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Robinson F. Cadillo 
MOVIMENTO HARMÔNICO 
1. INTRODUÇÃO 
 
Um dos movimentos mais importantes 
oscilatório. Chamado também movimento periódico ou 
quando se move periodicamente em relação a uma posição de equilíbrio
movimento oscilatório esta presente 
da figura 1c e 1d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. MHS ao redor do ponto de equilíbrio “o” de
(a), e de um sistema mola
elétrons dentro de um tubo de raios catódicos de um
defletida harmonicamente, 
oscilação natural periódica
 
De todos os movimentos oscilatórios, o mais importante é 
já que constitui uma aproximação a muitas oscilações encontradas na 
movimento muito simples de descrever matematicamente.
completo desta matéria, espero do 
dinâmica de uma partícula, as leis de Newton, 
solido, momento de inércia, e teorema de 
 
2. MOVIMENTO HARMÔNICO 
 
Quando uma partícula realiza movimento harmônico simples (MHS)
(figura 2), o deslocamento “x” da partícula
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Partícula realizando movimento harmônico simples.
 
(a) 
(c) 
Unir – Campus de Ji
- 1 - 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 
(Versão 2014/2) 
 
Um dos movimentos mais importantes que observamos na natureza é o movimento 
oscilatório. Chamado também movimento periódico ou vibracional. Em geral, uma partícula oscila 
quando se move periodicamente em relação a uma posição de equilíbrio (Figura 1a e 1b)
movimento oscilatório esta presente em nosso cotidiano em suas diversas formas, 
MHS ao redor do ponto de equilíbrio “o” de um pêndulo simples
sistema mola-massa (b). Exemplos do MHS: (c) a deflexão dos 
elétrons dentro de um tubo de raios catódicos de um osciloscópio 
defletida harmonicamente, (d) A molécula de água é polar e tem uma 
oscilação natural periódica. 
De todos os movimentos oscilatórios, o mais importante é o movimento harmônico simples, 
uma aproximação a muitas oscilações encontradas na natureza, alem de ser um 
s de descrever matematicamente. Para uma compreensão e um domínio 
do leitor um conhecimento prévio de matérias tais como v
eis de Newton, dinâmica de corpos sólidos, centro de massa
e teorema de Steiner. 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 
Quando uma partícula realiza movimento harmônico simples (MHS) ao redor do ponto “O” 
, o deslocamento “x” da partícula em função do tempo “t” esta definida pela equação:
Partícula realizando movimento harmônico simples. 
(b) 
(d) 
Campus de Ji-Paraná 
na natureza é o movimento 
vibracional. Em geral, uma partícula oscila 
(Figura 1a e 1b). Esse 
em suas diversas formas, (veja exemplo 
ndulo simples 
deflexão dos 
osciloscópio é 
) A molécula de água é polar e tem uma 
o movimento harmônico simples, 
natureza, alem de ser um 
uma compreensão e um domínio 
um conhecimento prévio de matérias tais como vetores, 
entro de massa de um 
ao redor do ponto “O” 
em função do tempo “t” esta definida pela equação: 
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���� = ���	�
 ∙ � + 
� (1) 
 
Onde: 
 ∙ � + 
: fase, cuja unidade deve estar em rad. 
: fase inicial (t = 0) 
�: Amplitude (deslocamento máximo a partir da origem) 
: freqüência angular, onde [
]=rad/m 
 
Observamos que x também pode se expressar de forma de cosseno e independente da função 
usada, o movimento repete depois de um período T, de modo que � ∙ 
 = 2�. Além disso, o 
período T também esta relacionado com a freqüência de oscilação: 
 
� = ��; onde ��� = ����� (2) 
 
A velocidade da partícula fica determinada derivando o deslocamento x em relação do 
tempo, veja equação 3. Observe, na equação, a velocidade máxima da partícula oscilante é�� ∙ 
. 
 
���� = ���� = � ∙ 
 ∙ ����
 ∙ � + 
� (3) 
 
Similarmente, a aceleração da partícula é obtida calculando a derivada da velocidade em 
função do tempo. Isto é: 
 
 ��� = �!�� = −� ∙ 
# ∙ ��	�
 ∙ � + 
� (4) 
 
Observe desta ultima equação que � ∙ 
# é a aceleração máxima da partícula. Alem disto, 
observe no MHS, a aceleração é sempre proporcional e oposta ao deslocamento. 
 
 ��� = −
# ∙ ���� (5) 
 
A figura 3 mostra as representações gráficas do deslocamento, velocidade e aceleração em 
função do tempo t. 
 
Problema resolvido 
Uma partícula realiza MHS sobre o eixo x, segundo a equação: 
x�t� = 1,0�cm�. cos��.2π rads 2 t +
π
2 rad� 
(a) Calcule o deslocamento desse movimento em t = 3 s. (b) Calcule a velocidade da partícula em t 
= 3 s. (c) Calcule a aceleração da partícula em t = 3 s. (d) Determine a fase do movimento em t = 
3s. (e) Qual é a frequência desse movimento em t = 3s 
Solução: 
 
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Observe da equação a descrição do MHS da partícula: a amplitude � = �1,0�cm, a frequência 
angular 
 = 2π 3456 e a fase inicial 
 = π# rad. 
x�7�s� = 1,0�cm�. cos 892:� 3456 ; 7�s + <# rad= = 1,0��>���	 9�?<# � @; = −1,0��> 
��7��� = 1,0��> ∙ .2: rads 2 ∙ cos A.2:�
� @
� 2 7�� +
:
2 �� @B = 0 
 �7��� = −
# ∙ ��7��� = −92:� 3456 ;
# �−1,0�cm� = C:# �D6E 
A fase em 3s é obtida através do seguinte calculo: 
A.2: rads 2 7�s +
:
2 radB =
17:
2 � @ 
Como 
 = 2�� = 2: 3456 , consequentemente: � = 1FG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Representação gráfica do movimento harmônico simples. (a) 
deslocamento versus tempo, (b) velocidade versus tempo, e (c) aceleração 
versus tempo. Repare que dado um tempo a velocidade esta fora de fase 
com o deslocamento em 90º, e a aceleração esta fora de fase em 180º em 
relação ao deslocamento. 
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3. DINÂMICA DE SISTEMAS OSCILANTES 
 
Existem diferentes tipos de forças que dão origem a um MHS. Obviamente, essas forças 
obedecem à segunda lei de Newton (H = > ∙ ), e estão relacionadas com a posição, segundo a 
equação 5: 
 
H = −
# ∙ > ∙ � (6) 
 
Observa-se a proporcionalidade entre a força e o deslocamento (equação 6), porém os 
vetores estão dispostos em sentidos opostos. Definindo I = > ∙ 
#, como constante elástica, a 
força no MHS será: 
 
H = −I ∙ � (7) 
 
Por tanto, a força sempre aponta na origem “0”, veja figura 2, e é denotado como ponto de 
equilíbrio dado que H = 0 (para o deslocamento x = 0). Podemos concluir também que F é uma 
força atrativa, sendo o centro da atração o ponto “0”. 
Considerando a constante elástica I, o período e a freqüência de oscilação da partícula 
realizando MHS serão: 
 
� = #JK = 2� ∙ LMN (8) 
 
� = �#J ∙ LNM (9) 
 
Por outra parte, fazendo uso da força elástica presente no MHS e desenvolvendo a segunda 
lei de Newton 
 
HO = −I ∙ �O = > ∙ @
#�O
@�# 
 
Nós temos a equação diferencial de segundo ordem: 
 
@#�
@�# +
I
> ∙ � = 0 
Ou seja: 
�E�
��E +∙ 
#� = 0 (10) 
 
Esta equação freqüentemente é chamada equação diferencial característica do MHS de 
segundo ordem, cujo coeficiente do deslocamento define 
#. Em outras palavras, aplicando a 
segunda lei de Newton em qualquer sistema físico que realiza MHS, conseguimos a equação 
diferencial característica do MHS, e consequentemente a freqüência. A solução da equação 10 são 
funções de �
 ∙ ��. A seguir, veja as diferentes formas de soluções dessa equação: 
 
���� = ����	�
 ∙ � + 
� (11) 
 
���� = P�����
 ∙ � + Q� (12)Robinson F. Cadillo Unir – Campus de Ji-Paraná 
 
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���� = R���	�
 ∙ �� + S�����
 ∙ �� (13) 
 
���� = T��UK∙� + H��VUK∙� (14) 
 
Em cada uma das soluções equações 11-14, observamos um par de constantes de integração 
e são calculados a partir das condições iniciais do MHS. Por exemplo, da solução 11, a amplitude 
A e fase inicial 
 são determinadas a partir das condições iniciais, tais como: 
 
��� = 0� = �W; ��� = 0� = �W ou; 
 
��� = 0� = �W; �� = 0� = W ou; 
 
��� = 0� = �W; �� = 0� = W 
 
 
Nesta disciplina de Oscilações e Ondas utilizaremos as três primeiras soluções (equações 
11-13) de todas as diferentes formas de solução citadas acima. 
 
Problema resolvido: 
Calcule as constantes Amplitude A e fase inicial 
 da solução do MHS conhecendo as 
condições iniciais �W����W. 
Solução: 
Partindo da solução da equação do MHS: ���� = ���	�
 ∙ � + 
�, nós temos: 
 
�W = � ∙ ��	
 , e 
�W = � ∙ 
 ∙ ���
 
Destas duas avaliações, calculamos a fase inicial e a amplitudes: 
tan��
� = K∙�Y!Y ; e �# =
KE∙�YEZ!YE
KE 
Se a partícula se encontra na posição de equilíbrio iniciais �W�e logo depois recebe um impulso 
com velocidade inicial �W, a fase inicial será 
 = 0, e a amplitude � = �W 
[ . 
 
Exercício: 
Calcule o par de constantes da solução 12, quando a condição inicial é: 
(a) ��� = 0� = �W; ��� = 0� = �W 
(b) ��� = 0� = �W; �� = 0� = W 
(c) ��� = 0� = �W; �� = 0� = W 
 
Exercício 
Calcule o par de constantes da solução 13, quando a condição inicial é: 
(d) ��� = 0� = �W; ��� = 0� = �W 
(e) ��� = 0� = �W; �� = 0� = W 
(f) ��� = 0� = �W; �� = 0� = W 
 
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Figura 4. O deslocamento x do objeto a 
partir do ponto de equilíbrio é positivo se 
a mola for estendida e negativa se a mola 
for comprimida. 
Figura 5. Pêndulo simples 
de comprimento l, oscilando 
ao redor do ponto fixo “o”. 
3.1.- Sistema Massa - mola 
 
Em equilíbrio a mola não exerce força no objeto de 
massa M. Quando objeto é deslocado de uma distancia x 
a partir de sua posição de equilíbrio, a mola exerce uma 
força –Kδ, onde δ é a deformação e K é a constante 
elástica da mola. De acordo com a lei de Hooke: 
 
H = −I. \ 
 
 
 
Observe que a posição x da partícula coincide com a deformação da mola (\ = �). Por outra 
parte, como estamos interessados em encontrar a equação característica de MHS para o sistema 
massa-mola, aplicaremos a lei de Hooke na segunda lei de Newton do sistema: 
 
H = −I. � = ]. @
#�
@�# 
Portanto: 
�E�
��E + N^ . � = 0 (15) 
 
Conseguida a equação característica de MHS, identificamos a freqüência natural de 
oscilação é 
# = I ][ . 
 
3.2.- O pêndulo simples 
 
O pêndulo simples é um tipo de oscilador harmônico constituído de um corpo cuja massa 
“m” unido a um ponto fixo “o”, através de uma corda inextensível de comprimento “l”, veja figura 
5. O MHS realizado pelo pendulo acontece em casos em que o ângulo _ é pequeno. Estudemos 
agora o movimento deste sistema. Ou seja, nosso objetivo primário é calcular a freqüência depois 
de encontrar a equação característica de MHS deste pêndulo. 
 
Método 1: Fazendo uso da Segunda lei de Newton para forças tangenciais 
 
A partícula se move segundo a trajetória de um arco de raio “l”. As forças que agem sobre 
a partícula são o peso mg e a tensão T, ao longo da corda. Observamos da figura, a componente 
tangencial da força Ft, que esta dado por: 
 
H� = −>` ∙ ��	_ 
 
Onde o sinal menos se deve a que a força aponta em sentido contrario 
ao deslocamento. A equação do movimento tangencial será: 
 
H� = −>` ∙ ��	_ = > ∙ � 
 
 
Com a aceleração tangencial esta relacionada com a 
aceleração angular � � = a ∙�b= a ∙ �Ec��E�, a equação de movimento 
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Figura 6. Pêndulo físico. 
tangencial será: 
 
@#_
@�# +
`
a ��	_ = 0 
 
Considerando o ângulo _ pequeno, então a amplitude das oscilações também é pequena, 
em conseqüência ��	_d_. Com isso a equação de movimento será: 
 
�Ec
��E + ef ∙ _ = 0 (16) 
 
Método 2: Fazendo uso da Segunda lei de Newton para o movimento angular 
 
Considerando Io o momento de inércia do pendulo, e sabendo o torque devido à tensão da 
corda é 0gO e devido ao peso da partícula é hO = >` ∙ a ∙ ��	_�−ijk�, obtemos a equação de 
movimento a partir da segunda lei de Newton para um movimento angular: 
 
l hmggO = �ngO�� = �ijk�oW ∙ �
Ec
��E (17) 
 
−>` ∙ a ∙ ��	_ = �> ∙ a#� ∙ @
#_
@�# 
Onde ijk é o vetor unitário paralelo ao eixo de giro perpendicular ao plano descrito pelo pendulo e 
que passa por “o”, cujo sentido é saindo desta folha. 
Considerando novamente ângulos pequenos de _, então ��	_d_. Por tanto, temos o mesmo 
resultado de equação de movimento do pendulo simples (equação 16), com frequência angular 
 = L` a[ . 
O período de oscilação � = #JK = 2� ∙ L fe do pendulo não depende da massa m do corpo, 
depende somente do comprimento l da corda e da aceleração da gravidade g. 
 
3.3.- O pendulo físico 
 
No pendulo físico articulado em “0” e com centro de 
gravidade em G, figura 6. O torque devido ao peso mg é: 
 
hkgggO = �−ijk� ∙ > ∙ ` ∙ p ∙ ��	_ 
 
Enquanto ao momento angular, tem-se: 
 
�ngO
�� = �ijk� ∙ o ∙ �
Ec
��E 
 
Novamente, sem perder o foco, nosso objetivo neste sistema é 
calcular a freqüência angular de oscilação. Diante disso, a 
partir da segunda lei de Newton do movimento angular (equação 
13), e das duas relações anteriores nós temos: 
 
−> ∙ ` ∙ p ∙ ��	_ = o ∙ @
#_
@�# 
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Para deslocamentos angulares pequenos ��	_d_, a equação anterior logra a forma seguinte: 
 
 
�Ec
��E + M∙e∙nq _ = 0 (18) 
 
Novamente, nós estamos obtendo uma equação diferencial de segundo ordem, onde a partir da 
freqüência angular (
# = >`p or ), tem-se o período de oscilação: 
 
� = 2� ∙ L qM∙e∙n (19) 
 
 
4. ENERGIA NO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 
 
Fazendo uso da equação 3, a energia cinética Ec de uma partícula em MHS é: 
 
Ts = 12 ∙ > ∙ �# =
1
2 ∙ > ∙ 
# ∙ �# ∙ ���#�
� + 
� 
Ts = 12 ∙ > ∙ 
# ∙ ��# − �# ∙ ��	#�
� + 
�� 
 
Ts = �# ∙ > ∙ 
# ∙ ��# − �#� (20) 
 
Observação: a energia cinética máxima na posição � = 0, e a energia cinética mínima na 
posição � = ±�. Por outra parte, para obter a energia potencial lembremos a equação H =
−uTv u�[ �e da força envolvida (H = −I ∙ �) em partículas realizando MHS 
 uTv
u� = I ∙ � 
 
 Integrando: 
w @Tv =
xy
z
I ∙ w � ∙ @�
�
z
 
 
Ou: 
Tv = �# ∙ I ∙ �# = �# ∙ > ∙ 
# ∙ �# (21) 
 
Observação: a energia potencial é máxima em � = ±�, e mínima em � = 0 
 
Somando os resultados das equações 20 e 21 relacionadas à energia cinética (Ec) e à energia 
potencial (Ep), tem-se: 
 
Ts + Tv = �# ∙ > ∙ 
# ∙ �# (22) 
 
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Figura 7. Representação gráfica da energia potencial e cinética de um oscilador 
harmônico simples em função (a) do deslocamento, (b) e do tempo. 
Observação: a energia total do oscilador harmônico é constante. Isto era esperado, já que a 
força envolvida nesse tipo de movimento é conservativa. 
A energia total do oscilador é uma constante de movimento alem das outras já conhecidas 
como a aceleração da gravidade. Na figura 5, observa-se um intercambio freqüente entre a energia 
cinética e potencial, segundo a posição do deslocamento. Alem disso, observa-se no gráfico Ep 
versus x, a orientação da força elástica a partir da equação:H = −uTv u�[ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimentos oscilatórios próximos ao MHS 
 
 
O movimento harmônico simples é um modelo para uma ampla variedade de fenômenos 
físicos. Por exemplo, na estrutura de um sólido cujos átomos estão arranjados simetricamente. 
Entre eles existe apresenta-se vibrações de um átomo em relação a outro. A energia potencial em 
relação à distancia entre os átomos é mostrado na figura 6. O interessante do estudo do movimento 
dos átomos que apresentam essas características é que elas podem se aproximar ao MHS, 
próximos à posição de equilíbrio ro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 8. Gráfico da energia potencial entre dois átomos de um sólido. Os 
átomos movimentando-se próximos à posição de equilíbrio têm um 
comportamento quase de MHS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Relação entre o MHS e o movimento circular 
 
 
Existe relação entre o movimento circular uniforme e o MHS, a qual pode ser observada 
fazendo uso do movimento circular uniforme de uma partícula, tal como é mostrado na figura 7. Si 
consideramos que a partícula inicia seu movimento em t=0s, então o vetor posição da partícula 
será: 
 
{gO = ij� ∙ { ∙ ���
� + ij| ∙ { ∙ ��	
� 
 
Considerando agora a projeção da partícula sobre o eixo x: 
 
�O = ij� ∙ { ∙ ���
� 
 
O aluno pode reparar que tal projeção esta realizando MHS. Alem disso, podemos ver o 
radio que descreve a partícula vem ser o valor da amplitude A da projeção de tal partícula. 
 
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Figura 9. A projeção do vetor R sobre o diâmetro, que 
pousa no eixo x, descreve um movimento harmônico 
simples.