2 Operações com Vetores

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OPERAÇÕES COM VETORES
Ênio Bruce
Recife/PE, Março 2016
RETA ORIENTADA - EIXO
Definição: Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso
considerado positivo e indicado por uma seta.
O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo.
TRANSITANDO PELAS DEFINIÇÕES
SEGMENTO ORIENTADO
Definição: Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de
pontos, o primeiro chamado origem do segmento e o segundo, extremidade.
O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e
geometricamente indicado por uma seta que caracteriza de forma visual o sentido
do segmento.
TRANSITANDO PELAS DEFINIÇÕES
SEGMENTO NULO E OPOSTO
1. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.
2. Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é o oposto de AB.
TRANSITANDO PELAS DEFINIÇÕES
Fixando uma unidade de comprimento, podemos associar a cada segmento
orientado um número real não negativo.
A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo.
O comprimento do segmento AB é indicado por AB.
Nesta ilustração o segmento orientado u representa o comprimento unitário.
• Os segmentos nulos têm comprimentos igual a zero.
• AB = BA
MEDIDA DE UM SEGMENTO
Dois segmentos orientados não nulos, AB e CD, têm a mesma direção se as retas
suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes.
As figuras abaixo ilustram segmentos orientados que são coincidentes (isto é,
ambos os segmentos estão na mesma reta).
MEDIDA DE UM SEGMENTO
DEFINIÇÃO
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma
direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Sempre que os segmentos AB e CD forem equipolentes, serão representados por
AB ~ CD.
Para que o segmento AB seja equipolente a CD (na figura à direita), é necessário
que AB // CD e ABCD formem um paralelogramo.
SEGMENTOS EQUIPOLENTES
PROPRIEDADES DA EQUIPOLÊNCIA
Agora que você já sabe o que é um segmento equipolente, vamos apresentar-lhe
as suas propriedades.
(i) AB ~ AB (reflexiva).
(ii) Se AB ~ CD, então CD ~ AB (simétrica).
(iii) Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF (transitiva).
(iv) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D, tal
que AB ~ CD.
SEGMENTOS EQUIPOLENTES
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os
segmentos orientados equipolentes a AB. Esse conjunto é indicado por
O vetor determinado por AB é denotado por: ou B - A ou
Qualquer vetor é um representante do conjunto vetores desde que tenha a
mesma direção, mesmo sentido e comprimento de AB.
Indicamos o módulo (ou magnitude) de v por
VETORES
DEFINIÇÕES
Vetores iguais : Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB ~ CD.
Vetor nulo : Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam
um único vetor, chamado de vetor nulo ou vetor zero, indicado por
Vetores opostos : Dado v=AB, o vetor BA é o oposto de AB e o indicamos por -
AB ou -v.
Vetor unitário : v é unitário se |v| = 1.
Versor : O versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e
mesmo sentido de v.
VETORES
DEFINIÇÕES
Vetores colineares – u e v são considerados vetores colineares se tiverem a
mesma direção. Em outras palavras, u e v são colineares se tiverem
representantes AB e CD pertencentes à mesma reta ou em retas paralelas.
Vetores coplanares – se os vetores não nulos u; v e w têm representantes AB,
CD e EF pertencentes ao mesmo plano, dizemos que são coplanares.
VETORES
Coplanares Não Coplanares
ADIÇÃO
Definição: Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB
e BC. Os pontos A e C determinam um vetor s, que é a soma dos vetores u e v, ou
seja:
OPERAÇÕES COM VETORES
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
Sejam u, v e w vetores quaisquer, valham:
Comutativa : u +v = v + u
Associativa : (u +v) + w = u + (v + w)
Elemento Neutro : Existe um elemento 0, tal que v + 0 = 0 + v = v
Inverso Aditivo : Para todo vetor v existe um único vetor –v (vetor oposto de v),
tal que v + (-v) = (-v) +v = 0
OPERAÇÕES COM VETORES
Exercícios
DIFERENÇA DE VETORES
Definição: Dizemos que d é a diferença de dois vetores u e v se d = u - v, ou
seja:
Nas figuras abaixo estão representados os vetores u e v, respectivamente, pelos
segmentos orientados AB e AC. ABCD é um paralelogramo cujas diagonais AD
e BC representam, respectivamente, s e d (soma e diferença).
OPERAÇÕES COM VETORES
Origem com extremidade Extremidade com extremidade
Exercícios
MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL
Definição: Dados um vetor v ≠ 0 e um número real k ≠ 0, chamamos de produto
do escalar k pelo vetor v, o vetor p = k*v, tal que:
• Se k = 0 ou v = 0, o produto é ZERO.
OPERAÇÕES COM VETORES
MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL
Seja um vetor kv, em que ≠ 0. Fazendo com que k varie sobre R (o conjunto dos
números reais), obtemos os infinitos vetores colineares a v (além de serem
também colineares entre si).
Por outro lado, para quaisquer dois vetores u e v, colineares, sempre existe um k
€ R, tal que:
OPERAÇÕES COM VETORES
MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL
Para todo v ≠ 0:
Assim, temos que v = |v| * u, ou seja, todo vetor é o produto de seu módulo pelo
vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido que v.
OPERAÇÕES COM VETORES
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL
Sejam u e v vetores quaisquer e a e b números reais (também conhecidos como
escalares). Assim, temos as seguintes propriedades:
Associativa:
Identidade:
Distributividade em relação aos escalares:
Distributividade em relação aos vetores:
OPERAÇÕES COM VETORES
Exercícios
EXERCÍCIOS
Dados os vetores u, v e w, como na Figura a seguir, vamos construir o vetor:
OPERAÇÕES COM VETORES
DEFINIÇÃO
O ângulo de dois vetores u e v não nulos é o ângulo Ɵ, formado pelas semi-retas
OA e OB, como na figura abaixo e tal que 0 ≤ Ɵ ≤ p.
Se Ɵ = p , u e v têm a mesma direção e sentidos contrários.
Se Ɵ = 0°, u e v têm a mesma direção e mesmo sentido.
ÂNGULOS DE DOIS VETORES
Se Ɵ = p/2 , u e v são ortogonais (isto é, são perpendiculares), e denotamos por
u ┴ v. Neste caso, temos que |u +v|2 = |u|2+ |v|2.
• O vetor 0 é considerado ortogonal a qualquer vetor.
• Se u é ortogonal a v e m um número real qualquer, u é ortogonal a mv.
ÂNGULOS DE DOIS VETORES
Fórmula 
Exercícios
= 
Exercícios
Nesta aula, você aprendeu que o segmento orientado no plano representa um
objeto geométrico:
O vetor, que por sua vez pode ser representado algebricamente e, como
consequência, possibilita definir operações como adição, diferença e produto
por um escalar.
Além disso, você aprendeu que existe um ângulo entre dois vetores, ainda que
suas extremidades não coincidam.
RESUMO
1. O Paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB de AD, sendo me em
pontos médios DC e AB, respectivamente. Completar as assertivas:
EXERCÍCIOS
2. Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das armações a seguir.
EXERCÍCIOS
a) Just: Dois vetores só são iguais se tiverem mesmo módulo, direção e sentido. 
b) Just: Ter o mesmo módulo não implica em possuir mesma direção e sentido, 
então não podemos afirmar que são iguais
c) Just: Quando u || v , eles têm apenas a mesma direção, e não necessariamente
mesmo sentido e mesmo módulo.
d) Just: Para serem iguais, eles têm que ter mesma direção, sentido e módulo e, 
possuindo mesma direção, satisfaz a condição para serem paralelos.
3. Dados os vetores u e v da figura, mostrar um representante do vetor através de
um gráfico:
EXERCÍCIOS
Resolução
a)
b)
c)
d)