A) = ext(B) = ext(C) = ext(D) =]−∞, 0[∪]1,+∞[. EXEMPLO 2: Seja A = { 1 n , n ∈ N } . Enta˜o int(A) = ∅, ext(A) = R \ (A ∪ {0}) e fr(A) = A ∪ {0}. EXEMPLO 3: Seja A = Q. Enta˜o int(A) = ext(A) = ∅, fr(A) = R. 2 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es Definic¸a˜o 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e´ aberto se A = int(A). Definic¸a˜o 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou adereˆncia de A ao conjunto A = A ∪ fr(A). Diz-se que x e´ aderente a A se x ∈ A. A diz-se fechado se A = A. NOTAS: 1. Das definic¸o˜es, conclui-se facilmente que A = int(A) ∪ fr(A). 2. A e´ fechado se, e so´ se, fr(A) ⊂ A. 3. A e´ fechado se, e so´ se, R \ A e´ aberto, isto e´, R \ A = int(R \ A) = ext(A). EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B e´ fechado, D e´ aberto, A e C na˜o sa˜o fechados nem abertos. EXEMPLO 2: A = { 1 n , n ∈ N } na˜o e´ fechado nem aberto (note que fr(A) = A ∪ {0}). EXEMPLO 3: A = { 1 n , n ∈ N } ∪ {0} e´ fechado. Definic¸a˜o 1.1.6 Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que a e´ ponto de acumulac¸a˜o de A se toda a vizinhanc¸a de a intersecta A \ {a}. Ao conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de A chama-se derivado de A. Diz-se que a e´ ponto isolado de A se a ∈ A e existe uma vizinhanc¸a de a que na˜o intersecta A \ {a}. EXEMPLO 1: Seja A = { 1 n , n ∈ N } . 0 e´ ponto de acumulac¸a˜o de A. Todos os pontos de A sa˜o isolados. EXEMPLO 2: Seja A = [0, 1[∪{2}. O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de A e´ [0, 1]. 2 e´ ponto isolado de A. NOTA: Se a ∈ int(A), enta˜o a e´ ponto de acumulac¸a˜o de A. Definic¸a˜o 1.1.7 Sejam x ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x e´ majorante de A se x ≥ a, ∀a ∈ A. Diz-se que x e´ minorante de A se x ≤ a, ∀a ∈ A. Definic¸a˜o 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e´ majorado se admitir majorantes. Diz-se que A e´ minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado, diz-se que A e´ limitado. 1.1 Noc¸o˜es topolo´gicas em R 3 EXEMPLO 1: A = {x ∈ R : x2 < 1} e´ limitado. EXEMPLO 2: ]−∞, 1[ e´ majorado. EXEMPLO 3: [1,+∞[ e´ minorado. EXEMPLO 4: A = {x ∈ R : |x| > 1} na˜o e´ majorado nem minorado. Teorema 1.1.1 A e´ limitado se, e so´ se, ∃M > 0, |x| ≤M, ∀x ∈ A. Demonstrac¸a˜o: Se A for limitado, sejam ν um minorante de A e µ um majorante de A; se M for o maior dos dois nu´meros |ν| e |µ|, enta˜o |x| ≤M, ∀x ∈ A (se µ = ν = 0, toma-se M > 0, qualquer). Reciprocamente, se ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A, isto e´, −M ≤ x ≤ M, ∀x ∈ A, enta˜o M e´ majorante de A e −M e´ minorante de A. Definic¸a˜o 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que β e´ o supremo de A se β for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto e´, se β for o menor dos majorantes de A); representa-se por β = sup(A). Se β, supremo de A, pertencer a A, diz-se que β e´ o ma´ximo de A; neste caso, representa-se por β = max(A). Definic¸a˜o 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que α e´ o ı´nfimo de A se α for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto e´, se α for o maior dos minorantes de A); representa-se por α = inf(A). Se α, ı´nfimo de A, pertencer a A, diz-se queα e´ o mı´nimo de A; neste caso, representa-se por α = min(A). EXEMPLO 1: Seja A = {x ∈ R : x2 < 1}. Enta˜o inf(A) = −1 e sup(A) = 1. A na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo. EXEMPLO 2: Seja A =]− 1, 1]. Enta˜o inf(A) = −1 e sup(A) = max(A) = 1. EXEMPLO 3: sup(]−∞, 1[) = 1. Na˜o existe ı´nfimo deste conjunto. Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto mino- rado tem ı´nfimo. Na˜o daremos aqui a demonstrac¸a˜o do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais profundo do conjunto dos nu´meros reais, que na˜o esta´ nos propo´sitos deste curso. Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Enta˜o β = sup(A) se, e so´ se, β e´ majo- rante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Analogamente, α = inf(A) se, e so´ se, α e´ minorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < α + ε. 4 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es Demonstrac¸a˜o: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ı´nfimo proceder- -se-ia de modo ana´logo. Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) enta˜o β e´ majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Fa´-lo-emos pela contra-rec´ıproca, isto e´, negando a tese chegaremos a` negac¸a˜o da hipo´tese (trata-se da bem conhecida proposic¸a˜o da lo´gica formal A⇒ B equivalente a ∼ B ⇒ ∼ A). Se β na˜o for majorante de A, β na˜o e´ o supre- mo de A (definic¸a˜o de supremo) e o problema fica resolvido. Se ∃ε > 0, ∀x ∈ A, x ≤ β−ε, enta˜o β na˜o e´ o supremo de A visto que β − ε e´ majorante de A e β − ε < β. Reciprocamente, vamos mostrar que se β e´ majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β−ε, enta˜o β = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rec´ıproca. Se β na˜o for o supremo de A, enta˜o ou na˜o e´ majorante ou e´ majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de A menor que β. No u´ltimo caso, seja γ esse majorante. Enta˜o, fazendo ε = β − γ (> 0) temos ∀x ∈ A, x ≤ γ = β − ε, que e´ a negac¸a˜o da hipo´tese. 1.2 Induc¸a˜o matema´tica 5 1.2 Induc¸a˜o matema´tica Para demonstrar que certas propriedades sa˜o va´lidas no conjunto dos nu´meros natu- rais, N, usa-se o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica que passamos a enunciar: Uma propriedade e´ va´lida para todos os nu´meros naturais se: 1. A propriedade e´ va´lida para n = 1, 2. Para todo o n natural, se a propriedade e´ va´lida para n, enta˜o ela e´ va´lida para n+ 1. EXEMPLO 1:Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, a fo´rmula da soma de uma progressa˜o geome´trica: se a 6= 1 enta˜o n∑ p=1 ap = a 1− an 1− a , ∀n ∈ N 1. Se n = 1, a fo´rmula e´ trivial: a = a1 = a 1− a 1− a . 2. Se admitirmos que a propriedade e´ va´lida para n, enta˜o: n+1∑ p=1 ap = n∑ p=1 ap + an+1 = a 1− an 1− a + a n+1 = a ( 1− an 1− a + a n ) = = a 1− an + an − an+1 1− a = a 1− an+1 1− a EXEMPLO 2: Usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, vamos demonstrar a seguinte igualdade (Bino´mio de Newton): (a+ b)n = n∑ p=0 nCp a n−p bp, ∀a, b ∈ R, ∀n ∈ N 1) Se n = 1, a propriedade e´ va´lida: a+ b = 1C0 a+ 1C1 b. 2) Vamos agora admitir que a propriedade e´ va´lida para n; enta˜o (a+ b)n+1 = (a+ b) (a+ b)n = (a+ b) n∑ p=0 nCp a n−p bp = = n∑ p=0 nCp a n+1−p bp + n∑ p=0 nCp a n−p bp+1 = (fazendo p+ 1 = s) = n∑ p=0 nCp a n+1−p bp + n+1∑ s=1 nCs−1 an−s+1 bs = 6 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es (como s e´ varia´vel muda, podemos substitu´ı-la por p) = n∑ p=0 nCp a n+1−p bp + n+1∑ p=1 nCp−1 an−p+1 bp = = an+1 + n∑ p=1 nCp a n+1−p bp + bn+1 + n∑ p=1 nCp−1 an−p+1 bp = = an+1 + bn+1 + n∑ p=1 ( nCp + nCp−1) an+1−p bp = = an+1 + bn+1 + n∑ p=1 n+1Cp a n+1−p bp = = n+1∑ p=0 n+1Cp a n+1−p bp 1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 7 1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais Definic¸a˜o 1.3.1 Chama-se sucessa˜o de nu´meros reais a toda a aplicac¸a˜o de N em R. Os elementos do contradomı´nio chamam-se termos da sucessa˜o. Ao contradomı´nio chama-se conjunto dos termos da sucessa˜o. NOTA: E´ usual designarem-se os termos da sucessa˜o por un, em detrimento da notac¸a˜o u(n), habitual para as aplicac¸o˜es em geral. Definic¸a˜o 1.3.2 A expressa˜o designato´ria que define a sucessa˜o chama-se termo geral da sucessa˜o. EXEMPLO 1: un = n 2 EXEMPLO 2: un = cos(n). NOTA: Podem-se definir sucesso˜es sem explicitar o termo geral. E´ o caso da definic¸a˜o por recorreˆncia. Exemplo: u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + un (sucessa˜o dos nu´meros de Fibonacci). Por vezes da˜o-se apenas alguns termos da sucessa˜o que induzem o leitor a “inferir” os restantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . . Definic¸a˜o 1.3.3 Uma sucessa˜o diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for minorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado. EXEMPLO 1: un = n 2 e´ limitada inferiormente, mas na˜o superiormente. EXEMPLO 2: un = −n e´ limitada superiormente, mas na˜o inferiormente. EXEMPLO 3: un = (−n)n na˜o e´ limitada superiormente nem inferiormente. EXEMPLO 4: un = cos(n) e´ limitada. Definic¸a˜o 1.3.4 Dadas duas sucesso˜es de nu´meros reais u e v, chama-se soma, dife- renc¸a e produto de u e v a`s sucesso˜es u+v, u−v e uv de termos gerais, respectivamente, un + vn, un − vn e un vn. Se vn 6= 0, ∀n ∈ N, chama-se sucessa˜o quociente de u e v a` sucessa˜o u/v de termo geral un/vn. Definic¸a˜o 1.3.5 Uma sucessa˜o u diz-se crescente se un ≤ un+1, ∀n ∈ N; diz-se estri- tamente crescente se un < un+1, ∀n ∈ N; diz-se decrescente se un ≥ un+1, ∀n ∈ N; diz-se estritamente decrescente se un > un+1, ∀n ∈ N; diz-se mono´tona se for cres- cente ou decrescente; diz-se estritamente mono´tona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente. 8 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es EXEMPLO 1: un = n 2 e´ estritamente crescente. EXEMPLO 2: un = −n e´ estritamente decrescente. EXEMPLO 3: un = (−n)n na˜o e´ mono´tona. Dadas duas sucesso˜es u e v, se v e´ uma sucessa˜o de nu´meros naturais, a composic¸a˜o u ◦ v ainda e´ uma sucessa˜o, de termo geral uvn . Por exemplo, se u e´ a sucessa˜o 1, 2, 1, 3, 1, 4, . . . e vn = 2n− 1, enta˜o uvn = 1; se zn = 2n, enta˜o uzn = n + 1; se sn = 4, enta˜o usn = 3. Definic¸a˜o 1.3.6 Dadas duas sucesso˜es u e w, dizemos que w e´ subsucessa˜o de u se existir v, sucessa˜o de nu´meros naturais, estritamente crescente, tal que w = u ◦ v. EXEMPLOS: Das sucesso˜es consideradas anteriormente, u ◦ v e u ◦ z sa˜o subsucesso˜es de u, mas u ◦ s na˜o e´ subsucessa˜o de u. NOTAS: 1. Toda a subsucessa˜o de uma sucessa˜o limitada e´ limitada. 2. Uma sucessa˜o pode na˜o ser limitada e ter subsucesso˜es limitadas. Exemplo: un = { n, se n par 1 n , se n ı´mpar 3. Toda a subsucessa˜o de uma sucessa˜o mono´tona e´ mono´tona. Definic¸a˜o 1.3.7 Diz-se que a sucessa˜o u e´ um infinitamente grande (ou que tende para +∞), e representa-se un → +∞, se ∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ un > L. Diz-se que u e´ um infinitamente grande em mo´dulo se |un| → +∞, isto e´, ∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ |un| > L. Diz-se que u tende para −∞, e representa-se un → −∞, se ∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ un < −L. EXEMPLO 1: un = n 2 → +∞. EXEMPLO 2: un = −n→ −∞. EXEMPLO 3: Seja un = (−n)n. Enta˜o |un| = nn → +∞. 1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 9 NOTAS: 1. Se u e´ tal que un → +∞, un → −∞ ou |un| → +∞ enta˜o u e´ na˜o limitada. A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. Por exemplo, a sucessa˜o un = { n, se n par 1 n , se n ı´mpar e´ na˜o limitada e un 6→ +∞, un 6→ −∞, |un| 6→ +∞ 2. O facto de un → +∞ na˜o implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem a partir da qual seja crescente). Exemplo: un = n+ (−1)n. Das definic¸o˜es, conclui-se imediatamente que Teorema 1.3.1 Sejam u e v sucesso˜es tais que, a partir de certaordem, un ≤ vn. Enta˜o, a) un → +∞⇒ vn → +∞, b) vn → −∞⇒ un → −∞. Definic¸a˜o 1.3.8 Sejam u uma sucessa˜o e a ∈ R. Diz-se que u converge para a (ou tende para a ou, ainda, que o limite da sucessa˜o e´ a), e representa-se un → a, se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ |un − a| < ε. EXEMPLO: un = 1 n → 0. De facto, seja ε > 0, qualquer; se tomarmos p = Int ( 1 ε ) (se x ∈ R, chamamos parte inteira de x ao maior inteiro menor ou igual a x e representamo-la por Int(x)) enta˜o, para n > p tem-se 1 n ≤ 1 p+ 1 < ε. NOTAS: 1. Em linguagem de vizinhanc¸as, a definic¸a˜o e´ equivalente a: ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ un ∈ Vε(a). 2. Poder´ıamos escrever ainda, de forma equivalente, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : |un − a| < ε, ∀n > p. 3. Consideremos o conjunto R = R∪{−∞,+∞}, em que −∞ e +∞ sa˜o dois objectos matema´ticos, na˜o reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto, a relac¸a˜o de ordem: i) se x, y ∈ R, x < y em R se, e so´ se, x < y em R. ii) −∞ < x < +∞, ∀x ∈ R. 10 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es O conjunto R, com esta relac¸a˜o de ordem, designa-se por recta acabada. Podemos estender a noc¸a˜o de vizinhanc¸a a R. Seja ε ∈ R, ε > 0. Se a ∈ R, chama- -se vizinhanc¸a ε de a ao conjunto Vε(a) =]a − ε, a + ε[ (que coincide, pois, com a vizinhanc¸a em R). Chama-se vizinhanc¸a ε de +∞ ao conjunto Vε(+∞) = ] 1 ε ,+∞]. Chama-se vizinhanc¸a ε de −∞ ao conjunto Vε(−∞) = [−∞,−1 ε [ . Com as definic¸o˜es dadas atra´s, podemos unificar, do ponto de vista formal, as defi- nic¸o˜es 1.3.7 e 1.3.8: xn → a (a ∈ R) se, e so´ se, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ un ∈ Vε(a). Definic¸a˜o 1.3.9 Diz-se que a sucessa˜o u e´ um infinite´simo se un → 0. NOTA: E´ evidente, a partir das definic¸o˜es, que un → a e´ equivalente a un − a e´ um infinite´simo. Teorema 1.3.2 (Unicidade do limite) Se un → a e un → b enta˜o a = b. Teorema 1.3.3 Se un → 0 e v e´ uma sucessa˜o limitada, enta˜o un vn → 0. Demonstrac¸a˜o: Seja M > 0 tal que |vn| ≤M, ∀n ∈ N. Dado δ > 0, qualquer, seja p ∈ N, tal que |un| < δ/M, ∀n > p. Enta˜o |un vn| < δ, ∀n > p. Teorema 1.3.4 Toda a sucessa˜o convergente e´ limitada. NOTA: A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. Por exemplo, a sucessa˜o un = cos(npi) e´ limitada, mas na˜o e´ convergente. Teorema 1.3.5 (Teorema das sucesso˜es enquadradas) Se un → a, vn → a e, a partir de certa ordem, un ≤ wn ≤ vn, enta˜o wn → a. Demonstrac¸a˜o: Seja ε > 0, qualquer. Enta˜o ∃p1 ∈ N : n > p1 ⇒ a− ε < un < a+ ε, ∃p2 ∈ N : n > p2 ⇒ a− ε < vn < a+ ε, ∃p3 ∈ N : n > p3 ⇒ un ≤ wn ≤ vn. Seja p = max{p1, p2, p3}. Se n > p, enta˜o a− ε < un ≤ wn ≤ vn < a+ ε. Teorema 1.3.6 Toda a subsucessa˜o de uma sucessa˜o convergente e´ convergente para o mesmo limite. Teorema 1.3.7 Sejam u e v duas sucesso˜es convergentes, un → a, vn → b. Enta˜o u+ v, u − v e uv sa˜o convergentes e un + vn → a + b, un − vn → a − b e un vn → a b. Se vn 6= 0, ∀n ∈ N e b 6= 0, enta˜o u/v e´ convergente e un/vn → a/b. Teorema 1.3.8 Um conjunto X ⊂ R e´ fechado se, e so´ se, todos os limites das sucesso˜es convergentes, de elementos de X, pertencem a X. 1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 11 Teorema 1.3.9 Toda a sucessa˜o mono´tona limitada e´ convergente. NOTA: A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira, isto e´, ha´ sucesso˜es na˜o mono´tonas que sa˜o con- vergentes. Exemplo: a sucessa˜o un = (−1)n 1 n converge para 0 e na˜o e´ mono´tona. Teorema 1.3.10 Toda a sucessa˜o limitada tem subsucesso˜es convergentes. Definic¸a˜o 1.3.10 Diz-se que a ∈ R e´ sublimite da sucessa˜o u se existir uma subsucessa˜o de u que converge para a. EXEMPLO: −1 e 1 sa˜o sublimites da sucessa˜o un = (−1)n + 1 n . NOTAS: Seja S o conjunto dos sublimites da sucessa˜o u. 1. Pelo Teorema 1.3.10, se u e´ limitada, S 6= ∅; 2. S pode ser vazio; exemplo: un = n; 3. Se u for convergente, S e´ um conjunto singular (isto e´, so´ com um elemento). 4. S pode ser singular e u na˜o ser convergente; exemplo: un = { 1 n , se n par n, se n ı´mpar. 5. S pode ser um conjunto infinito; por exemplo, dada a sucessa˜o 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . . enta˜o S = N. Teorema 1.3.11 O conjunto dos sublimites de uma sucessa˜o limitada tem ma´ximo e mı´nimo. Definic¸a˜o 1.3.11 Sejam u uma sucessa˜o limitada e S o conjunto dos sublimites de u. Chama-se limite ma´ximo ou limite superior de u ao ma´ximo de S e representa-se lim un = lim sup un = max(S). Chama-se limite mı´nimo ou limite inferior de u ao mı´nimo de S e representa-se lim un = lim inf un = min(S). Se u na˜o for limitada superiormente, define-se lim un = +∞. Se u na˜o for limitada inferiormente, define-se lim un = −∞. Se un → +∞ define-se lim un = lim un = +∞. Se un → −∞ define-se lim un = lim un = −∞. Teorema 1.3.12 Uma sucessa˜o limitada e´ convergente se, e so´ se, lim un = lim un. 12 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es Definic¸a˜o 1.3.12 Uma sucessa˜o u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : m,n > p⇒ |un − um| < ε. EXEMPLO: un = 1 n e´ sucessa˜o de Cauchy. De facto, sejam m,n > p; enta˜o ∣∣ 1 n − 1 m ∣∣ ≤ 1 n + 1 m < 1 p + 1 p = 2 p . Seja ε > 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p > 2 ε . NOTA: Na definic¸a˜o de sucessa˜o convergente, introduzimos um elemento externo a` su- cessa˜o, o limite. A sucessa˜o converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessa˜o “esta˜o perto” do limite. Na definic¸a˜o de sucessa˜o de Cauchy apenas comparamos os elementos da sucessa˜o uns com os outros. Dizemos que a sucessa˜o e´ de Cauchy se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessa˜o “esta˜o perto” uns dos outros. Teorema 1.3.13 Uma sucessa˜o real e´ convergente se, e so´ se, for de Cauchy. NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucessa˜o e´ convergente sem ter que calcular o seu limite. Consideremos a sucessa˜o: un = 1 + 1 22 + 1 32 + · · ·+ 1 n2 Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; enta˜o |un − um| = ∣∣ 1 (m+ 1)2 + 1 (m+ 2)2 + · · ·+ 1 n2 ∣∣ = 1 (m+ 1)2 + 1 (m+ 2)2 + · · ·+ 1 n2 ≤ ≤ 1 m(m+ 1) + 1 (m+ 1)(m+ 2) + · · ·+ 1 (n− 1)n = = ( 1 m − 1 m+ 1 ) + ( 1 m+ 1 − 1 m+ 2 ) + · · · ( 1 n− 1 − 1 n ) = 1 m − 1 n ≤ 1 m Se p > 1 ε e n ≥ m > p, obtemos |un − um| < ε pelo que a sucessa˜o e´ de Cauchy, portanto convergente. Cap´ıtulo 2 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade 2.1 Generalidades sobre func¸o˜es reais de varia´vel real Definic¸a˜o 2.1.1 a) Dados dois conjuntos A e B chama-se func¸a˜o definida em A com valores em B, a toda a correspondeˆncia entre A e B que a cada elemento de A fac¸a corresponder um e um so´ elemento de B. Ao conjunto A chama-se domı´nio da func¸a˜o. b) Representa-se a func¸a˜o por y = f(x) em que x e´ a varia´vel independente e toma valores em A (x ∈ A) e y e´ a varia´vel dependente, pois os seus valores dependem dos valores que toma a varia´vel x, que toma valores em B (y ∈ B). c) A` expressa˜o ou fo´rmula que traduz o modo como a varia´vel y depende da varia´vel x chama-se expressa˜o anal´ıtica ou representac¸a˜o anal´ıtica da func¸a˜o f . d) Uma func¸a˜o f diz-se real de varia´vel real quando A ⊂ R e B ⊂ R. Definic¸a˜o 2.1.2 Seja f uma func¸a˜o real de varia´vel real. a) Chama-se domı´nio de definic¸a˜o ou de existeˆncia de f ao conjunto dos valores reais que teˆm imagem pela func¸a˜o f , isto e´, ao conjunto dos nu´meros reais para os quais a expressa˜o anal´ıtica de f esta´ bem definida. b) Chama-se contradomı´nio de f ao conjunto dos valores reais que sa˜o imagem pela func¸a˜o f dos elementos do domı´nio. Definic¸a˜o 2.1.3 Dada uma func¸a˜o f : D ⊂ R → R, chama-se gra´fico da func¸a˜o f ao conjunto {(x, y) : x ∈ D, y ∈ R, y = f(x)}. 14 2. Func¸o˜esReais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade Definic¸a˜o 2.1.4 Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → R diz-se: a) crescente se x < y =⇒ f(x) ≤ f(y). b) estritamente crescente se x < y =⇒ f(x) < f(y). c) decrescente se x < y =⇒ f(x) ≥ f(y). d) estritamente decrescente se x < y =⇒ f(x) > f(y). Definic¸a˜o 2.1.5 Uma func¸a˜o diz-se a) mono´tona se e´ crescente ou decrescente. b) estritamente mono´tona se e´ estritamente crescente ou estritamente decrescente. Definic¸a˜o 2.1.6 Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → R diz-se: a) par se f(x) = f(−x), ∀x ∈ D. b) ı´mpar se f(x) = −f(−x), ∀x ∈ D. Definic¸a˜o 2.1.7 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f(c) e´ um ma´ximo de f se f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de ma´ximo. Definic¸a˜o 2.1.8 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f(c) e´ um mı´nimo de f se f(x) ≥ f(c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de mı´nimo. Estes valores teˆm a designac¸a˜o comum de extremos de f . A Figura 2.1 ilustra as definic¸o˜es anteriores. Figura 2.1: Extremos de uma func¸a˜o. 2.1 Generalidades sobre func¸o˜es reais de varia´vel real 15 Definic¸a˜o 2.1.9 Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → R diz-se limitada se ∃M ∈ R+ : |f(x)| ≤M, ∀x ∈ D. Por outras palavras, f e´ func¸a˜o limitada se o seu contradomı´nio e´ um conjunto limi- tado. Definic¸a˜o 2.1.10 Chamam-se zeros da func¸a˜o f os elementos x do domı´nio tais que f(x) = 0. Definic¸a˜o 2.1.11 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. A restric¸a˜o de f a A, designada por f|A, e´ a aplicac¸a˜o de A em R tal que f|A(x) = f(x) para cada x ∈ A. Definic¸a˜o 2.1.12 Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → B ⊂ R diz-se: a) injectiva se x 6= y =⇒ f(x) 6= f(y). b) sobrejectiva se ∀y ∈ B, ∃x ∈ D : f(x) = y. c) bijectiva se e´ injectiva e sobrejectiva. 16 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade 2.2 Limites. Limites relativos Definic¸a˜o 2.2.1 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao domı´nio de f . Diz-se que b e´ limite de f no ponto a (ou quando x tende para a), e escreve-se lim x→a f(x) = b, se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ |f(x)− b| < δ. Em termos de vizinhanc¸as: lim x→a f(x) = b⇔ ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a) ∩D ⇒ f(x) ∈ Vδ(b). A Figura 2.2 sugere a interpretac¸a˜o geome´trica de lim x→a f(x) = b. x y a b-δ b+δ b a-ε a+ε Figura 2.2: Interpretac¸a˜o geome´trica de lim x→a f(x) = b. Definic¸a˜o 2.2.2 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D na˜o e´ majorado. Diz-se que o limite de f quando x→ +∞ e´ b se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x > 1 ε ⇒ |f(x)− b| < δ e escreve-se lim x→+∞ f(x) = b. Definic¸a˜o 2.2.3 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D na˜o e´ minorado. Diz-se que o limite de f quando x→ −∞ e´ b se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x < −1 ε ⇒ |f(x)− b| < δ e escreve-se lim x→−∞ f(x) = b. 2.2 Limites. Limites relativos 17 Definic¸a˜o 2.2.4 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao domı´nio de f . Diz-se que o limite de f em a e´ +∞ se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ f(x) > 1 δ e escreve-se lim x→a f(x) = +∞. Definic¸a˜o 2.2.5 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao domı´nio de f . Diz-se que o limite de f em a e´ −∞ se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ f(x) < −1 δ e escreve-se lim x→a f(x) = −∞. NOTA: As definic¸o˜es de lim x→+∞ f(x) = +∞, lim x→−∞ f(x) = +∞, lim x→+∞ f(x) = −∞ e lim x→−∞ f(x) = −∞, podem dar-se de forma ana´loga. Em todo o caso, se tivermos em conta a definic¸a˜o de vizinhanc¸a em R (ver pa´gina 9), podemos unificar todas as definic¸o˜es do seguinte modo: se a, b ∈ R, diz-se que lim x→a f(x) = b se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a) ∩D ⇒ f(x) ∈ Vδ(b). Teorema 2.2.1 Se f : D ⊂ R → R e a ∈ R e´ um ponto aderente a D, enta˜o lim x→a f(x) = b se, e so´ se, para cada sucessa˜o (xn) de limite a, (xn) ⊂ D, a sucessa˜o (f(xn)) tem por limite b. NOTA: Observe-se que na˜o exigimos que a seja ponto de acumulac¸a˜o de D. Se a e´ ponto isolado de D enta˜o f tem limite igual a f(a) quando x→ a. De facto, as u´nicas sucesso˜es de pontos do domı´nio que tendem para a sa˜o as sucesso˜es que, a partir de certa ordem, sa˜o constantemente iguais a a. Teorema 2.2.2 O limite de f em a, quando existe, e´ u´nico. NOTAS: 1. Este teorema permite-nos usar a expressa˜o “b e´ o limite de f(x) quando x tende para a”, em vez de “b e´ limite de f(x) quando x tende para a” e permite que se use a notac¸a˜o lim x→a f(x) = b. 2. Se a ∈ D (isto e´, f esta´ definida em a), o limite b, se existe, coincide com f(a). Com efeito, neste caso, a verifica as condic¸o˜es a ∈ D e |a − a| < ε ∀ε > 0, o que implica que |f(a)− b| < δ, ∀δ > 0, ou seja, f(a) = b. EXEMPLO: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = { x2, se x 6= 0 1, se x = 0 (ver Figura 2.3). 18 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade Figura 2.3 Na˜o existe lim x→0 f(x). Como o domı´nio de f e´ R o limite, se existisse teria de ser igual a f(0), como vimos na observac¸a˜o anterior. Ter´ıamos enta˜o de provar que ∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x| < ε⇒ |f(x)− 1| < δ. Mas, se δ = 1 2 , qualquer que seja ε > 0, existe sempre x tal que |x| < ε e f(x) < 1 2 , o que implica que |f(x)− 1| > 1 2 . Teorema 2.2.3 Se lim x→a f(x) = b e lim x→a g(x) = c enta˜o: a) lim x→a [f(x) + g(x)] = b+ c; b) lim x→a [f(x)− g(x)] = b− c; c) lim x→a [f(x)g(x)] = b c; d) Se c 6= 0, lim x→a f(x) g(x) = b c . Teorema 2.2.4 Se lim x→a f(x) = 0 e g e´ uma func¸a˜o limitada numa vizinhanc¸a de a enta˜o lim x→a [f(x)g(x)] = 0. NOTA: O facto de g ser limitada e´ essencial. Por exemplo, se f(x) = x e g(x) = 1 x , lim x→0 f(x)g(x) = 1 6= 0, o que na˜o contradiz o teorema, visto g na˜o ser limitada. Teorema 2.2.5 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se lim x→a g(x) = b e lim x→b f(x) = c enta˜o lim x→a (f ◦ g)(x) = c. 2.2 Limites. Limites relativos 19 Definic¸a˜o 2.2.6 Sejam f : D ⊂ R → R e B um subconjunto pro´prio de D (isto e´, B ⊂ D e B 6= D). Suponhamos que a e´ um ponto aderente a B. Diz-se que f tem limite b, quando x tende para a, segundo B, ou que b e´ o limite relativo a B de f quando x tende para a, se o limite da restric¸a˜o de f a B quando x tende para a e´ b. Designa-se este limite por lim x → a x ∈ B f(x) = b ou lim x→a, x∈B f(x) = b. Sa˜o importantes os limites relativos que se seguem: 1. B = D \ {a}. Diz-se enta˜o que f(x) tende para b quando x tende para a por valores diferentes de a: lim x → a x 6= a f(x) = b. 2. B = {x : x ∈ D ∧ x < a}. Neste caso escreve-se lim x → a x < a f(x) = b ou lim x→a− f(x) = b ou f(a−) = b e diz-se limite a` esquerda de f no ponto a. 3. B = {x : x ∈ D ∧ x > a}. Neste caso escreve-se lim x → a x > a f(x) = b ou lim x→a+ f(x) = b ou f(a+) = b e diz-se limite a` direita de f no ponto a. Os limites a` esquerda e a` direita recebem a designac¸a˜o comum de limites laterais. Para se poderem definir estes limites, o ponto a tem que ser ponto de acumulac¸a˜o de B. NOTAS: 1. lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x) = b ⇔ lim x → a x 6= a f(x) = b. Mas pode existir so´ um dos limites laterais (ou os dois com valores distintos) sem que exista lim x → a x 6= a f(x). 2. lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x) = b na˜o implica que lim x→a f(x) = b a na˜o ser que f(a) = b. No exemplo da pa´gina 17, f(0−) = f(0+) = 0 e f(0) = 1. 3. lim x → a x 6= a f(x) na˜o se distingue de lim x→a f(x) quando a 6∈ D, devendo enta˜o a ser ponto de acumulac¸a˜o de D. 20 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = { 0, se x < 2 1, se x ≥ 2 (ver Figura 2.4) Figura 2.4 Verifica-se que lim x→2− f(x) = 0 e lim x→2+ f(x) = 1. Portanto, lim x → 2 x 6= 2 f(x) na˜o existe, e consequentemente, tambe´m na˜o existelim x→2 f(x). Se a < 2 enta˜o lim x→a+ f(x) = lim x→a− f(x) = lim x→a f(x) = lim x → a x 6= a f(x) = 0. Se a > 2 enta˜o lim x→a+ f(x) = lim x→a− f(x) = lim x→a f(x) = lim x → a x 6= a f(x) = 1. EXEMPLO 2: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = { |x− 4|, se x 6= 4 2, se x = 4 (ver Figura 2.5) Figura 2.5 2.2 Limites. Limites relativos 21 Verifica-se que lim x→4− f(x) = 0 e lim x→4+ f(x) = 0. Portanto, lim x → 4 x 6= 4 f(x) = 0, mas na˜o existe lim x→4 f(x) porque f(4) = 2 6= 0. EXEMPLO 3: Em R temos: a) lim x→a− 1 x− a = −∞ e limx→a+ 1 x− a = +∞; limx→a 1 x− a na˜o existe. b) lim x→a− 1 (x− a)2 = +∞ e limx→a+ 1 (x− a)2 = +∞; limx→a 1 (x− a)2 = +∞. c) lim x→+∞ 1 x = 0 = lim x→−∞ 1 x . d) lim x→0+ (1 + x) 1 x = lim y→+∞ ( 1 + 1 y )y = e. Teorema 2.2.6 Seja f : D ⊂ R → R uma func¸a˜o mono´tona limitada. Enta˜o existem os limites laterais f(a−) e f(a+) em todo o ponto a onde esses limites possam ser definidos. Demonstrac¸a˜o: Suponhamos, por exemplo, que f e´ crescente. Seja A = {x : x ∈ D ∧ x < a}. Se a ∈ A queremos provar que existe f(a−), isto e´, queremos provar que existe um b ∈ R tal que ∀δ > 0 ∃ε > 0 |x−a| < ε ∧ x < a⇒ |f(x)−b| < δ. Como, por hipo´tese, f e´ limitada, isto e´, f(D) e´ um conjunto limitado e A ⊂ D, temos que f(A) e´ um conjunto limitado. Pelo Teorema 1.1.2, f(A) tem supremo. Seja b = sup f(A) = sup x∈A f(x). Pelo Teorema 1.1.3, ∀δ > 0 ∃x0 ∈ A : f(x0) > b− δ. Como f e´ crescente f(x) ≥ f(x0) > b− δ ∀x ∈]x0, a[ ∩A. Podemos enta˜o escrever |f(x)− b| < δ ∀x : x ∈ A ∧ |x− a| < a− x0. Fazendo ε = a− x0, conclu´ımos que ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ A ∧ |x− a| < ε⇒ |f(x)− b| < δ, isto e´, lim x→a− f(x) = b. Para provar que existe f(a+) considera-se o inf x ∈ D x > a f(x) e conclui-se que f(a+) = inf x ∈ D x > a f(x). 22 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade Teorema 2.2.7 E´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que f tenha limite finito no ponto a que ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ Vε(a) |f(x)− f(y)| < δ. 2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 23 2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ı- nuas. Teorema de Bolzano Definic¸a˜o 2.3.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Diz-se que f e´ cont´ınua em a se existir lim x→a f(x). Como vimos anteriormente, o facto de a ∈ D implica que lim x→a f(x) = f(a). Podemos escrever f e´ cont´ınua em a se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ |f(x)− f(a)| < δ, ou, em termos de vizinhanc¸as ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a) ∩D ⇒ f(x) ∈ Vδ(f(a)). Os pontos em que uma func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua dizem-se pontos de descontinuidade. Definic¸a˜o 2.3.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. a) f e´ cont´ınua a` esquerda em a se f(a−) = lim x→a− f(x) = f(a). b) f e´ cont´ınua a` direita em a se f(a+) = lim x→a+ f(x) = f(a). NOTAS: 1. Se f for cont´ınua a` esquerda e a` direita no ponto a enta˜o f e´ cont´ınua em a. 2. Se a for um ponto isolado, resulta da definic¸a˜o que f e´ cont´ınua em a. Teorema 2.3.1 Toda a func¸a˜o constante e´ cont´ınua em todos os pontos do seu domı´nio. Do Teorema 2.2.3, conclui-se facilmente: Teorema 2.3.2 Se f e g sa˜o cont´ınuas no ponto a enta˜o f + g, f − g e fg sa˜o cont´ınuas nesse ponto; se g(a) 6= 0 enta˜o tambe´m f g e´ cont´ınua em a. Analogamente, do Teorema 2.2.5 se deduz: Teorema 2.3.3 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se g e´ cont´ınua no ponto t0 e f e´ cont´ınua no ponto x0 = g(t0), enta˜o f ◦ g e´ cont´ınua em t0. Definic¸a˜o 2.3.3 Uma func¸a˜o f diz-se cont´ınua no conjunto B ⊂ D se e´ cont´ınua em todos os pontos de B. 24 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade Teorema 2.3.4 (Teorema do valor interme´dio de Bolzano) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua num intervalo I, a e b dois pontos de I tais que f(a) 6= f(b). Enta˜o, qualquer que seja o nu´mero k estritamente compreendido entre f(a) e f(b), existe pelo menos um ponto c, estritamente compreendido entre a e b, tal que f(c) = k. Demonstrac¸a˜o: Podemos supor, sem perda de generalidade, que a < b. Consideremos o intervalo [a, b]. Como f(a) 6= f(b) teremos f(a) < f(b) ou f(a) > f(b). Admitamos que f(a) < f(b). Seja k tal que f(a) < k < f(b). Seja o conjunto C = {x : x ∈ [a, b] ∧ f(x) < k}. Como f(a) < k, a ∈ C, pelo que C 6= ∅. Visto que b e´ um majorante de C podemos afirmar, pelo Teorema 1.1.2 que existe c = supC. Como C ⊂ [a, b], c ∈ [a, b]. Dado que f e´ cont´ınua em [a, b] e c e´ aderente a C, existem todos os limites relativos tendo-se, em particular, lim x→c f(x) = lim x → c x ∈ C f(x) = f(c). Mas se x ∈ C, f(x) < k, o que implica que lim x→c f(x) = lim x → c x ∈ C f(x) ≤ k, donde f(c) ≤ k (2.1) Por outro lado, c e´ um ponto aderente a [a, b] \C. Como b ∈ [a, b] \C este conjunto e´ na˜o vazio e lim x→c f(x) = lim x → c x ∈ [a, b] \ C f(x) = f(c). Mas se x ∈ [a, b] \ C, enta˜o f(x) ≥ k, o que implica que lim x→c f(x) = lim x → c x ∈ [a, b] \ C f(x) ≥ k, donde f(c) ≥ k. (2.2) De (2.1) e (2.2) conclui-se que f(c) = k. NOTA: Se f na˜o for cont´ınua em [a, b], pode existir k ∈ [f(a), f(b)] tal que 6 ∃c ∈ [a, b] : f(c) = k (ver Figura 2.6). EXEMPLO: Seja f(x) = x3 − x2 + x. Usando o teorema anterior podemos provar que existe c tal que f(c) = 10. De facto, como f e´ cont´ınua em R podemos considerar a sua restric¸a˜o ao intervalo [0, 3] e facilmente se verifica que f(0) = 0 < 10 < f(3) = 21. 2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 25 xba f(a) f(b) k y Figura 2.6 Corola´rio 1 Se f e´ cont´ınua em [a, b] e f(a) · f(b) < 0, enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = 0. Demonstrac¸a˜o: Podemos supor, sem perda de generalidade, que f(a) < 0 e f(b) > 0. Enta˜o f(a) < 0 < f(b). Como f e´ cont´ınua em [a, b], o teorema anterior permite afirmar que ∃c ∈]a, b[: f(c) = 0. Corola´rio 2 A imagem de um intervalo, por uma func¸a˜o cont´ınua, e´ tambe´m um inter- valo. Demonstrac¸a˜o: Seja f : I ⊂ R → R. Se f(x) = c, ∀x ∈ I, isto e´, se f e´ constante, o seu contradomı´nio reduz-se a um ponto, intervalo do tipo [c, c], na˜o havendo, portanto, nada mais a provar. Como facilmente se verifica, um conjunto J que contenha, pelo menos, dois pontos, e´ um intervalo se, e so´ se, verifica a propriedade: α, β ∈ J ∧ α < β =⇒ [α, β] ⊂ J que e´ ainda equivalente a: α, β ∈ J ∧ α < k < β =⇒ k ∈ J. Suponhamos que f na˜o e´ constante, que α, β ∈ f(I) e α < k < β; por definic¸a˜o, existem a, b ∈ I tais que α = f(a) < k < f(b) = β. Pelo Teorema de Bolzano existe c, estritamente compreendido entre a e b (portanto, c ∈ I), tal que f(c) = k, isto e´, k ∈ f(I). NOTA: O intervalo f(I) pode ser de tipo diferente do intervalo I como se pode ver nos seguintes exemplos: 26 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade 1) f :]−∞,+∞[→ [−1, 1], f(x) = sen(x) 2) f :]−∞,+∞[→]0, 1], f(x) = 1 x2 + 1 3) f :]− pi 2 , pi 2 [→]−∞,+∞[, f(x) = tg(x) Teorema 2.3.5 (Teorema de Weierstrass) Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua num intervalo fechado e limitado I, enta˜o f(I) e´ tambe´m um intervalo fechado e limitado. Demonstrac¸a˜o: Pelo Corola´rio 2 do Teorema de Bolzano sabemos que f(I) e´ um intervalo. Resta-nos enta˜o provar que e´ fechado e limitado. Dividimos a demonstrac¸a˜o em duas partes. 2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 27 a) f(I) e´ limitado. b) f(I) e´ fechado. a) Suponhamos que f(I) na˜o e´ limitado. Enta˜o para cada n ∈ N existe xn ∈ I tal que |f(xn)| ≥ n. Como I e´ limitado a sucessa˜o (xn) tambe´m e´ limitada, portanto, (xn) tem uma subsucessa˜o (xnk) convergente (Teorema 1.3.10). Seja x = limn f(xnk); x∈ I porque I e´ fechado. Visto que f e´ cont´ınua, lim n f(xnk) = f(x), mas esta conclusa˜o e´ incompat´ıvel com a suposic¸a˜o |f(xn)| ≥ n ∀n ∈ N (Teorema 1.3.4) b) Temos de provar que existem x0 e x1 ∈ I tais que f(x0) = sup x∈I f(x) e f(x1) = inf x∈I f(x). Suponhamos que na˜o existe x0 ∈ I tal que f(x0) = sup x∈I f(x), isto e´, L = sup x∈I f(x) na˜o e´ atingido. Enta˜o L− f(x) 6= 0, ∀x ∈ I. Portanto, g(x) = 1 L− f(x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua em I. Prova´mos em a) que toda a func¸a˜o cont´ınua num intervalo limitado e´ limitada o que implica que g e´ limitada. Pelo Teorema 1.1.3 temos que ∀δ > 0 ∃c ∈ I : f(c) > L− δ ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : L− f(c) < δ ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : g(c) = 1 L− f(c) > 1 δ o que contradiz o facto de g ser limitada. Analogamente, se prova a existeˆncia de x1 ∈ I tal que f(x1) = inf x∈I f(x). Portanto, f(I) e´ fechado. Corola´rio 1 Toda a func¸a˜o cont´ınua num intervalo fechado e limitado tem, nesse inter- valo, um ma´ximo e um mı´nimo. NOTAS: 1. Os dois resultados anteriores manteˆm-se va´lidos se substituirmos “intervalo fechado limitado” por “conjunto fechado limitado na˜o vazio”. 2. A hipo´tese intervalo (ou conjunto) fechado e´ necessa´ria como se pode ver pelos exemplos seguintes: 1) Seja f(x) = x. f e´ cont´ınua em ]− 1, 1[ e na˜o tem nesse intervalo ma´ximo nem mı´nimo. 2) A func¸a˜o g(x) = { 1 x , se x 6= 0 0, se x = 0 e´ cont´ınua em ]0, 1], mas na˜o tem ma´ximo nesse intervalo. 28 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade 3) A func¸a˜o h(x) = 1 x sen ( 1 x ) e´ cont´ınua em ]0, 1] e na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo nesse intervalo. Teorema 2.3.6 Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua e injectiva num intervalo I, enta˜o a func¸a˜o inversa e´ tambe´m cont´ınua. Definic¸a˜o 2.3.4 Sejam F e f duas func¸o˜es de domı´nios DF e Df , respectivamente. Diz- -se que F e´ um prolongamento de f se Df ⊂ DF e F (x) = f(x), ∀x ∈ Df . Definic¸a˜o 2.3.5 Seja a um ponto aderente a D (domı´nio de f). Diz-se que f e´ pro- longa´vel por continuidade ao ponto a se existir um prolongamento F de f , com domı´nio D ∪ {a}, sendo F cont´ınua em a. Teorema 2.3.7 Para que uma func¸a˜o f seja prolonga´vel por continuidade ao ponto a, e´ necessa´rio e suficiente que tenha limite nesse ponto. Existindo o limite, o prolongamento por continuidade e´ a func¸a˜o g : Df ∪ {a} → R g(x) = { f(x), se x ∈ Df lim x→a f(x), se x = a EXEMPLO: Consideremos a func¸a˜o f : R \ {0} → R definida por f(x) = sen(x) x (ver Figura 2.7). Sabemos que lim x→0 f(x) = 1. Figura 2.7 Pelo teorema anterior f e´ prolonga´vel por continuidade ao ponto 0 e o prolongamento e´ a func¸a˜o g : R → R definida por: g(x) = { sen(x) x , se x 6= 0 1, se x = 0 Definic¸a˜o 2.3.6 Diz-se que f tem uma descontinuidade remov´ıvel no ponto a se existir uma func¸a˜o g cont´ınua em a, que apenas difere de f em a. 2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 29 EXEMPLO: Seja f(x) = x2 − 2x− 3 x− 3 , se x 6= 3 3, se x = 3 Como lim x → 3 x 6= 3 f(x) = 4, f tem uma descontinuidade remov´ıvel em x = 3. A func¸a˜o g(x) = x2 − 2x− 3 x− 3 , se x 6= 3 4, se x = 3 e´ cont´ınua no seu domı´nio. 30 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade 2.4 Continuidade uniforme Seja f uma func¸a˜o definida e cont´ınua em D ⊂ R. Por definic¸a˜o de continuidade sabemos que para cada x0 ∈ D se tem ∀δ > 0 ∃ε > 0 x ∈ D ∧ |x− x0| < ε⇒ |f(x)− f(x0)| < δ. Sabemos tambe´m que para um δ > 0 e x0 ∈ D o ε > 0 que existe na˜o e´ u´nico, pois se 0 < ε1 < ε enta˜o |x− x0| < ε1 ⇒ |x− x0| < ε e, portanto, |x− x0| < ε1 ⇒ |f(x)− f(x0)| < δ. Seja δ > 0 um nu´mero fixo. Consideremos o subconjunto de D formado pelos pontos x1, x2, . . . , xk. Por definic¸a˜o de continuidade sabemos que existe um conjunto {ε1, ε2, . . . , εk}, εi > 0, ∀i = 1, 2, . . . , k, tais que x ∈ D ∧ |x− x1| < ε1 ⇒ |f(x)− f(x1)| < δ x ∈ D ∧ |x− x2| < ε2 ⇒ |f(x)− f(x2)| < δ ... x ∈ D ∧ |x− xk| < εk ⇒ |f(x)− f(xk)| < δ. Dado que e´ finito, o conjunto {ε1, ε2, . . . , εk} tem mı´nimo ε > 0. Para este valor sa˜o verdadeiras as implicac¸o˜es: x ∈ D ∧ |x− xi| < ε⇒ |f(x)− f(xi)| < δ, i = 1, 2, . . . , k, isto e´, conseguimos arranjar vizinhanc¸as “uniformes” (de amplitude 2ε) dos pontos x1, x2, . . . , xk de tal modo que as imagens dos pontos dessas vizinhanc¸as esta˜o a uma distaˆncia inferior a δ do f(xi) correspondente. E se o conjunto dos pontos escolhido fosse infinito? Seria ainda poss´ıvel, dado δ > 0, escolher um nu´mero ε > 0 nas condic¸o˜es anteriores? A resposta e´, em geral, negativa. Vejamos um exemplo. Seja f(x) = 1 x e D =]0, 2[ (veja-se a Figura 2.8). Figura 2.8 2.4 Continuidade uniforme 31 Figura 2.9 32 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade Consideremos o conjunto {xn : xn = 1 n , n = 1, 2, 3, . . .} e seja δ > 0. Observando a definic¸a˜o de limite, para cada n, o maior εn que podemos tomar e´ εn = δ n(n+ δ) (Figura 2.9). Ora inf{εn : εn = δ n(n+ δ) } = 0, pelo que na˜o existe ε > 0 tal que |x− xn| < ε⇒ |f(x)− f(xn)| < δ, n = 1, 2, 3, . . . Conclu´ımos assim que dado δ > 0 na˜o podemos escolher ε > 0 que, na definic¸a˜o de limite, seja va´lido simultaneamente para todos os xi, i = 1, 2, 3, . . .. Definic¸a˜o 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f e´ uniformemente cont´ınua em A se ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ A, |x− y| < ε⇒ |f(x)− f(y)| < δ. EXEMPLO 1: A func¸a˜o f(x) = sen(x) e´ uniformemente cont´ınua em R, isto e´, e´ verda- deira a proposic¸a˜o ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x− y| < ε⇒ |sen(x)− sen(y)| < δ. De facto, sendo δ > 0 bastara´ escolher ε = δ e sabendo que |sen(x)| ≤ |x| ∀x ∈ R temos: |sen(x)− sen(y)| = ∣∣∣∣2 cos ( x+ y 2 ) sen ( x− y 2 )∣∣∣∣ = 2 ∣∣∣∣cos ( x+ y 2 )∣∣∣∣ ∣∣∣∣sen ( x− y 2 )∣∣∣∣ ≤ 2 ∣∣∣∣sen ( x− y 2 )∣∣∣∣ ≤ 2 ∣∣∣∣x− y2 ∣∣∣∣ = |x− y|. EXEMPLO 2: A func¸a˜o f(x) = 1 x na˜o e´ uniformemente cont´ınua em ]0, 2[, como vimos atra´s. EXEMPLO 3: A func¸a˜o f(x) = x2 (Figura 2.10) na˜o e´ uniformemente cont´ınua em R, isto e´, e´ falsa a proposic¸a˜o ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x− y| < ε⇒ |x2 − y2| < δ. Da igualdade |x2 − y2| = |x − y||x + y| podemos concluir que x e y podem estar ta˜o pro´ximos quanto se queira e a diferenc¸a entre as suas imagens ser arbitrariamente grande 2.4 Continuidade uniforme 33 Figura 2.10 (basta pensar em pontos x e y cuja diferenc¸a seja sempre inferior a ε, mas que estejam arbitrariamente longe da origem). Os gra´ficos da Figura 2.11 procuram ilustrar esta situac¸a˜o. Figura 2.11 34 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade EXEMPLO 4: Provemos, a partir da definic¸a˜o, que a func¸a˜o f(x) = 7 − x2 e´ uniforme- mente cont´ınua em [−10, 1], isto e´, que e´ verdadeira a proposic¸a˜o ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ [−10, 1], |x− y| < ε⇒ |7− x2 − (7− y2)| < δ. Seja δ > 0. Como |7− x2 − (7− y2)| = | − x2 + y2| = |x− y||x+ y| ≤ 20|x− y|, teremos |x− y| < ε⇒ |7− x2 − (7− y2)| < δ se ε < δ 20 . Definic¸a˜o 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f e´ lipschitziana em A se ∃M > 0 : |f(x)− f(y)| ≤M |x− y|, ∀x, y ∈ A. Teorema 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Se f e´ lipschitziana em A, enta˜o f e´ uniformemente cont´ınua em A. Demonstrac¸a˜o: Usando a definic¸a˜o, basta tomar ε = δ M . EXEMPLO 1: A func¸a˜o f(x) = x2 e´ lipschitziana em [0, 1]. De facto, |x2 − y2| = |x+ y| |x− y| ≤ (|x|+ |y|) |x− y| ≤ 2 |x− y| ∀x, y ∈ [0, 1]. A func¸a˜o e´ pois uniformemente cont´ınua em [0, 1]. Vimos atra´s que f(x) = x2 na˜o e´ uniformemente cont´ınua em R. O facto da func¸a˜o ser uniformemente cont´ınua depende do conjunto. E´ claro que se uma func¸a˜o for uniformementecont´ınua num conjunto C e´ uniformemente cont´ınua em todos os subconjuntos de C. EXEMPLO 2: Os ca´lculos efectuados atra´s permitem-nos concluir que f(x) = 7 − x2 e´ lipschitziana em [−10, 1]. Teorema 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. f e´ uniformemente cont´ınua em A se, e so´ se, para quaisquer sucesso˜es (xn) e (yn) de elementos de A tais que lim n (xn− yn) = 0 se tem tambe´m lim n (f(xn)− f(yn)) = 0. EXEMPLO 1: Consideremos novamente a func¸a˜o f(x) = 1 x no intervalo ]0, 1]. Sejam xn = 1 n e yn = 1 2n , n ∈ N. Sa˜o sucesso˜es de elementos do intervalo ]0, 1] e lim(xn − yn) 2.4 Continuidade uniforme 35 = lim ( 1 n − 1 2n ) = lim 1 2n = 0. No entanto, lim(f(xn) − f(yn)) = lim(n − 2n) = lim(−n) = −∞, o que implica, pelo teorema anterior, que f na˜o e´ uniformemente cont´ınua no intervalo considerado. EXEMPLO 2: Seja f(x) = x2. Considerando as sucesso˜es de nu´meros reais xn = √ n+ 1 e yn = √ n temos lim(xn − yn) = lim( √ n+ 1−√n) = lim ( √ n+ 1−√n)(√n+ 1 +√n) ( √ n+ 1 + √ n) = lim n+ 1− n√ n+ 1 + √ n = 0 e lim(f(xn)− f(yn)) = lim ( ( √ n+ 1)2 − (√n)2) = lim (n+ 1− n) = 1, portanto, f na˜o e´ uniformemente cont´ınua em R como t´ınhamos visto. E´ evidente que se f e´ uniformemente cont´ınua em A enta˜o a restric¸a˜o de f a A e´ cont´ınua em A. A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira, tendo-se, no entanto, o seguinte teorema: Teorema 2.4.3 (Teorema de Cantor) Toda a func¸a˜o cont´ınua num conjunto fechado limitado e´ uniformemente cont´ınua. Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que f e´ cont´ınua, mas na˜o uniformemente cont´ınua, em X, fechado limitado. Sendo falsa a proposic¸a˜o ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ X, |x− y| < ε⇒ |f(x)− f(y)| < δ podemos afirmar que existe δ > 0 tal que, para qualquer ε > 0, existem x, y ∈ X, para os quais se verifica |x− y| < ε ∧ |f(x)− f(y)| ≥ δ. Fixemos ε nos valores ε1 = 1, ε2 = 1 2 , . . . , εn = 1 n . Teremos enta˜o ∃x1, y1 ∈ X : |x1 − y1| < 1⇒ |f(x1)− f(y1)| ≥ δ ∃x2, y2 ∈ X : |x2 − y2| < 12 ⇒ |f(x2)− f(y2)| ≥ δ . . . ∃xn, yn ∈ X : |x2 − y2| < 1n ⇒ |f(xn)− f(yn)| ≥ δ. Como (xn) e´ uma sucessa˜o de elementos de X e este conjunto e´ limitado podemos concluir que (xn) e´ limitada. Pelo Teorema 1.3.10, (xn) tem uma subsucessa˜o (xnk) 36 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade convergente para um certo x ∈ R; ale´m disso, x ∈ X porqueX e´ fechado. Mas |xnk−ynk | < 1 nk , o que implica que ynk → x. Como f e´ cont´ınua em X temos lim f(xnk) = lim f(ynk) = f(x), o que implica que lim (f(xnk)− f(ynk)) = 0, o que contradiz |f(xnk)− f(ynk)| ≥ δ > 0. EXEMPLO: Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em R. Provemos que f e´ uniformemente cont´ınua em todo o subconjunto limitado de R. Seja A ⊂ R um conjunto limitado. Se A for fechado, estamos nas condic¸o˜es do Teorema de Cantor. Suponhamos que A na˜o e´ fechado e l = inf(A) e L = sup(A). Consideremos o intervalo [l, L]. E´ um subconjunto fechado limitado de R. Como f e´ cont´ınua em R, f e´ cont´ınua em [l, L]. Pelo Teorema de Cantor, f e´ uniformemente cont´ınua nesse intervalo, sendo, portanto, uniformemente cont´ınua em A ⊂ [l, L]. Cap´ıtulo 3 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial 3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. Definic¸a˜o 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim x→a f(x)− f(a) x− a ou, fazendo x− a = h, lim h→0 f(a+ h)− f(a) h · Designa-se a derivada de f no ponto a por f ′(a) ou df dx (a). Se f tem derivada finita no ponto a, diz-se que f e´ diferencia´vel em a. Designando por P e Qi, i = 1, 2, 3, 4, respectivamente, os pontos do gra´fico de f que teˆm abcissas a e xi, a raza˜o f(xi)− f(a) xi − a e´ o declive da recta PQi, secante ao gra´fico de f (veja-se a Figura 3.1). Se f e´ diferencia´vel no ponto a, chama-se tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) a` recta que passa por este ponto e tem declive igual a f ′(a); a recta tangente tera´ enta˜o a equac¸a˜o: y = f(a) + f ′(a)(x− a). Definic¸a˜o 3.1.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada a` esquerda de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim x→a− f(x)− f(a) x− a 38 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial Figura 3.1: Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada. ou, fazendo x− a = h, lim h→0− f(a+ h)− f(a) h , e designa-se por f ′(a−). Chama-se derivada a` direita de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim x→a+ f(x)− f(a) x− a ou, fazendo x− a = h, lim h→0+ f(a+ h)− f(a) h , e designa-se por f ′(a+). NOTA: E´ evidente que f ′(a) existe se, e so´ se, existem e sa˜o iguais f ′(a+) e f ′(a−). EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = |x| = { x, se x ≥ 0 −x, se x < 0 cujo gra´fico se apresenta na Figura 3.2. f ′(0+) = lim x→0+ f(x)− f(0) x− 0 = limx→0+ x x = 1; f ′(0−) = lim x→0− f(x)− f(0) x− 0 = limx→0− −x x = −1. Como f ′(0+) 6= f ′(0−), f na˜o tem derivada no ponto 0. 3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. 39 Figura 3.2 EXEMPLO 2: A func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = { x sen ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 na˜o tem derivadas laterais em x = 0 (ver Figura 3.3). De facto, a func¸a˜o definida por f(x)− f(0) x− 0 = x sen ( 1 x ) x = sen ( 1 x ) na˜o tem limite quando x→ 0, na˜o existindo sequer limites laterais. Figura 3.3 EXEMPLO 3: A func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = 3√x (ver Figura 3.4) tem derivada +∞ em x = 0, pois 40 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial f ′(0+) = lim x→0+ 3 √ x x = lim x→0+ 3 √ x x3 = lim x→0+ 1 3 √ x2 = +∞ f ′(0−) = lim x→0− 3 √ x x = lim x→0− 3 √ x x3 = lim x→0− 1 3 √ x2 = +∞ f na˜o e´, pois, diferencia´vel em 0. Figura 3.4 EXEMPLO 4: A func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = 3√x2, e cujo gra´fico se apresenta na Figura 3.5, na˜o tem derivada em 0. De facto, f ′(0+) = lim x→0+ 3 √ x2 x = lim x→0+ 3 √ x2 x3 = lim x→0+ 1 3 √ x = +∞ f ′(0−) = lim x→0− 3 √ x2 x = lim x→0− 3 √ x2 x3 = lim x→0− 1 3 √ x = −∞ Figura 3.5 3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. 41 Teorema 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Se f e´ diferencia´vel no ponto a, enta˜o f e´ cont´ınua em a. Demonstrac¸a˜o: Podemos escrever f(x) = f(a) + (x− a) f(x)− f(a) x− a ∀x ∈ D \ {a}. Enta˜o lim x→a f(x) = lim x→a ( f(a) + (x− a) f(x)− f(a) x− a ) = f(a) + 0.f ′(a) = f(a), ou seja, f e´ cont´ınua no ponto a. NOTAS: 1. Uma func¸a˜o pode ser cont´ınua num dado ponto e na˜o ter derivada nesse ponto (ver o exemplo anterior). 2. Se a derivada for infinita, a func¸a˜o pode na˜o ser cont´ınua. Teorema 3.1.2 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em a, enta˜o f + g e f · g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em a, e (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a) (f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a). Se, ale´m disso, g(a) 6= 0, enta˜o f/g e´ diferencia´vel em a e( f g )′ (a) = f ′(a) · g(a)− f(a) · g′(a) (g(a))2 . Demonstrac¸a˜o: Sendo finitas as derivadas f ′(a) e g′(a), teremos no caso da soma: (f + g)′(a) = lim x→a (f + g)(x)− (f + g)(a) x− a = lim x→a f(x) + g(x)− f(a)− g(a) x− a = lim x→a ( f(x)− f(a) x− a + g(x)− g(a) x− a ) = lim x→a f(x)− f(a) x− a + limx→a g(x)− g(a) x− a = f ′(a) + g′(a) o que mostra que f + g e´ diferencia´vel em a. 42 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial Para o produto, temos (f · g)′(a) = lim x→a (f · g)(x)− (f · g)(a) x− a = lim x→a f(x) · g(x)− f(a) · g(a) x− a = lim x→af(x) · g(x)− f(a) · g(x) + f(a) · g(x)− f(a) · g(a) x− a = lim x→a (f(x)− f(a)) · g(x) + f(a) · (g(x)− g(a)) x− a = lim x→a ( g(x) · f(x)− f(a) x− a + f(a) · g(x)− g(a) x− a ) = lim x→a g(x) · lim x→a f(x)− f(a) x− a + f(a) · limx→a g(x)− g(a) x− a = g(a) · f ′(a) + f(a) · g′(a) onde se usou o facto de a diferenciabilidade de g em a implicar a sua continuidade no mesmo ponto. Finalmente, para o quociente podemos comec¸ar por considerar o caso particular de f ser a func¸a˜o constante com o valor 1 em todos os pontos do seu domı´nio. Obtemos enta˜o: ( 1 g )′ (a) = lim x→a ( 1 g ) (x)− ( 1 g ) (a) x− a = limx→a 1 g(x) − 1 g(a) x− a = lim x→a g(a)− g(x) g(x) · g(a) x− a = limx→a g(x)− g(a) x− a · ( − 1 g(x) · g(a) ) = − 1 g(a) · lim x→a 1 g(x) · lim x→a g(x)− g(a) x− a = − 1 g(a) · 1 g(a) · g′(a) = − g ′(a) (g(a))2 . Portanto, notando que f g = f · 1 g , temos: 3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. 43 ( f g )′ (a) = f ′(a) · ( 1 g ) (a) + f(a) · ( 1 g )′ (a) = f ′(a) · g(a)− f(a) · g′(a) (g(a))2 . Corola´rio 1 Se f1, f2, . . . , fp sa˜o func¸o˜es diferencia´veis no ponto a, a sua soma e o seu produto tambe´m o sa˜o e verificam-se as igualdades: (f1 + f2 + · · ·+ fp)′(a) = f ′1(a) + f ′2(a) + · · ·+ f ′p(a) (f1 · f2 · · · fp)′(a) = p∑ i=1 f1(a) · · · f ′i(a) · · · fp(a). Em particular, se p ∈ N e f e´ diferencia´vel em a tambe´m o e´ a func¸a˜o h(x) = (f(x))p e tem-se h′(a) = p · (f(a))p−1 · f ′(a). Teorema 3.1.3 Se g : E → R e´ diferencia´vel no ponto a e f : D → R e´ diferencia´vel no ponto b = g(a), enta˜o f ◦ g e´ diferencia´vel em a e (f ◦ g)′(a) = f ′(b) · g′(a) = f ′(g(a)) · g′(a). Teorema 3.1.4 Sejam I um intervalo, f : I → R uma func¸a˜o estritamente mono´tona e cont´ınua, g : J = f(I) → R a sua inversa. Se f e´ diferencia´vel no ponto a e f ′(a) 6= 0, enta˜o g e´ diferencia´vel em b = f(a) e g′(b) = 1 f ′(a) = 1 f ′(g(b)) . EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o g(x) = arc sen(x), func¸a˜o inversa da func¸a˜o f(x) = sen(x) no intervalo [−pi 2 , pi 2 ]. Teremos enta˜o g′(x) = 1 f ′(g(x)) = 1 cos(g(x)) = 1 cos(arc sen(x)) = 1√ 1− sen2(arc sen(x)) = 1√ 1− x2 . EXEMPLO 2: Consideremos a func¸a˜o g(x) = arc cos(x), func¸a˜o inversa da func¸a˜o f(x) = cos(x) no intervalo [0, pi]. Teremos enta˜o g′(x) = 1 f ′(g(x)) = − 1 sen(g(x)) = − 1 sen(arc cos(x)) = − 1√ 1− cos2(arc cos(x)) = − 1√ 1− x2 . 44 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial De forma ana´loga se pode mostrar que (arc tg(x))′ = 1 1 + x2 e (arc cotg(x))′ = − 1 1 + x2 . Se f : D ⊂ R → R e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em todos os pontos de A ⊂ D, podemos definir a func¸a˜o que a cada x de A faz corresponder f ′(x). Obtemos, assim, uma nova func¸a˜o, de domı´nio A, que representamos por f ′ e a que chamamos func¸a˜o derivada (ou apenas derivada) de f em A. De modo ana´logo, se f ′ for diferencia´vel em A, definimos f ′′ = (f ′)′ (segunda derivada); se f ′′ for diferencia´vel em A, definimos f ′′′ = (f ′′)′, . . . se f (n−1) (derivada de ordem n−1) for diferencia´vel em A, definimos f (n) = (f (n−1))′, derivada de ordem n de f em A. Definic¸a˜o 3.1.3 Se f ′ for cont´ınua em A, dizemos que f e´ de classe C1 em A e representamos por f ∈ C1(A). Se n ∈ N e f (n) e´ cont´ınua em A, dizemos que f e´ de classe Cn em A e representamos por f ∈ Cn(A). Se f ∈ Cn(A), ∀n ∈ N, dizemos que f e´ de classe C∞ e representamos por f ∈ C∞(A). EXEMPLO 1: As func¸o˜es f(x) = cos(x), g(x) = sen(x) e h(x) = ex sa˜o de classe C∞ em R. EXEMPLO 2: A func¸a˜o f(x) = x 2 sen ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 e´ diferencia´vel em R, f ′(x) = 2x sen ( 1 x ) − cos ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 e f ′ na˜o e´ cont´ınua em 0. Temos, assim, f /∈ C1(R). EXEMPLO 3: Se f (n)(x) e g(n)(x) existem, tem-se obviamente, (f + g)(n)(x) = f (n)(x) + g(n)(x). 3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. 45 EXEMPLO 4: A derivada de ordem n do produto de duas func¸o˜es obte´m-se pela fo´rmula de Leibnitz: (f g)(n)(x) = n∑ p=0 nCp f (p)(x) g(n−p)(x), onde se convenciona f (0)(x) = f(x). A demonstrac¸a˜o desta propriedade faz-se facilmente, por induc¸a˜o em n, usando a regra de derivac¸a˜o do produto. Definic¸a˜o 3.1.4 Seja f : D ⊂ R → R, diferencia´vel num ponto a interior a D. Chama- se diferencial da func¸a˜o f no ponto a a` aplicac¸a˜o linear df(a) : R → R dada por df(a)(h) = f ′(a) · h. Teorema 3.1.5 Sejam f e g duas func¸o˜es diferencia´veis. Enta˜o: a) d(f + g) = df + dg b) d(f g) = g df + f dg c) d(fn) = n fn−1 df d) d( f g ) = g df − f dg g2 e) d((g ◦ f)(x)) = g′(f(x)) · df(x) 46 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, La- grange e Cauchy. Definic¸a˜o 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R. a) Diz-se que f tem um mı´nimo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f(a) e´ um mı´nimo local, ou relativo, de f) se existir uma vizinhanc¸a V de a tal que f(x) ≥ f(a), ∀x ∈ V ∩D. b) Diz-se que f tem um ma´ximo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f(a) e´ um ma´ximo local, ou relativo, de f) se existir uma vizinhanc¸a V de a tal que f(x) ≤ f(a), ∀x ∈ V ∩D. Aos ma´ximos e mı´nimos relativos da´-se a designac¸a˜o comum de extremos relativos (ver Figura 3.6). Figura 3.6: Extremos relativos. Teorema 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R. Se f(a) for mı´nimo relativo e existirem derivadas laterais em a, enta˜o f ′(a−) ≤ 0 e f ′(a+) ≥ 0. Se f for diferencia´vel em a, enta˜o f ′(a) = 0. Demonstrac¸a˜o: Se f(a) e´ um mı´nimo relativo enta˜o, por definic¸a˜o, ∃ε > 0 : f(x) ≥ f(a) ∀x ∈ Vε(a) ∩ D. Mas f(x)− f(a) x− a ≤ 0 ∀x ∈]a− ε, a[ ∩ D, o que implica que lim x→a− f(x)− f(a) x− a ≤ 0, isto e´, f ′(a−) ≤ 0. 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 47 Analogamente, f(x)− f(a) x− a ≥ 0 ∀x ∈]a, a+ ε[ ∩ D, o que implica que lim x→a+ f(x)− f(a) x− a ≥ 0, isto e´, f ′(a+) ≥ 0. Teorema 3.2.2 Se f(a) for ma´ximo relativo e existirem derivadas laterais em a, enta˜o f ′(a−) ≥ 0 e f ′(a+) ≤ 0. Se f for diferencia´vel em a, enta˜o f ′(a) = 0. NOTA: Se f e´ diferencia´vel, a condic¸a˜o f ′(a) = 0 e´ necessa´ria, mas na˜o suficiente para que f tenha um extremo em a. Consideremos, por exemplo, a func¸a˜o f(x) = x3; f ′(0) = 0 e f na˜o tem extremo em 0. Teorema 3.2.3 (Teorema de Rolle) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferencia´vel em ]a, b[. Se f(a) = f(b), enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0. Demonstrac¸a˜o: Pelo Teorema de Weierstrass, a func¸a˜o f , cont´ınua no intervalo [a, b], tem ma´ximo M e mı´nimo m neste intervalo. Se M = m enta˜o f e´ constante em [a, b] e, portanto, f ′(x) = 0 ∀x ∈]a, b[, na˜o havendo mais nada a provar. Se M 6= m, a hipo´tese f(a) = f(b) implica que ou o ma´ximo ou o mı´nimo e´ atingido num ponto c ∈]a, b[. Enta˜o, pelos teoremas anteriores, f ′(c) = 0. Geometricamente, o teorema afirma que na representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o ha´ pelo menos um ponto em que a tangente e´ paralela ao eixo dos xx (ver Figura 3.7). Figura 3.7: Interpretac¸a˜o geome´trica do Teorema de Rolle. Corola´rio 1 Entre dois zeros de uma func¸a˜o diferencia´vel num intervalo ha´, pelo menos, um zero da sua derivada. 48 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial Corola´rio 2 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma func¸a˜o diferencia´vel num intervalo existe, no ma´ximo, um zero da func¸a˜o. Teorema 3.2.4 (Teorema de Darboux) Seja I ⊂ R um intervalo aberto, f : I → R uma func¸a˜o diferencia´vel em I. Se existirem a, b ∈ I, a < b, taisque f ′(a) 6= f ′(b) enta˜o, para todo o k entre f ′(a) e f ′(b), existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = k. Demonstrac¸a˜o: Comec¸amos por fazer a demonstrac¸a˜o num caso especial e, usando este, passaremos ao caso geral. Suponhamos que f ′(a) < k = 0 < f ′(b). (3.1) Como f e´ diferencia´vel em I, e´ cont´ınua em I, pelo que e´ cont´ınua em [a, b] e, portanto, f tem um ponto de mı´nimo em [a, b]. Visto que f ′(a) = lim x→a f(x)− f(a) x− a < 0, existe ε1 > 0 tal que f(x)− f(a) x− a < 0, ∀x ∈]a, a + ε1[, pelo que f(x) < f(a), ∀x ∈]a, a + ε1[. Analogamente se mostra que existe ε2 > 0 tal que f(x) < f(b), ∀x ∈]b−ε2, b[. Conclui-se, assim, que nem a nem b sa˜o ponto de mı´nimo de f em [a, b], isto e´, existe c ∈]a, b[ onde f atinge o seu mı´nimo em [a, b]; como f e´ diferencia´vel, f ′(c) = 0. Fica assim demonstrado o teorema no caso especial de (3.1). Obviamente, a demonstrac¸a˜o no caso f ′(a) > k = 0 > f ′(b) (3.2) seria semelhante (mostrar-se-ia, neste caso, que existe um ponto de ma´ximo diferente de a e b). Passemos ao caso geral. Suponhamos que f ′(a) < k < f ′(b). (3.3) A func¸a˜o g(x) = f(x)−kx e´ diferencia´vel em I (g′(x) = f ′(x)−k) e g′(a) = f ′(a)−k < 0 < f ′(b)−k; estamos assim nas condic¸o˜es do caso (3.1): existe c ∈]a, b[ tal que g ′(c) = 0, isto e´, f ′(c) = k. O caso f ′(a) > k > f ′(b) (3.4) resolve-se com a mesma te´cnica, usando (3.2). 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 49 NOTAS: 1. Apenas com a condic¸a˜o de diferenciabilidade no intervalo (na˜o se pede que a derivada seja cont´ınua!), mostra-se que a derivada verifica uma propriedade semelhante a` do Teorema de Bolzano. 2. A derivada pode na˜o ser cont´ınua. Por exemplo, a func¸a˜o: f(x) = x2 sen ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 e´ diferencia´vel em R: f ′(x) = 2 x sen ( 1 x ) − cos ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 e f ′ na˜o e´ cont´ınua em 0. Teorema 3.2.5 (Teorema de Lagrange) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferencia´vel em ]a, b[. Enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = f(b)− f(a) b− a . Demonstrac¸a˜o: A func¸a˜o ϕ(x) = f(x)− f(b)− f(a) b− a x e´ cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em ]a, b[. Ale´m disso, ϕ(a) = ϕ(b). Pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′(c) = 0. Mas ϕ′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a) b− a , o que implica ϕ′(c) = 0⇔ f ′(c)− f(b)− f(a) b− a = 0⇔ f ′(c) = f(b)− f(a) b− a . Geometricamente, o teorema anterior afirma que na representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o ha´ pelo menos um ponto em que a tangente e´ paralela a` corda que une os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) (ver Figura 3.8). NOTA: O Teorema de Rolle e´ um caso particular deste teorema. Trata-se do caso em que f(a) = f(b). 50 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial Figura 3.8: Interpretac¸a˜o geome´trica do Teorema de Lagrange. Corola´rio 1 Se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo, enta˜o e´ cons- tante nesse intervalo. Corola´rio 2 Se f e g sa˜o duas func¸o˜es diferencia´veis num intervalo I e se f ′(x) = g′(x), ∀x ∈ I, enta˜o a diferenc¸a f − g e´ constante em I. Corola´rio 3 Se I e´ um intervalo e f ′(x) ≥ 0 (respectivamente, f ′(x) ≤ 0), ∀x ∈ I, enta˜o f e´ crescente (respectivamente, decrescente) em I; se f ′(x) > 0 (respectivamente, f ′(x) < 0) ∀x ∈ I, enta˜o f e´ estritamente crescente (respectivamente, decrescente) em I. Teorema 3.2.6 (Teorema do valor me´dio de Cauchy) Se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em [a, b], diferencia´veis em ]a, b[ e g ′(x) na˜o se anula em ]a, b[, enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) g′(c) = f(b)− f(a) g(b)− g(a) . Demonstrac¸a˜o: Consideremos a func¸a˜o ϕ(x) = f(x)− f(b)− f(a) g(b)− g(a) g(x). Pelo Teorema de Rolle, g(a) 6= g(b) visto que g′(x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[, pelo que ϕ esta´ bem definida; ale´m disso, ϕ e´ cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em ]a, b[. Como ϕ(a) = ϕ(b), pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′(c) = 0. Mas ϕ′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a) g(b)− g(a) g ′(x) o que implica ϕ′(c) = 0⇔ f ′(c)− f(b)− f(a) g(b)− g(a) g ′(c) = 0⇔ f ′(c) = f(b)− f(a) g(b)− g(a) g ′(c). 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 51 Como g′(x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[ e c ∈]a, b[ temos f ′(c) g′(c) = f(b)− f(a) g(b)− g(a) . NOTA: O Teorema de Lagrange e´ um caso particular deste teorema com g(x) = x. 52 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial 3.3 Indeterminac¸o˜es A partir do Teorema de Cauchy pode-se demonstrar a seguinte regra que e´ muito usada no ca´lculo do limite de um quociente f g quando assume a forma 0 0 ou ∞ ∞ . Teorema 3.3.1 (Regra de Cauchy) Sejam f e g duas func¸o˜es diferencia´veis em ]a, b[ (a < b) tais que a) g′(x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, b) lim x→a f(x) = lim x→a g(x) = 0 ou lim x→a f(x) = lim x→a g(x) = +∞; enta˜o, se existir lim x→a f ′(x) g′(x) , tambe´m existe lim x→a f(x) g(x) e estes limites sa˜o iguais. Corola´rio 1 Sejam I um intervalo aberto, c ∈ I, f e g duas func¸o˜es diferencia´veis em I \ {c}. Se g′(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {c}, e lim x→c f(x) = lim x→c g(x) = 0 ou lim x→c f(x) = lim x→c g(x) = +∞, enta˜o lim x→c x6=c f(x) g(x) = lim x→c x6=c f ′(x) g′(x) sempre que o segundo limite exista (em R). NOTA: Conve´m notar que pode existir lim x→a f(x) g(x) e na˜o existir lim x→a f ′(x) g′(x) . E´ o que acontece com as func¸o˜es f(x) = x2 cos ( 1 x ) , g(x) = x. De facto, lim x→0 f(x) g(x) = lim x→0 x cos ( 1 x ) = 0 e f ′(x) g′(x) = 2x cos ( 1 x ) + sen ( 1 x ) pelo que na˜o existe lim x→0 f ′(x) g′(x) . EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o h definida por sen(x) x . Ao calcular lim x→0 h(x) en- contramos a indeterminac¸a˜o 0 0 . Sendo f(x) = sen(x) e g(x) = x, estamos nas condic¸o˜es da regra de Cauchy. Como lim x→0 f ′(x) g′(x) = lim x→0 cos(x) = 1, podemos concluir que lim x→0 h(x) = 1. 3.3 Indeterminac¸o˜es 53 EXEMPLO 2: Seja h(x) = ex − 1 x . No ca´lculo de lim x→0 ex − 1 x surge a indeterminac¸a˜o 0 0 . Tomando f(x) = ex − 1 e g(x) = x estamos nas condic¸o˜es da regra de Cauchy. Como lim x→0 (ex − 1)′ (x)′ = lim x→0 ex = 1 podemos concluir que lim x→0 ex − 1 x = 1. EXEMPLO 3: Ao calcular lim x→pi 2 h(x) = lim x→pi 2 tg(x)− 5 sec(x) + 4 obtemos a indeterminac¸a˜o ∞ ∞· Considerando f(x) = tg(x) − 5 e g(x) = sec(x) + 4, estamos nas condic¸o˜es da regra de Cauchy. Como lim x→pi 2 f ′(x) g′(x) = lim x→pi 2 sec2(x) sec(x) tg(x) = lim x→pi 2 sec(x) tg(x) = lim x→pi 2 1 sen(x) = 1, podemos concluir que lim x→pi 2 tg(x)− 5 sec(x) + 4 = 1. EXEMPLO 4: Seja h(x) = 3x − 2x x . Ao calcular lim x→0 3x − 2x x encontramos a indetermi- nac¸a˜o 0 0 . Considerando f(x) = 3x − 2x, g(x) = x e aplicando a regra de Cauchy obtemos lim x→0 3x − 2x x = log ( 3 2 ) , pois lim x→0 f ′(x) g′(x) = lim x→0 (3x log(3)− 2x log(2)) = log(3)− log(2) = log ( 3 2 ) . EXEMPLO 5 : A indeterminac¸a˜o 0×∞ surge ao calcularmos lim x→0+ h(x) = lim x→0+ xα log(x), com α > 0. Como lim x→0+ h(x) = lim x→0+ xα log(x) = lim x→0+ log(x) 1 xα e lim x→0+ (log(x))′( 1 xα )′ = lim x→0+ 1 x − α xα+1 = − lim x→0+ xα α = 0, podemos concluir que lim x→0+ h(x) = 0. 54 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial NOTAS: 1. Pode-se demonstrar a partir da Regra de Cauchy o seguinte resultado, u´til quando se pretende estudar a diferenciabilidade de uma func¸a˜o: Sejam f uma func¸a˜ocont´ınua num intervalo I e a um ponto de I. Se f e´ diferencia´vel num intervalo ]a, b[⊂ I e existe lim x→a+ f ′(x) enta˜o f tem derivada a` direita no ponto a e f ′(a+) = lim x→a+ f ′(x). Para tal basta notar que f ′(a+) = lim x→a+ f(x)− f(a) x− a e aplicar a regra de Cauchy. Obviamente, existe um resultado ana´logo para a derivada a` esquerda. 2. Os s´ımbolos 0×∞ e ∞−∞ que podem surgir no ca´lculo do limite de um produto f · g ou de uma soma f + g reduzem-se a 0 0 ou ∞ ∞ pelas transformac¸o˜es: f · g = f 1 g = g 1 f e f + g = 1 f + 1 g 1 f · g Outra regra importante no estudo de limites, mas que e´ aplica´vel somente ao s´ımbolo 0 0 , e´ a seguinte: Teorema 3.3.2 (Regra de l’Hospital) Sejam f e g duas func¸o˜es definidas num intervalo I, diferencia´veis em a ∈ I e g(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {a}. Se f(a) = g(a) = 0 e g′(a) 6= 0, enta˜o f(x) g(x) tem limite no ponto a e lim x→a f(x) g(x) = f ′(a) g′(a) . As indeterminac¸o˜es 1∞, 00 e∞0 surgem do ca´lculo de limites de func¸o˜es f g e reduzem- se a`s indeterminac¸o˜es do tipo 0×∞ fazendo: f g = e log(f) g = e g · log(f). Da continuidade da func¸a˜o exponencial conclui-se que: lim x→a [ (f(x)) g(x) ] = e lim x→a g(x) · log(f(x)). EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o h(x) = xx. A indeterminac¸a˜o que surge ao calcular lim x→0+ h(x) e´ do tipo 00 que podemos converter numa do tipo 0×∞: 3.3 Indeterminac¸o˜es 55 lim x→0+ xx = e lim x→0+ x log(x) = e0 = 1, tendo em conta o que mostra´mos atra´s (exemplo 5 da pa´gina 53). EXEMPLO 2: Vimos num exemplo anterior que lim x→0 sen(x) x = 1, portanto, ao calcular lim x→0 ( sen(x) x ) 1 x2 surge a indeterminac¸a˜o 1∞. lim x→0 ( sen(x) x ) 1 x2 = e lim x→0 1 x2 log ( sen(x) x ) ; neste u´ltimo limite surge a indeterminac¸a˜o 0×∞ que podemos converter em 0 0 fazendo e lim x→0 1 x2 log ( sen(x) x ) = e lim x→0 log ( sen(x) x ) x2 . Como e lim x→0 ( log ( sen(x) x ))′ (x2)′ = e lim x→0 ( sen(x) x )′ sen(x) x 2x = e lim x→0 x cos(x)−sen(x) x2 x sen(x) 2x = e lim x→0 x cos(x) − sen(x) 2x2sen(x) , temos novamente a indeterminac¸a˜o 0 0 . Considerando f(x) = x cos(x) − sen(x) e g(x) = 2x2sen(x) obtemos lim x→0 f ′(x) g′(x) = lim x→0 −sen(x) 4 sen(x) + 2x cos(x) aparecendo ainda a indeterminac¸a˜o 0 0 . Tendo em conta que lim x→0 (−sen(x))′ (4 sen(x) + 2x cos(x))′ = lim x→0 − cos(x) 6 cos(x)− 2x sen(x) = − 1 6 , podemos concluir que lim x→0 ( sen(x) x ) 1 x2 = e− 1 6 . 56 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial EXEMPLO 3: No ca´lculo de lim x→0+ ( 1 x )tg(x) surge a indeterminac¸a˜o ∞0. Como lim x→0+ ( 1 x )tg(x) = e lim x→0+ tg(x) log ( 1 x ) = e lim x→0+ log ( 1 x ) cotg(x) e neste limite a indeterminac¸a˜o e´ primeiro do tipo 0×∞ e depois do tipo ∞∞ temos que o limite pedido e´ 1 pois e lim x→0+ ( log ( 1 x ))′ (cotg(x))′ = e lim x→0+ −1 x cosec2(x) = e lim x→0+ −sen 2(x) x = e0 = 1. 3.4 Teorema de Taylor 57 3.4 Teorema de Taylor Teorema 3.4.1 (Teorema de Taylor) Seja f uma func¸a˜o definida num intervalo [a, b] (a < b), com derivadas cont´ınuas ate´ a` ordem n − 1 em [a, b] e com derivada de ordem n definida em ]a, b[. Enta˜o, existe um ponto c ∈]a, b[ tal que f(b) = f(a)+(b−a) f ′(a)+(b− a) 2 2! f ′′(a)+· · ·+(b− a) n−1 (n− 1)! f (n−1)(a)+ (b− a)n n! f (n)(c) (∗) Demonstrac¸a˜o: Consideremos a func¸a˜o ϕ(x) = f(b)− [f(x) + (b− x)f ′(x) + (b− x) 2 2! f ′′(x)+ + · · ·+ (b− x) n−1 (n− 1)! f (n−1)(x) + (b− x)n n! A], sendo A uma constante escolhida por forma que ϕ(a) = 0. ϕ esta´ nas condic¸o˜es do Teorema de Rolle: por construc¸a˜o, e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b], diferencia´vel em ]a, b[ e ϕ(a) = 0 = ϕ(b). Enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′(c) = 0. Mas ϕ′(x) = −[ f ′(x)− f ′(x) + (b− x)f ′′(x)− (b− x)f ′′(x) + · · · − (b− x) n−2 (n− 2)! f (n−1)(x)+ + (b− x)n−1 (n− 1)! f (n)(x)− (b− x) n−1 (n− 1)! A ] = − [ (b− x)n−1 (n− 1)! f (n)(x)− (b− x) n−1 (n− 1)! A ] = (b− x)n−1 (n− 1)! [ A− f (n)(x)] Enta˜o ϕ′(c) = 0⇔ (b− c) n−1 (n− 1)! [ A− f (n)(c)] = 0⇔ (b− c)n−1 = 0 ∨ f (n)(c)− A = 0. Como c ∈]a, b[ vem f (n)(c) = A. Por construc¸a˜o de ϕ temos ϕ(a) = 0, portanto, 0 = ϕ(a) = f(b)− [f(a) + (b− a)f ′(a) + (b− a) 2 2! f ′′(a)+ + · · ·+ (b− a) n−1 (n− 1)! f (n−1)(a) + (b− a)n n! f (n)(c)], e obtemos assim (∗). 58 3. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial NOTA: A hipo´tese a < b e´ desnecessa´ria, como facilmente se observa na demonstrac¸a˜o. Apenas foi introduzida para facilitar o enunciado. A expressa˜o (∗) chama-se fo´rmula de Taylor de ordem n de f . Fazendo no enunciado do teorema b = a+ h, vem f(a+ h) = f(a) + h f ′(a) + h2 2! f ′′(a) + · · ·+ h n−1 (n− 1)! f (n−1)(a) + hn n! f (n)(a+ θh), sendo 0 < θ < 1. Ao termo hn n! f (n)(a+θh) ou (b− a)n n! f (n)(c) chama-se resto de Lagrange da fo´rmula de Taylor. No caso em que a = 0, a fo´rmula de Taylor e´ conhecida por fo´rmula de MacLaurin: f(x) = f(0) + f ′(0) x+ f ′′(0) x2 2! + · · ·+ f (n−1)(0) x n−1 (n− 1)! + f (n)(c) xn n! , sendo 0 < c < x ou x < c < 0. EXEMPLO 1: Vamos escrever a fo´rmula de MacLaurin, com resto de ordem 4, da func¸a˜o f(x) = ex sen(x). Como f e´ uma func¸a˜o de classe C∞(R) podemos escrever a sua fo´rmula de MacLaurin de qualquer ordem. Em particular, para n = 4 existe c entre 0 e x tal que f(x) = f(0) + f ′(0) x+ f ′′(0) x2 2! + f ′′′(0) x3 3! + f (IV )(c) x4 4! . Calculemos as derivadas de f . f ′(x) = ex (sen(x) + cos(x)) ⇒ f ′(0) = 1 f ′′(x) = 2ex cos(x) ⇒ f ′′(0) = 2 f ′′′(x) = 2ex(cos(x)− sen(x)) ⇒ f ′′′(0) = 2 f (4)(x) = −4exsen(x) ⇒ f (4)(c) = −4ecsen(c) Logo, exsen(x) = x+ 2 x2 2! + 2 x3 3! − 4ecsen(c) x 4 4! = x+ x2 + x3 3 − ecsen(c) x 4 6 com c entre 0 e x. EXEMPLO 2: Calculemos, usando a fo´rmula de Taylor, o limite lim x→pi log(| cos(x)|) + (x− pi) 2 2 (x− pi)2 · 3.4 Teorema de Taylor 59 Consideremos a func¸a˜o f(x) = log(| cos(x)|). E´ uma func¸a˜o de classe C∞ em D = {x ∈ R : cos(x) 6= 0}. Como pi ∈ D, podemos escrever a fo´rmula de Taylor de ordem 3 de f em poteˆncias de x− pi: existe c entre x e pi tal que f(x) = f(pi) + f ′(pi) (x− pi) + f ′′(pi) (x− pi) 2 2! + f ′′′(c) (x− pi)3 3! Como f(pi) = 0 e f ′(x) = −sen(x) cos(x) = −tg(x) ⇒ f ′(pi) = 0 f ′′(x) = − 1 (cos(x))2 ⇒ f ′′(pi) = −1 f ′′′(x) = − 2 sen(x) (cos(x))3 ⇒ f ′′′(c) = − 2 sen(c) (cos(c))3 temos f(x) = −(x− pi) 2 2! − 2 sen(c) (cos(c))3 · (x− pi) 3 3! = −(x− pi) 2 2 − sen(c) (cos(c))3 · (x− pi) 3 3 Calculemos o limite pedido. lim x→pi log(| cos(x)|) + (x− pi) 2 2 (x− pi)2 = limx→pi −(x− pi) 2 2 − sen(c) (cos(c))3 · (x− pi) 3 3 + (x− pi)2 2 (x− pi)2 = lim x→pi − sen(c) (cos(c))3 · (x− pi) 3 3 (x− pi)2 = limx→pi ( − sen(c) (cos(c))3 · x− pi 3 ) = − sen(pi) (cos(pi))3 · pi − pi 3 = 0 visto que quando x→ pi tambe´m c→ pi. EXEMPLO 3: Escrevamos a fo´rmula de Taylor de ordem 2 da func¸a˜o f(x) = 1 1 + log(x) em torno do ponto 1 e mostremos que f(x) < 1− (x− 1) + 3 (x− 1) 2 2 ∀x > 1. A func¸a˜o f e´ de classe C∞ em D = {x ∈ R+ : 1 + log(x) 6= 0}. Como 1 ∈ D podemos escrever a fo´rmula de Taylor de ordem 2 de f em poteˆncias de x− 1: existe c entre x e 1 tal que f(x) = f(1) + f ′(1) (x− 1) + f ′′(c) (x− 1) 2
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