1 - Vetores_versão 22abr2020 EaD

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Geometria Analítica - Profa. Rosely Pestana
1
VETORES
1) SEGMENTOS ORIENTADOS
• Considere uma reta r e sejam A e B dois
pontos distintos de r.
A B
r
• é o segmento orientado de origem A e
extremidade B.
• é o segmento orientado de origem B e
extremidade A. Ele é o segmento oposto de .AB
AB
BA
• Se A = B, então é o segmento nulo e
escrevemos .
• À todo segmento orientado está associado:
➢ Uma direção: que é a mesma da reta suporte.
➢ Um sentido
➢ Um módulo: que é o seu comprimento.
(O segmento nulo têm módulo igual a zero)
• Dois segmentos não nulos têm mesma direção,
se as retas suportes destes segmentos são
paralelas ou coincidentes.
• Dois segmentos orientados opostos têm sentidos
contrários.
AB BA=
AA O=
❖ OBSERVAÇÃO: Só podemos comparar os
sentidos de dois segmentos orientados, se
eles têm mesma direção.
• Dizemos que dois segmentos são
equipolentes, se eles têm mesmo módulo,
direção e sentido.
Notação: ~AB CD
E
F
G
H
CA B D
~AB CD
~EF GH
~AA BB
2) VETORES
• Chamamos vetor determinado por um
segmento orientado , ao conjunto de todos
os segmentos equipolentes a .
Notação:
• Dois vetores são iguais se, e
somente se, .
• Um vetor é determinado por uma
infinidade de segmentos orientados, que são
chamados representantes desse vetor, e que
são todos equipolentes entre si.
AB
AB
AB
 e AB CD
~AB CD
AB
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• Os segmentos nulos são representantes de um
único vetor, que chamamos vetor nulo, que
representamos por .
• O vetor oposto é o vetor .
❖ OBSERVAÇÃO: O módulo, a direção e o
sentido de um vetor são iguais a dos
segmentos orientados que o determinam.
Notação para o módulo de um vetor : .
• Se , dizemos que é um vetor unitário.
v AB=
0
v BA− =
v | |v
| | 1v = v
• O versor de um vetor , representado por
não nulo, é um vetor unitário que tem mesmo
sentido de .
• Dizemos que dois vetores são paralelos, se
podem ser representados por segmentos
orientados de mesma direção.
• Dizemos que dois vetores são ortogonais, se
podem ser representados por segmentos
orientados ortogonais.
Notação:
❖OBSERVAÇÃO: O vetor nulo é paralelo e
ortogonal a qualquer vetor.
v
v
u v⊥
v
3) OPERAÇÕES 
3.1) ADIÇÃO DE VETORES
A soma dos vetores é o vetor dado
por:
 e u v s
s u v= +
vu u
v
s u v= +
Propriedades:
( ) ( )
( ) ( )
) (comutativa)
) (associativa)
) Para todo vetor , 0 0 (elemento neutro)
) Para todo vetor , 0 (elemento simétrico)
i u v v u
ii u v w u v w
iii u u u u
iv u u u u u
+ = +
+ + = + +
+ = + =
+ − = − + =
OBSERVAÇÃO:
( )) 
) Se , então 
i u v u v
ii u v w u w v
+ − = −
+ = = −
3.2) PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM
VETOR
v
O produto de um escalar (número real)  por
um vetor é o vetor tal que:v
) | | | | . | |
) A direção de é a mesma de .
) Se > 0, então tem mesmo sentido de e 
 se < 0, então tem sentido contrário ao de .
i v v
ii v v
iii v v
v v
 

 
 
=
Se  = 0 ou , então .0v =0v =
v−
v
2v
2v−
3v−
1
2
v−
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Propriedades:
( ) ( )
( )
( )
) (associativa)
) (distributiva)
) (distributiva)
) 1.
i v v
ii u v u v
iii v v v
iv v v
  
  
   
=
+ = +
+ = +
=
OBSERVAÇÃO: 
| |
v
v
v
=
3.3) SOMA DE UM PONTO COM UM VETOR
vDado um ponto A e um vetor , existe um único
ponto B, tal que vetor . O ponto B é
chamado soma do ponto A com o vetor .
Indicamos A + = A - .
AB v=
v
( )v− v
v v
A
B
( )
) 0
) 
) Se , então .
) Se , então .
) 
i A A
ii A v v A
iii A v B v A B
iv A u A v u v
v A AB B
+ =
− + =
+ = + =
+ = + =
+ =
Propriedades: Exercícios
1) Seja ABCD um paralelogramo. Determine:
2) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo.
Determine: 4) COMBINAÇÃO LINEAR 
• Um vetor é uma combinação linear dos
vetores , se existem escalares a1 ,
a2 , ... , an, tais que .
v
1 2 , , ... , nv v v
1 1 2 2+ + ... + n nv a v a v a v=
v
w
2w v=
v
u

0
0 0 0u v= +
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• Dizemos que os vetores são
colineares (paralelos), se possuem
representantes em uma mesma reta.
1 2 , , ... , nv v v
• Dizemos que os vetores são
coplanares, se possuem representantes em
um mesmo plano.
1 2 , , ... , nv v v
• Propriedades:
➢Dois vetores são paralelos se, e somente se,
um deles é combinação linear do outro.
➢Três vetores são coplanares se, e somente se,
um deles é combinação linear dos outros dois.
5) DEPENDÊNCIA LINEAR 
• Um vetor é linearmente dependente
(l.d.) se
• Dois vetores são linearmente dependentes
(l.d.) se eles são paralelos.
• Três vetores são linearmente dependentes
(l.d.) se eles são coplanares.
• Quatro vetores ou mais são linearmente
dependentes (l.d.).
• Quando os vetores não são linearmente
dependentes, dizemos que são linearmente
independentes (l.i.).
v
0.v =
6) BASE 
• Três vetores linearmente independentes
formam uma base para o conjunto de todos os
vetores. Isto quer dizer, que todo vetor pode
ser escrito como combinação linear dos vetores
da base.
• Dizemos que uma base é ortogonal, quando
seus vetores são dois a dois ortogonais.
• Dizemos que uma base é ortonormal, se ela é
ortogonal e seus vetores são unitários.
• Dado uma base {v1, v2, v3}, todo vetor v, pode
ser escrito como combinação linear dos vetores
v1, v2 e v3, isto é, existem escalares a, b e c,
tais que v = av1 + bv2 + cv3. Os escalares a, b e
c são as coordenadas do vetor v em relação
à base {v1, v2, v3}.
• Representaremos um vetor através de suas
coordenadas: v = (a,b,c).
Propriedades:
1) Considere os vetores e( )1 1 1, ,u a b c= ( )2 2 2, , .v a b c=
( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
) , e 
) , ,
) , ,
i u v a a b b c c
ii u v a a b b c c
iii ku ka kb kc
=  = = =
+ = + + +
=
( ) ( )1 1 1 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2) Os vetores , , e , , são l.d. se,
 e somente se, existe , tal que:
 
 
u a b c v a b c
k R
a b c
k
a b c
= =

= = =
( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
3) Três vetores , , , , , e , ,
 são l.d. se, e somente se, 
 0 
u a b c v a b c w a b c
a b c
a b c
a b c
= = =
=
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7) SISTEMA DE COORDENADAS 
• Os objetos de estudo da Geometria Analítica
são retas, planos, curvas, superfícies,
triângulos, entre outros, usando vetores,
números reais, equações, matrizes, etc.
Naturalmente, para fazermos esse estudo
precisamos inicialmente descrever os pontos
do espaço por meio de números. É o que
vamos fazer, agora, introduzindo o conceito de
sistema de coordenadas.
• Um sistema de coordenadas é um conjunto
formado por um ponto O, chamado origem e
por uma base {v1, v2, v3}. Se a base é
ortonormal, dizemos que o sistema é
ortogonal.
• As coordenadas de um ponto P num sistema
de coordenadas são dadas pelas coordenadas
do vetor OP, em relação à base do sistema, ou
seja, se OP = (a,b,c), então P(a,b,c). Os
números a, b e c são chamados,
respectivamente, abscissa, ordenada e cota.
Cada reta que contém o ponto O e tem uma
direção dos vetores da base é chamado eixo
coordenado.
• O eixo paralelo a v1 é chamado eixo das
abscissas, o eixo paralelo a v2 é chamado
eixo das ordenadas e o eixo paralelo a v3 é
chamado eixo das cotas.
• No nosso curso, trabalharemos com um
sistema de coordenadas ortogonal. A base
ortonormal desse sistema de coordenadas será
indicada por { i , j , k }.
EIXO DAS
ABSCISSAS
EIXO DAS
COTAS
EIXO DAS
ORDENADAS
i
j
k
P
O
PROPRIEDADES:
Sejam os pontos A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e um
vetor v = (a,b,c). Então:
i) AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
ii) A + v = (x1 +a, y1 + b, z1 + c)
PRODUTO 
ESCALAR
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1. ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
O entre dois vetores não nulos u e v, 
indicado por (u ,v), é definido como o menor
ângulo formado pelos seus representantestomados com a mesma
ângul
 origem. 
o

u
v
( )θ θu,v , com 0 180=  
( )u,v 90 u e v são ortogonais.=  
( )u,v 180 u e v têm sentidos opostos.=  
( )u,v 0 u e v têm mesmo sentido.=  
u v
u
v
u v
2. PRODUTO ESCALAR

O de dois vetores u e v, não
nulos, indicado
pr
 por u v, é o
oduto esc
 número 
alar
real
 =u v |u || v | cos(u,v)
Se um dos vetores é nulo, então u v = 0.
3. PROJEÇÃO DE UM VETOR NUMA
DIREÇÃO
Sejam u um vetor não nulo e v um vetor qualquer.
Podemos escrever v, de modo único, como:
1 2 1 2v v v , em que v //u e v u= + ⊥
u
v
1v
2v
v
1v
2v
1 projeção de v na direçO vetor v é chamado 
 ou 
ão
de u projeção ortogonal de v sobre . u
1
u
NOTAÇÃO: v projv=
v
1v
2v
4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
DO PRODUTO ESCALAR
Sejam u um vetor não nulo e v um vetor qualquer.
Então:
 
= =   
 
1 2u
v u
v projv u
|u |
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5. PROPRIEDADES
 = a) u v v u
( ) ( ) ( ) =  = b) t u v tu v u tv
( ) + =  + c) u v w u v u w
 =  ⊥d) u v 0 u v
 = 2e) u u |u |
6. EXPRESSÃO CARTESIANA DO
PRODUTO ESCALAR
( ) ( )1 1 1 2 2 2Dados dois vetores u x ,y ,z e v x ,y ,z ,
temos que:
= =
 = + +1 2 1 2 1 2u v x x y y z z
( )1 1 1O módulo de um vetor u x ,y ,z é dado por:=
=  = + + = + +2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1| u | u u x x y y z z x y z
2 2 2
1 1 1| u | x y z= + +
7. COSSENOS DIRETORES
Chamamos cossenos diretores de um vetor v
não nulo, os cossenos dos ângulos que v forma
com os vetores da base canônica {i,j,k}.
( ) ( ) ( ) ( )α β δSe v x,y,z , v,i , v, j e v,k , então
os cossenos diretores de v são:
= = = =
α
x
cos
| v |
= δ
z
cos
| v |
=β
y
cos
| v |
=
v
Como v , então:
| v |
=
( )
v 1 1 x y z
v v x,y,z , ,
| v | | v | | v | | v | | v | | v |
 
= = = =   
 
( )α β δv cos ,cos ,cos=
E assim,
α β δ2 2 2 2| v | cos cos cos= + +
α β δ2 2 2cos cos cos 1+ + =
( )
v 1 1 x y z
v v x,y,z , ,
| v | | v | | v | | v | | v | | v |
 
= = = =   
 
EXERCÍCIOS
( )
( )
=
= −
1) Determine o valor de m para que os vetores u 3,m,1
e v 1, 2, 1 sejam ortogonais.
2) Determine a projeção do vetor BA na direção do vetor 
BC e o ângulo formado por eles, sendo A(3,2,1), B(5,0,2)
e C(1,4,0).
3) Seja ABC um triângulo. Considere H o pé da altura do
triângulo relativa ao lado BC. Determine o vetor AH, sa-
bendo que A(1,2,-1), B(-1,0,-1) e C(2,1,2).
= =
=
4) De um triângulo ABC, sabemos que AB 2, AC 3
e AB • AC 3 3. Determine o ângulo formado pelos veto-
res AB e AC.
 
=   
 
5) De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2), B(3,1,1)
2 2
e AC ,0, . Determine a altura do triângulo rela-
2 2
tiva ao lado AC.
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PRODUTO 
VETORIAL
1. DEFINIÇÃO DE PRODUTO
VETORIAL
Sejam dois vetores não nulos u e v linearmente 
independentes. O dos vetores
u e v, indicado por u x v, é um vetor com as 
seguin
produto vetori
tes características:
 
al
i) |u x v| | u | | v | sen(u,v) 
ii) A direção de u x v é ortogonal a u e v.
iii) O sentido de u x v é dado pela regra da
mão direita.
=  
u
v
u x v
θ
REGRA DA MÃO DIREITA
( )θ θSeja u,v . Gire o vetor u de um ângulo 
de modo que u coincida com o vetor v. Se os
dedos das mão direita forem "dobrados" para
acompanhar o movimento do vetor u, então o
polegar direito indicará 
=
o sentido de u x v. Se
os dedos da mão direita forem "esticados" 
para acompanhar o movimento do vetor u, então
o polegar direito indicará o sentido contrário ao
de u x v.
Se u e v são paralelos, então u x v 0.=
 i 
 j 
 k 
i x i 0
j x j 0
k x k 0
=
=
=
i x j k
j x i k
i x k j
=
= −
= −
k x i j
j x k i
k x j i
=
=
= −
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Considere o paralelogramo ABCD.
A área do paralelogramo ABCD é dado por:
S | AB | h= 
A B
CD
h

θh | AD| sen= 
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θS | AB | | AD| sen=  
Logo, a área do paralelogramo é
S | AB x AD|=
O módulo do produto vetorial de 2 vetores é 
igual a área do paralelogramo construído sobre
eles.
|AB x AD|
A área do triângulo ABD é igual a .
2
3. PROPRIEDADES
( )a) u x v - v x u=
( ) ( ) ( )b) tu xv u x tv t u x v= =
( )c) u x v w u x v u xw+ = +
4. EXPRESSÃO CARTESIANA DO
PRODUTO VETORIAL
( ) ( )1 1 1 2 2 2Dados dois vetores u x ,y ,z e v x ,y ,z ,
temos que:
= =
1 1 1
2 2 2
i j k
u x v x y z
x y z
=
EXEMPLO:
( ) ( )= − = −Sejam os vetores u 1, 2,3 e v 0,4, 5 .
Então o produto vetorial de u e v é dado por:
= − = + + − − +
−
i j k
u x v 1 2 3 10i 0j 4k 0k 12i 5j
0 4 5
( )= − + + = −u x v 2i 5j 4k 2,5,4
EXERCÍCIOS
( )
= = =
1) Sejam os vetores u,v e w são ortogonais dois a dois, 
tais que u w 1 e v 2. Determine:
a) u x v b) w x u c) u x w 
d) w x v e) w x u + 2w
=
2) Considere o paralelogramo ABCD, tal que A(1,0,3),
C(2,2,3) e AB (0,3,-1). Determine:
a) as coordenadas dos outros vértices.
b) a área do paralelogramo.
EXERCÍCIOS
α
β
=
= −
=
3) Considere o retângulo ABCD, tal que AC (1,3,0) e
2 5
dois dos cossenos diretores de AB são cos( ) e
5
5
cos( ) . Determine:
5
a) as coordenadas do vetor AB.
b) a área do triângulo ADC.
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PRODUTO 
MISTO
1. DEFINIÇÃO DE PRODUTO MISTO
Sejam os vetores u, v e w. O 
dos vetores u, v e w, indicado por [u, v, w],
é o número real definido po
produto mis
 
t
r:
o
( )= •[u, v, w] u x v w
EXEMPLO:
( ) ( )
( )
Sejam os vetores u 1,0,2 , v 1,1,3 e
w 0,3, 2 . Então o produto misto de u, v
e w é dado por:
= = −
= −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
 − • − = 
= − − • − = −
1,0,2 x 1,1,3 0,3, 2
2, 5,1 0,3, 2 17
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Sejam os vetores u, v e w l.i. Considere o 
paralelepípedo construído sobre eles.
u
v
w
h
O volume do paralelepípedo é 
A área da base (paralelepípedo) é dada por
( )
θ
θ
Por outro lado, temos que h | w | | cos |,
sendo u x v,w 
= 
=
bV S h.= 
bS | u x v |=
θLogo, V |u x v | | w | | cos |=   θ| u x v | | w | cos=  
( )u x v w=  [u,v,w]=
V [u,v,w]=
O volume do tetraedro é 
T
[u,v,w]
V .
6
=
O módulo do produto misto dos vetores 
u, v e w é igual ao volume do paralelepípedo
de arestas u, v e w.
u
v
w
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3. PROPRIEDADES
a) [u,v,w] 0 u,v e w são coplanares= 
b) [u,v,w] [v,u,w]= −
c) [u,v,w] [w,u,v] [v,w,u]= =
( ) ( )• = •d) u x v w u v x w
e) t[u,v,w] [tu,v,w] [u,tv,w] [u,v,tw]= = =
4. EXPRESSÃO CARTESIANA DO
PRODUTO MISTO
( ) ( )
( )
1 1 1 2 2 2
3 3 3
Dados os vetores u x ,y ,z , v x ,y ,z
e w x ,y ,z ,então :
= =
=
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z
[u,v,w] x y z
x y z
=
EXEMPLO:
( )  = − = − + − − + + = − 
−
1 0 2
u,v,w 1 1 3 2 0 6 0 9 0 17
0 3 2
( ) ( )
( )
Sejam os vetores u 1,0,2 , v 1,1,3 e
w 0,3, 2 . Então o produto misto de u, v
e w é dado por:
= = −
= −
EXERCÍCIOS
( ) ( ) ( )= − = =1) Sejam os vetores u 3, 1,4 ,v 2,0,1 e w -2,1,5 .
Determine o volume do paralelepípedo definido pelos 
vetores u, v e w e a altura relativa à base definida pelos
vetores u e v.
( )
( ) ( )
= − −
= − − = + −
2) Calcule o valor de m para que os vetores u 2, 1, 3 ,
v 1,1, 4 e w m 1,m, 1 determinem um paralele-
pípedo de volume igual a 42 u.v.
EXERCÍCIOS
= − + = − = + +
3) Calcular o volume do tetraedro definido pelos vetores
u 3i 2j 4k,v 2i j e w i 3j 4k.
( ) ( ) ( )− − − −
4) Três vértices de um tetraedro de volume igual a 6 u.v.
são A 2,4,1 , B 3,2,3 e C 1, 2, 1 . Determine o quarto
vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy.
( ) ( ) ( ) ( )−
5) Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P,
sendo A 2,0,0 , B 2,4,0 , C 0,3,0 e P 2, 2,9 e a altura
do tetraedro relativa ao vértice P.